湖北省武汉市部分重点中学2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷一.选择题：本题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1两数+1与1的等比中项是（）A1BC1D12 =（）ABCD3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积是（）ABCD34设的值是（）ABCD5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A mB mC mD m6在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（

2、）A（0，B（0，C，）D，）7已知sin（）cos=，则cos（2+）=（）ABCD8已知等比数列an的公比q1，则下面说法中不正确的是（）Aan+2+an是等比数列B对于kN*，k1，ak1+ak+12akC对于nN*，都有anan+20D若a2a1，则对于任意nN*，都有an+1an9在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A2+lnnB2+（n1）lnnC2+nlnnD1+n+lnn10若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则实数a（）A（，2）B（，2C（4，+）D4，+）11如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：ABC是边长为1的正三角

3、形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为（）A（3n2+n）B（3n2n+1）CD12给出以下命题：存在两个不等实数，使得等式sin（+）=sin+sin成立；若数列an是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、tN*），则m+n=s+t；若Sn是等比数列an的前n项和，则S6，S12S6，S18S12成等比数列；若Sn是等比数列an的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，nN*），则A+B为零；已知A

4、BC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2，则ABC一定是锐角三角形其中正确的命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个二.填空题：本题共4道小题，每小题5分共20分.13已知数列an是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10a8，则a5=14设，（0，），且，则cos的值为15数列an的通项公式，其前n项和，则n=16ABC中，C=90，M是BC的中点，若，则sinBAC=三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知 tan=2（1）求tan（+）的值；（2）求的值18已知在等比数列an中，a1=1，且a2是a1和a31的等

5、差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2n1+an（nN*），求bn的前n项和Sn19如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值20已知数列an满足：a1=2，an+an1=4n2（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：b1+3b2+7b3+（2n1）bn=an，证明：数列an的前n项和Sn421在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， =（a+c，cb），=（sinA，sinB+sinC），且=0，（1）求向量和的夹角

6、；（2）若a+c=2，求b取得最小值时，AC边上的高h22已知正项数列an，若前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记bn=log2（），求b1+b2+b3+2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1两数+1与1的等比中项是（）A1BC1D1【考点】等比数列的性质【分析】设两数+1与1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=（）（）=

7、1，解方程求得 x的值【解答】解：设两数+1与1的等比中项是x，则由等比中项的定义可得x2=（）（）=1，x=1，故选D2 =（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】将原式分子第一项中的度数47=17+30，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值【解答】解：=sin30=故选C3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（ab）2+6，C=，则ABC的面积是（）ABCD3【考点】余弦定理【分析】将“c2=（ab）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b22abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积【解答

8、】解：由题意得，c2=a2+b22ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，2ab+6=ab，即ab=6SABC=故选：C4设的值是（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数；角的变换、收缩变换【分析】由于=，代入可求【解答】解： =故选B5如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A mB mC mD m【考点】解三角形的实际应用【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案【解答】解：如图，DAB=15，tan15=

9、tan（4530）=2在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2）=12060在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60BC=DCDB=60=120（1）（m）河流的宽度BC等于120（1）m故选：B6在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B（0，C，）D，）【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围【解答】解：利用正弦定

10、理化简sin2Asin2B+sin2CsinBsinC得：a2b2+c2bc，变形得：b2+c2a2bc，cosA=，又A为三角形的内角，A的取值范围是（0，故选：B7已知sin（）cos=，则cos（2+）=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】由条件利用两角和差的正弦公式求得sin（+）=，再利用二倍角的余弦公式求得cos（2+）的值【解答】解：sin（）cos=cossincos=sin（+）=，sin（+）=，则cos（2+）=12sin2（+）=，故选：C8已知等比数列an的公比q1，则下面说法中不正确的是（）Aan+2+an是等比数列B对于kN*，k

11、1，ak1+ak+12akC对于nN*，都有anan+20D若a2a1，则对于任意nN*，都有an+1an【考点】等比数列的性质【分析】利用等比数列的通项，对选项分别进行分析，即可得出结论【解答】解：对于A，an+2+an是公比为q2的等比数列，正确；对于B，对于kN*，k1，ak1+ak+1=+akq，q1，ak1+ak+12ak，正确对于C，anan+2=an2q20，正确；对于D，若a2a1，a1，则对于任意nN*，都有an+1an，故不正确，故选：D9在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A2+lnnB2+（n1）lnnC2+nlnnD1+n+lnn【考点】

12、数列的概念及简单表示法【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项【解答】解：，=故选：A10若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则实数a（）A（，2）B（，2C（4，+）D4，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解，结合参数分离法进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=2sin2x+acosx，若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则f（x）=2sin2x+acosx0恒成立，即acosx2sin2x，cosx0，a=4sinx，当x时，4s

13、in4sinx4sin，即24sinx4，则a2，故选：B11如图，一条螺旋线是用以下方法画成的：ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3是分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的圆弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈，然后又以A为圆心，AA3为半径画圆弧这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln为（）A（3n2+n）B（3n2n+1）CD【考点】归纳推理【分析】根据弧长公式分别求出CA1，A1A2，A2A3A3n2A3n1，A3n1A3n的长度，从而可知是为首项，为公差，项数为3n的等差数列，然后利用等差数列求和公式进行求解即可【解答】解：根据弧长公式知CA1

14、，A1A2，A2A3A3n2A3n1，A3n1A3n的长度分别为：，化简得：，2，3，3n，此数列是为首项，为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得Sn=3n+=2n+n（3n1）=n（3n+1）=（3n2+n）故选：A12给出以下命题：存在两个不等实数，使得等式sin（+）=sin+sin成立；若数列an是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、tN*），则m+n=s+t；若Sn是等比数列an的前n项和，则S6，S12S6，S18S12成等比数列；若Sn是等比数列an的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，nN*），则A+B为零；已知ABC的三个内角A

15、，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2c2，则ABC一定是锐角三角形其中正确的命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用特殊值判断的正误；利用特殊数列即可推出命题的正误；根据等差数列的性质，判断的正误；根据等比数列的前n项的和推出A，B判断的正误利用特殊三角形判断的正误；【解答】解：对于实数=0，0，则sin（+）=sin，sin+sin=sin，所以等式成立；故正确；对于取数列an为常数列，对任意m、n、s、tN*，都有am+an=as+at，故不正确；对于设an=（1）n，则S2=0，S4S2=0，S6S4=0，此数列不是等比数列，故不正确；S

16、n是等比数列an的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，nN*），所以此数列为首项是a1，公比为q1的等比数列，则Sn=，所以A=，B=，A+B=0，故正确；对于，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3c=4，满足a2+b2c2，故不正确；故选：B二.填空题：本题共4道小题，每小题5分共20分.13已知数列an是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10a8，则a5=0【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=4d，由此能求出a5的值【解答】解：数列an是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10a8，a1+2d+a1+8d=a1+9da17

17、d，解得a1=4d，d0，a5=a1+4d=4d+4d=0故答案为：014设，（0，），且，则cos的值为【考点】二倍角的正切；两角和与差的正弦函数【分析】由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan的值大于1，确定出的范围，进而sin与cos的值，再由sin（+）的值范围求出+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（+）的值，所求式子的角=+，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：tan=，tan=1，（，），cos=，sin=，sin（+）=，+（，），cos（+）=，则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=故答

18、案为：15数列an的通项公式，其前n项和，则n=30【考点】数列的求和【分析】将通项化简，再利用叠加法，即可求得结论【解答】解：，Sn=a1+a2+an=+=，n=30故答案为：3016ABC中，C=90，M是BC的中点，若，则sinBAC=【考点】正弦定理【分析】作出图象，设出未知量，在ABM中，由正弦定理可得sinAMB=，进而可得cos=，在RTACM中，还可得cos=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sinBAC=，代入化简可得答案【解答】解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，MAC=，在ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sinAMB=，故cos=co

19、s（AMC）=sinAMC=sin（AMB）=sinAMB=，而在RTACM中，cos=，故可得=，化简可得a44a2b2+4b4=（a22b2）2=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RTABC中，sinBAC=，故答案为：三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知 tan=2（1）求tan（+）的值；（2）求的值【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可（2）利用二倍角公式化简求解即可【解答】解：tan=2（1）tan（+）=3；（2）=118已知在等比数列a

20、n中，a1=1，且a2是a1和a31的等差中项（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=2n1+an（nN*），求bn的前n项和Sn【考点】数列的求和【分析】（1）设公比为q，由a1=1，则a2=q，a3=q2再利用等差数列的性质即可得出；（2）bn=2n1+an=2n1+2n1利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设公比为q，a1=1，则a2=q，a3=q2a2是a1和a31的等差中项2a2=a1+a31，2q=1+q21，q0，解得q=2an=2n1（2）bn=2n1+an=2n1+2n1bn的前n项和Sn=1+3+（2n1）+1+2+22+2n1=+=

21、n2+2n119如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】设POB=，将面积表示为角的函数，再利用三角函数求最值的方法求最值【解答】解：设POB=在POC中，由余弦定理得：PC2=OP2+OC22OPOCcos=54cos 所以，当时，即时， 四边形OPDC面积的最大值为20已知数列an满足：a1=2，an+an1=4n2（n2）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：b1+3b2+7b3+（2n1）bn=an，

22、证明：数列an的前n项和Sn4【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由已知得（an2n）+（an12n+2）=0，令an2n=bn，则bn+bn1=0，由此能求出an=2n（2）由，推导出（2n1）bn=anan1=2，从而，由此能证明数列an的前n项和Sn4【解答】解：（1）an+an1=4n2（n2），（an2n）+（an12n+2）=0，令an2n=bn，则bn+bn1=0，且b1=a12=0，由bn=bn1，b1=0，知bn=0，an=2n证明：（2）由，知，两式做差可得：（2n1）bn=anan1=2，当n=1时b1=a1=2也满足上式当n2时，2n12n1，Sn=+2+=3+

23、=44数列an的前n项和Sn421在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c， =（a+c，cb），=（sinA，sinB+sinC），且=0，（1）求向量和的夹角；（2）若a+c=2，求b取得最小值时，AC边上的高h【考点】向量的物理背景与概念；余弦定理【分析】（1）由=0和正弦、余弦定理，求出角B的大小，即可得出向量和的夹角；（2）根据余弦定理和基本不等式，求出b的最小值以及对应AC边上的高h【解答】解：（1）ABC中， =（a+c，cb），=（sinA，sinB+sinC），且=0，（a+c）sinA+（cb）（sinB+sinC）=0，由正弦定理得（a+c）a+（cb）（b+c）=0

24、，a2+ac+c2b2=0，cosB=，B=，向量和的夹角=B=；（2）ABC中，B=，a+c=2，由余弦定理得b2=a2+c22accosB=a2+c2ac2acac=ac，当且仅当a=c=，b的最小值为，即b取得最小值时，ABC是边长为的等边三角形，所以AC边上的高h=22已知正项数列an，若前n项和Sn满足8Sn=an2+4an+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）符号x表示不超过实数x的最大整数，记bn=log2（），求b1+b2+b3+【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由8Sn=an+4an+3，得，从而得到anan1=4，（n2，nN），由此

25、利用a2是a1和a3的等比中项，能求出数列an的通项公式（2）由bn=log2（）=log2n，令S=b1+b2+b3+，得到S=12+222+323+（n1）2n1+n，由此利用错位相减法能求出b1+b2+b3+【解答】解：（1）正项数列an，前n项和Sn满足8Sn=an+4an+3，（n2，nN），由，得8an=（anan1）（an+an1）+4an4an1，整理，得（anan14）（an+an）=0，（n2，nN），an是正数数列，an+an10，anan1=4，（n2，nN），an是公差为4的等差数列，由8a1=，得a1=3或a1=1，当a1=3时，a2=7，a7=27，不满足a2是a1和a3的等比中项，当a1=1时，a2=5，a7=25，满足a2是a1和a3的等比中项，an=1+（n1）4=4n3（2）an=4n3，bn=log2（）=log2n，由符号表示不超过实数x的最大整数，知当2mn2m+1时，loh2n=m，令S=b1+b2+b3+=log21+log22+log23+=0+1+1+2+3+4+n1+nS=12+222+323+（n1）2n1+n，2S=122+222+323+（n1）2n+2n，得S=2+22+23+24+2n1（n1）2n1=（n1）2nn=（2n）2nn2，S=（n2）2n+n+22016年5月8日