深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司深大实验 20232024 学年第一学期高一期末考试（数学）试卷一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1“sin1x=”是“cos0 x=”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 2函数22()1xf xx=+的图象大致是（）A B C D 3已知lg 2a=，lg3b=，则30log 18=（）A21abb+B21abb+C21abb D21abb+4已知集合13xAx yx=，()2lg2Bx yxx=，则 AB=（）A(1,2)B(0,3)C(,1)(2,)+D(,0)(3,)+5已知1sin7=，且 322，

2、则 tan()=（）A312 B312 C 4 3 D427 6三个数0.76，60.7，0.7log6 的大小顺序是（）A60.70.7log60.76 B60.70.70.76log6 C60.70.70.7log66 D0.760.7log660.7=则方程()0f xa=有四个实根的充要条件为（）A1a B3a C13a D13a，0b，若21ab+=，则（）Aab 的最大值为 18 B22ab+的最小值为 1 C 21ab+的最小值为 8 D24ab+的最小值为2 2 10下列化简正确的是（）Asin 45 cos451=B223cossin12122=C 13sin 40cos40

3、sin8022+=D2tan 22.511tan 22.52=11函数()sin()f xAx=+（0A，0，|2 时，()(0,1f x C1(ln 2)ln22ff+=D对定义域内的任意两个不相等的实数1x，2x，()()12120f xf xxx在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是_ 16设函数()f x 是定义域为 R 的奇函数，且xR，都有()(2)0f xfx=当(0,1x时，()ln21f xxx=+，则函数()f x 在区间 1 9,2 2上有_个零点 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17（10 分）化简求值（1）()10363263218(2)23649

4、+；学科网（北京）股份有限公司（2）2log 32351log 5 log 9(lg5)lg5 lg 20lg1622+18（12 分）已知集合(2)(5)0Ax xx=+，2135Bx axa=+（1）若2a=，求 AB；（2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 19（12 分）已知函数2()4f xxax=+（1）若关于 x 的不等式()0f x 解集为 R，求实数 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式()0f x 20（12 分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会，也是一个促进全球贸易和交流的重要平台某汽车生产企业想利用 2023 年上海进口博览会这

5、个平台，计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 3000 万元，每生产 x（百辆），需投入流动成本()C x（万元），且2102000,028,()360025046400,28,xxxC xxxx+=+，其中100 xZ由市场调研知道，每辆车售价 25 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（1）写出年利润()S x（万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润（总利润总销售收入-固定成本-流动成本）21（12 分）已知函数2()sin 2sin 22cos133f xxxx=+，Rx（1）求函数()f x 的最

6、小正周期、单调递增区间和对称轴方程；（2）解关于 x 的不等式()1f x ；（3）将函数()f x 的图象向右平移 38 个单位长度后得到()g x 的图象，求函数()2cosyg xx=+在 0,2上的值域 22（12 分）若函数()121xaf x=+为定义在 R 上的奇函数（1）求实数 a 的值，并证明函数()f x 的单调性；（2）若存在实数 1,1x 使得不等式()()14120 xxf kf+能成立，求实数 k 的取值范围 学科网（北京）股份有限公司参考答案：1A【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可【详解】充分性：若sin1x=，则2cos1 sin0 xx=，故充分性成

7、立；必要性：若cos0 x=，则2sin1 cos1xx=，故必要性不成立；故“sin1x=”是“cos0 x=”的充分不必要条件故选：A 2A【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可【详解】解：由22()()1xfxf xx=+，得函数()f x 为奇函数，排除 B 项，由22 24(2)215f=+，得0(2)1f或1x ，即31Ax xx=或；易知220 xx，解得2x 或0 x 或，因此(,0)(3,)AB=+故选：D 5A【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解【详解】由1sin7=，322，600.71，0.7log60=，6000.70.71=，0.70.7log6lo

8、g10=，可知其大小关系为60.70.7log60.76时，11()2144f xxxxx=+=，当且仅当14xx=，即12x=时，等号成立；当0 x 时，2()(2)33f xx=+，则()f x 的图象如图所示，要使方程()0f xa=有四个实根，a 需满足13a，0b，所以 21214(2)442 48baabababab+=+=+=，当且仅当 4baab=，且21ab+=，即12a=，14b=时，取等号，所以 C 正确；对于 D，2242 242 22 2ababab+=，当且仅当2ab=，且21ab+=，即12a=，14b=时，取等号，所以 D 正确故选：ACD 10BCD【分析】逆

9、用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可【详解】A：因为()111sin 45 cos45sin 2 45sin90222=，所以本选项不正确；B：因为223cossincos 2cos12121262=，所以本选项正确；C：因为 13sin 40cos40cos60 sin 40sin 60 cos4022+=+()()sin 6040sin 18080sin80=+=，所以本选项正确；D：因为()2tan 22.5111tan 2 22.5tan 451tan 22.5222=，所以本选项正确，故选：BCD 11ABC【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出

10、解析式后结合正弦型函数性质可得 A、B、C，结合函数图象的平移可得 D【详解】由题意可得741234T=，故T=，则22=，77sin 211212f=+=，学科网（北京）股份有限公司即 72()62kk+=+Z，解得523k=+，又|2 可判断选项 A；根据2()1g xxx=+的单调性，判断()f x 的单调性可判断选项 B；根据()2()ln1h xxx=+的奇偶性可判断选项 C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项 D【详解】对于 A，由210 xx+，得221xx+，即10恒成立，故 A 正确；对于 B，令221()11g xxxxx=+=+，易知()g x 在(0,)+单调递减，且(

11、)(0,1)g x，则()2()ln11f xxx=+在(0,)+单调递减，且()1f x ，故 B 错误；对于 C，令()2()ln1(R)h xxxx=+，则()()1f xh x=+，()()()2222()()ln1ln1ln 10h xhxxxxxxx+=+=+=，()h x为 R 上的奇函数，()()()1()12f xfxh xhx+=+=，1(ln 2)ln(ln 2)(ln 2)22ffff+=+=，故 C 正确；对于 D，由 B 选项知，2()1g xxx=+在(0,)+单调递减，且()(0,1)g x，学科网（北京）股份有限公司()2()ln1h xxx=+在(0,)+单

12、调递减，且()0h x，又(0)0h=，()h x在 R 上单调递减，()()1f xh x=+在 R 上单调递减，对定义域内的任意两个不相等的实数1x，2x，()()12120f xf xxx恒成立，故 D 正确故选：ACD 131,)x+，21xm+【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题 p 的否定是：1,)x+，21xm+故答案为：1,)x+，21xm+1422xx【分析】根据奇函数满足()()f xfx=求解即可【详解】依题意，当0 x，故()yf x=在区间(,0)上的解析式22()()2()()2f xfxxxx

13、x=+=故答案为：22xx 15 36aa在 R 上单调递增，所以当1x 时，一次函数(3)3yax=是增函数，得出30a，即3a；当1x 时，对数函数logayx=是增函数，得出1a；又因为(3)1 3log 1aa ，解得6a；又因为(3)1 3log 1aa ，解得6a；取交集得 36aa；故答案为：36aa 166【分析】由函数()f x 是定义域为 R 的奇函数，学科网（北京）股份有限公司结合()(2)0f xfx=的条件可得函数()f x 的一个周期为 4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数【详解】如图，因为函数()f x 是定义域为 R 的奇函数，所以()()fxf x

14、=，且(0)0f=又()(2)0f xfx=，即()(2)f xfx=，所以函数()f x 的图象关于直线1x=对称，且(2)()()fxfxf x+=，所以(4)(2)()fxfxf x+=+=，所以 4 是函数()f x 的一个周期，所以(0)(2)(4)0fff=易知函数()ln21f xxx=+在(0,1上单调递增，且11ln1 1ln 2022f =+=，所以函数()f x 在区间(0,1)上仅有 1 个零点，且零点在区间 1,12上 由对称性，知函数()f x 在区间(1,2)上有且仅有 1 个零点 因为()f x 是定义域为 R 的奇函数且是 4 是它的一个周期，所以(4)()0

15、fxf x+=，所以函数()f x 的图象关于点(2,0)中心对称，所以函数()f x 在区间(2,4)上有且仅有 2 个零点 因为函数()f x 在区间10,2上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2上没有零点 结合(2)(4)0ff=，得函数()f x 在区间 1 9,2 2上有 6 个零点故答案为：6 17（1）29（2）1【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；（2）利用对数的运算法则计算即可【详解】（1）原式()133234122 34 1 8 1829=+=+=；学科网（北京）股份有限公司（2）原式lg5 lg9lg5(lg5lg 20)2lg 232lg5 lg1002l

16、g 23lg3 lg5=+=+22(lg5lg 2)32231=+=+=18（1）15ABx xx=或（2）73a 或2a 【分析】（1）解不等式得出 A，代入2a=得出 B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；（2）根据已知可推得 BA，B=以及 B ，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案【详解】（1）解(2)(5)0 xx+可得，2x 或5x，所以，25Ax xx=或当2a=时，31Bxx=，所以15ABx xx=或（2）由“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以，BA 又25Ax xx=或，2135Bx axa=+当 B=，有2135aa+，即4a ，显然满足；当 B 时，

17、有2135aa+要使 BA，则有4352aa+或4215aa+，解得743a 或2a 综上所述，73a 或2a 19（1）44a （2）答案见解析【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令0 解出即可；（2）由判别式确定 a 的范围，分类再解不等式即可【详解】（1）由题意0，可得2160a，44a；（2）当0 时，即 44a 时，即4a 时，240 xax+=，解得2162aax+=或2162aax=，原不等式的解集为22161622aaaxxa+学科网（北京）股份有限公司20（1）2105003000,028,()360043400,28xxxS xxxx+=+（2）当年产量为 25

18、百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 3250 万元【分析】（1）根据总利润总销售收入-固定成本-流动成本，代入相关数据运算化简即可（2）当028x时，利用一元二次函数知识，在对称轴处取得最值；当28x 时，利用基本不等式知识，通过变形得36003600()4340043400S xxxxx=+=+，再求最值即可然后通过比较得到利润最大值【详解】（1）当028x时，()22()25001020003000105003000S xxxxxx=+=+当28x 时，36003600()250025046400300043400S xxxxxx=+=+综上，2105003000,028,()36004

19、3400,28.xxxS xxxx+=+（2）当028x时，2()105003000S xxx=+，当25x=时，max()(25)3250S xS=万元 当28x 时，36003600()4340034002 43160S xxxxx=+=，当且仅当30 x=时，等号成立31603250，所以当年产量为 25 百辆时，企业所获利润最大，最大利润为 3250 万元 21（1），单调递增区间为3,88kk+，Zk；对称轴82kx=+，Zk （2）,4xkk+，Zk （3）5 222,4【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得()2 sin 24f xx=+，应用整体代入法即可求解单调

20、区间与对称轴；（2）结合函数图像解不等式；学科网（北京）股份有限公司（3）应用换元法求值域；【详解】（1）2()sin 2sin 22cos133f xxxx=+sin 2 coscos2 sinsin 2 coscos2 sincos23333xxxxx=+sin 2cos22 sin 24xxx=+=+，函数()f x 的最小正周期2T=令222242kxk+，Zk，解得388kxk+，Zk，所以函数()f x 的单调递增区间为3,88kk+，Zk 令 242xk+=+，Zk，解得82kx=+，Zk，所以()f x 的对称轴方程为82kx=+，Zk （2）()1f x 即2 sin 214

21、x+，2sin 242x+，所以3222444kxk+，Zk，解得,4xkk+，Zk （3）由题知3()2 sin 22 sin 22 cos2842g xxxx=+=，则()22 cos22cos2 2cos12cosyxxxx=+=+22 2 cos2cos2xx=+，令cos0,1tx=，则2225 22 2222 244yttt=+=+，当24t=时，max 5 24y=；当1t=时，min 22y=综上可知所求值域为5 222,4 22（1）2a=，证明见解析（2）0k 【分析】（1）由(0)0f=求得 a 的值，运用函数单调性的定义证明即可 学科网（北京）股份有限公司（2）由()f

22、 x 在 R 上的奇函数可得()()1421xxf kf+，由()f x 在 1,1上单调递增可得 1,1x ，1421xxk+成立，进而可得 1,1x ，112 24xxk 成立，令12xt=，运用换元法将问题转化为1,22t，2(1)1kt+，进而求2(1)1yt=+在1,22t上的最小值即可【详解】（1）因为函数()121xaf x=+为定义在 R 上的奇函数，所以(0)102af=，解得2a=，经检验2a=符合题意，所以2()121xf x=+，证明：任取1x，2Rx，且12xx，则()()()()()12122112122 22222211212121212121xxxxxxxxf

23、xf x=+，因为12xx，所以12022xx，所以12220 xx，2210 x+，所以()()120f xf x，即()()12f xf x，所以函数()f x 在 R 上单调递增（2）因为()()14120 xxf kf+，()f x 在 R 上的奇函数，所以()()()1141221xxxf kff+=，由（1）知函数()f x 在 1,1上单调递增，所以 1,1x ，1421xxk+成立，即 1,1x ，112 24xxk 成立，设12xt=，则1,22t，所以1,22t，222(1)1kttt=+，所以2min(1)1kt+，1,22t，设2()(1)1g tt=+，1,22t，则()g t 在 1,12上单调递增，在1,2 上单调递减，又1324g =，(2)0g=，所以min()0g t=，所以0k