浙江省杭州市2023届高三数学上学期11月教学质量检测（杭州一模）（PDF版附答案）.pdf

1、2022学年第一学期期中测试 高三数学试题卷 考生须知：1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。选择题部分 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|5Ax x，|17Bxx，则RC AB （）A.5,7 B.5,7 C.5,7 D.5,7 2.已知复数1322zi,则 1zz 等于 （）A.1 B.0 C.3i D

2、.13i 3.已知2,4a，1,1b，则a 在b 上投影向量为 （）A.3 2 B.3,3 C.322 D.3 3,2 2 4.正整数 2160 的不同正因数的个数为 （）A.20 B.28 C.40 D.50 5.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件。随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过 8 万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响。假设海水中某种环境污染物含量 P（单位：mg/L）与时间t（单位：天）间的关系为：0ktPP e，其中0P 表示初始含量，k 为正常数。令2121PPtt为12,t t之间海水稀释效率，其中12,P

3、P 分别表示当时间为 1t 和 2t 时的污染物含量。某研究团队连续 20 天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照 5 天一期进行记录，共分为四期，即0,5，5,10，10,15，15,20 分别记为 I 期，II 期，III期，IV期，则下列哪个时期的稀释效率最高 （）A.I 期 B.II 期 C.III 期 D.IV 期6.已知2log 3a，3log 5b，4log 8c，则,a b c 的大小关系是 （）Acab Bacb Cbac D abc7.设函数,设是公差为的等差数列,f(a1)f(a2)f(a5),则2315f aa a （）8.已知实数,x y 满足：22xx，22lo

4、g1yy，则2xy的值是 （）A.1 B.2 C.32 D.3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.直线l 经过抛物线24yx的焦点 F，且与抛物线相交于,A B 两点，连接点 A 和坐标原点O 的直线交抛物线准线于点 D，则 （）A.F 坐标为2,0 B.AB 最小值为 4C.DB 一定平行于 x 轴 D.AOB可能为直角三角形10.四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E、F 分别为 BC、CD 的中点，分别沿 AE、AF 及 EF 所在直线把 AEB、A

5、FD和 EFC折起，使 B、C、D 三点重合于点 P，得到三棱锥 PAEF，则下列结论中正确的有 （）A三棱锥 PAEF的体积为 23 BAPFEPF面面 C三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥 PAEF中有三组对棱相互垂直 D若 M 为 AF 的中点，则过点 M 的平面截三棱锥 PAEF的外接球，所得截面的面积的最小值为 54 11.已知函数()Asin()BA00)4f xx（，（）A若()f x 在区间3,44 上单调，则02 B将函数()yf x的图象向左平移 2 个单位得到曲线C，若曲线C 对应的函数为偶函数，最小值为 12 C函数()yf x在区间0，上恰有三个极值点，则

6、91344 D关于 x 的方程2()A+B2f x 在0，上有两个不同的解，则522 ()2cosf xxx na85.0A21.16B21.8C213.16D12.已知()f x 和()g x 都是定义在 R 上的函数，则 （）A若(1)(1)0f xfx，则()f x 的图象关于点（1，0）中心对称 B函数)1(xfy与)1(xfy的图象关于关于直线 x=0 对称 C若()f x 是不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有(1)(1)()xf xxf x,则5()2f f=0 D若方程0)(xgfx有实数解，则)(xfg不可能是512 xx 非选择题部分 三、填空题：本小题共 4 小题，每

7、小题 5 分，共 20 分.13.612 xx的二项展开式中2x 的系数为_.14.已知圆222:C xyr上恰有 2 个点到直线34250 xy距离为 2，当r 为正整数时，写出一个可能的 r 的值为_.15.已知 3f xxx，过点1,t 可作曲线 yf x的三条切线，则t 的范围是_.16.已知双曲线22:1C xy，过点 0,2B的动直线与 C 交于两点 P,Q,若曲线 C 上存在某定点 A 使得PAQAkk为定值，则2 的值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 na中，11a，13nna成公差为 1 的等差数列.（I

8、）求数列 na的通项公式；（II）求数列 na的前n 项和.18.锐角 ABC中，已知1sin 2cos231sin 2cos2BBBB.（I）求角 B；（II）若2a，求 ABC的面积 S 的取值范围.19.三棱台111ABCA B C中，ABC为正三角形，2BC,13CC，111B C,1CCBC.（I）求证：1BCAB；（II）若二面角1BBCA的平面角大小为60o，且在线段1CC 上有点 D 使得平面 DAB 平分四面体1ABCC 的体积，求 BD 与面11BB A A所成角的正弦值.20.某大学有 A，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近

9、 100 天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况(午餐，晚餐)(,)A A(,)A B(,)B A(,)B B甲30 天20 天40 天10 天乙20 天25 天15 天40 天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率()分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率；()记 X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求 X 的分布列和数学期望()E X；()假设 M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去 A 餐厅就餐”，0P M,一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大

10、，证明：|P M NP M N 21.如图，已知 M 是椭圆22143xy 的左顶点，过 M 作两条射线，分别交椭圆于点 A，B，交直线4x 于点C,D.（I）若45oAMB，求 CD 的最小值；（II）设 11,A x y，22,B xy，33,C xy，44,D xy，当12341111yyyy，求证：直线 AB 过定点.22.已知函数2()lnf xaxxx.(I)讨论函数()f x 的单调性;（II）若1a ，函数()()1F xf xx，且,(0,),()()m nmn mF nnF mmn，求 的取值范围.1 2022 学年第一学期期中测试高三数学参考答案一、选择题：本题共 8 小

11、题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BDBCABDB8.解：即22log22yy，令2log2yt，则22tt，由 2xf xx显然为增函数可知2log2xty，从而222txyt.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号9101112答案BCBCDBCDACD三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.19214.写出 4,5,6 中任何一个15.1,016.4516

12、.解：设,A m n，:2PQlykx，1122,P x yQ xy则221mn，22:21PQlykxxy，221450kxkx，12122245,11kxxxxkk 1212112111212222222222242245PAQAkx xnmkxxmnynynkkxmxmx xm xxmmn kn kmnm kmkm ，要使得 为常数，则222222445mnmnnmmm，可得512,225mn或512,225mn ，故245.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17解：（I）易知13nnnab成等差数列，即nbn，从而13nnan5 分 2

13、 （II）令12nnSaaa ，则2332 33nnSn，可知21213333nnnSn ，即211344nnnS 10 分 18解：（I）易知2sincossin1sin 2cos2tan1sin 2cos22coscossinBBBBBBBBBBB，可知3B；5 分（II）11sin13sinsinsin3322sinsin22tanaCSacBaCBAAA 由锐角三角形知022032AA 可得 62A，从而3,2 32S.12 分 19.（I）证明：如图 19-1，取 BC 中点 M 由 ABC为正三角形 AMBC 11/B CMC 且11B CMC 11B MCC为平行四边形 1B M

14、BC 1B MAMM 1BCAMB 面 1BCAB 5 分 （II）由（I）可知二面角1BBCA的平面角即160oAMB，作1B OAM，1,BCAMB BCABC面面 1ABCAMB面面1=ABCAMBAM面面 1B OABC 面 3 以O 为原点，1OB 为 z 轴，OA为 x 轴，平行于 MB 为 y 轴，则130,0,2B,3,0,02A,3,1,02B,3,1,02C,3,0,02M,故1133,0,22CCMB,可知130,1,2C,设面11ABB A 法向量,nx y z，则100BA nBBn,即3033022xyxyz，取31,3,3n，由平面 DAB 平分四面体1ABCC

15、的体积可知 D 为1CC 中点，即33,1,44D，33,2,44BD,设 BD 与面11BB A A 所成线面角为，从而 9sin247247BD nBD n.12 分（）（方法 2）如图 19-2，平面 DAB 平分四面体1ABCC 的体积，D 为1CC 的中点，22192BDDCBC，设1BC 与1B M 交于点 N，则 N 为1B M 的中点，AN 平面11BB C C，13AMB M，由（）知，1AMB为的二面角1BBCA的平面角，0160AMB，1AMB为正三角形，32AN，在1ABB中，112,3BBABAB，1394ABBS；11 1113 34DBBBB C CC DBDBC

16、SSSS，设点 D 到平面1ABB 的距离为 h，4 由11D ABBA DBBVV得：139133 334324h，9 1326h，设 BD 与平面11BB A A所成的角为，则9 247sin247hBD 12 分 20.解：()设事件 C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐”，事件 D 为“乙员工午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐”因为 100 个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的天数为 40，所以30()0.3100P C，40()0.4.100P D 3 分()由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率为

17、 0.1，乙员工午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率为 0.2，记 X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则 X 的所有可能取值为 1、2，所以，所以 X 的分布列为：X 12P 0.1 0.9所以 X 的数学期望()1 0.120.91.9.E X 8 分()由题知|P N MP N M，即1P NMP NMP NP NMP MP MP M,即P NMP NP M，即 P NMP N P NMP NP MP N P NM，即 P NMP NP N P NM，即 P NMP NMP NP N，即|P MNP MN.12 分 21.解：（I）由 tan 451oAMBMAMBMkkkk可得：

18、3434636yyy y，即3436366yyy，5 即334333363672612122166yyyyyyy，当且仅当3621y 取得.5 分（II）设:ABlxtym，代入22143xy 可得：2223463120tytmym，可得122634tmyyt，212231234myyt，设11:22MCylyxx可得：13162yyx，同理34362yyx.从而1212121234121212222211666ty ymyyxxyyyyyyy yy y，即1212240ty ymyy，即1m,从而直线 AB 过定点1,0.12 分 22.解：(I)易知 22210axxafxxxxx，当0a

19、 时，0fx，f x 在0,上递减；当0a 时，220 xxa有正根01814ax，且易知当00,xx时 0fx，f x 递增，当0,xx 时 0fx，f x 递减；综上所述：当0a 时，f x 在0,上递减；当0a 时，f x 在00,x上递增，在0,x 上递减;5 分（II）由题知：11F nF mnmnm，不妨设0mn，令 ln1F xxg xxxxx，则 22ln2xxgxx，令 2ln2h xxx，则6 12h xxx，易知 h x 在20,2上递增，2,2上递减，max202h xh，故 0gx，即 g x 在0,递减，从而 11F nF mnmnm，即 F nF mnnmm，令 T xg xx，即 T x 在0,递减，0Tx在0,上恒成立，可知2ln2xx，由(I)可知 2ln2h xxx有 max225ln222h xh，故5ln 22.12 分