《高考一本解决方案》2016年文科数学考纲专题解读+考点题组训练：第6部分 解析几何 专题十三 圆锥曲线与方程 WORD版含答案.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家1(2015 广东，8，易)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4，0)，则m()A2 B3C4 D9【答案】B由F1为左焦点可知焦点在x轴上，25m2.F1(4，0)，c4，m225169，m3，选B.2(2015浙江，7，中)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支【答案】C由题可知射线AP以AB为轴旋转，形成一个以A为顶点，AP为母线的圆锥，点P的轨迹是平面截圆锥所得的截面，为椭圆3(2015安徽，20，13分，中)设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐

2、标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得.又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2)由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.4(2015 北京，20，14分，难)已知椭圆C：x23y23，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(

3、2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由解：(1)椭圆C的标准方程为y21.所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)直线AE的方程为y1(1y1)(x2)令x3，得M(3，2y1)所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1(x2)令x3

4、，得点M.由得(13k2)x26k2x3k230.所以x1x2，x1x2.直线BM的斜率kBM.因为kBM10，所以kBM1kDE.所以BMDE.综上可知，直线BM与直线DE平行1(2012上海，16，易)对于常数m，n，“mn0”是“方程mx2ny21表示的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B方程mx2ny21表示的曲线是椭圆，常数m，n的取值应满足 所以，由mn0得不到方程mx2ny21表示的曲线是椭圆，如m0，n0时，方程不表示任何图形，因而是不充分条件；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn0，因而是必要条件，故“mn0”是“

5、方程mx2ny21表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件2(2013大纲全国，8，易)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1【答案】C由题意可得解得a24，b23，故椭圆方程为1，故选C.3(2013课标，5，易)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. B. C. D.【答案】D方法一：如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan 30.|PF1|PF

6、2|2a，即2a，可得ca.e.方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.故选D.4(2014江西，14，难)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_【解析】不妨设A在x轴上方，由于AB过F2且垂直于x轴，因此可得A，B，由ODF2B，O为F1F2的中点可得D，所以，又ADF1B，所以2c20，即3b44a2c2，又b2a2c2，所以可得(a2c2)2ac，两边同时除以a2，得e22e0，解得e或，又e(0，1)，故椭圆C的离

7、心率为.【答案】5(2014课标，20，12分，中)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a，由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1|F1F

8、2|，|F1F2|2c，其中ac0，且a，c为常数当2a|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆(2)由题意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.b3.(3)根据已知条件画出图形，如图设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连接PF1，PF2.显然PF1是MAN的中位线，PF2是MBN的中位线，|AN|BN|2|PF1|

9、2|PF2|2(|PF1|PF2|)22a2612.【答案】(1)A(2)3(3)12【点拨】解题(1)的关键是将题目的条件转化为动点到两定点距离和为常数，进而利用椭圆定义解答，注意常数2a|F1F2|这一条件；解题(2)的关键是抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用求出|PF1|PF2|的值，进而求解；解题(3)的关键是画出图形，利用三角形中位线结合椭圆定义求解 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面，一是当P在椭圆上时，解决与焦点距离|PF1|，|PF2|有关的问题；二是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正、

10、余弦定理，|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系例如，已知F1PF2时，对F1PF2的处理方法：定义式的平方：(|PF1|PF2|)2(2a)2，余弦定理：4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos ，面积公式：SF1PF2|PF1|PF2|sin .(1)(2014浙江丽水模拟，5)已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D3(2)(2014河北保定一模，14)与圆C1：(x3)2y21外切，且与圆C2：(x3)2y281内切的动圆圆心P的轨迹方程为_(1)【答案】A由椭圆定义知，

11、两式相加得|AB|AF2|BF2|16，即AF1B周长为16，又因为在AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16106.(2)【解析】设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上得点P的轨迹方程为1.【答案】1考向2求椭圆的标准方程1椭圆的标准方程椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的其形式有两种：(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为1(ab0)(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为1(ab0)2与椭圆的标准方程有

12、关的注意问题(1)方程中a，b满足ab0，其中c2a2b2.(2)在1和1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，主要看含x2和y2的项的分母的大小例如，椭圆1(m0，n0，mn)，mn时表示焦点在x轴上的椭圆；m0，B0且AB)与椭圆1共焦点的椭圆可设为1(km2，kn2)与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆可设为t1(t10，焦点在x轴上)或t2(t20，焦点在y轴上)(3)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程1(ab0)或 1(ab0)；找关系：根据已知条件，建立方程组；得方程：解方

13、程组，将解代入所设方程，即为所求(2015山西太原质检，20，12分)求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，.解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，椭圆过点(2，)，t12，或t2.故所求椭圆标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，b212.故椭圆方程为1或1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由 解得

14、m，n.椭圆方程为1.考向3椭圆几何性质的应用椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系a2b2c2F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则ac|PF1|ac，ac|PF2|ac. (2014天津，18，13分)设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB

15、|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|2，求椭圆的方程【思路导引】(1)根据条件转化为关于a，c的关系求解；(2)利用(1)中离心率的值，可将椭圆方程a2，b2用c2表示，设出P点坐标(x0，y0)，表示出，利用以线段PB为直径的圆过点F1，可得0，得出x0，y0的关系，结合P在椭圆上，解出x0，y0用c表示从而求出圆心、半径，并用c表示，再利用l与圆相切及|MF2|2，结合勾股定理求出c，得椭圆方程【解析】(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)，由|AB|F1F2|，可得a2b2

16、3c2，又b2a2c2，则.所以椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.因为点P在椭圆上，故1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.由已知，有|TF2|2|MF2|2r2，又|MF2|2，故有8c2，解得c23.所以所求椭圆的方程为1. 1.求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组

17、，解出a，c的值；(2)构造a，c的方程，解出e.由已知条件得出关于a，c的方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率2椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0eb0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3的直线l恰好与圆C2相切(1)求椭圆C1的离心率；(2)若的最大值为49，求椭圆C1的方程解：(1)由题意可知，直线l的方程为bx

18、cy(3)c0，因为直线l与圆C2：x2(y3)21相切，所以d1，即a22c2，从而e.(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则1(c0)，又因为()()22x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当c3时，()max172c249，解得c4，此时椭圆方程为1；当0c3时，()max(c3)2172c249，解得c53.但c533，故舍去综上所述，椭圆C1的方程为1.1(2015安徽淮南模拟，7)椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21【答案】C若a29，b24k，则c，由，即，解得k；若a24k，b29，则c，由，即，解得k21.思路点拨：根据题意，对

19、椭圆的焦点在x轴与y轴分类讨论是关键2(2015广东汕头一模，9)已知椭圆1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A3个 B4个 C6个 D8个【答案】C当PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个故符合要求的点P有6个3(2015湖北武汉二模，5)“3m5”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B要使方程1表示椭圆，应满足解得3m5且m1，因此“3m5

20、”是“方程1表示椭圆”的必要不充分条件4(2014湖南六校联考，7)已知F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t，0)为一个切点，则()At2 Bt2Ct)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_【解析】设椭圆的右焦点为E，如图，由椭圆的定义得FAB的周长为|AB|AF|BF|AB|(2a|AE|)(2a|BE|)4a|AB|AE|BE|；|AE|BE|AB|，|AB|AE|BE|0，当AB过点E时取等号，FAB的周长|AB|AF|BF|4a|AB|AE|BE|

21、4a，FAB的周长的最大值为4a12，a3，e.【答案】7(2014广东广州三模，20，14分)设椭圆M：1(a)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若20(其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求的最大值解：(1)由题意知A，F1，由20，得2，解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)方法一：设圆N：x2(y2)21的圆心为N，则()()()()2221.设P(x0，y0)是椭圆M上一点，则1，即x63y.因为点N(0，2)所以2x(y02)22(y01)212.因为y0，所以当y0

22、1时，2取得最大值12.所以的最大值为11.方法二：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(x0，y0)，因为E，F的中点坐标为(0，2)，则所以(x1x0)(x2x0)(y1y0)(y2y0)(x1x0)(x1x0)(y1y0)(4y1y0)xxyy4y14y0xy4y0(xy4y1)因为点E在圆N上，所以x(y12)21，即xy4y13.又因为点P在椭圆M上，所以1，即x63y.所以2y4y092(y01)211.因为y0，所以当y01时，取得最大值11.1(2015安徽，6，易)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21Cx21 D.y21【答案】A根据双曲线渐近线

23、方程的定义可知选A，亦可利用下列方法：对于选项A的双曲线方程，令x20，可得渐近线方程为y2x.2(2015湖南，6，易)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】D双曲线1的渐近线为yx，点(3，4)在第四象限所以(3，4)在yx上，所以，所以e211.所以e.3(2015湖北，9，中)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1e2D当ab时，e1e2；当ab时，e1e2【

24、答案】D(特殊值法)令a1，b2，m1，此时e1，e2，e1e2，排除B，C.令a2，b1，m1，此时e1，e2，e1e2，排除A.4(2015山东，15，中)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_【解析】直线过右焦点(c，0)且与渐近线yx平行，直线方程为y(xc)，将x2a代入得点P的纵坐标为y(2ac)，将点P代入双曲线方程，可得3，化简得c24aca20，两边同除以a2得，e24e10，解得e2.又e1，e2.【答案】2思路点拨：先求出直线方程，然后利用直线方程表示出点P的坐标，将此坐标代入双曲线方程，化简整理

25、得关于a，c的方程，最终化为关于离心率e的方程，解方程得e的值5(2015江苏，12，中)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点，若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_【解析】因为直线xy10与双曲线的渐近线yx平行，且两平行线间的距离为，由图形知，双曲线右支上的动点P到直线xy10的距离的最小值无限趋近于，要使距离d大于c恒成立，只需c即可故c的最大值是.【答案】6(2015 北京，12，易)已知(2，0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_【解析】(2，0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，c2，b2c2a22213，b.【答案】7(201

26、5课标，15，中)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_【解析】设双曲线方程为y2(0)，双曲线过点(4，)，431.所求双曲线方程为y21.【答案】y218(2015课标，16，中)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_【解析】由题意作出图形如图所示，可知点F(3，0)，则另一焦点F1(3，0)，由双曲线的定义应有|PF|PF1|2a|PF1|2.所以APF的周长为|AF|AP|PF1|2，根据线段的性质，应有|AP|PF1|AF1|，故当点P位于点P1位置时，APF的周长最小，AF1的方程为y2

27、(x3)，将其代入双曲线方程解得P1的坐标为(2，2)，求得三角形周长最小时，则此时APF的面积为 AF1F面积的，为12.【答案】12思路点拨：画出图形分析，利用双曲线的定义|PF|PF1|2a(F1为另一焦点)，然后利用三角形的三边关系找出APF周长最小时点P的位置，从而求出面积1(2014课标，4，易)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B. C. D1【答案】D由已知可知e2114，a21.又a0，a1.故选D.2(2013课标，4，易)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx【答案】C，C的渐近线方程为yxx.故选C.3

28、(2014广东，8，易)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等 D焦距相等【答案】D若0k5，则5k0，16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.可知两曲线的焦距相等故选D.4(2014大纲全国，11，中)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()A2 B2 C4 D4【答案】C由已知得e2，所以ac，故bc，从而双曲线的渐近线方程为yxx，由焦点到渐近线的距离为得，解

29、得c2，故2c4，故选C.5(2014江西，9，中)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】A由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为yx，因此可设点A的坐标为(a，b)设右焦点为F(c，0)，由已知可知c4，且|AF|4，即(ca)2b216，所以有(ca)2b2c2，得a22acb20，又知c2a2b2，所以得a22acc2a20，即a2，所以b2c2a2422212.故双曲线的方程为1，故选A.6(2014浙江，17，难)

30、设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_【解析】由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为yx与yx，分别与x3ym0，联立方程组，解得A，B.由|PA|PB|知，点P在线段AB的垂直平分线上设AB的中点为Q，则Q，PQ与已知线段AB垂直，代入化简可得2a28b28(c2a2)，即，e.【答案】7(2014山东，15，难)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_【解析】由已知F，A

31、(a，0)，则|FA|c，所以c2a2b2.又抛物线的准线方程为y，联立得2，解得x1a，x2a，所以x1x22a2c，所以，所以1，所以双曲线的渐近线方程为yx.【答案】yx考向1双曲线定义的应用双曲线的定义及理解(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹两定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距(2)符号语言：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|时，动点轨迹不存在理解双曲线的定义要注意以下两点：平面内的动点到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数；这个常数要小于焦距|F1F2|. (1)(2014重庆，8)设F1，F2分别为双曲线1(a

32、0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A. B. C4 D.(2)(2013辽宁，15)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则PQF的周长为_【思路导引】(1)求曲线的离心率就是寻找关于a，c的关系式；(2)当遇到焦点三角形时，一定要考虑曲线的定义【解析】(1)|PF1|PF2|2a，(2a)2b23ab，即4a2b23ab，即4a23abb20，(4ab)(ab)0，b4a.又c2b2a2，c217a2，e217，即e.(2)如图所示，设双曲线右焦点为F1，则

33、F1与A重合，坐标为(5，0)，则|PF|PF1|2a，|QF|QF1|2a，|PF|QF|PQ|4a4b4a28，PQF的周长为284b44.【答案】(1)D(2)44【点拨】解题(1)的关键是找到a，b关系式，并转化为关于a，c的关系式；解(2)的关键是注意到|PQ|2a和A点是右焦点 双曲线定义的应用技巧(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化(2012辽宁，15)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_【解

34、析】由题意得，双曲线的实轴长为2，焦距为2.点P在双曲线上，|PF1|PF2|2.PF1PF2，228.2得24，(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，|PF1|PF2|2.【答案】2考向2求双曲线的标准方程1双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为1(a0，b0)(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为1(a0，b0)以上方程中a0，b0，且c2a2b2；对于双曲线的方程1(mn0)，要看清焦点的位置，只要看x2，y2的分母的正负，焦点在分母为正的坐标轴上(x轴或y

35、轴)例如，曲线1(其中k3)，当k3时表示焦点在x轴上的双曲线2双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线1有共同渐近线的双曲线方程可设为(0)(2)若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0)或n2x2m2y2(0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2ka2)(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx2ny21(mnb0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b2a2) (1)(2014天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1(2)(2015沈阳四校联考，14)设双曲线与椭

36、圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_【思路导引】(1)根据双曲线的渐近线与直线l平行得到渐近线的斜率，由双曲线的一个焦点在直线l上求出c，然后解方程组即可求出a，b的值；(2)由已知条件可知双曲线的焦点坐标，所以可直接根据定义借助待定系数法或利用共焦点曲线系方程求得双曲线的标准方程【解析】(1)由题意知，双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为y2x，所以2，即b24a2，又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(5，0)，所以c5，即a2b225，联立得解得a25，b220，故双曲线的方程为1.(2)方法一：椭圆1的焦点坐标是(0，

37、3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，根据定义知2a|4，故a2.又b232a25，故所求双曲线的方程为1.方法二：椭圆1的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b29，又点(，4)在双曲线上，所以1，解得a24，b25.故所求双曲线的方程为1.方法三：设双曲线的方程为1(2736)，由于双曲线过点(，4)，故1，解得132，20，经检验132，20都是分式方程的根，但0不符合题意，应舍去，所以32.故所求双曲线的方程为1.【答案】(1)A(2)1 求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a，b，c，即可求得方程(2)

38、待定系数法，其步骤是：定位：确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数(1)(2013广东，7)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1D.1(2)(2015黑龙江哈尔滨二模，13)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且过P，Q，那么它的标准方程是_(1)【答案】Bc3，a2，a24.b2c2a2945.双曲线的标准方程为1.故选B.(2)【解析】设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原

39、点顶点顶点坐标：A1(a，0)，A2(a，0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长2.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2y2(0)(2)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直3点P(x0，y0)和双曲线1(a0，b0)的关系(1)P在双曲线内(含焦点部分)1；(2)P在双曲线上1；(3)P在双曲线外(不含焦点部分)0，b0)的焦点

40、，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_【思路导引】(1)主要考查双曲线的方程与性质，解题关键是由椭圆定义求出|AF2|AF1|2，从而找到a，c的关系式；解题(2)的关键是通过对称性解RtPF1F2，求出的值【解析】(1)焦点F1(，0)，F2(，0)，在RtAF1F2中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，联立可解得|AF2|AF1|2，即2a2，2c2，故双曲线的离心率e.(2)方法一：设F2(c，0)(c0)，P(c，y0)，代入方程得y0，PQx轴，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|PF2|，

41、即2c.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍)a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为yx.方法二：在RtF1F2P中，PF1F230，|PF1|2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，由已知易得|F1F2|PF2|，2c2a，c23a2a2b2，2a2b2或2a23b2(舍)，a0，b0，故所求双曲线的渐近线方程为yx.【答案】(1)D(2)yx 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的

42、值或取值范围(2)求渐近线时，利用c2a2b2转化为关于a，b的方程或不等式双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k.(1)(2015河南郑州质检，10)如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点若ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)(2014江苏徐州调研，14)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为_(1)【答案】C设|AB|x，由于ABF2为等边三角形，|AB|AF2|BF2|x，由双曲线的定义

43、得|BF1|BF2|2a，而|BF1|BF2|(|AB|AF1|)|BF2|(x|AF1|)x|AF1|2a，|AF2|AF1|x2a2a，x4a.在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，|F1F2|2c，F1AF2180BAF218060120，由余弦定理得cosF1AF2，整理得5a2c22a2，即c27a2，又b2c2a26a2，渐近线方程为yxx.(2)【解析】设F1PF2，由得由余弦定理得cos e2.(0，cos 1，1)，即1e21，10，b0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则双曲线的离心率为

44、()A4 B. C2 D.【答案】C设c，PF1F2的内切圆的半径为r，则|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，SIPF1|PF1|r，SIPF2|PF2|r，SIF1F2|F1F2|r.由SIPF1SIPF2SIF1F2，得(|PF1|PF2|)r|F1F2|r，c2a.双曲线的离心率为e2.7(2015江西南昌三模，8)已知双曲线C：1(a0，b0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点且3，则双曲线离心率的最小值为()A. B.C2 D2【答案】C因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点且3，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设A

45、(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)(c0)，因为3，所以cx13(cx2)，3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以x1a，3x23a，故3x2x14a，即2c4a，2，即e2，故选C.8(2014浙江杭州模拟，8)已知两圆C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()Ax0 B.1(x)C.1 D.1或x0【答案】D动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切；动圆M与两圆都相内切；动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；动圆M与圆C1内切，与圆C2外切由，显然轨迹方程为x0；在的情况下，设动圆M

46、的半径为r，则|MC1|r，|MC2|r，故得|MC1|MC2|2；在的情况下，同理可得|MC2|MC1|2.由得|MC1|MC2|2，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a，c4，b2c2a214，故其方程为1.由以上分析可知，D正确9(2014山东济南二模，14)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_【解析】设c，双曲线的右焦点为F.则|PF|PF|2a，|FF|2c.E为PF的中点，O为FF的中点，OEPF，且|PF|2|OE|.OEPF，|OE|，P

47、FPF，|PF|a，|PF|PF|2a3a.|PF|2|PF|2|FF|2，9a2a24c2，.双曲线的离心率为.【答案】10(2015江南十校联考，18，12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)由(2)的条件，求F1MF2的面积解：(1)e，可设双曲线方程为x2y2.双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：方法一：由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF1.点M(3，m)在双曲线上，9m26，m

48、23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.方法二：由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.1(2015陕西，3，易)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1，0)B(1，0)C(0，1) D(0，1)【答案】By22px(p0)准线方程为x，且准线过点(1，1)，1，p2.故抛物线方程为y24x，焦点坐标为(1，0)2(2015课标，5，中)已知椭

49、圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12【答案】B依题意，椭圆的右焦点为(2，0)，又离心率为，所以a4，c2，b2，所以椭圆方程为1，由题可知A，B两点的横坐标为2，代入椭圆方程可得A，B纵坐标分别为3， 3，故|AB|6.选B. 3(2015福建，19，12分，中)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1，0)，延长AF交抛物线E于点B.证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(

50、1)由抛物线的定义得，|AF|2，因为|AF|3，即23.解得p2.所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明：方法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1，0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF.所以点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切方法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A

51、(2，2)，由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1，0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r.又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切1(2014安徽，3，易)抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2【答案】A将抛物线方程化成标准方程为x24y，焦点在y轴正半轴上，且2p4，即p2，因此准线方程为y1.2(2014辽宁，8，易)已知点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1 C

52、D【答案】C由点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2，0)，kAF ，故选C.3(2013课标，8，中)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4【答案】C如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.故选C.4(2014上海，4，易)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_【解析】c2954，c2.椭圆1的右焦点为(2，0)，2，即抛物线的准线方程为x2.【答案】x25(201

53、2陕西，14，中)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米【解析】建立如图平面直角坐标系，A，B是抛物线与水面的交点据题意，点A的坐标为(2，2)设抛物线的方程为x2py，把A的坐标代入得p2，即抛物线的方程为x22y.当水位下降1(单位：米)时，水面的纵坐标为3，把y3代入抛物线的方程得x.水位下降1米后，水面宽为2米【答案】26(2014湖南，14，中)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_【解析】由题意知，机器人的运动轨迹是以(1，0)为

54、焦点，x1为准线的抛物线，即y24x.过P(1，0)且斜率为k的直线方程为y0k(x1)，联立得(kxk)24x，即k2x2(2k24)xk20.(2k24)24k44k416k2164k416k2161，k1或k0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解：(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|p.因为ABD

55、的面积为4，所以|BD|d4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0，1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0.解得b.因为直线m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上所述，坐标原点到m，n距离的比值为3.考向1抛物线定义的应用1抛物线的定义平面内与一定点F和

56、一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线2抛物线定义的理解抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要应用 (1)(2014课标，10)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF| x0，则x0()A1 B2 C4 D8(2)(2015江西南昌质检，15)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|P

57、A|PF|取最小值时，点P的坐标为_【解析】(1)由已知抛物线C：y2x的焦点F，准线方程为x.由抛物线定义可知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即x0x0，x01.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部如图，设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d有最小值，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2，2)【答案】(1)A(2)(2，2) 与抛物线有关的最值问题的解题策略与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转

58、化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”原理解决(1)(2015辽宁锦州一模，7)设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B8 C8 D16(2)(2014陕西延安模拟，8)设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比()A. B. C. D.(1)【答案】B方法一：AF的直线

59、方程为y(x2)，当x2时，y4，A(2，4)将y4代入y28x中，得x6，P(6，4)，|PF|PA|6(2)8.故选B.方法二：如图，PAl，PAx轴，又直线AF的斜率为，AFO60，FAP60，又由抛物线定义知|PA|PF|，PAF为等边三角形又在RtAFF中，|FF|4，|FA|8，|PF|8.故选B.(2)A如图，过A，B作准线l：x的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB的距离为定值，.又B1BCA1AC，由抛物线定义知，.由|BF|BB1|2知xB，yB，直线AB的方程为y0(x)把x代入上式，求得yA2，xA2，|AF|AA1|.故.故选A.考向2求抛物线的方程1抛物线的

60、标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形顶点(0，0)对称轴x轴y轴焦点FFFF准线xxyy对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上2点P(x0，y0)和抛物线y22px(p0)的位置关系(1)P在抛物线内(含焦点部分)y2px0.3抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)焦半径|AF|x1；(4)弦长lx1x2p.当弦ABx轴时，弦长最短为2p

61、，此时的弦又叫通径；(5)弦长l(为AB的倾斜角) (1)(2012山东，11)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y(2)(2015浙江金华模拟，13)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(2，4)的抛物线方程为_【解析】(1)1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.(2)由于点P在第三象限当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y22px(p0)，把点P(2，4)代入

62、得(4)22p(2)，解得p4，抛物线方程为y28x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x22py(p0)，把点P(2，4)代入得(2)22p(4)解得p，抛物线方程为x2y.综上可知抛物线方程为y28x或x2y.【答案】(1)D(2)y28x或x2y 1.求抛物线方程的方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式从统一角度出发，焦点在x轴上，设为y2ax(a0)，焦点在y轴上，设为x2by(b0)2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛

63、物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题(1)(2014河南洛阳模拟，4)以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()Ay216x By212xCy220x Dy220x(2)(2015湖北十校联考，12)抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|1，则抛物线方程为_(1)【答案】A由已知得抛物线的焦点为(4，0)，则设抛物线的标准方程为y22px(p0)，4，p8，所求方程为y216x，故选A.(2)【

64、解析】因为有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，所以直线AB垂直于抛物线的对称轴又因为|AB|1，所以2p1，所以抛物线方程为y2x.【答案】y2x1(2015北京人大附中月考，5)已知点P(6，y)，在抛物线y22px(p0)上，F为抛物线的焦点，若|PF|8，则点F到抛物线准线的距离等于()A2 B1C4 D8【答案】CP(6，y)，|PF|8，|PF|68，p4，点F到抛物线准线的距离等于4.2(2015福建福州三模，9)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y24x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|()A2 B3

65、 C4 D5【答案】D由双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为，可得ab，所以设渐近线l的方程为yx，联立y24x可得x4，x0(舍去)，所以|PF|x415.3(2014浙江杭州三模，10)已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则()A. B1 C2 D4【答案】A设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|FP|x12，|FQ|x22，则，联立直线与抛物线方程消去y得k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故，故选A.4(2015江西师大附中模拟，8)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120，

66、过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()A2 B. C1 D.【答案】D如图，过A，B分别作抛物线准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P，连接AF，BF.设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|AQ|BP|ab，由余弦定理得，|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.因为ab，所以(ab)2ab(ab)2，所以，所以，即最大值为.5(2015福建厦门质检，13)已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂

67、直，则实数a_【解析】根据抛物线的焦半径公式得15，p8.焦点坐标为(4，0)，则5，则m4，取M(1，4)，由题意知A(1，0)，则AM的斜率为2，由已知得21，解得a.同理m4时，a.【答案】6(2015山东济南一模，13)已知定点Q(2，1)，F为抛物线y24x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|PF|取最小值时，P的坐标为_【解析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF|取得最小值，即|PQ|PD|取得最小值，则需D，P，Q三点共线时|PQ|PF|最小，将Q(2，1)的纵坐标代入y24x得x，故P的坐标为.【答案】7(2014山西太原二

68、模，13)已知抛物线y24x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为_【解析】设抛物线的焦点为F，A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1x24.抛物线的准线方程为x1，x11，x21，x1x226.(当且仅当A，B，F共线时取“”)，如图所示6，的最大值为6.【答案】68(2015山西六校联考，13)抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是_【解析】设点A(x1，y1)，其中y10.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则有|BF|BB1|，又

69、|BC|2|BF|，因此有|BC|2|BB1|，cos CBB1，CBB1，即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|AK|4，因此y14sin 2，因此AKF的面积等于|AK|y1424.【答案】49(2014广东湛江质检，20，14分)双曲线1(a0)的离心率为，抛物线C：x22py(p0)的焦点在双曲线的顶点上(1)求抛物线C的方程；(2)过M(1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1l2时，求直线l的方程解：(1)双曲线的离心率e，又a0，a1，双曲线的顶点为(0，1)，又p0，抛物线的焦点为(0，1)，抛物线方程为x24y.(2)设直线l的方程

70、为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，yx2，yx，切线l1，l2的斜率分别为，当l1l2时，1，x1x24，由得x24kx4k0，(4k)24(4k)0，k0.由根与系数的关系得，x1x24k4，k1，满足，即直线的方程为xy10.(2015湖南，20，13分，难)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为 (0，1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a

71、2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立得a29，b28.故C2的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.又x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.又x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将代

72、入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.1(2014课标，10，中)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6 C12 D7【答案】C由题意得F，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y.联立方程得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12.2(2013课标，10，中)设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点若|AF|3|BF|，则l的方程为()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或

73、y(x1)【答案】C如图，设直线AB与抛物线的准线x1交于点C.由抛物线的定义可设|BF|BB1|t，|AF|AA1|3t.由三角形相似得，|BC|2t，B1CB，直线l的倾斜角或.又F(1，0)，直线AB的方程为y(x1)或y(x1)故选C.3(2014辽宁，20，12分，中)圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx交于A，B两点若PAB的面积为2，求C的标准方程解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0x

74、y0y4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S，由xy42x0y0知当且仅当x0y0时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)(2)设C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在C上知1，并由得b2x24x62b20，又x1，x2是方程的根，因此由y1x1，y2x2，得|AB|x1x2|.由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2得b49b2180，解得b26或3，因此b26，a23(舍)或b23，a26，从而所求C的方程为1.4(2014陕西，20，13分，中)已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左，右焦点分别为F1(c，0

75、)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：xm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程解：(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由题设知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由得1，解得m，满足(*)直线l的方程为yx或yx.5(2014广东，20，14分，难)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2

76、)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解：(1)由题意得c，e，a3，b2，椭圆C的标准方程为1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为k1，k2，则过P点的切线方程可设为yy0k(xx0)，ykxy0kx0，由消去y，得(49k2)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)24(49k2)9(y0kx0)240，整理得(9x)k22x0y0ky40，k1k2(x03)，由已知得k1k21，1，xy13，即此时点P的轨迹方程为x2y213.当两条切线中有一条垂直于x轴时，此时两条切线方程应分别为x3，y2

77、或x3，y2或x3，y2或x3，y2，P点坐标为(3，2)或(3，2)或(3，2)或(3，2)，均满足方程x2y213.综上所述，所求P点的轨迹方程为x2y213.考向1直线与圆锥曲线的位置关系及应用直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程即消去y得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切或相交；0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同

78、的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点考向2与弦长、面积有关的问题直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程ax2bxc0(或ay2byc0)(2)当0时，直线与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2 ，x1x2，则弦长为|AB|x1x2

79、|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可直接用|AB|求出 (2014浙江，22，14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|PF|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值【思路导引】(1)设出点P坐标，由于PF为焦半径，因此由抛物线定义，可求出点P坐标，再利用已知向量关系，即可求出点M的坐标；(2)ABP的面积可由底边AB与其边上的高确定相交弦长|AB|可利用弦长公式求解，但要注意用0，确定参数范围而AB边上的高可转化为焦点F到直线AB的距离【解析】(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y1.设P(

80、x0，y0)由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3，分别得M 或M .(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，|x1x2|4，所以AB中点M的坐标为(2k，2k2m)由3，得(x0，1y0)3(2k，2k2m1)所以由x4y0得k2m.由0，k20，得m.又因为|AB|4，点F(0，1)到直线AB的距离为d，所以SABP4SABF8|m1|.记f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10，解得m1，m21.可得f(m)在上是增函数

81、，在上是减函数，在上是增函数又f f .所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为. 有关弦长、面积的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解(2)面积问题：常采用S底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、化归与转化及函数与方程思想的应用(2013山东，22，14分)

82、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设t，求实数t的值解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意知解得a，b1，因此椭圆C的方程为y21.(2)()当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为xm，E点的坐标为(m，0)，由题意知 m0或0m0，所以t2或t.()当A，B两点不关于x轴对称时，设直线AB的方程为ykxh.将其代入椭圆方程y21，得(12k2)x24khx2h220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由0

83、，可得12k2h2，此时x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|2.因为点O到直线AB的距离d，所以SAOB|AB|d2|h|，又SAOB，所以|h|.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或nh2，即12k24h2或12k2h2.又tt()t(x1x2，y1y2)，因为P为椭圆C上一点，所以t21，即t21.将代入得t24或t2，又知t0，故t2或t，经检验，适合题意综合()()得t2或t.考向3弦中点问题圆锥曲线以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率圆锥曲线方程直线斜率椭圆：1(a0，b0)k双曲线：1(a0，b0)k抛物线：y22px(p

84、0)k其中k，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的两个端点 (2013课标，20，12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1.由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.(2)由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yx

85、n，设C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3，4.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|x4x3|.由已知，四边形ACBD的面积S|CD|AB|.当n0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为. 弦中点问题的解决方法(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验(2)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 (2014安徽黄山一模，13)过椭圆1内一点M(2，1)作一条弦，使该弦被点M平分，则这条弦所

86、在的直线方程为_【解析】方法一：设所求直线方程为y1k(x2)，代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.(*)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个不等实根，于是有：x1x2，又M为AB的中点，所以x1x24，解得k，代入(*)式，0，故所求直线方程为x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为M为AB的中点，所以x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则有x4y16，x4y16，两式相减，得xx4(yy)0，(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，所以，即

87、kAB.此时方程为x2y40，代入椭圆方程，0，故所求直线方程为x2y40.方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于弦的中点为M(2，1)，则另一个交点为 B(4x，2y)因为A，B两点都在椭圆上，所以x24y216，(4x)24(2y)216，整理得x2y40，由于过A，B的直线有且只有一条，故所求直线方程为x2y40.【答案】x2y40考向4与角度有关的问题 (2014安徽，21，13分)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B

88、，求椭圆E的离心率【思路导引】在第(1)问中，先由条件分别求出|AF1|与|F1B|的值，再由椭圆定义得出|AF2|的值；在第(2)问中，先设|F1B|k，由椭圆定义知|AF2|2a3k，|BF2|2ak，然后在ABF2中，由余弦定理得出a与k的关系式，进而得出|BF2|2|F2A|2|AB|2，即F1AF2A，从而得出AF1F2为等腰直角三角形，从而求出离心率【解析】(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0，且|AF1

89、|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e. 与角度有关的问题(1)不共线三点A，B，CABAC(以BC为直径的圆过点A或|AB|2|AC|2|BC|2等)转化为0，然后利用数量积坐标公式坐标化

90、；BAC为钝角(点A在以BC为直径的圆内、|AB|2|AC|2|BC|2)可转化为|BC|2)，可转化为0，然后坐标化(2)证明角相等或求角的范围可转化为直线的倾斜角，利用斜率求解；若角所在的三角形边角关系明显，如焦点三角形，则转化为余弦定理，也可以用向量的数量积解决(2014安徽合肥高三月考，21，14分)如图，椭圆1(ab0)与过点A(2，0)，B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e.(1)求椭圆的方程；(2)设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：ATMAF1T.解：(1)过点A，B的直线方程为y1.代入1得x2a2xa2a2b20，由题意易知该

91、方程有唯一解，所以a2b2(a24b24)0(ab0)，故a24b240.又因为e，即，所以a24b2.从而得a22，b2，故所求的椭圆方程为2y21.(2)证明：由(1)得c，故F1，F2，从而M ，2y21，yx1，解得x1x21，所以T .因为tan AF1T1，又tan TAM，tan TMF2，得tan ATM1，因此ATMAF1T.1(2014河北石家庄二模，11)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为()A16 B. C4 D.【答案】B由得x23x40，xA1，yA，xD4，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0

92、，1)，且该圆圆心为F(0，1)，|AF|yA1，|DF|yD15，.故选B.2(2015江西上饶二模，8)过抛物线x24y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且ABCD，则的最大值等于()A4 B16 C4 D8【答案】B依题意可得，(|)又因为|yA1，|yB1，所以(yAyByAyB1)设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立x24y，可得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4.所以yAyB1，yAyB4k22.所以(4k24)同理，|.所以16.当且仅当k1时等号成立3(2015山东青岛一模，4)如图，从点M(x0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y28x的对称

93、轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：xy100上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于()A5 B6 C7 D8【答案】B由题意可知，p4，焦点F(2，0)，P(2，4)，Q(2，4)，QN：y4，直线QN，MN关于l：xy100对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于x轴，解得N(6，4)，故x06.故选B.4(2015河北石家庄质检，5)已知两定点A(2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.【答案】

94、B由题意可知，c2，由e，知e最大时需a最小，由椭圆的定义|PA|PB|2a，即使得|PA|PB|最小，设A(2，0)关于直线yx3的对称点D(x，y)，由可知D(3，1)所以|PA|PB|PD|PB|DB|，即2a，所以a，则e.故选B.5(2014河南焦作一模，13)椭圆y21的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是_【解析】设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y21.A，B在椭圆上，y1，y1，两式相减得，(y1y2)(y1y2)0，即，即直线AB的斜率为.直线AB的方程为y，即2x4y30.【答案】2x4y306(2015湖南长沙二模，19，12分)已知

95、椭圆C：1(ab0)的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M，N两点在椭圆C上，且(0)，定点A(4，0)(1)求证：当1时，；(2)若当1时有，求椭圆C的方程；(3)在(2)的条件下，M，N两点在椭圆C上运动，当tan MAN的值为6时，求出直线MN的方程解：(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c，0)，则(cx1，y1)，(x2c，y2)，当1时，y1y2，x1x22c，由M，N两点在椭圆上，xa2，xa2，xx.若x1x2，则x1x202c(舍去)，x1x2，(0，2y2)，(c4，0)，0，.(2)当1时，不妨设M ，N ，(c4)2，又a2c2，b2，c28c1

96、6，c2，a26，b22，故椭圆C的方程为1.(3)tan MAN2SAMN|AF|yMyN|6，由(2)知点F(2，0)，|AF|6，即得|yMyN|.当MNx轴时，|yMyN|MN|，故直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为yk(x2)(k0)联立得(13k2)y24ky2k20，yMyN，yMyN，|yMyN|，解得k1.此时，直线MN的方程为xy20，或xy20.7(2015湖南衡阳模拟，20，13分)抛物线P：x22py(p0)上一点Q(m，2)到抛物线P的焦点的距离为3，A，B，C，D为抛物线的四个不同的点，其中A，D关于y轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，

97、y2)，x0x1x0x2，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线(1)求p的值；(2)证明：CADBAD；(3)D到直线AB，AC的距离分别为m，n，且mn|AD|，ABC的面积为48，求直线BC的方程解：(1)|QF|32，p2.(2)证明：由(1)可得抛物线方程为x24y，则A，D，B，C，y，kBC，x1x22x0，kAC，kAB，kACkAB0，直线AC和直线AB的倾斜角互补，CADBAD.(3)设BADCAD，则mn|AD|sin ，sin ，lAC：yxx0，即yxx0，将yxx0与抛物线方程x24y联立得x24x4x0x0，x0x24，x2x04，同理可得x1x04，kABkA

98、C1.x0x1x0x2，SABC|AB|AC|(42x0)(2x04)4(x4)48，x04，B(0，0)，C(8，16)，lBC：y2x.8(2014江苏盐城二模，18，16分)在平面直角坐标系xOy中，过点A(2，1)的椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，短轴端点为B1，B2，2b2.(1)求a，b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若|AQ|AR|3|OP|2，求直线l的方程解：(1)因为F(c，0)，B1(0，b)，B2(0，b)，所以(c，b)，(c，b)因为2b2，所以c2b22b2.因为椭圆C过点A(2，

99、1)，代入得，1.又a2b2c2由解得a28，b22.所以a2，b.(2)由题意，设直线l的方程为y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0.因为x20，所以x2，即xQ2.由题意，直线OP的方程为ykx.由得(14k2)x28，则x.因为|AQ|AR|3|OP|2，所以|xQ(2)|0(2)|3x.即23.解得k1或k2.当k1时，直线l的方程为xy10；当k2时，直线l的方程为2xy50.所求直线l的方程为xy10或2xy50.9(2015北京朝阳一模，19，14分)已知椭圆C：1(ab0)经过点，一个焦点为(，0)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线yk(x1)(k0)与x

100、轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围解：(1)由题意得解得a2，b1.所以椭圆C的方程是y21.(2)由得(14k2)x28k2x4k240.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).所以线段AB的中点坐标为，所以线段AB的垂直平分线方程为y.若y0，则x.于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q ，又点P(1，0)，所以|PQ|.又|AB|.于是，44.因为k0，所以130，|AF|，同理，|BF|，|DF|，|CF|，“蝴蝶形图案”的面积SSAFBSCFD|AF|BF|CF|DF|令tsin co

101、s ，t，2，)，则S441，当2，即时，“蝴蝶形图案”的面积最小，最小值为8.1(2015课标，20，12分，难)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有，1，解得a28，b24.所以C的方程为1.(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1得(2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kO M，即kO Mk.所以直

102、线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值2(2015湖北，22，14分，难)一种画椭圆的工具如图1所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点，若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由图1 图2解：(1)

103、因为|OM|MN|NO|314，当M，N在x轴上时，等号成立；同理|OM|MN|NO|312，当D，O重合，即MNx轴时，等号成立所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm.由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.(*)又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.将(*)代

104、入得，SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因0k2，则014k21，2，所以SOPQ8 8.当且仅当k0时取等号所以当k0时，SOPQ的最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.3(2015山东，21，14分，难)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值解：(1)由题意知1.又，解得a24，b21.所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1

105、)知椭圆E的方程为1.设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0)因为y1，又1，即1，所以2，即2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2.(*1)则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.设点O到直线ykxm的距离为d，所以OAB的面积S|AB|d|m|x1x2|2.设t.将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*2)由(*1)(*2)可知00，b10)和椭圆C2：1(a2b20)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为

106、2的正方形(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|？证明你的结论解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c22，2a12，从而a11，c21.因为点P在双曲线x21上，所以1.故b3.由椭圆的定义知2a22.于是a2，bac2.故C1，C2的方程分别为x21，1.(2)不存在符合题设条件的直线若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x或x.当x时，易知A(，)，B(，)，所以|2，|2.此时，|.当x时，同理可知，|.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为ykxm.由得(3k2)x22kmxm230.当l与

107、C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1x2，x1x2.于是y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.由得(2k23)x24kmx2m260.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式16k2m28(2k23)(m23)0.化简，得2k2m23，因此x1x2y1y20，于是222222，即|2|2，故|，综合可知，不存在符合题设条件的直线2(2014四川，20，13分，难)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于

108、P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积解：(1)由已知可知，c2，所以a.又由a2b2c2，解得b，所以椭圆C的标准方程是1.(2)设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即(x1，y1)(3x2，my2)所以解得m1.此

109、时，S四边形OPTQ2SOPQ2|OF|y1y2|22.3(2014山东，21，14分，难)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值解：(1)由题意知.可得a24b2，椭圆C的方程可简化为x24y2a2.将yx代入可得x，因此，可得a2.因此b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设A(x1

110、，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则B(x1，y1)因为直线AB的斜率kAB，又ABAD，所以直线AD的斜率k.设直线AD的方程为ykxm，由题意知k0，m0.由可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m.由题意知x1x2，所以k1.所以直线BD的方程为yy1(xx1)令y0，得x3x1，即M(3x1，0)可得k2.所以k1k2，即.因此存在常数使得结论成立直线BD的方程为yy1(xx1)，令x0，得yy1，即N.由知M(3x1，0)，可得OMN的面积S3|x1|y1|x1|y1|.因此|x1|y1|y1，当且仅当|y1|时等号成立，此时S取得

111、最大值.所以OMN面积的最大值为.4(2013安徽，21，13分，难)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点P(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0，2)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由解：(1)因为焦距为4，所以a2b24.又因为椭圆C过点P(，)，所以1，故a28，b24，从而椭圆C的方程为1.(2)由题意知，E点坐标为(x0，0)设D(xD，0)，则(x0，2)，(xD，2)再由ADAE知

112、，0，即x0xD80，由于x0y00，故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG.又因为Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x2y8.从而kQG.故直线QG的方程为y.将代入椭圆C的方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0.解得xx0，yy0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点5(2014福建，21，12分，难)已知曲线上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y3的距离小2.(1)求曲线的方程；(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究

113、：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论解：(1)方法一：设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0，1)的距离与它到直线y1的距离相等，所以曲线是以点F(0，1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.方法二：设S(x，y)为曲线上任意一点，则|y(3)|2，依题意，点S(x，y)只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简得，曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以

114、切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A.由得M.又N(0，3)，所以圆心C，半径r|MN|，|AB|.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变6(2011山东，22，14分，难)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：y21.如图所示，斜率为k(k0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x3于点D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|OE|，求证：直线l过定点；试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由解：(1)设直线l的方程为ykxt(k0)，由题意，t0.由

115、方程组得(3k21)x26ktx3t230.由题意0，所以3k21t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x2，所以y1y2.由于E为线段AB的中点，因此xE，yE，此时kOE，所以OE所在直线方程为yx，又由题设知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，当且仅当mk1时上式等号成立，此时由0得0t2，因此当mk1且0t0，解得G.又E，D，由距离公式及t0得|OG|2，|OD|，|OE|，由|OG|2|OD|OE|得tk，因此直线l的方程为yk(x1)，所以直线l恒过定点(1，0)由得G，若B，G关于x轴对称，则B，代入yk(x1)，整理得3k21

116、k，即6k47k210，解得k2(舍去)或k21，所以k1.此时B，G关于x轴对称又由得x10，y11，所以A(0，1)由于ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设ABG的外接圆的圆心为(d，0)，因此d21，解得d，故ABG的外接圆的半径为r.所以ABG的外接圆方程为y2.考向1定点、定值问题(2014江西，20，13分)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|

117、MN1|2为定值，并求此定值【解析】(1)证明：直线AB过定点M(0，2)，由题意知直线AB的斜率一定存在，可设直线AB的方程为ykx2，由得x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28.又直线AO的方程为yx，直线BD的方程为xx2，联立解得D点的坐标为.又x1x28，x4y1，y2，动点D在定直线y2(x0)上(2)由题意可知，切线l的斜率存在且不为0.设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y，化简得x24ax4b0，l为切线，(4a)216b0，化简得ba2，切线l的方程为yaxa2.分别令y2，y2得N1，N2点的坐标为N1，N2，则|MN2|2|MN1|2

118、428，|MN2|2|MN1|2为定值8.【点拨】解决定值问题关键是找出定值，将此类问题转变为证明题，从而使问题变得明确，找定值通常用特殊点法(2012福建，21，12分)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【解析】(1)依题意，知|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明

119、：方法一：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.令y1，得x，所以Q.设圆上的定点为M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)方法二：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.令y1，得x，所以Q.取x02，此时P(2，1)，Q(0，1)，

120、以PQ为直径的圆为(x1)2y22，交y轴于点M1(0，1)或M2(0，1)；取x01，此时P，Q，以PQ为直径的圆为，交y轴于M3(0，1)或M4.故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1)以下证明点M(0，1)就是所要求的点因为(x0，y01)，所以2y022y022y020，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)【点拨】本题关键是用M(0，y1)，P(x0，y0)的坐标表示出0，由点P的任意性，把该式整理成关于y0的等式，其系数均为0；也可取点P的特殊位置找到M坐标，再证明其即为所求 1.求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，

121、并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意(2013江西，20，13分)椭圆C：1(ab0)的离心率e，ab3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2mk为定值解：(1)因为e，所以ac，bc.代入ab3，得c，a2，b1.故椭圆C的

122、方程为y21.(2)证明：方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为yk(x2)，代入y21，解得P，直线AD的方程为yx1.与联立解得M.由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m，则2mkk(定值)方法二：设P(x0，y0)(x00，2)，则k，直线AD的方程为y(x2)，直线BP的方程为y(x2)，直线DP的方程为y1x，令y0，由y01可得N，联立解得M，因此MN的斜率为m，所以2mk(定值)思路点拨：本题采用直接推理法，方法一用直线BP的斜率表示m，并在计算过程中消去k，得出定值；方法二用点P坐标x0，y0表示2mk，通过计算得出定值考向

123、2最值与范围问题圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；椭圆焦半径的取值范围为ac，ac，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离；抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件

124、下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解(6)实际应用问题，解这类题目时，首先要解决以下两个问题：选择适当的坐标系；将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来其次，根据需要将最值问题化为一个函数的最值问题(2014北京，19，14分)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段

125、AB长度的最小值【思路导引】(1)把椭圆方程化为标准形式，确定a，b，c的值，由公式求离心率；(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，由OAOB，把t用x0，y0表示出来利用两点间距离公式表示|AB|，并由点B在椭圆上，把|AB|化为只含有x0一个变量的函数式，根据x0的取值范围确定最值【解析】(1)由题意，知椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)2(y02)

126、2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2. 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值

127、范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围(2013浙江，22，14分)已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求|MN|的最小值解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x22py(p0)，则1，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设A(x1，x1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykx1.由消去y，整理得x24kx40，所以x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4.由解得点M的横坐标xM.同理，点N的横坐标xN.所以|MN|xMxN|8.令4k3t，t0，则k

128、.当t0时，|MN|22.当t0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为A点在单位圆上运动，所以xy1.将式代入式即得所求曲线C的方程为x21(m0，且m1)因为m(0

129、，1)(1，)，所以当0m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0，)(2)方法一：如图2，3，k0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直线QN的方程为y2kxkx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2xm20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由根与系数的关系可得x1x2，即x2.因为点H在直线QN上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1).而PQPH等价于0，即2m20.又m0，得m，故存在m，使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有PQPH.

130、方法二：如图2，3，x1(0，1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(x1，y1)，N(0，y1)因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(xx)(yy)0.依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得m2.又Q，N，H三点共线，所以kQNkQH，即.所以由式可得kPQkPH.而PQPH等价于kPQkPH1，即1.又m0，得m.故存在m，使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有PQPH.1(2015湖北十校联考，8)设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|

131、的最小值、最大值分别为()A9，12 B8，11 C8，12 D10，12【答案】C如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12.2(2014辽宁沈阳二模，8)在平行四边形ABCD中，BAD60，AD2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足xy0(x，yR)则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数x，y应满足的关系式为(

132、)A4x2y22xy1 B4x2y22xy1Cx24y22xy1 Dx24y22xy1【答案】D如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD2.根据题意得，AB1，ABD90，BD.B，D的坐标分别为(1，0)，(1，)，(1，0)，(1，)设点P的坐标为(m，n)，即(m，n)，则由xy0，得xy，根据题意，m2n21，x24y22xy1.3(2015东北三校第二次联考，11)已知双曲线1(a0，b0)的焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，设m，n，则下列各式成立的是()A|m|n| B|m|0【答案】C如图，设A(x1，y1)

133、，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)，则(x3x42c，y3y4)，(x1x22c，y1y2)，m(x3x42c，y3y4)，n(x1x22c，y1y2)设直线l的方程为xmyc，代入b2x2a2y2a2b2，得(b2m2a2)y22b2mcyb2(c2a2)0，故y1y2，由得y3，由得y4，y3y4，y1y2y3y4.又x1x2m(y1y2)2c，x3x4m(y3y4)2c，x1x2x3x4，mn，|mn|0，故选C.4(2015江西九校联考，9)如图，抛物线y22px(p0)的焦点为F，斜率k1的直线l过焦点F，与抛物线交于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为N，则

134、tanANF()A1 B. C. D.【答案】C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB的方程为yx，联立得消去y得，x23px0，解得x1p，x2p.又因为点A(x1，y1)在抛物线y22px 上，所以y1(1)p，故tanANF，因此选C.5(2015河南南阳二模，14)1上有一动点P，圆E：(x1)2y21，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点，圆F：(x1)2y21，过圆心F任意作一条直线交圆F于C，D两点，则的最小值为_【解析】()()()()21，同理，21，所以22226.【答案】66(2014上海普陀一模，12)若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，

135、则的最小值为_【解析】由椭圆y21知c2413，c，C，D是该椭圆的两焦点，令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，.又r1r24，1.当且仅当r1r2时，上式等号成立故的最小值为1.【答案】17(2015湖南长沙调研，20，13分)已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点(，1)(1)求椭圆方程；(2)若过点C(1，0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.试问在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)e，故，因为椭圆过点(，1)，故1，解得a25，b2，所以椭圆方程为1.(2)假设在x轴上存在点M(m，0)，使是与k无关

136、的常数，椭圆的方程为x23y25，直线l的方程为yk(x1)，由得(3k21)x26k2x3k250，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x1m，y1)，(x2m，y2)，所以(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2，令t，即(3m26m13t)k2m2t0对任意k成立，所以解得m，即在x轴上存在点M，使是与k无关的常数8(2015山东潍坊二模，20，13分)如图，椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2y2b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：ymx(m0)与椭圆C交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求证APB为直角三角形，并求出该三角形

137、面积的最大值解：(1)由题意知2b2，b1.圆O将椭圆C的长轴三等分，2b2a，a3b3，椭圆C的方程为y21.(2)证明：由消去y得(19m2)x2mx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又P(0，1)(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2x1x2m2x1x2m(x1x2)(1m2)m0.PAPB，则APB为直角三角形设l与y轴的交点为K，则K，|PK|，SAPB|PK|(|x1|x2|)|PK|x1x2|，令t1，则SAPB.当且仅当9t，即t时取等号APB面积的最大值为.9(2014江苏南通二模，17，14分)已知椭圆1(ab0)

138、的右焦点为F1(2，0)，离心率为e.(1)若e，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明：点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围解：(1)由e，c2，得a2，b2.所求椭圆方程为1.(2)设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，故M，N.证明：由题意点O在以线段MN为直径的圆上，得0，化简得xy4，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上由题意，即(1k2)将e，b2a2c24，代入上式整理，得k2(2e21)(e21)20，k20，所以2e210，e.所以k23.化简得解得e242，e1

139、.故e的取值范围是.(时间：120分钟_分数：150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1(2014福建福州一模，6)若ABC的顶点A(5，0)，B(5，0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x4)【答案】C如图，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|AD|BE|826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以方程为1(x3)2(2014课标，4)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D

140、3m【答案】A由双曲线C：x2my23m(m0)，得1，c23m3，c.设F(，0)，一条渐近线yx，即xy0，则点F到C的一条渐近线的距离d，选A.3(2014广东深圳一模，6)过点A的直线l与抛物线y22x有且只有一个公共点，这样的l的条数是()A0或1 B1或2C0或1或2 D1或2或3【答案】D当A在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；可以想象，当A在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；当A在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点故选D.4(2015山西太原二模，9)已知A是双曲线1(a0，b0)的左

141、顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是PF1F2的重心，若，则双曲线的离心率为()A2 B3C4 D与的取值有关【答案】B依题意得点G在线段OP上，且3，由得GAPF1，3，即e3，该双曲线的离心率为3，故选B.5(2015湖北武汉模拟，8)已知直线yk(x1)(k0)与抛物线C：y24x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若2，则k()A. B. C. D.【答案】B设A，B的纵坐标分别为y1，y2，由2得y12y2(如图)由yk(x1)得，x1，代入C：y24x并整理得ky24y4k0，又y1，y2是该方程的两根，由得，y2.k0，k.6(2014福建，9)设P

142、，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B. C7 D6【答案】D设椭圆上的点为(x，y)，圆x2(y6)22的圆心为(0，6)，半径为，椭圆上的点与圆心的距离为5，P，Q两点间的最大距离是56.故选D.7(2012浙江，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A3 B2 C. D.【答案】B设椭圆长半轴的长为a(a0)，则双曲线实半轴的长为，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c，所以双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，所以2，故选B.8(2015湖南永

143、州二模，8)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：PMN必为直角三角形；PMN不一定为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；直线PM不一定与抛物线相切其中正确的命题是()A B C D【答案】A因为|PF|MF|NF|，故FPMFMP，FPNFNP，从而可知MPN90，故正确，错误由题意得，直线PM的方程为yx，代入抛物线方程可得y22pyp20，(2p)24p20，所以直线PM与抛物线相切，故正确，错误9(2013辽宁，11)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若

144、|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B. C. D.【答案】B如图，设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，设|AF|x，则由余弦定理可得cosABF.解得x6，AFB90，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，且FAF1FABFBA90，即FAF1是直角三角形，所以|FF1|10，故2a8614，2c10，.故选B.10(2015吉林长春调研，10)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2 C. D3【答案】B由题意可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则

145、动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2，故选B.11(2013山东，11)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.【答案】D抛物线C1的焦点F，双曲线C2的右焦点F(2，0)，直线FF为1，与yx2联立得x2xp20，又y，设M(x0，y0)，则C1在点M处的切线斜率k.C2的一条渐近线的斜率为，故，得x0p，代入解得p.故选D.12(2015河北石家庄质检，11)已知双曲线1

146、(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为()Aa，a Ba，C.， D.，a【答案】A设|AF1|x，|AF2|y，由双曲线定义得|PF1|PF2|2a，由三角形内切圆的性质得xy2a，又xy2c，xac，|OA|a.延长F2B交PF1于点C，PQ为F1PF2的角平分线，|PF2|PC|，再由双曲线定义得|CF1|2a，|OB|a，故选A.二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)13(2014广东揭阳模拟，12)过椭圆1(ab0)的左顶

147、点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_【解析】由题意知A点的坐标为(a，0)l的方程为yxa，B点的坐标为(0，a)又|AM|MB|，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a23b2.又a2b2c2，c22b2，e.【答案】14(2014辽宁本溪一模，14)椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1y2|的值为_【解析】ABF2的内切圆周长为，所以ABF2的内切圆半径为.又ABF2的周长为4a20，所以ABF2的面积为205，另一方面ABF2的面

148、积为|F1F2|y1y2|，即6|y1y2|5，则|y1y2|.【答案】15(2011大纲全国，16)已知F1，F2分别为双曲线C: 1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线，则|AF2|_【解析】在双曲线1中，a29，b227，c2a2b236，F1(6，0)，F2(6，0)如图，M(2，0)，|F1M|628，|F2M|624.AM为F1AF2的平分线，.|AF1|2|AF2|，即点A在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得|AF1|AF2|2|AF2|AF2|AF2|2a6.【答案】616(2015湖北十校联考，14)已知两定点M(1，0)，N(1，0)，若直

149、线上存在点P，使|PM|PN|4，则该直线为“A型直线”给出下列直线，其中是“A型直线”的是_(填序号)yx1；y2；yx3；y2x3.【解析】由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是1，把yx1代入1并整理得，7x28x80，8247(8)0，直线与椭圆有两个交点，yx1是“A型直线”把y2代入1，得不成立，直线与椭圆无交点，y2不是“A型直线”把yx3代入1并整理得，7x224x240，(24)247240， y2x3是“A型直线”【答案】三、解答题(共6小题，共74分)17(12分)(2012陕西，20)已知椭圆C1：y21，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心

150、率(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，2，求直线AB的方程解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为1(a2)，其离心率为，故，则a4，故椭圆C2的方程为1.(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，所以y.由2，得x，y，将x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直线AB的方程为yx或yx.思路点拨：利用向量知识由2得出直线AB过原点O，及点A，B在椭圆上，则A，B坐标适合椭圆方程是解题

151、关键18(12分)(2015安徽安庆二模，21)已知椭圆C的标准方程为1(ab0)，该椭圆经过点P，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆1(ab0)长轴上任意一点S(s，0)，(as0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x10)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y于点M，当|FD|2时，AFD60.(1)求证：AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1的值解：(1)设A，则A处的切线方程为l1：yx，所以D

152、，Q，F.所以|AF|.所以|FQ|AF|，即AFQ为等腰三角形又D为线段AQ的中点，所以|AF|4，得所以p2，即抛物线C的方程为x24y.(2)设B(x2，y2)(x20，由得x24kx4b0，得代入得：S，要使面积最小，则k0，得到S，令t，则由得S(t)t32t，S(t)，所以当t时，S(t)单调递减；当t时，S(t)单调递增，所以当t时，S取到最小值为，此时bt2，k0，所以y1，即x1.故当PMN面积取到最小值时的x1的值为.20(12分)(2014东北三校第一次联考，20)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(，0)，(，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E

153、(1，0)且与曲线C交于A，B两点(1)求曲线C的轨迹方程；(2)是否存在AOB面积的最大值？若存在，求出AOB的面积；若不存在，说明理由解：(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以点(，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，故曲线C的轨迹方程为y21.(2)存在AOB面积的最大值因为直线l过点E(1，0)，所以可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)由条件得整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2.解得y1，y2，则|y2y1|，则SAOB|OE|y1y2|.设t，则g(t)t，t，则g(t)在区间，)上为增函数，所以g(

154、t).所以SAOB，当且仅当m0时等号成立，即(SAOB)max.所以SAOB的最大值为.21(12分)(2015河北唐山二模，21)已知抛物线E：y22px(p0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x2)2y21的两条切线，切点为A，B，|AB|.(1)求抛物线E的方程；(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标解：(1)由已知得M，C(2，0)如图，设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|.于是|CR|，由题意易知AMCRAC，|MC|3，即23，p2.故抛物线E的方程为y24x.(2)如图，设N(s，t)P，Q是

155、NC为直径的圆D与圆C的两交点，圆D方程为，即x2y2(s2)xty2s0.又圆C方程为x2y24x30.由得(s2)xty32s0.P，Q两点坐标是方程和的解，也是方程的解，从而为直线PQ的方程因为直线PQ经过点O，所以32s0，s.故点N坐标为或.22(14分)(2015浙江“六市六校”联盟模拟，21)已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y1于点R，过点P作PQl交轨迹C于点Q，求PQR的面积的最小值解：(1)设C(x，y)，|CA|2y24，即x24y.动圆圆心的轨迹C的方程为x24y.(2)C的方程为x24y，即yx2，故yx.设P(t0)，PR所在的直线方程为y(xt)，即yx，则点R的横坐标xR，|PR|xRt|.PQ所在的直线方程为y(xt)，即yx2，由消去y得x20，由xPxQ得点Q的横坐标为xQt，又|PQ|xPxQ|.SPQR|PQ|PR|.不妨设t0，记f(t)(t0)，则当t2时，f(t)min4.由SPQRf(t)3，得PQR的面积的最小值为16.高考资源网版权所有，侵权必究！