高考数学优质解法讲义.pdf

1、目录第一章 数列11.1等差与等比数列.11.1.1等差数列.11.1.2等比数列.41.1.3差比混合型数列.71.1.4中心对称函数与等差数列.81.2通项公式求法.91.2.1阶差法.101.2.2累加累乘法.111.2.3待定系数法.131.2.4倒数法、对数变换法.161.2.5隔项递推数列通项公式求法.181.3数列求和.211.3.1错位相减法.211.3.2裂项相消法.231.3.3待定系数法裂项.291.3.4区分奇偶项的求和.301.3.5变号数列的绝对值求和.321.3.6类周期数列求和.331.4互嵌式数列组的解题策略.341.5利用“整除”思想求解数列中“不定方程”.

2、371.6数列放缩.391.6.1伪等比变等比.391.6.2二次函数型裂项.401.6.3利用平均不等式放缩.41第二章 向量422.1重心质量法.422.2向量的线性运算.442.3平面向量共线定理.462.4追本溯源,等和线解向量.48I2.5对面的女孩看过来.512.6向量恒等式.532.6.1平行四边形恒等式.532.6.2极化恒等式.532.6.3矩形的两个小性质.572.7四边形对角线向量定理（斯坦纳定理）.582.8向量的形.602.9三角形的心.632.10 向量投影.68第三章 圆锥曲线713.1预备知识.713.2圆.713.2.1圆到直线距离相等点.713.2.2阿波罗

3、尼斯圆.723.2.3同构之两圆方程之差.763.3椭圆直线联立.773.4焦半径与焦三角形.783.4.1焦三角形的心.793.4.2焦三角形角平分线.813.4.3焦三角形求离心率.833.4.4椭圆双曲线共焦点.903.4.5椭圆第二定义.923.4.6原曲焦点弦.933.5准点弦.1013.6点差法.1023.6.1中心弦.1023.6.2非对称韦达.1063.6.3中点弦.1113.6.4圆曲中的 8 字.1163.7定点定值.1183.7.1直角引定点.1183.7.2两垂直弦中点连线过定点.1193.7.3两斜率互为相反数.1213.7.4和双曲线渐近线有关的定值.1233.7.

4、5抛物线的弦引发的结论.1323.7.6抛物线几何平均.1333.7.7中心张直角两半弦.1353.7.8椭圆中有趣的六个定值.1383.7.9伴侣点.142第 II 页3.7.10 抛物线性质归纳.1463.8两点距离公式见奇效.1473.9曲线系与蝴蝶.1523.10 面积最值.1573.11 圆锥曲线中的向量.1603.11.1 共线型.1603.11.2 线性组合型.1623.12 二次曲线的切线.1633.12.1 切线方程.1633.12.2 求出切点.1663.12.3 阿基米德三角形.1683.13 同构原理构造一元二次方程.1743.13.1 双切线及蒙日圆.1743.13.

5、2 蒙日圆即伴随圆.1763.13.3 双斜率.1773.13.4 双定比.1803.13.5“同构法”处理与圆的切线有关的一类问题.1833.14 圆曲中的外接圆方程.187第四章 立体几何1894.1正方体中的截面问题.1894.2翻折问题的探究.1924.3动点位置关系.1964.3.1平行关系.1964.3.2垂直关系.1974.4几何体的外接、内切球.2014.4.1几何体外接球.2014.4.2过球内一点截面圆面积的最值.2134.4.3外接球估算.2144.5异面直线的夹角.2164.6动态求解一组变式立体几何题.2204.7三余弦、三正弦定理.2224.8直棱柱截取后几何体体积

6、.2244.9共面向量定理处理截面.226第五章 三角函数2285.1万能公式.2285.2和差化积公式.2295.3换元求值.2315.4活用导数解三角函数.231阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 III 页5.5简单的平移.2325.6单调性与 的关系.2345.7线性正余弦函数.236第六章 解三角形2376.1三角形解的个数.2376.2常考性质.2376.3面积周长最值.2406.4线段比中构造相似.2436.5三角形中的二倍角.2456.6三角形中的等差等比.2476.7三角形著名定理.2486.8奔驰形状找正弦.2526.9边长比值.2536.10 四边形的四边确

7、定，求面积最值.254第七章 函数2567.1函数的基本性质.2567.1.1奇偶性.2567.1.2周期性与对称性.2627.1.3抽象函数找原型.2697.2比较大小.2707.3热点函数图象.2717.3.1一比一型函数图象.2717.3.2对勾函数图象.2727.3.3一些超越函数的图象.2737.4三次函数.2767.4.1三次函数的单调性.2777.4.2三次函数的切线.2787.4.3三次函数的对称.2807.4.4三次方程中的韦达定理.2817.5讨论含参函数单调性.2817.6两曲线公切线.2827.7巧“变”洛必达.2857.8双变量处理策略.2877.8.1A-L-G 不

8、等式.2877.8.2极值点偏移.2927.8.3“切割线夹”秒解零点差.2947.9同构换元秒解导数题.2977.9.1反函数.297第 IV 页7.9.2同构换元解导数题.2997.10 不等式链.3017.10.1 子依母怀.3017.10.2 换汤不换药.3027.11 泰勒展开.3047.12 经典正弦不等式.3057.13 导数零点问题.3067.13.1 指数函数与分式函数乘积.3067.13.2 虚设零点.3087.13.3 含三角的导数问题.3107.13.4 超越函数零点区间的找点策略.3147.14 母不等式与数列求和.3187.14.1 不等式短边为数字.3187.14

9、.2 不等式短边含 n.3207.15 高考导数试题命制背景.3237.15.1 化曲为直命制背景.3237.15.2 嵌入不等式命制背景.325第八章 排列组合与概率3288.1排列组合方程组解法.3288.2环排涂色问题.3298.3相同元素有序分组的“隔板式”方法.3328.4比赛问题.3328.5映射问题.3338.5.1映射.3338.5.2单射.3338.5.3满射.3348.6灵活分组求概率.3348.7概率问题“浓度”法.3358.8混合方差.3358.9方差和期望的关系.337第九章 不等式3389.1基本不等式.3389.2权方和不等式.3399.3构造平方差求二元最值.3

10、409.4糖水不等式.341第十章 高中数学二级结论342第十一章 变式训练参考答案344知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 V 页第十二章 变式训练答案速递394第 VI 页第一章数列1.1等差与等比数列1.1.1等差数列等差数列性质1.等差数列 an 的通项公式是关于 n 的一次函数,并且一次项系数就是公差.2.等差数列 an 的前 n 项和公式是关于 n 的无常数项的二次函数,并且二次项系数为公差的 12.3.等差数列 an 的前 n 项和 S n=na n+12;4.数列 S 11,S 22,S 33,S nn 亦为等差数列,公差为 d2,(原等差数列公差的一半).5.若

11、 am=n,an=m(m n),则 am+n=0.6.若 am=1n，an=1m(m n)，则 am+n=1.7.若 S m=S n(m n),则 S m+n=0.8.若 S m=n,S n=m(m n),则 S m+n=(m+n).9.anbn=S 2n1T2n1,其中 S n，Tn 为等差数列 an,bn 的前 n 项和.10.若等差数列 an 有 2n 项,则 S 偶 S 奇=nd.11.若等差数列 an 有 2n 1 项,则S 奇S 偶=nn 1.12.等差数列求前 n 项和取最值时对应的 n 值,若利用二次函数的对称轴求法,对称轴靠近那个整数,n 的值就取这个整数;对称轴恰好在两个整

12、数中间,则 n 的值就取这两个整数.证 逐个证明1.an=a1+(n 1)d=nd+a1 d;2.S n=a1n+n(n 1)d2=d2n2+a1 d2n;13.S n=n(a1+an)2=n a1+an2=na n+12;4.由 2 可得;5.若 am=n,an=m(m n),则 am+n=am+(m+n m)m nn m=n n=0;6.若 S m=S n(m 0，S 10 0 时,n 的最大值为 2011.设等差数列 an 满足 a1=3,公差 d (0,10),S n 为其前 n 项和,若数列 S n+1也是等差数列,则 S n+10an+1 的最小值为.12.已知等差数列 an 满足

13、 a21+a25=8,则 a1+a2 的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 3 页13.已知数列 an 满足 a1=21,(2n 5)an+1=(2n 3)an+4n2 16n+15an+2+9,则 an 的最小的一项是()(A)a5(B)a6(C)a7(D)a814.已知单调递增数列 an 满足 a1=0,(an+1+an 1)2=4an+1 an(n N),则 an=.15.已知等差数列 an 满足 a1 0,2020 a2019=2019 a2020,S n 表示 an 的前 n 项和,则S 2019S 2020=.16.设等差数列 an 的前

14、 n 项和为 S n,且 an 0,若 a5=3a3,则 S 5S 9=()(A)59(B)95(C)53(D)52717.记 S n 为递增等差数列 an 的前 n 项和,若数列S nan也为等差数列,则 S 3a3=()(A)3(B)2(C)32(D)118.已知数列 an 的前 n 项和为 S n,若 a1=1,函数 f(x)=x3+an+1 an cos n3 为奇函数,则S 2020=()(A)20232(B)1011(C)1008(D)33619.已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n,若 S 9=54,且 a3=2.(1)求数列 an 的通项公式;(2)证明:1a1+3+1

15、a2+3+1a3+3+1a100+3 13.20.已知 S n 为等差数列 an 的前 n 项和,若 S 2018 S 2020 S 2019,设 bn=anan+1an+2,则数列 1bn的前 n 项和 Tn 取最大值时 n 的值为()(A)2020(B)2019(C)2018(D)20171.1.2等比数列常考性质公比不为 1 时1.等比数列前 n 项和 S n=Aqn A.第 4 页2.等比数列前 n 项和 S n=a1(1 qn)1 q,前 2n 项和 S 2n=a11 q2n1 q,则 S 2nS n=1+qn.3.等比数列前 n 项和 S n 与通项公式 an 成线性关系(充要)S

16、 n=qq 1an a1q 1=1q 1an+1 a1q 1 a1q 1 0例 1.4 等比数列 an 前 n 项和 S n=22n+1+t,则 t=.解 S n=22n+1+t=2 4n+t t=2.例 1.5 已知等比数列 an 的前 n 项和 S n=3n+a,（a 为常数）,则数列a2n的前 n 项和为 S n=()(A)12(9n 1)(B)14(9n 1)(C)18(9n+a)(D)3+a8(9n 1)解 依题意可知 a=1,故 S n=3n 1,所以等比数列 an 的通项公式 an=2 3n1,于是 a21=4,选A.变式训练 EXERCISES21.【2020 全国 II 理】

17、数列 an 中，a1=2，am+n=aman，若 ak+1+ak+2+ak+10=215 25，则 k的值为()(A)2(B)3(C)4(D)522.【2020 全国 I 文】设等比数列 an 满足 a1+a2=4,a3 a1=8.(1)求 an 的通项公式;(2)记 S n 为数列 log3 an 的前 n 项和,若 S m+S m+1=S m+3,求 m.23.【2020 全国新高考 I】已知公比大于 1 的等比数列 an 满足 a2+a4=20,a3=8.(1)求 an 的通项公式;(2)记 bm 为 an 在区间(0,m(m N)中的项的个数,求数列 bn 的前 100 项和 S 10

18、0.24.记 S n 是数列 an 的前 n 项和,若 an=S n2 1,则 S 7=.25.设数列 an 的前 n 项和为 S n,且 2S n=3(an+1),若 a10=ka8,则 k=.26.已知等比数列 an 的前 n 项和为 S n=a 4n1+b(a R,b R),则 ba=.27.在等比数列 an 中,已知 anan+1=9n,则该数列的公比是()(A)3(B)3(C)3(D)9业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 5 页28.数列 an 的前 n 项和为 S n,a1=1,an+an+1=4 3n1,则 S 2020=.29.等比数列 an 前 n 项和为 S n,则

19、“a1 0”是“S 2021 0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件30.等比数列 an 的前 n 项和 S n 满足 S 6S 3=6,则 S 9S 6=()(A)116(B)316(C)56(D)331.【2018 全国 I】S n 为数列 an 的前 n 项和,若 S n=2an+1,则 S 6=.32.公比不为零的等比数列 an 的前 n 项和为 S n,下列说法正确的是()(A)若 an 是递增数列,则 a1 0,q 0,0 q 0,则 S 4+S 6 2S 5(D)若 bn=1an,则 bn 为等比数列33.正项等比数列 an 中

20、,a1a11+2a5a9+a3a13=25,则 a1a13 的最大值是()(A)25(B)254(C)5(D)2534.已知数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 S n，Tn，a1=2，b1=1,且 an+1=a1+2Tn.(1)若数列 an 为等差数列,求 S n;(2)若 bn+1=b1+2S n,证明:数列 an+bn 和 an bn 均为等比数列.35.正项等比数列 an 中,a7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=4a1,则 1m+4n 的最小值为，()(A)32(B)53(C)256(D)不存在36.已知在等比数列 an 中,a1a2a3=1,1a1+1a

21、2+1a3=72,则数列 an 的通项公式为.37.【多选】设等比数列 an 的公比为 q,其前 n 项和为 S n,其前 n 项积为 Tn,并满足条件 a1 1，a2019a2020 1，a2019 1a2020 1 0,下列结论正确的是()(A)S 2019 S 2020(B)a2019a2021 1 0，乙：S n 是递增数列，则()(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件第 6 页(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解 a1=1，q=2 时，S n 是递减数列，充分性不成立，若 S n 是递增数列，则 an+1=S n+1

22、S n 0，可以推出 q 0，故选 A.1.1.3差比混合型数列等比性质等差含等比:利用等比性质:ab=cd=a cb d.例 1.7 等差数列 an 的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则 S 10=.解 由比例的等比性质可知 a2a1=a5a2=a5 a2a2 a1=3dd=3,所以 a2=3a1=3,于是 an=2n 1,可得S n=n2,所以 S 10=100.例 1.8 等差数列 an 的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则 S n=()(A)n(n+1)(B)n(n 1)(C)n(n+1)2(D)n(n 1)2解 由比例的等比性质可知 a

23、4a2=a8a4=a8 a4a4 a2=4d2d=2,所以 a4=2a2,又 a4=a2+4,所以 a2=4,于是 an=2n,可得 S n=n(n+1),故选 A.变式训练 EXERCISES38.已知等差数列 an 的首项为 5,公差不为零,且 a2,a4,a5 成等比数列,则 a2020=()(A)12(B)32(C)32(D)201439.记 S n 为等差数列 an 的前 n 项和,已知 a1=4,公差 d 0,a4 是 a2 与 a8 的等比中项.(1)求数列 an 的通项公式;(2)求数列 1S n的前 n 项和 Tn.40.已知等差数列 an 的公差不为零,且 a2,a3,a9

24、 成等比数列,则 a2+a3+a4a4+a5+a6=()(A)13(B)38(C)37(D)35敏而好学，不耻下问。孔子第 7 页41.在公差大于 0 的等差数列 an 中,2a7 a13=1,且 a1,a3 1,a6+5 成等比数列,则数列(1)n1an 的前 21 项和为.例 1.9 已知等比数列 an 的通项公式为 an=3n，等差数列 bn 的通项公式为 bn=4n+3将数列an 与 bn 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一新数列 cn，求数列 cn 的通项公式分析 求等差数列与等比数列的公共项，可以将等比数列通项中的底数写成等差数列公差的整数倍与一常数(小于公差)的和与差，用

25、二项式定理展开，根据整数的性质得到相应字母所满足的条件解 设 3k=4m+3（k,m N），即(4 1)k=4m+3，用二项式定理展开得C0k 4k C1k 4k1+Ck1k 4 (1)k1+(1)k=4(m+1)1结合等式左右两边的形式知 k 必为奇数，而 4(m+1)1 7，则 k 的最小值为 3，故 cn=32n+1.例 1.10 设 an 是公比大于 1 的等比数列，S n 是数列 an 的前 n 项和，已知 S 3=7，且 a1+3，3a2，a3+4 构成等差数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)已知 bn 的通项公式为 bn=3n 1令集合 A=a1,a2,an,，B=b1,b

26、2,bn,，将集合 A B 中的元素按从小到大的顺序排列构成数列记为 cn，求数列 cn 的前 45 项的和 T45.解(1)an=2n1；(2)易知数列 an 与 bn 的公共项组成的数列 dn 是数列 an 的偶数项，因此数列 cn 的项就是将 bn 中的项按顺序排列好后，将 an 中奇数项按大小插入即可由于 b41=122，a1=1，a3=4，a5=16，a7=64，a9=256 122，故数列 cn 的前 45 项是由 bn 前 41 项与 an 中奇数项 a1，a3，a5，a7 构成，所以 T45=41(2+122)2+85=2627.1.1.4中心对称函数与等差数列中心对称函数与等

27、差数列已知中心对称函数 f(x)的对称中心为(h,k),且 f(x)为单调函数,数列 an 是公差不为 0 的等差数列,若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(an)=nk,则 a1+a2+a3+an=nh.例 1.11 设函数 f(x)=(x3)3+x1，an 为公差不为零的等差数列，f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a7)=14，则 a1+a2+a3+a7=.第 8 页解 易知 f(x)=(x 3)3+(x 3)+2，所以对称中心为(3,2)，由 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a7)=14=7 2 可知 a1+a2+a3+a7=7 3=21.例 1.12 设函数 f(x

28、)=sin x+tan x,项数为 27 的等差数列 an 满足 an 2,2,且公差 d 不为零,若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a27)=0,则当 k=时,f(ak)=0.解 易知 f(x)的对称中心为(0,0),所以 f(a1)+f(a2)+f(a27)=0,可知a1+a2+a27=0 a14=0例 1.13 设函数 f(x)=ex ex，若函数 h(x)=f(x4)+x，则函数 h(x)的图象的对称中心为；若数列 an 为公差不为零的等差数列，a1+a2+a3+a11=44，则 h(a1)+h(a2)+h(a3)+h(a11)=.解 函数 h(x)的图象的对称中心为(4,4

29、)，h(a1)+h(a2)+h(a3)+h(a11)=4 11=44.变式训练 EXERCISES42.设函数 f(x)=2x cos x,an 是公差为 8 的等差数列,若 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a5)=5,则 f(a3)2 a1a5=()(A)0(B)1162(C)182(D)1316243.设函数 f(x)=sin 2x+2 cos2 x,等差数列 an 满足 a11=38,记 bn=f(an),则数列 bn 的前 21项和为.44.已知数列 an 的前 n 项和 S n=12+2an,设 f(x)=ex e2x+1,则 f(log2 a1)+f(log2 a2)+f(

30、log2 a7)的值等于()(A)0(B)1(C)7(D)141.2通项公式求法数列通项公式是数列的核心,如同函数的解析式,因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点.总结:数列通项公式的求法见下表海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 9 页数列通项公式的求法已知前几项观察法形如 an+1=p an+f(n)的递推式待定系数法已知前 n 项和 S n阶差法形如 an+1=panqan+p 的递推式取倒法an+1=an+f(n)累加法an+1=A an+B Cnan+1=p an+qan1an相除法an+1=an f(n)累乘法an+1=p arn对数法1.2.1阶差法阶差法S n

31、 是数列 an 的前 n 项和,把已知关系通过 an=S 1,n=1S n S n1n 2转化为 an 或 S n 的递推关系.例 1.14 已知正项数列 an 中,S n 是其前 n 项和,并且 S n=14(an+1)2,求数列 an 的通项公式.解 当 n=1 时,4a1=(a1+1)2 a1=1，当 n 2 时，S n=14(an+1)2S n1=14(an1+1)2两式做差得 an an1=2，所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.故 an=2n 1.例 1.15【多选】已知数列 an 中，a1=1，a2=2，且 n 1，其前 n 项和 S n 满足 S n+1+S

32、n1=2(S n+1),则()(A)a7=13(B)a8=14(C)S 7=43(D)S 8=64解 由 S n+1+S n1=2(S n+1),得 an+1 an=2(n 2),又因为 a2 a1=1,所以数列 an 从第二项起为等差数列,且公差 d=2,于是 a7=12，a8=14,所以 A;B;又 S 7=43,S 8=57,所以 C;D.变式训练 EXERCISES45.【2020 江苏】设 an 是公差为 d 的等差数列,bn 是公比为 q 的等比数列,已知 an+bn 的前n 项和 S n=n2 n+2n 1(n N),则 d+q 的值是.46.已知数列 an 的前 n 项和为 S

33、 n,且满足 a1+3a2+3n1an=n,则 S 4=.47.已知数列 an 的前 n 项和为 S n,S n=2an 2,若存在两项 am,an,使得 am an=64,则 1m+16n的最小值为()第 10 页(A)256(B)215(C)92(D)17348.已知正项数列 an 中,S n 是其前 n 项和,并且 2S n=an+1,则数列 an 7 的前 n 项和 Tn 的最小值为()(A)494(B)72(C)72(D)1249.已知数列 an 中,S n 是其前 n 项和,并且 S n+S n+1=2n2+3n,若 an an+1,则首项 a1 的取值范围是.50.若数列 an

34、满足 a1+4a2+7a3+(3n 2)an=(n 1)4n+1+2 对 n N 恒成立,且 an 的前n 项和为 S n,则使方程 32(S n 16)=2019 成立的所有正整数 n 的集合是.51.数列 an 满足 a1+2a2+3a3+nan=2n 1(n N),则 an=,若存在 n N 使得an n+1n 成立,则实数 的最小值为.1.2.2累加累乘法累加法形如 an+1 an=f(n)的递推公式.这是广义的等差数列.例 1.16 已知数列 an 满足 an+1 an=3n+2(n N),且 a1=2,求数列 an 的通项公式.解 由 an+1 an=3n+2 an+1=a1+ni

35、=1(3i+2)=2+n(3n+7)2,所以 an=3n2+n2.例 1.17 已知数列 an 满足 an+1 an=1n2+n(n N),且 a1=12,求数列 an 的通项公式.解 根据题意,an+1=a1+ni=11i2+i an+1=12+ni=11i2+i,又根据裂项相消法(详见本书 23 页第1.3.2 节),ni=11i2+i=1 1n+1,所以 an+1=12+1 1n+1 an=32 1n.变式训练 EXERCISES52.已知数列 an 满足 an+1=an+2n(n N),且 a1=32,则 ann 的最小值为()(A)82 1(B)525(C)313(D)1053.已知

36、数列 an 满足 an+1=an+2n+2,且 a1=2,则 1a1+1a2+1a20的值为()(A)1910(B)1920(C)1021(D)2021穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 11 页54.已知数列 an 满足 an+1=an+2 3n+1,且 a1=3,则 an=.55.已知等比数列 an 的首项为 1,公比为 2,数列 bn 满足 b1=a1,b2=a2,bn+2=2bn+1 bn+2.(1)证明数列 bn+1 bn 为等差数列,求数列 bn 的通项公式;(2)求数列bnan的最大项.累乘法形如 an+1an=f(n)的递推公式.这是广义的等比数列.例 1.18 已知数列 an

37、 满足 an+1an=n+2n,且 a1=1,求数列 an 的通项公式.解 由分母减去分子(大减小)除以 n 的系数得(n+2)n1=2,可知 an+1a1=(n+2)(n+1)1 2=(n+2)(n+1)2 an=n(n+1)2.例 1.19 已知数列 an 是首项为 1 的正项数列,满足(n+1)a2n+1 na2n+anan+1=0,则 an 的通项公式 an=.解 对式子(n+1)a2n+1 na2n+anan+1=0 十字相乘可得(n+1)an+1 nan(an+1+an)=0,解得an+1an=nn+1,由分母减去分子(大减小)除以 n 的系数得(n+1)n1=1,可知 an+1a

38、1=1n+1 an+1=1n+1 an=1n.变式训练 EXERCISES56.已知数列 an 满足 an+1=1+2nan,且 a1=2,求数列 an 的通项公式.57.已知正项数列 an 满足(n+1)a2n+1 na2n+an+1an=0,且 a1=1,则数列 an 的通项公式an=.58.已知数列 an 满足 2(n+1)an nan+1=0,且 a1=4,则()(A)ann为等差数列(B)an 为递增数列(C)an 的前 n 项和 S n=(n 1)2n+1+4(D)an2n+1的前 n 项和 Tn=n2+n2第 12 页1.2.3待定系数法方法 1.1.一次函数型形如 an+1=c

39、an+d 的类型,其中 c 0,a1=a.当 c=1 时,数列 an 为等差数列.当 d=0 时,数列 an 为等比数列.当 c 1,且 d 0 时,数列 an 为线性递推数列.注 构造 an+1+=c(an+),转化为等比数列.例 1.20 已知数列 an 满足 an=3an1+2(n 2,n N),且 a1=1,求数列 an 的通项公式.解 设an+=3(an1+)an=3an1+2(1.1)由题设an=3an1+2(1.2)比较(1.1),(1.2)两式可得 =1,故 an+1=3(an1+1),因此数列 an+1 是首项为 2,公比为3 的等比数列,所以 an+1=(a1+1)3n1=

40、2 3n1 an=2 3n1 1.例 1.21 已知数列 an 的前 n 项和 S n 满足 S n+an=2n+1(n N),则 an 的通项公式 an=.解 当 n=1 时,a1+a1=3 a1=32，当 n 2 时,S n+an=2n+1S n1+an1=2n 1两式做差得an=12an1+1(1.3)设an+=12(an1+)an=12an1 12(1.4)比较(1.3),(1.4)两式可得 =2,故 an 2=12(an1 2),因此数列 an 2 是首项为 32 2=12,公比为 12 的等比数列,所以 an 2=1212n1=12n an=2 12n.变式训练 EXERCISES

41、59.已知数列 an 满足 an+1=23an+1(n N),且 a1=1,则 an 的通项公式 an=.60.已知数列 an 的前 n 项和 S n=3an 2n(n N),若 an+成等比数列,则实数 =.读书破万卷，下笔如有神。杜甫第 13 页61.设数列 an 的前 n 项和为 S n，S n=3an 2n，bn=an+2，cn=1bn.(1)证明:bn 为等比数列,并求 an；(2)记 Tn 为 cn 的前 n 项和,Tn 0,p 0.注 取对数,构造等比数列或第 13 页一次函数型的做法构造等比数列.解 原等式两边取对数 logd an+1=logd(parn)=r logd an

42、+logd p,换元,令 bn=logd an,可得 bn+1=rbn+logd p,构造第 13 页一次函数型的做法构造等比数列.例 1.27 已知数列 an 满足 an+1=a2n,且 a1=3,求数列 an 的通项公式.解 取以 3 为底的对数,得 log3 an+1=2 log3 an.即数列 log3 an 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以 log3 an=2n1 an=32n1.例 1.28 已知数列 an 满足 an+1=110 a2n,且 a1=1,求数列 an 的通项公式.解 取对数 lg an+1=lg 110 a2n=2 lg an 1,令 bn=lg an,则

43、bn+1=2bn 1(1.6)设bn+1+=2(bn+)bn+1=2bn+(1.7)由式(1.6),(1.7)可得 =1,因此数列 bn 1 为首项等于 1,公比为 2 的等比数列,于是bn 1=(1)2n1 bn=1 2n1,所以 an=1012n1.例 1.29 已知正项数列 an 满足 an=2a2n1(n N,n 2),且 a1=1,求数列 an 的通项公式.解 取对数 log2 an=log2(2a2n1)=2 log2 an1+1 log2 an+1=2(log2 an1+1),令 bn=log2 an+1,则数列 bn 为首项等于 log2 1+1=1,公比为 2 的等比数列,于

44、是 bn=2n1 log2 an=2n1 1 an=22n11,所以 an=22n11.例 1.30 已知正项数列 an 满足 an=2 an1(n N,n 2),且 a1=1,求数列 an 的通项公式.解 取对数 log2 an=log2(an1)=12 log2 an1+1 log2 an 2=12(log2 an1 2),令 bn=log2 an 2,则数列 bn 为首项等于 log2 1 2=2,公比为 12 的等比数列,于是 bn=22n log2 an=2 22n an=2222n,所以 an=2222n.例 1.31 已知数列 an 的首项 a1=2,an+1=an+6an+2+

45、9,则 a27=()三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 17 页(A)7268(B)5068(C)6398(D)4028解 依题意,an+1=an+6an+2+9=(an+2)+2 an+2 3+32 2,所以an+1+2=(an+2)+2 an+2 3+32=an+2+32(1.8)于是an+1+2=an+2+3(1.9)所以数列 an+2是以 2 为首项,公差为 3 的等差数列,于是a27+2=80,所以 a27=6398,选C.1.2.5隔项递推数列通项公式求法类型 11 an an2=d，n=3,4,5,2anan2=q，n=3,4,5,这是隔项递推数列最简单也最基本的递推公式，

46、一般用等差（比）数列通项公式直接求解.例 1.32 已知 an 是由非负整数组成的数列，满足 a1=0，a2=3，an=an2+2，n=3,4,5,，求数列 an 的通项公式.解 易知奇数项是以 0 为首项，2 为公差的等差数列，偶数项是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，则a2k1=0+2(k 1)(1.10)a2k=3+2(k 1)=2k+1(1.11)式(1.10)中令 n=2k 1 解得 k=n+12，故an=2n+12 1=n 1(n为奇数)(1.12)同理an=n+1(n为偶数)(1.13)于是 an=n 1(n为奇数)n+1(n为偶数)或 an=n+(1)n.例 1.33 已知

47、数列 an 和 bn 满足 a1=1，a2=2，an 0，bn=anan+1，且 bn 是以 q 为公比的等比数列.(1)证明:an+2=anq2；(2)求数列 an 的通项公式.第 18 页解(1)由 bn+1=bnq 可得an+1an+2anan+1=an+2an=q，an+2=anq2.(2)an+2=anq2，易知奇数项是以 1 为首项，q2 为公比的等比数列，偶数项是以 2 为首项，q2为公比的等比数列，则a2k1=a1 (q2)k1=q2k2a2k=a2 (q2)k1=2q2k2，于是 an=qn1(n为奇数)2qn2(n为偶数)类型 21 an an2=f(n)，n=3,4,5,

48、2anan2=f(n)，n=3,4,5,这类问题都可以采用累加法、累乘法处理.例 1.34 已知数列 an 中，a1=1，a2k=a2k1+(1)k，a2k+1=a2k+3k，其中 k=1,2,3,.(1)求 a3，a5；(2)求数列 an 的通项公式.解(1)a3=3，a5=13；(2)依题a2k=a2k1+(1)k(1.14)a2k+1=a2k+3k(1.15)两式合并可得 a2k+1 a2k1=3k+(1)k，由累加法a2k+1 a2k1=3k+(1)ka2k1 a2k3=3k1+(1)k1 a3 a1=3+(1)a2k+1 a1=32(3k 1)+12(1)k 1，a2k+1=3k+1

49、2+12(1)k 1，于是a2k=a2k1+(1)k=3k2+12(1)k1 1+(1)k=3k2+12(1)k 1因此 an=3n22+12(1)n12 1(n为奇数)3n22+12(1)n2 1(n为偶数)例 1.35 已知数列 an 中，a1=1，a2=2，an=2nan2，其中 n=3,4,，求数列 an 的通项公式.人生的价值，并不是用时间，而是用深度量去衡量的。第 19 页解 采用累乘法，当 n 为偶数时，an=anan2 an2an4 an4an6 a4a2 a2=2n+(n2)+(n4)+4+1=2n2+2n44当 n 为奇数时，an=anan2 an2an4 an4an6 a

50、3a1 a1=2n 2n2 2n4 23 1=2n+(n2)+(n4)+3=2(n1)(n+3)4因此 an=2(n1)(n+3)4(n为奇数)2n2+2n44(n为偶数)类型 31 an+1+an=f(n)，2 an+1an=f(n)例 1.36 已知数列 an 中，a1=1，a2=4，an+1+an=3n+2，求数列 an 的通项公式.解 依题意an+1+an=3n+2(1.16)an+1+an+2=3n+5(1.17)(1.17)(1.16)得 an+2 an=3，易知奇数项是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，偶数项是以 4为首项，3 为公差的等差数列，则a2k1=1+3(k 1)=

51、3k 2(1.18)a2k=4+3(k 1)=3k+1(1.19)式(1.18)中令 n=2k 1 解得 k=n+12，故an=3n 12(n为奇数)(1.20)同理an=3n+22(n为偶数)(1.21)于是 an=3n 12(n为奇数)3n+22(n为偶数)或 an=3(1)n+6n+14.例 1.37 已知数列 an 中，a1=1，an+1an=4 3n，求数列 an 的通项公式.第 20 页解 易知 a2=12，an+1an=4 3n，an+2an+1=4 3n+1，两式相除可得 an+2an=3，仿照例 1.33 的做法可得 an=3n12(n为奇数)12 3n22(n为偶数).变式

52、训练 EXERCISES71.已知各项全不为零的数列 an 的前 n 项和为 S n，且 S n=12anan+1，其中 a1=1，求数列 an的通项公式.72.数列 an 满足 a1=1，a2=2，an+2=1+cos2 n2an+sin2 n2，n=1,2,3,，求数列 an 的通项公式.73.数列 an 的前 n 项和为 S n，满足 S n S n2=3 12n1(n 3)，且 S 1=1，S 2=32，求数列 an 的通项公式.74.已知数列 an 满足 an 0，a1=1，an an+1=S n 1，是否存在，使得数列 an 为等差数列.75.已知数列 an 满足 an 0，a1=

53、1，a2=2，an+2an=，是否存在，使得数列 an 为等比数列.1.3数列求和1.3.1错位相减法方法 1.6.错位相减法当数列 an 的通项公式为等差和等比之积时,即 an=(an+b)qn 时,求数列 an 的前 n 项和 S n 可用错位相减法.解法一 当数列 an 的通项公式为等差和等比之积时,即 an=(an+b)qn 时,求数列 an 的前 n 项和 S n 可用错位相减法.S n=a1+a2+a3+an1+an=(a+b)q+(2a+b)q2+a(n 1)+b qn1+(an+b)qn(1.22)qS n=(a+b)q2+(2a+b)q3+a(n 1)+b qn+(an+b)

54、qn+1(1.23)人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 21 页(1.22)(1.23)得(1 q)S n=(a+b)q+a (q2+q3+qn)(an+b)qn+1=(a+b)q+a q2(1 qn1)1 q(an+b)qn+1 S n=(a+b)q+a q2(1qn1)1q(an+b)qn+11 q解法二 当数列 an 的通项公式为等差和等比之积时,即 an=(an+b)pn 时,求数列 an 的前 n 项和 S n 可用错位相减法.具体公式如下：S n=(An+B)pn B.这里 A=app 1,B=a1 App 1.例 1.38 已知数列 an 的通项公式为 a

55、n=(2n 1)2n,求其前 n 项和 S n.解 依题意a=2,p=2 A=app 1=41=4a=2,p=2,a1=2 B=a1 App 1=2 81=6 S n=(4n 6)2n+6例 1.39 已知数列 an 的前 n 项和 S n 满足 S n+2n=2an.(1)证明：数列 an+2 是等比数列,并求数列 an 的通项公式 an;(2)若数列 bn 满足 bn=log2(an+2),设 Tn 是数列bnan+2的前 n 项和,求证:Tn 32.解 依题意(1)an=2n+1 2;(2)证 cn=bnan+2=n+12n+1=12n+12 12n.a=12,p=12 A=app 1=

56、12a=12,p=12,c1=14 B=c1 App 1=32 Tn=32 12n+3212n 32变式训练 EXERCISES76.【2020 全国 I 理】设 an 是公比不为 1 的等比数列,a1 为 a2,a3 的等差中项.(1)求 an 的公比;第 22 页(2)若 a1=1,求数列 nan 的前 n 项和.77.【2020 全国 III 理】设数列 an 满足 a1=3,an+1=3an 4n.(1)计算 a2,a3,猜想 an 的通项公式并加以证明;(2)求数列 2nan 的前 n 项和 S n.78.已知数列 an 的前 n 项和 S n 满足 S n=12n2+kn,k N,

57、且 S n 的最大值为 8.(1)确定常数 k,求 an;(2)求数列9 2an2n的前 n 项和 Tn.1.3.2裂项相消法等差型等差数列 an 的各项不为零,公差为 d 时,则1anan+1=1d 1an1an+1.常见样式11 2+12 3+1n(n+1)=1 1n+1;11 3+13 5+1(2n 1)(2n+1)=121 12n+1;11 3+12 4+1n(n+2)=1+12 1n+1 1n+2.例 1.40 已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n,a2=2,S 7=28,则数列1anan+1的前 2020 项和为()(A)20202021(B)20182020(C)2018

58、2019(D)20212020解法一 由等差数列前 n 项和公式可知 S 7=7a4=28 a4=4,所以 an=n,于是1anan+1=1n 1n+1,所以11 2+12 3+12020 2021=1 12021=20202021.选 A.解法二 由等差数列前 n 项和公式可知 S 7=7a4=28 a4=4,谁要游戏人生，他就一事无成。第 23 页所以 an=n,由大根 n 上可知1n(n+1)的前 2020 项和为 20202021.选 A.例 1.41 等差数列 an 的前 n 项和为 S n,a3=3,S 4=10,则nk=11S k=.解 由等差数列前 n 项和公式可知 S 4=4

59、a2.5=10 a4=4,所以 an=n,于是 1S n=21n 1n+1,所以nk=11S k=2nn+1.例 1.42 已知数列 bn 的通项公式 bn=n,设数列1bnbn+2的前 n 项和为 Tn,求证：Tn 34.解 裂项1bnbn+2=121n 1n+2,由此可得ni=11n(n+2)=12 1+12 1n+1 1n+2 34变式训练 EXERCISES79.设正项数列 an 的前 n 项和为 S n,且对于所有的自然数 n，an 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项.(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn=8anan+1,数列 bn 的前 n 项和为 Tn,

60、证明:23 Tn 1.80.等差数列 an 的首项为 2,公差不为 0,且 a23=a1a7,则数列1anan+1的前 2019 项和为()(A)10092020(B)20194042(C)10094042(D)2019202181.已知数列 an 的前 n 项和为 S n,点(n,S n)在函数 y=12 x2+112 x 的图象上,(1)求数列 an 的通项公式;(2)设 cn=1(2an 11)(2an 9),数列 cn 的前 n 项和为 Tn,若不等式 Tn k2018,求整数 k 的最小值.82.已知正数数列 an 的前 n 项和为 S n 满足 4S n=a2n+2an.(1)求数

61、列 an 的通项公式;第 24 页(2)记 bn=1(an+1)2,设数列 bn 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn 1，且 b4+b5+b6=56，b5+4 是 b4，b6 的等差中项.(1)求数列 an 和 bn 的通项公式.(2)求数列bn+1a2n 1的前 n 项和 Tn.84.已知数列 an 为正项等比数列,a1=1,数列 bn 满足 b2=3,且a1b1+a2b2+anbn=3+(2n 3)2n.(1)求数列 an 的通项公式 an；(2)求数列1bnbn+1的前 n 项和为 Tn.85.已知数列 an 的前 n 项和 S n,且 a1=1,.给出下列三个条件:1数列 an 为等比

62、数列,数列 S n+a1 也为等比数列;2点(S n,an+1)在直线 y=x+1 上;32na1+2n1a2+2an=nan+1.在上面的三个条件中任选一个补充在横线上,完成下面的解答(1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn=1log2 an+1 log2 an+3,求数列 bn 的前 n 项和 Tn.86.设数列 an 的前 n 项和为 S n,且 S n=n2+2n.(1)求 an 的通项公式 an;(2)若 bn=an+1an+anan+1,求数列 bn 的前 n 项和为 Tn.87.设数列 an 满足 a1=4,且当 n 2 时,(n 1)an=n(an1+2n 2).(1)求

63、证:ann为等差数列;(2)记 bn=2n+1a2n,求数列 bn 的前 n 项和为 S n.88.已知等比数列 an 的前 n 项和为 S n，a2a7=3a24，且 3,S 4,9a3 成等差数列.(1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn=(1)nan+1n(n+1),求数列 bn 的前 n 项和 Tn.为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 25 页无理型该类型的特点是,分母为两个根式之和,这两个根式的平方差为常数,然后通过分母有理化,来达到消项的目的,有时在证明不等式时,常常把分母放缩成两个根式之和,来达到消项化简的目的.常见样式:1n+1+n=n+1 n.例 1.43 求证:2

64、n+1 2 1+12+13+1n 2n+1+n=2(n+1 n)(n 2,n N)所以1+12+13+1n 2(2 1)+2(3 2)+2(n+1 n)=2n+1 2又因为1n=22 n 1+2(2 1)+2(3 2)+2(n n 1)=2 n 1变式训练 EXERCISES89.正项数列 an 中,a1=1,a2=3,a2n+1 a2n=a2n a2n1(n 2),则数列1an+an+1的前 60 项和为.90.等差数列 an 的前 n 项和 S n,且 a3=2,S 9=54.(1)求数列 an 的通项公式 an;(2)证明:1a1+3+1a2+3+1a100+3 13.第 26 页指数型

65、由于(a 1)an=an+1 an,所以一般地有(a 1)an(an+b)(an+1+b)=1an+b 1an+1+b注 待定系数法裂项.例 1.44 已知数列 an 的首项为 3,点(an,an+1)在直线 y=4x 上,(1)求数列 an 的通项公式;(2)设数列 an 的前 n 项和为 S n,bn=an+1(an+1 3)S n+1(n N),求数列 bn 的前前 n 项和 Tn.解 依题(1)容易解得 an=3 4n1;(2)因为 S n=3(1 4n)1 4=4n 1，所以 bn=3 4n3(4n 1)(4n+1 1)，设3 4n3(4n 1)(4n+1 1)=A4n 1+B4n+

66、1 1，通分整理得 A4n+1 1+B 4n 1=4n，即(4A+B)4n (A+B)=4n，于是 A=13，B=13，所以bn=3 4n3(4n 1)(4n+1 1)=1314n 1 14n+1 1 Tn=1314 1 142 1+14n 1 14n+1 1=19 13 4n+1 3变式训练 EXERCISES91.已知数列 an 的前 n 项和 S n,且 S n=2an a1(n N),数列 bn 满足 b1=6,bn=S n+1an+4.(1)求数列 an 的通项公式;(2)记数列 1bn的前 n 项和为 Tn,证明:Tn 12.92.已知等比数列 an 的前 n 项和 S n(S n

67、 0),满足 S 1,S 2,S 3 成等差数列,且 a1a2=a3.好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰。都德第 27 页(1)求数列 an 的通项公式;(2)记 bn=3an(an+1)(an+1+1),求数列 bn 的前 n 项和为 Tn.93.已知数列 an 满足 an+1 2an+2=0,且 a1=8.(1)证明数列 an 2 为等比数列;(2)设 bn=(1)nan(2n+1)(2n+1+1),记数列 bn 的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n N,m Tn 恒成立,求 m 的取值范围.94.已知数列 an 的前 n 项和为 S n,若 a1=2,且 S n=an+1,设 b

68、n=S n(1+S n)(1+S n+1),数列 bn 的前 n 项和为 Tn.(1)求数列 an 的通项公式;(2)证明:Tn 0,n N,则 logaan+1an=loga an+1 loga an.例 1.45 已知数列 an 的通项为 an=lg n+1n,若其前 n 项和 S n=2,则 n=.解 依题意,an=lg(n+1)lg n,所以S n=lg 2 lg 1+lg 3 lg 2+lg(n+1)lg n=lg(n+1)lg 1=2,即 n=99.三角函数型tan tan =tan()(1+tan tan).例 1.46 在 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2

69、个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lg Tn(n 1).(1)求数列 an 的通项公式;(2)设 bn=tan an tan an+1,求数列 bn 的前前 n 项和 S n.解(1)利用倒序相乘不难得到 an=n+2；(2)tan(n+3)(n+2)=tan(n+3)tan(n+2)1+tan(n+2)tan(n+3)=tan 1,tan(n+2)tan(n+3)=tan(n+3)tan(n+2)tan 1 1,第 28 页所以S n=tan(1+2)tan(1+3)+tan(2+2)tan(2+3)+tan(n+2)tan(n+3)=tan(1+3)t

70、an(1+2)tan 1+tan(2+3)tan(2+2)tan 1+tan(n+3)tan(n+2)tan 1 n=tan(n+3)tan 3tan 1 n混合型1n(n+1)(n+2)=12(n+1)1n 1n+2=121n(n+1)1(n+1)(n+2).例 1.47 已知数列 bn 的通项为 bn=n 2n1,求和:b3b1b2+b4b2b3+bn+2bnbn+1.解 依题 bn+2bnbn+1=(n+2)2n+1n2n1(n+1)2n=n+2n(n+1)2n2=2(n+1)nn(n+1)2n2=1n2n3 1(n+1)2n2，所以 S n=11 22 12 21+12 21 13 2

71、0+1n2n3 1(n+1)2n2=4 1(n+1)2n2.变式训练 EXERCISES95.已知数列 an 的前 n 项和为 S n,且 a1=2,2S n=(n+1)an.(1)求 S n;(2)若 bn=an+1S n+1S n,数列 bn 的前 n 项和为 Tn,证明:Tn 12.1.3.3待定系数法裂项例 1.48 已知等差数列 an 的通项公式 an=1(2n 1)(2n+1)，请裂项.解 设 an=1(2n 1)(2n+1)=A2n 1+B2n+1，所以 A(2n+1)+B(2n 1)=1，即(2A+2B)n+(A B)=1，故2A+2B=0A B=1A=12B=12，所以an=

72、1(2n 1)(2n+1)=1212n 1 12n+1.例 1.49 数列 an 的前 n 项和为 S n,且 2S n=n2+n(n N)，设 bn=(1)n a2n+1an an+1，则数列 bn 的前 n 项和 Tn=.解 易知 bn=(1)n 2n+1n(n+1)，令 2n+1n(n+1)=An+Bn+1，所以 A(n+1)+Bn=2n+1，即无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 29 页(A+B)n+A=2n+1，故A+B=2A=1A=1B=1，所以 bn=(1)n1n+1n+1.当 n 为偶数时，Tn=11 12+12+13+13 14+1n 1 1n+1n+1n

73、+1=1n+1 1=nn+1当 n 为奇数时，Tn=Tn1+bn=n 1n1n+1n+1=n+2n+1故 Tn=nn+1,n=2kn+2n+1,n=2k 1(k N)例 1.50 数列 bn 的通项公式 bn=n+14n2(n+2)2，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 564.解 令n+14n2(n+2)2=An+Bn2+Cn+2+D(n+2)2，通分系数对应相等得A=C=0B=116D=116，所以bn=116 1n2 1(n+2)2.于是Tn=11611+122 1(n+1)2 1(n+2)2 0,ak+1,an k证 依题意1当 n k 时,|a1|+|a2|+|a3|+|

74、an|=a1+a2+a3+an=n(a1+an)2;2当 n k 时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=a1+a2+a3+ak (ak+1+an)=S k (S n S k)=2S k S n第 32 页先负后正型设 a1,a2,ak 0,则|a1|+|a2|+|a3|+|an|=n(a1+an)2,n k2S k+S n,n k例 1.54 已知数列 an 的通项公式为 an=10 2n,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解|a1|+|a2|+|a3|+|an|=n2+9n,n 5n2 9n+40,n 5.变式训练 EXERCISES97.已知数列 an 的通项公式为 an=1

75、1 n,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.98.已知数列 an 的通项公式为 an=53 3n,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.1.3.6类周期数列求和形如 dn=anbn+cn（其中 bn 为周期数列）的数列叫“类周期数列.”我们的求和策略是 周期内捆绑构造新数列求和.先来个最简单的：例 1.55 数列 an 的通项公式 an=(1)n n，前 n 项和为 S n，则 S 2022=.解 易知(1)n 是 T=2 的周期数列，当 n 取 1,2,等正整数时，(1)n 依次周期性出现 1，1这两个数，设 bk=a2k1+a2k(k N)，易知 a2k1=1 2k，a2k=2k

76、，所以 bk=1.于是S 2022=20222k=1bk=20222 1=1011例 1.56 数列 an 的通项公式 an=n cos n2+1，前 n 项和为 S n，则 S 2012=.解 易知cos n2是 T=4 的周期数列，当 n 取 1,2,等正整数时，cos n2 依次周期性出现 0，1，0，1 这四个数，设 bk=a4k3+a4k2+a4k1+a4k(k N)，易知 a4k3=a4k1=1，a4k2=(4k 2)+1，a4k=4k+1，所以 bk=6.于是S 2012=20124k=1bk=20124 6=3018例 1.57 数列 an 的通项公式 an=n cos n2+

77、1，前 n 项和为 S n，则 S 2022=.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 33 页解 易知 S 2020=20204k=1bk=20204 6=3030，而S 2022=S 2020+a2021+a2022=3030+1+(2021)=1010.例 1.58 已知等差数列 an 的前 n 项和 S n，且 a3=1，S 6=7.数列 bn 满足b1+b2+bn=2n+1 2.(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；(2)记 cn=bn tan(an)，求数列 cn 的前 3n 项和 T3n.解(1)an=n3，bn=2n；(2)易知数列tann3是周期为 3 的一个数

78、列，记dn=c3n2+c3n1+c3n，则dn=23n2 3+23n1 (3)+23n 0=3 23n2所以数列 dn 是以 8 为公比，23 为首项的等比数列，于是数列 cn 的前 3n 项和 T3n=23(1 8n)1 8=23(1 8n)7.1.4互嵌式数列组的解题策略互嵌式数列组的问题在竞赛中已屡见不鲜，在解决该类型的问题时，要注意到两个数列之间的相互渗透和相互影响，既要能眼观全局从整体入手，又要能抽丝剥茧进行单独分析，并充分根据具体问题的结构特点来有针对性地进行解决本文给出几类不同互嵌式数列组题型的解题策略类型 1短小精致式：消元降维这类问题往往不含常数项，题目小巧玲珑，可将其看成是

79、二元一次方程组，消元得到单数列的递推关系，再进行求解例 1.59 数列 an，bn 满足 a1=1，b1=2，且an+1=bnbn+1=2an 3bn(n N)，则b2021+b2022=.解 易知 b2=8，依题an+1=bn(1.31)bn+1=2an 3bn bn+2=2an+1 3bn+1(1.32)消去 an+1，得bn+2=2bn 3bn+1 bn+2+bn+1=2(bn+1+bn)故 bn+1+bn=(2)n1(b2+b1)，所以 b2021+b2022=22020 (6)=3 22021.第 34 页例 1.60 数列 an，bn 满足 a1=1，b1=7，且an+1=bn 2

80、anbn+1=3bn 4an(n N)，则 a2022=.解 易知 a2=5，依题an+1=bn 2an bn+1=an+2+2an+1(1.33)bn+1=3bn 4an(1.34)消去 an+1，bn，得an+2+2an+1=3(an+1+2an)4an an+2+an+1=2(an+1+an)故 an+1+an=2n1(a2+a1)=3 2n，所以 an+1 2n+1=(an 2n)，故 an=2n+(1)n，于是a2022=22022+1.类型 2珠联璧合式：合二为一这类问题形式优美，浑然天成，两个式子之间关系紧密，通过简单的加减等运算，即可发现其整体之间的一个递推关系，此时可以先求整

81、体，再解个体例 1.61 数列 an，bn 满足 a1=2，b1=1，且an+1=34an+14bn+1bn+1=14an+34bn+1(n N)，求数列 an，bn的通项公式.解 依题an+1=34an+14bn+1(1.35)bn+1=14an+34bn+1(1.36)(1.35)，(1.36)分别相加和相减，得an+1+bn+1=an+bn+2(1.37)an+1 bn+1=12(an bn)(1.38)由(1.37)知数列 an+bn 是首项为 a1+b1=3，公差为 2 的等差数列，故可得 an+bn=2n+1由(1.38)知数列 an bn 是首项为 a1 b1=1，公比为 12

82、的等比数列，故可得 an bn=12n1从而可解得 an=n+12+12n，bn=n+12 12n.秦九韶（约 12021261），字道古，四川安岳人。第 35 页例 1.62 数列 an，bn 满足 a1=2，b1=1，且an+1=5an+3bn+7bn+1=3an+5bn(n N)，求数列 an，bn的通项公式.解 依题an+1=5an+3bn+7(1.39)bn+1=3an+5bn(1.40)(1.39)，(1.40)分别相加和相减，得an+1+bn+1+1=8(an+bn+1)(1.41)an+1 bn+1+7=2(an bn+7)(1.42)由(1.41)知数列 an+bn+1 是首

83、项为 a1+b1+1=4，公比为 8 的等比数列，故可得an+bn+1=4 8n1由(1.42)知数列 an bn+7 是首项为 a1 b1+7=8，公比为 2 的等比数列，故可得an bn+7=8 2n1从而可解得 an=2 8n1+4 2n1 4，bn=2 8n1 4 2n1+3.例 1.63 数列 an，bn 满足 a1=12，b1=32，且4an+1=3an bn+44bn+1=3bn an 4(n N).(1)证明：an+bn 是等比数列，an bn 是等差数列；(2)求数列 an 的通项公式以及 an 的前 n 项和 S n.解 依题(1)4an+1=3an bn+4(1.43)4

84、bn+1=3bn an 4(1.44)(1.43)，(1.44)分别相加和相减，得4(an+1+bn+1)=2(an+bn)(an+1+bn+1)=12(an+bn)(1.45)4(an+1 bn+1)=4(an bn)+8 (an+1 bn+1)=(an bn)+2(1.46)由(1.45)知数列 an+bn 是首项为 a1+b1=1，公比为 12 的等比数列由(1.46)知数列 an bn 是首项为 a1 b1=2，公差为 2 的等差数列第 36 页(2)由(1)知an+bn=12n1(1.47)an bn=2n 4(1.48)(1.47)，(1.48)相加并化简得 an=12n+n 2，

85、采用分组求和法可得 S n=n2 3n+22 12n.1.5利用“整除”思想求解数列中“不定方程”利用“整除”思想是求解“不定方程”的一种常用方法，也符合高中学生的认知水平通常的处理方法是先进行变量分离(将其中一个末知数用另一个或两个表示)，然后利用整除思想进行分类讨论例 1.64 已知等差数列 an 的公差 d 0，其前 n 项和为 S n，a1=1，S 2 S 3=36.(1)求 d 及 S n；(2)求 m，k(m,k N)的值，使得 am+am+1+am+2+am+k=65.解 依题意(1)d=2 及 S n=n2；(2)am+am+1+am+2+am+k=S m+k S m1=(m+

86、k)2 (m 1)2=65，则2m=65k+1 k+1(1.49)因为 m,k N，则 k+1 2，1k+1=5，此时 k=4，m=5；2k+1=13，此时 k=12，m=3（舍去）；3k+1=65，此时 k=32，m=15（舍去）.综上，k=4，m=5.例 1.65 已知公差不为零的等差数列 an，其前 n 项和为 S n，且 a22+a23=a24+a25，S 7=7.(1)求数列 an 的通项公式及前 n 项和 S n；(2)试求所有的正整数 m，使得 amam+1am+2为数列 an 中的项.解 依题意不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 37 页(1)an=2n 7

87、及 S n=n2 6n；(2)设 amam+1am+2=an，则(2m 7)(2m 5)2m 3=2n 7(1.50)令 2m 3=t(t 1 且为奇数)，则2n 7=t2 6t+8t=t 6+8t(1.51)依题，t 整除 8，又 t 为奇数，则 t=1，1t=1，此时 m=2，n=5；2t=1，此时 m=1，n=4（舍去）.综上，m=2.例 1.66 已知数列 an 的通项公式为 an=7n+2，数列 bn 的通项公式为 bn=n2，若将数列 an，bn 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列 cn，则 c9 的值为.解 依题意，令 an=bm n=m2 27，设 k Z，则1若 m=7

88、k，则 n=49k2 27=7k2 27（舍去）2若 m=7k+1，则 n=(7k+1)2 27=7k2+2k 17（舍去）3若 m=7k+2，则 n=(7k+2)2 27=7k2+4k+27（舍去）4若 m=7k+3，则 n=(7k+3)2 27=7k2+6k+1（符合）5若 m=7k+4，则 n=(7k+4)2 27=7k2+8k+2（符合）6若 m=7k+5，则 n=(7k+5)2 27=7k2+10k+237（舍去）7若 m=7k+6，则 n=(7k+6)2 27=7k2+12k+347（舍去）综上，当 m=7k+3 或 m=7k+4 时，bm 才能在 an 中出现，即为公共项，公共项

89、为 b3，b4，b10，b11，b17，b18，b24，b25，故 c9=312=961.第 38 页1.6数列放缩1.6.1伪等比变等比指数型伪等比变等比若数列 an 的通项公式含有 qn 这样指数函数的式子，我们采用伪等比放缩法，即作商 an+1an，使之大于或小于一个常数，这个常数即 an+1an的极限值，然后将 an 放缩成等比数列.例 1.67 若数列 an 的通项公式为 an=3n 12，证明：对一切正整数 n，有 1a1+1a2+1an 32.证 令 bn=1an，则 bn+1bn=3n 13n+1 1=13 3n 13n 13 13，故 bn+1 13 bn，于是从第 二 项起

90、b1+b2+bn b1+13 b1+13n1 b1=1 1 13n1 13 32注 解题过程中进行了两次放缩，第一次是在 伪等比变等比 时，第二次是等比数列求和后进行了 丢项.从第几项起开始放缩我们观察前几项的分母，和不等号右边的分母有共性即可（最多第四项）.例 1.68 若数列 an 的通项公式为 an=3n 2n，证明：对一切正整数 n，有 1a1+1a2+1an 1310.证 令 bn=1an，则 bn+1bn=3n 2n3n+1 2n+1=13 3n 2n3n 23 2n 13，故 bn+1 13 bn，于是从第 三 项起b1+b2+bn b1+b2+13 b2+13n2 b2=1+1

91、5 1 13n11 13 1+310=1310例 1.69 若数列 an 的通项公式为 an=2n，证明：对一切正整数 n，有1a1 1+1a2 1+1an 1 3421.证 令 bn=1an 1，则 bn+1bn=2n 12n+1 1=12 2n 12n 12 12，故 bn+1 12 bn，于是从第 四 项起b1+b2+bn b1+b2+b3+12 b3+12n3 b3=1+13+17 1 12n21 12 1+13+27=3421第 39 页1.6.2二次函数型裂项二次函数型变裂项若数列 an 的通项公式分母含有 n2+bn+c 这样二次函数的式子，我们利用配方把分母放缩成 可平方差 的

92、二次函数进而化成两个一次函数（等差数列相邻两项）之积.n2+bn+c=n+b22 b2 4c4n+b22 k24其中 k 为正整数且 k2 b2 4ac.例 1.70 证明：对一切正整数 n，有12 3+13 5+1(n+1)(2n+1)2n+342 14=18(4n+1)(4n+5)则1(n+1)(2n+1)8(4n+1)(4n+5)=214n+1 14n+5，于是12 3+13 5+1(n+1)(2n+1)215 14n+5 25例 1.71 证明：对一切正整数 n，有 132+152+1(2n+1)2 4n+122 14=4(n+1)n，则1(2n+1)2 14(n+1)n=141n 1

93、n+1，于是 132+152+1(2n+1)2 141 1n+1 14.例 1.72 若数列 an 的通项公式为 an=2n，证明：对一切正整数 n，有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)4n+142 14=14(4n 1)(4n+3)第 40 页则1(2n)(2n+1)4(4n 1)(4n+3)=14n 1 14n+3，于是1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+1an(an+1)13 14n+3 13例 1.73 若数列 an 的通项公式为 an=n2，证明：对一切正整数 n，有 1a1+1a2+1an 74.证 易知 1a1=1 74，1a1+1a2=54 n2 4

94、4=(n 1)(n+1)，则1n2 1(n 1)(n+1)=121n 1 1n+1，于是从第三项起1a1+1a2+1an 1+14+1212 1n+1 64 741.6.3利用平均不等式放缩例 1.74 已知数列 an 满足 a1=1，a2n an+1+3=0，求证：1a1+2+1a2+2+1an+2 23.证 由平均值不等式得 an+1=a2n+3=(a2n+1)+2 2an+2，an+1+2 2(an+2)，于是an+2=an+2an1+2 an1+2an2+2 a2+2a1+2 (a1+2)3 2n1故1a1+2+1a2+2+1an+2 131+12+122+12n1=231 12n 0

95、)的焦点，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得 ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x轴于点 Q，且 Q 在点 F 右侧.记 AFG，CQG 的面积为 S 1，S 2.(1)求 p 的值及抛物线的准线方程；(2)求 S 1S 2的最小值.解(1)p=2，准线方程 x=1；知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 43 页(2)依题，设#AF=#AB，#AQ=#AC，则由重心向量可得#AG=13#AB+13#AC=13#AF+13#AG，再由 F，G，Q 三点共线得 13+13=1 =3 1 (0,1)，所以 12,1.于是S 1S 2=SAB

96、G(1 )SACG燕尾模型=1 =(3 1)2 1(2.1)令 2 1=t (0,1)，则 S 1S 2=143t+1t+4 2+32，当且仅当 t=33 时等号成立.2.2向量的线性运算定理 2.2:三角形中线如图 2.9 所示,三角形 ABC 中,点 D 是边 BC 的中点,则#AD=#AB+#AC2.例 2.4 ABC 中,AC=4，AB=3，BC 边上的中线 AD=372,则 A 是()(A)6(B)3(C)23(D)56解 利用向量中点定理得|2#AD|2=|#AB+#AC|2=|#AB|2+|#AC|2+2#AB#AC,所以#AB#AC=6 cos A=#AB#AC|#AB|#AC

97、|=12 A=3.图 2.9图 2.10定理 2.3:重心一如图 2.10 所示,三角形 ABC 中,点 G 是重心,过点 G 的一条线分别交直线 AB，AC 于点 P，Q,若#AP=m#AB，#AQ=n#AC,则 1m+1n=3.第 44 页定理 2.4:重心二已知点 P,G 为 ABC 所在平面内一点,则#PG=13#PA+#+PB+#PC G 为 ABC 的重心.例 2.5 已知 G 为 ABC 的重心,过点 G 的一条线分别交 AB,AC 于点 P,Q,若#AP=#AB,则当ABC 与 APQ 的面积之比为 209 时,实数 =.解 设#AQ=#AC,所以 1+1=3，又 SABCSA

98、PQ=|AB|AC|AP|AQ|=209 1=209，由以上两式可解得=34 或 35.变式训练 EXERCISES101.在平行四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,12#BF=#FC,若#EF=m#AB+n#AD,则 m+n=()(A)56(B)76(C)12(D)32102.在平行四边形 ABCD 中,若#CE=4#ED,则#BE=()(A)45#AB+#AD(B)45#AB#AD(C)#AB+45#AD(D)34#AB+#AD103.在等腰梯形 ABCD 中,AB/CD，AB=2CD，E，F 分别为 BC，CD 的中点,则()(A)#AE=910#AC 25#BF(B)#AE=4

99、5#AC 25#BF(C)#AE=34#AC+14#BF(D)#AE=34#AC 14#BF104.已知 ABC 和点 M 满足#MA+#MB+#MC=0,若存在实数 m 使得#AB+#AC=m#AM 成立,则m=.105.已知 G 为 ABC 的重心,过点 G 的一条线分别交 AB,AC 于点 M,N,若#AM=x#AB,#AN=y#AC,则 3x+y 的最小值为.例 2.6 向量#OA=1,#OB=k,AOB=23,点 C 在 AOB 内,#OC#OA=0,若#OC=2m#OA+m#OB(m 0),则 k=.解 在#OC=2m#OA+m#OB 中,两边与向量#OA 作内积#OC#OA=2m

100、#OA+m#OB#OA 4m km=0 k=4.批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 45 页例 2.7 如图 2.11 所示,三个向量#OA,#OB,#OC,其中#OA 与#OB 的夹角为 120,#OA 与#OC 的夹角为30,且#OA=#OB=1,#OC=23,若#OC=#OA+#OB,则 +的值为.图 2.11解 在#OC=#OA+#OB 中,两边分别与向量#OA,#OB 作内积#OC#OA=#OA2+#OB#OA#OC#OB=#OB2+#OB#OA 2=3 2=0=4=2变式训练 EXERCISES106.若 A,B,C 分别是单位圆上的三个点,且#OA#OB=0,若存在实数，,使得#

101、OC=#OA+#OB,则()(A)2+2=1(B)1+1=1(C)=1(D)+=12.3平面向量共线定理定理 2.5:平面向量共线定理 如图 2.12,若坐标平面内的三点 A,B,C 共线 存在实数 +=1,使得#OC=#OA+#OB.若坐标平面内的三点 A,B,C 共线,O 为坐标原点,则存在三个均不为零的实数l,m,n,使得 l#OA+m#OB+n#OC=0,且 l+m+n=0,反之也成立.例 2.8 如图 2.13,在梯形 ABCD 中,AB/CD,AB=2CD,点 M,N 分别为 DC,CB 的中点,若#AB=#AM+#AN,则 +=.解 如图 2.14 所示,延长 MN,与 AB 交

102、于点 E,由 M,N,E 三点共线知#AE=m#AM+n#AN(m+n=1),又易知 MNCENB.故54#AB=m#AM+n#AN#AB=4m5#AM+4n5#AN +=45.第 46 页图 2.12图 2.13图 2.14例 2.9 若直线 l 上存在三个不同的点 A，B，C，使得关于实数 x 的方程 x2#OA+x#OB+#BC=0 有解（其中 O l）,则此方程的解为()(A)1(B)(C)1+52,1 52(D)1,0解 依题意 x2#OA+x#OB+#OC#OB=0.故#OC=x2#OA+(1 x)#OB，因为 A，B，C 三点共线,所以 x2+1 x=1 x=1 或 0.经检验

103、0 不合题意,舍去.故选 A.变式训练 EXERCISES图 2.15图 2.16107.如图 2.15 所示,在 ABC 中,D 是 BC 边上的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于点E，F，若#AE=#AB，#AF=#AC.其中 0，0，则 的最小值是()(A)1(B)12(C)13(D)14108.如图 2.16 所示，在 ABC 中，#AN=13#NC，P 是 BN 上一点，若#AP=m#AB+29#AC,则 m 的值为.109.M 是 ABC 边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，若#AN=#AB+#AC，则 +的值为()(A)14(B)13(C)12(D)1110

104、.在 ABC 中,点 O 为 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N.若#AB=m#AM,#AC=n#AN,则 m+n 的值为.业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 47 页111.已知 G 是 ABC 的重心，过点 G 作直线 MN 与 AB，AC 分别交于点 M，N，且#AM=x#AB，#AN=y#AC(x,y 0),则 3x+y 的最小值是()(A)83(B)72(C)52(D)43+233112.已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n,若点 A，B，C，O 满足 1#AB=#BC(0),2 A，B，O 确定一个平面,3#OB=a3#OA+

105、a98#OC,则 S 100=()(A)29(B)40(C)45(D)50113.在 ABC 中，AB=23，O 为三角形外接圆的圆心，若#AO=x#AB+y#AC(x,y R)，且x+2y=1，则 ABC 的面积的最大值为.2.4追本溯源,等和线解向量等和线这个词汇，由于教材上并没出现，一些老师和学生初次见到这个技巧时，难免眼前一亮，原来还可以这样做！其实等和线的本质其实就是平面向量共线定理 2.5 的延伸.例 2.10 在 PAB 所在平面上的点 C 满足#PC=x#PA+y#PB,且 x+y=2,请指出点 C 的位置.解 令#PC=2#PD=(x+y)#PD,则#PD=xx+y#PA+y

106、x+y#PB，由xx+y+yx+y=1 得点 A，B，D 共线,即点 D 在直线 AB 上，再由#PC=2#PD 知点 C 在直线 AB 上,其中 PA=2PA，PB=2PB，如图 2.17.图 2.17图 2.18例 2.11 在 PAB 所在平面上的点 C 满足#PC=x#PA+y#PB,且 2x+3y=5,请指出点 C 的位置.解 令#PC=5#PD=(2x+3y)#PD,则#PD=x2x+3y#PA+y2x+3y#PB,即#PD=2x2x+3y#PA1+3y2x+3y#PB1,其中#PA1=#12#PA,#PB1=#13#PB,由2x2x+3y+3y2x+3y=1 得点A1,B1,D

107、共线,即点 D 在直线 A1B1 上，再由#PC=5#PD 知点 C 在直线 A2B2 上，其中PA2=5PA1，PB2=5PB1，如图 2.18.第 48 页定义 2.1:等和线平面内一组基底#OA，#OB 及任一向量#OP,#OP=#OA+#OB(,R),若点 P 在直线 AB上或者在平行于 AB 的直线上,则 +=k（定值）,反之也成立,我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线.如图 2.19,则有 k=|#OP|#OQ|=|#OA1|#OA|=|#OB1|#OB|.图 2.19推论 2.1.如图 2.20 所示,给定两个长度为 a 的平面向量#OA 和#OB,其夹角 0

108、,),点 C在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动,若#OC=x#OA+y#OB,则 x+y 的最大值是2cos +1.图 2.20图 2.21解 如图 2.21 所示,连接 AB,与 OC 交于点 D,设#OC=(x+y)#OD=x#OA+y#OB#OD=xx+y#OA+yx+y#OB易知 A，B，D 三点共线,由 x+y=#OC#OD.易知当 C 为 AB 的中点时,x+y 取最大值,x+y=#OC#OD=aa cos 2=2cos +1例 2.12 如图 2.22，给定两个长度为 1 的平面向量#OA 和#OB,其夹角为 60，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动，若#OC=x#O

109、A+y#OB，则 x+2y 的最大值是.敏而好学，不耻下问。孔子第 49 页图 2.22解 令 x+2y=t，对式子#OC=x#OA+y#OB 两边取模，可得 x2+y2+xy 1=0，则(t 2y)2+y2+(t 2y)y 1=0 3y2 3ty+t2 1=0，0 2 t 2，所以 x+2y 的最大值是 2.例 2.13 如图 2.23 所示,平面内有三个向量#OA,#OB,#OC,其中#OA 与#OB 的夹角为 120,#OA 与#OC 的夹角为 30,且#OA=#OB=1,#OC=23,若#OC=#OA+#OB,则 +的值为.解 如图 2.24,易知 +=#OC#OD=2333=6.图

110、2.23图 2.24例 2.14 如图 2.26,平行四边形 ABCD 中 AB=3,AD=2,BAD=120,P 是平行四边形 ABCD内一点,且 AP=1,若#AP=x#AB+y#AD,则 3x+2y 的最大值为.图 2.25图 2.26解 如图 2.26 所示,根据题意#AP=(3x+2y)#AM=x#AB+y#AD,所以#AM=x3x+2y#AB+y3x+2y#AD=3x3x+2y#AB3+2y3x+2y#AD2=3x3x+2y#AE+2y3x+2y#AF,易知E,M,F 三点共线,所以 3x+2y=APAM,因为点 P 在以点 A 为圆心,半径为 1 的圆上,所以 3x+2y第 50

111、 页有最大值 APAM=1AM=2（AM 的最小值为 12）.变式训练 EXERCISES114.给定两个长度为 1 的平面向量#OA 和#OB,其夹角为 120,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若#OC=x#OA+y#OB,则 x+y 的最大值是.115.【2017 全国 III】在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上,若#AP=#AB+#AD,则 +的最大值为()(A)3(B)22(C)5(D)2图 2.27图 2.28图 2.29116.如图 2.28,在直角梯形 ABCD 中,ABAD，AB/CD，AB=2CD=2AD

112、=2，动点 P 在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上，若#AP=#AB+#AD，则 +的最大值为()(A)1(B)2(C)1(D)2117.如图 2.29,平面内三个单位向量#OA，#OB，#OC，且#OA,#OB=60，若#OC=m#OA+n#OB(m,n R)，则 m+n 的最大值是.2.5对面的女孩看过来定理 2.6:对面的女孩看过来如图 2.30,在 ABC 中,若 D 是 BC 上一点,且#BD=#DC(1),则向量#AD=#AB+#AC1+.例 2.15 如图 2.31 所示,三角形 ABC 中,#BD=2#DC,若#AB=a,#AC=b,则#AD=()(A)23a 13b(B)

113、23a+13b(C)13a 23b(D)13a+23b解 D海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 51 页图 2.30图 2.31例 2.16 已知点 A(3,1)，B(0,0)，C(3,0)，设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么有#BC=#CE,其中 =()(A)2(B)12(C)3(D)13解 C变式训练 EXERCISES118.如图 2.32 所示，在 ABC 中，BAC=60，BAC 的平分线交 BC 于点 D，若 AB=4,且#AD=14#AC+#AB,则 AD 的长为()(A)23(B)33(C)43(D)53图 2.32图 2.33119.如图 2.3

114、3 所示，在 ABC 中，#AD=#AB#AB+#AC#AC，又#AB=2，#AC=4，若#AB=a，#AC=b，则#BD=()(A)12a 12b(B)13a 13b(C)13a+13b(D)12a+13b120.在 ABC 中,点 D 在 BC 边上，BD=2DC，E 为 AD 的中点，则#BE=()(A)13#AC 16#AB(B)13#AC+56#AB(C)13#AC+16#AB(D)13#AC 56#AB第 52 页121.ABC 中,点 D 为 BC 的中点,#AB=3#AE，M 为 AD 与 CE 的交点，若#CM=x#AB+y#AC(x,y R),则 x y=()(A)1(B)

115、12(C)34(D)12.6向量恒等式2.6.1平行四边形恒等式推论 2.2.平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.例 2.17 记 maxx,y=x,x yy,x y，minx,y=y,x yx,x y，设 a，b 为平面向量，则()(A)min|a+b|,|a b|min|a|,|b|(B)min|a+b|,|a b|min|a|,|b|(C)max|a+b|2,|a b|2|a|2+|b|2(D)max|a+b|2,|a b|2|a|2+|b|2解 由推论 2.2 知|a+b|2+|a b|2=2|a|2+|b|2，所以 max|a+b|2,|a b|2|a|2+|b|2，故选 D

116、.2.6.2极化恒等式定义 2.2:极化恒等式如图 2.34 所示,三角形 ABC 中,点 D 是边 BC 的中点,则#AB#AC=#AD2#BD2.图 2.34证 由向量平行四边形法则可知#AB+#AC=2#AD(2.2)#AB#AC=#CB(2.3)(2.2)2 (2.3)2 得#AB#AC=#AD2#BD2.穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 53 页例 2.18 已知 M(x0,y0)是双曲线 x22 y2=1 上的一点,F1，F2 为双曲线的焦点,若#MF1#MF2 0,则 y0 的取值范围为()(A)33,33(B)36,36(C)223,223(D)233,233解法一 由极化恒

117、等式可知#MF1#MF2=#MO2 c2=#MO2 3 0,于是x20+y20 3x202 y20=1解得y20 13,选 A.解法二ll#MF1=(3 x0,y0)#MF2=(3 x0,y0)x20+y20 3,与双曲线方程联立x20+y20 3x22 y2=1 y20 0,b 0)的左右焦点分别为 F1，;F2，若双曲线 C 上存在点P 满足#PF1#PF2=2a2，则双曲线 C 离心率的取值范围为.解 根据极化恒等式得到#PF1#PF2=#PO2 c2=2a2,由存在性问题可得a2 c2 2a2 3a2 c2 e 3,答案为 3,+).变式训练 EXERCISES第 54 页122.已知

118、 AB 是圆 C:(x 1)2+y2=1 的直径,点 P 为直线 x y+1=0 上任意一点,则#PA#PB 的最小值为()(A)1(B)0(C)2(D)2 1123.如图,在等腰直角 ABC 中，AB=AC=2，D，E 是线段 BC 上的点，且 DE=13BC，则#AD#AE 的取值范围是()(A)89,43(B)43,83(C)89,83(D)43,+124.如图 2.37 所示,在三角形 ABC 中,P0 是 AB 上一定点,满足 P0B=14AB,且对 AB 边上任一点P,恒有#PB#PC#P0B#P0C,则()(A)ABC=90(B)BAC=90(C)AB=AC(D)AC=BC图 2

119、.37图 2.38125.如图 2.38,在 ABC 中,C=90,且 BC=3,点 M 满足#BM=2#MA,则#CM#CB 等于()(A)2(B)3(C)4(D)6126.已知点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内一动点(含边界),则#MA#MB 的取值范围是()(A)0,4(B)0,5(C)1,5(D)1,4读书破万卷，下笔如有神。杜甫第 55 页127.在边长为 2 的正三角形 ABC 中,点 P 为平面内一点,且#CP=3,则#PC#PA+#PB的取值范围是()(A)0,12(B)0,32(C)0,6(D)0,3128.在 RtABC 中,CA=CB=3，M，N 是斜边 AB

120、上两个动点，且 MN=2，则#CM#CN 的取值范围为()(A)3,6(B)4,6(C)2,52(D)2,4图 2.39129.如图 2.39 所示，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A，B 分别在两条互相垂直的射线 OP，OQ上滑动，则#OC#OD 的最大值为()(A)2(B)4(C)6(D)8130.已知椭圆 x216+y212=1，F1，F2 为椭圆的左右焦点，点 P 在椭圆上，满足#PF1#PF2=9,则|PF1|PF2|的值为()(A)8(B)10(C)12(D)15131.已知椭圆 x24+y2=1 的左右焦点分别为 F1，F2，在长轴 A1A2 上任取一点 M，过 M 作垂

121、直于 A1A2 的直线交椭圆于 P，则使得#PF1#PF2 0 的概率为()(A)22(B)223(C)63(D)12132.已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则#PA#PB+#PC的最小值是()(A)2(B)32(C)43(D)1第 56 页133.如图 2.40 所示,已知正三角形 ABC 内接于半径为 2 的圆内,点 P 是圆 O 上的动点,则#PA#PB的取值范围是()(A)0,6(B)2,6(C)0,2(D)2,2图 2.40图 2.41134.如图 2.41,在平面四边形 ABCD 中,ABBC，ADCD，BAD=120，AB=AD=1，若点 E

122、为边 CD 上的动点，则#AE#BE 的最小值为()(A)2116(B)32(C)2516(D)3135.已知 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，BC 边上的中线 AD 长度为 3，边 BC=3，BAC=60，则 ABC 的面积为.136.设|AB|=10,若平面内点 P 满足对任意的 R,都有2#AP#AB 8,则下列结论一定正确的是()(A)#PA 5(B)#PA+#PB 10(C)#PA#PB 9(D)APB 902.6.3矩形的两个小性质矩形向量性质已知点 P 是矩形 ABCD 所在平面内任意一点,则#PA#PC=#PB#PD.证 设矩形对角线交于点 O,则#PA#

123、PC=#PO2#PC22(2.4)#PB#PD=#PO2#BD22(2.5)于是#PA#PC=#PB#PD.君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 57 页引理 2.1.P 是矩形 ABCD 所在平面内任意一点,则|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2(2.6)证 如图 2.42 所示,由勾股定理|PA|2|PD|2=|EA|2|ED|2=|FB|2|FC|2=|PB|2|PC|2,所以|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2.图 2.42图 2.43例 2.21 在 RtABC 中,D 是斜边 AB 的中点,P 是线段 CD 的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2=()(A

124、)2(B)4(C)5(D)10解 如图 2.43 所示,由式(2.6)可知|PA|2+|PB|2=|PC|2+|PE|2=|PC|2+|3PC|2=10|PC|2.变式训练 EXERCISES137.已知圆 O 半径为 2,P 为圆内一动点,OP=1,圆 O 上两动点 A,B 满足 PAPB,存在点 C 使PACB 成矩形,则#OC#OP 的取值范围是.2.7四边形对角线向量定理（斯坦纳定理）在 ABC 中，根据余弦定理有BC2=AB2+AC2 2AB AC cos A转化为向量形式即得#BC2=#AB2+#AC2 2#AB#AC或#AB#AC=12#AB2+#AC2#BC2于是我们可得如下定

125、理：第 58 页定理 2.7:斯坦纳定理四边形 ABCD(平面或空间均可)中,我们有#AC#BD=#AD2+#BC2#AB2+#CD22.证 根据题意,在 ACD 中,利用向量夹角公式以及余弦定理可得#AC#AD=#AC2+#AD2#CD22(2.7)同理在 ACB 中,#AC#AB=#AC2+#AB2#BC22(2.8)由式(2.7),(2.8)可知#AC#BD=#AC#AD#AB=#AD2+#BC2#AB2+#CD22.推论 2.3.四边形 ABCD 中的三角形 BCD 沿对角线 BD 翻折时，#AC#BD 为 定值.推论 2.4.空间向量涉及折叠的问题，一定有折痕的向量与任意向量的乘积为

126、定值.例 2.22 如图 2.44，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，ADC=90，沿直线 AC 将 ADC 翻折成 ADC，直线 AC 与 BD 所成角的余弦的最大值是.图 2.44解 由斯坦纳定理得#AC#BD=#AC#BD=2.cos#AC,#BD=26|#BD|，当且仅当 BD 最小时，直线 AC 与 BD 所成角的余弦值最大，又 cos ACD=cos ACB，所以，在翻折过程中，BD 的最小值为 BC CD=2，此时，直线AC 与 BD 所成角的余弦值为66 三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 59 页2.8向量的形例 2.23 已知向量 a,b

127、满足|a+b|=|a b|=5,则|a|+|b|的取值范围是()(A)0,5(B)5,52(C)52,7(D)5,10解 当两向量其中一个为零向量时,再由三角形两边之和大于第三边排除 A,C,由向量平行四边形法则易知 ab,所以|a|2+|b|2=25利用三角换元|a|=5 cos|b|=5 sin|a|+|b|=52 sin+4 52,选 B.变式训练 EXERCISES138.已知两个夹角为 3 的单位向量 a,b,若向量 m 满足|m a b|=1,则|m|的最大值是()(A)3 1(B)3+1(C)2(D)6+2+1139.在 ABC 所在的平面上有三点 P,Q,R 满足#PA+#PB

128、+#PC=#AB,#QA+#QB+#QC=#BC,#RA+#RB+#RC=#CA,则 SPQRSABC的值是()(A)12(B)13(C)14(D)15140.平面非零向量#a,#b,#c 满足#a#b,#c 为单位向量,已知(#a#b)(#a+#b 2#c)=0 且|#a#c|=3,则|#a#b|的最大值是.141.ABC 中,A=3,#AD=23#AC,且对任意 x R,x#AC+#AB#AD#AB 恒成立,则cos ABC=.142.向量#AB 和#AC 的夹角为 120,且#AB=3,#AC=2,若#AP=#AB+#AC 且#AP#BC,则=.143.已知点 P 是双曲线 x2 y23

129、=1 右支上一动点,F1,F2 是双曲线的左、右焦点,动点 Q 满足下列条件:1#QF2#PF1#PF1+#PF2#PF2=0,2#QP+#PF1#PF1+#PF2#PF2=0,则点 Q 的轨迹方程为.144.已知向量#OA#OB,且#OA=1,#OB=3,点 C 在 AOB 内,AOC=30,设#OC=m#OA+n#OB,则 mn 的值为()第 60 页(A)2(B)52(C)3(D)4145.如图 2.45 所示,E 为中线 AD 上的一个动点,AD=2,则#EA#EB+#EC的最小值为()(A)2(B)1(C)12(D)0图 2.45图 2.46146.如图 2.46 所示,平行四边形

130、ABCD 中,AB=4,AD=2,DAB=60,M 是线段 DC 的四等分点,若 N 为平行四边形内任意一点(含边界),则#AM#AN 的最大值为()(A)13(B)0(C)8(D)5147.向量 a,b 满足|b|=1,且 a 与 b a 的夹角为 120,则|a|的取值范围是.148.向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且 a b=0.向量 c 满足|c a b|=1,则|c|的最大值为.149.向量 a 满足|a|=1,向量 b 满足 b (a b)=0,则|b|的取值范围为.150.向量 a=(2,0),b=(x,y),若 b 与 b a 的夹角为 6,则|b|的最大值为.151.已

131、知 A(3,0),B(0,1),C(1,2),若点 P 满足#AP=1,则#OB+#OC+#OP 的最大值为.四点共圆设向量 a，b，c 满足|a|=|b|=1，a,b=，a c,b c=，0 ，则|c|的最大值为2 2 cos sin.注 四点共圆.若向量 c 满足(a c)(b c)=0,则 c 是以向量 a,b 的终点连线为直径的一个圆,如图2.47 所示.人生的价值，并不是用时间，而是用深度量去衡量的。第 61 页图 2.47图 2.48例 2.24 向量 a,b 为单位向量,且 a,b 的夹角为钝角,|b ta|的最小值为32.且(c a)(c b)=0,则 c (a+b)的最大值为

132、.解 如图 2.48 所示,易知 a,b=23，a=(1,0)，b=12,32，设 c=(x,y)，则(c a)(c b)=0 x 142+y 342=34，故x=14+32 cos y=34+32 sin c (a+b)=12+32 sin+63+12.变式训练 EXERCISES152.平面非零向量#a,#b,#c 满足|#a|=1，#b=2，#a,#b =3，且(#a#c)#b#c=0，则|#c|的取值范围是.153.向量 a，b 满足|a|=|b|=1，且 a b=0，向量 c 满足(a c)(b c)=0，则|c|的最大值为.图 2.49154.如图 2.49 所示,向量 a，b，c

133、 为单位向量，且 a b=0，则(a c)(b c)的最小值为.155.向量 a，b，c 满足|a|=|b|=2，a b=2，a c,b c=60，则|c|的最大值为()(A)4(B)2(C)2(D)1156.已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量,若非零向量 a，e 的夹角为 3，向量 b 满足b2 4b e+3=0，则|a b|的最小值是()第 62 页(A)3 1(B)3+1(C)2(D)3157.已知向量 a，b，c 满足 a,b=60，|a|=1，|b|=2,(a c)(b c)=0，则|c|的最小值是.158.已知平面向量#a，#b，#c 满足|#a|=|#b|=#a#b=2

134、，且(#a#c)(#b 2#c)=1，则|#b#c|的最小值为()(A)7 52(B)7 32(C)5 32(D)3 12引理 2.2.如图 2.50 所示,在 ABC 中,#AP=m#AB+n#AC#AQ=s#AB+t#AC SAPQSABC=mnst=|mt sn|图 2.50图 2.51例 2.25 已知 O 是 ABC 所在平面内一点,且不在 BC 边上,若#OA=3#OB+32#OC,则 ABC 与OBC 面积之比为()(A)52(B)73(C)72(D)4解法一 如图 2.51 所示,#OA=3#OB+32#OC#OB=#OB+0#OC#OC=0#OB+#OCSOACSOBC=3S

135、OABSOBC=32 SABCSOBC=72解法二 考虑特殊化.2.9三角形的心“奔驰定理”可以称得上是平面向量中非常优美的一个结论,由于这个定理和奔驰的 logo 很相似,我们把它称为奔驰定理.人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 63 页定理 2.8:奔驰定理已知 O 为 ABC 内的一点,且存在,R,使得#OA+#OB+#OC=0,则 SBOC:SAOC:SAOB=:.例 2.26 在 ABC 中,D 为 ABC 所在平面内一点,且#AD=13#AB+12#AC,则 SBCD:SABD=()(A)16(B)13(C)12(D)23解 B变式训练 EXERCISES1

136、59.已知 O 是 ABC 内一点,且 5#OA+6#OB+10#OC=0,则 SAOBSBOC=.160.已知点 G 在 ABC 内，且满足 2#GA+3#GB+4#GC=0,若在 ABC 内随机取一点,此点取自GAB，GAC，GBC 内的概率分别记为 P1，P2，P3,则()(A)P1=P2=P3(B)P1 P2 P2 P3(D)P2 P1 P3推论 2.5.设 P 为空间四面体 ABCD 内一点,且 VA，VB，VC，VD 分别表示四面体 P BCD，P ACD，P ABD，P ABC 的体积，则有 VA#PA+VB#PB+VC#PC+VD#PD=0.例 2.27 设 P 为空间四面体

137、ABCD 内一点，且#PA+2#PB+3#PC+4#PD=0，VC，VD 分别表示四面体 P ABD，P ABC 的体积，则 VCVD=.解 34.定义 2.3:三角形的心1 设 O 为 ABC 的重心,则#OA+#OB+#OC=0.2 设 O 为锐角 ABC 的垂心,若 x#OA+y#OB+z#OC=0,则 x:y:z=tan A:tan B:tanC.3 设 O 为 ABC 的外心,若 x#OA+y#OB+z#OC=0,则 x:y:z=sin 2A:sin 2B:sin 2C.4 设 O 为 ABC 的内心,若 x#OA+y#OB+z#OC=0,则 x:y:z=a:b:c=sin A:si

138、n B:sinC.例 2.28 已知 G 是 ABC 的重心,a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边,且7#GA sin A+3#GB sin B+37#GC sinC=0,则 B=.解 由正弦定理易知7a=3b=37c B=60.第 64 页例 2.29 已知 ABC 中,且 AB=1，BC=6，AC=2，O 是 ABC 的外心，若#AO=s#AB+t#AC,则有序实数对(s,t)为()(A)45,35(B)35,45(C)45,35(D)35,45解 因为 O 是钝角 ABC 的外心，所以 O 在外部由三点共线可知 s+t 1，排除 C，D；又因为AC AB，所以 s t.例 2.30

139、已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足#OP=#OA+#AB|#AB|+#AC|#AC|，0,+)，则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解 由向量平行四边形法则及菱形判定定理可知答案为 B.例 2.31 已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足#OP=#OA+(#AB+#AC)，0,+)，则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解 由向量中点坐标法可知答案为 C.例 2.32 已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点

140、P 满足#OP=#OA+#AB|#AB|sin B+#AC|#AC|sinC，0,+)，则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的()(A)重心(B)外心(C)内心(D)垂心解 依题意可知#AP=#AB|#AB|sin B+#AC|#AC|sinC，由正弦定理知|#AB|sin B=|#AC|sinC，所以#AP=|#AB|sin B(#AB+#AC)，设 BC 的中点为 D，由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的重心，故选 A.例 2.33 已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足#OP=#OB+

141、#OC2+#AB|#AB|cos B+#AC|#AC|cosC，0,+)，则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的()(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心谁要游戏人生，他就一事无成。第 65 页解 设 BC 的中点为 D，依题意可知#DP=#AB|#AB|cos B+#AC|#AC|cosC，所以#DP#BC=#AB#BC|#AB|cos B+#AC#BC|#AC|cosC=|#AB|#BC|cos(B)|#AB|cos B+|#AC|#BC|cosC|#AC|cosC(2.9)=(|#BC|+|#BC|)=0(2.10)所以 DP BC，点 P 在 BC 的垂直平分线上，故 P 点的轨迹一定

142、通过 ABC 的外心.选 C.例 2.34 三个不共线的向量#OA，#OB，#OC 满足#OA#AB|#AB|+#CA|#CA|=#OB#BA|#BA|+#CB|#CB|=#OC#BC|#BC|+#CA|#CA|=0，则 O 是 ABC 的()(A)垂心(B)重心(C)内心(D)外心解#AB|#AB|+#CA|#CA|表示与 ABC 中 A 的外角平分线共线的向量，所以 OA 垂直 A 的外角平分线，因而 OA 是 A 的平分线，同理 OB，OC 分别是 B，C 的平分线，故选 C.例 2.35 已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若(#OA+#OB)#AB=(#OB+#OC)#BC=(#O

143、C+#OA)#CA=0，则 O 是 ABC 的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解 依题利用向量减法可得|#OB|2|#OA|2=|#OC|2|#OB|2=|#OA|2|#OC|2=0，故选 A.例 2.36 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(3,4)，若点 C 在 AOB 的平分线上，且|#OC|=2，则#OC=.解 点 C 在 AOB 的平分线上，则存在 (0,+)，使#OC=#OA|#OA|+#OB|#OB|=(0,1)+35,45=35,95又|#OC|=2，可得 =103，#OC=105,3105.例 2.37 已知 O 是平面上一定点，A，B，C

144、 是平面上不共线的三点，动点 P 满足#OP=#OA+#AB|#AB|cos B+#AC|#AC|cosC，0,+)，则 P 点的轨迹一定通过 ABC 的()(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解 给式#AP=#AB|#AB|cos B+#AC|#AC|cosC 两边同时点乘#BC，可得 AP BC，故 P 点的轨迹一定第 66 页通过 ABC 的垂心.选 B.例 2.38 已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若#OA+#OB+#OC=#0，则 O 是 ABC 的()(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解 A.例 2.39 已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若#PO=13#PA+

145、#PB+#PC，其中 P 为平面上任意一点，则 O 是 ABC 的()(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解 依题可得 3#PO=#OA#OP+#OB#OP+#OC#OP，所以 3#PO+3#OP=#OA+#OB+#OC，即#OA+#OB+#OC=#0，故选 A.例 2.40 已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若#OA#OB=#OB#OC=#OC#OA，则 O 是 ABC 的()(A)外心(B)垂心(C)内心(D)重心解 移项、利用向量减法可知答案为 B.例 2.41 已知 O 是 ABC 所在平面上一点，若|#OA|2+|#BC|2=|#OB|2+|#CA|2=|#OC|2+|#AB

146、|2，则 O是 ABC 的()(A)垂心(B)内心(C)重心(D)外心解 依题可得|#OA|2|#OB|2=|#CA|2|#BC|2(#OA+#OB)(#OA#OB)=(#CA+#BC)(#CA#BC)#BA(#OA+#OB)=#BA(#CA+#CB)#BA(#OA+#OB+#AC+#BC)=0#BA 2#OC=0#OC#BA，同理#OA#CB，#OB#AC，故选 A.例 2.42 设 H 是锐角三角形 ABC 的垂心，若#HA+2#HB+3#HC=#0，则 cos AHB=.解 易知 tan A:tan B:tanC=1:2:3，再由 tan A+tan B+tanC=tan A tan B

147、 tanC 可知tanC=3，于是 cosC=1010，由四点共圆可得 cos AHB=cosC=1010.为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 67 页变式训练 EXERCISES161.已知 P 是锐角 ABC 的外心,若#AP=k#AB+#AC,且 cos BAC=25,则 k=()(A)514(B)214(C)57(D)37162.已知 O 是 ABC 的外心,若#OA+#OB+2#OC=0,则 BCA 的度数为()(A)30(B)45(C)60(D)90163.已知 O 是 ABC 的外心,外接圆半径为 1,若 3#OA+4#OB+5#OC=0,则 ABC 的面积为()(A)85(

148、B)75(C)65(D)45164.已知 O 是 ABC 的外心,若#AO=13#AB+13#AC,则 BAC 的度数为()(A)30(B)45(C)60(D)902.10向量投影定义 2.4:向量投影向量 a 与向量 b 的夹角为,则向量 a 在向量 b 上的投影向量为 a b|b|b|b|.图 2.52投影向量 a 与向量 b 的夹角为,则向量 a 在向量 b 上的投影为 a b|b|.例 2.43【2020 山东新高考】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则#AP#AB 的取值范围是()第 68 页图 2.53(A)(-2,6)(B)(-6,2)(C)(-2,4)

149、(D)(-4,6)解 依题意#AP#AB=#AB (#AP 在#AB 上的投影),如图 2.53,当 P 在 C 点时,投影正最长为 3,此时#AP#AB=2 3=6;当 P 在 F 点时,投影为负最长为 1,此时#AP#AB=2 (1)=2,故选 A.例 2.44 如图 2.54,是由六个边长为 1 的正六边形组成的蜂巢图形,定点 A,B 是如图所示的两个定点,动点 P 在这些正六边形的边上运动,则#AP#AB 的最大值为.图 2.54图 2.55图 2.56解 如图 2.55,由向量数量积的几何意义可知要使#AP#AB 的值最大,只需#AP 在#AB 上的投影长度最大即可,此时点 P 为

150、P.建立如图 2.56 的直角坐标系,易知 A(3,0),B(3,3),P32,92,#AP=332,92,#AB=(23,3),于是#AP#AB=23 332+92 3=452.定理 2.9:外心向量如图 2.57,若点 O 为 ABC 的外心(外接圆圆心),则#AB#AO=#|AB|22.图 2.57图 2.58好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰。都德第 69 页注 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.证 由投影可知#AO 在#AB 的投影为#AD，其中 D 为 AB 的中点，于是#AB#AO=#AB#DO=#|AB|22.例 2.45 三角形 ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=

151、2,AC=3,BC=7,则#AO#BC=()(A)32(B)52(C)2(D)3解 根据三角形外接圆的性质#AO#BC=#AO#AC#AB=92 42=52.例 2.46 在 ABC 中,CA=2CB=2,#CA#CB=1,O 是 ABC 的外心.若#CO=x#CA+y#CB,则xy=.解 由向量夹角公式 ACB=120，给式子#CO=x#CA+y#CB 两边分别点乘#CA，#CB,则12#CA2=4x y12#CB2=x+yx=56y=43 xy=109.变式训练 EXERCISES165.在 ABC 中,BC=2,且#AB#BC=32,AD 是 ABC 的外接圆直径,则#AD#BC=()(

152、A)1(B)2(C)23(D)43166.在 ABC 中,AB=2,AC=3,A=60,O 为 ABC 的外心,若#AO=x#AB+y#AC,x,y R,则 2x+3y=()(A)2(B)53(C)43(D)32167.(2020 福建龙岩检测)已知在 ABC 中,AB=4,AC=6,其外接圆的圆心为 O,则#AO#BC=()(A)20(B)292(C)10(D)92168.已知 O 是 ABC 的外心,且 A=3,AB=5,AC=3,若#AO=m#AB+n#AC,则 m+n=.169.在 ABC 中，A=3，AB=10，AC=6，O 是 ABC 所在平面内一点，且满足#OA=#OB=#OC,

153、设#AO=m#AB+n#AC,则 m+3n=.第 70 页第三章圆锥曲线3.1预备知识定义 3.1:对称公式若点 P(x0,y0)和点 Q(x,y)关于直线 Ax+By+C=0 对称,我们引入 t=Ax0+By0+CA2+B2,则Q x0 2At,y0 2Bt.例 3.1 点(1,3)关于直线 y=2x+1 的对称点的坐标是.解115,75.例 3.2 设 F1，F2 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 的左右焦点,点 A，B 分别为椭圆的右顶点和下顶点,且点 F1 关于直线 AB 的对称点为 M,若 MF2F1F2,则椭圆 C 的离心率为()(A)3 12(B)3 13(C)5 12(D

154、)22解 易知 F1(c,0),直线 AB 的方程为 bx ay ab=0.利用对称公式得 t=bc aba2+b2,所以可得点M 的横坐标 c=xM=c 2b bc aba2+b2 b2=ac e=5 12,选 C.3.2圆3.2.1圆到直线距离相等点圆到直线距离相等点的个数已知一条直线和一个圆,设 d:圆心到直线的距离,r:圆半径,d:圆上的点到直线的距离,则到直线距离相等的圆上的点的个数有表格 3.1 里的五种情况.例 3.3 圆 x2+2x+y2+4y 3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为2 的点共有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个71表 3.1 圆到直线距离

155、相等点的个数序号大小关系点的个数1d r+d02d=r+d13r d d r+d24d=r d35d 0),设条件 p:0 r 3,条件 q:圆 C 上至多有两个点到直线x 3y+3=0 的距离为 1,则 p 是 q 的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件173.圆 x2+y2=5,直线 l:x cos +y sin =10 0 且 1)的点 P 的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆.【=1 时，P 点的轨迹是线段 AB 的中垂线】第 72 页定义 3.3:调和点列若同一直线上四点 A、B、C、D 满足 AB CD=AD BC，则称 B、D、A、C

156、为调和点列.知二推一如图 3.1，1 A、C、B、D 为调和点列；2 PC、PD 分别为 APB 的内、外角平分线；3PCPD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！图 3.1证 设阿波罗尼斯圆的圆心为 O，半径 OC=OD=r，则有 PAPB=ACCB=ADDB=，即OA rr OB=OA+rOB+r=，即OA r+OA+rr OB+r+OB=OA r (OA+r)r OB (r+OB)=即 OAr=rOB=，即 OA OB=r2（反演）同时，OAr=rOB=OAr=OBr=1 OAr OBr=ABr=1，即 r=AB 1.推论 3.1.阿氏圆的常用公式（设 O 为圆心）PAPB=O

157、Ar=rOB=(3.1)OA OB=r2(3.2)r=AB 1(3.3)无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 73 页圆心坐标利用定比分点求内外分点的坐标，即#AD=#DB，D 即图 3.1中的 C，D 两个点，由于 C，D 两点也是圆直径的两个端点，故圆心坐标和半径可以一起确定例 3.4 已知在 ABC 中,角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin A=2 sin B，a cos B+b cos A=2，则 ABC 面积最大时的高为.解 点 C 的轨迹为阿波罗尼斯圆,圆心在直线 AB 上,则 ABC 面积最大时高即为圆的半径，由式(3.3)知半径为22 12=

158、43.例 3.5 已知三角形 ABC 中，AB=AC，腰 AC 上的中线 BM 长为3，则该三角形的面积的最大值是.解 因为 AB=2AM，所以点 A 的轨迹是一个圆，其半径长为32 12=23，故SABC=2SABM 2 12 3 23=2.例 3.6 在平面直角坐标系中，圆 x2+y2=1 交 x 轴于 A、B 两点，且点 A 在点 B 左边，若直线x+3y+m=0 上存在点 P，使得|PA|=2|PB|，则 m 的取值范围为.解133,1.例 3.7 已知圆 O:x2+y2=1 和点 A(2,0)，若定点 B(b,0)(b 2)和常数 满足：对圆 O 上任意一点 M，都有|MB|=|MA

159、|，则(1)b=；(2)=.解 由式(3.2)知 xA xB=1 b=12；由式(3.3)及图形易知 =12.例 3.8 已知共面向量 a、b、c 满足|a|=3，b+c=2a，且|b|=|b c|若对每一个确定的向量b，记|b ta|(t R)的最小值为 dmin，则当 b 变化时 dmin 的最大值为.图 3.2解 如图 3.2 所示，易知点 B 的轨迹为阿氏圆，dmin 的最大值即为阿氏圆的半径，由式(3.3)知r=2.第 74 页例 3.9 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，A、F 是其左顶点和左焦点，P 是圆 x2+y2=b2 上的动点，若|PA|PF|=（为常数），则

160、此椭圆的离心率为.解 点 P 的轨迹是阿氏圆，由式(3.2)知|OA|OF|=r2，即 ac=b2，解得 e=5 12.例 3.10 已知圆 O:x2+y2=1 和点 A12,0，点 B0,12，M 为圆 O 上一动点，则 2|MA|MB|的最大值为()(A)52(B)172(C)32(D)22解 令|MC|=2|MA|，由阿氏圆的定义可知 C(2,0)，由数形结合可知 2|MA|MB|的最大值为|BC|=172.故选 B.例 3.11 长方体 ABCD a1B1C1D1 中，AB=4，AD=Aa1=6，点 P 满足#DP=#DD1+#DA，其中 0,1，0,1，若 +=1，则三棱锥 B C1

161、DP 的体积为；若 M 为 CD 的中点，且 APB=DPM，则点 P 的轨迹与长方体的侧面 ADD1a1 的交线长为.图 3.3图 3.4图 3.5解 如图 3.3，由#DP=#DD1+#DA 可知点 P 在线段 AD1 上，因为 AD1/BC1，所以VBC1DP=VPBC1D=VABC1D=VCBC1D=13 12 4 6 6=24若 APB=DPM，则 tan APB=tan DPM，即 ABAP=DMPD 于是|PA|=2|PD|，非常典型的阿波罗尼斯圆，如图 3.5，圆心在直线 AD 上，半径 r=AD2 12=4，设 AE=2ED，由定比分点公式可得 E(2,0)，于是圆心坐标为(

162、2,0)，则点 P 的轨迹与长方体的侧面 ADD1a1 的交线为 EF，其长度为 2 4 16=43.故答案为 24；43.少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光。第 75 页利用子母相似求最值由第 73 页式子(3.1)可得阿氏圆半径满足 r2=OA OB，于是例 3.12 已知点 P 是圆 O:x2+y2=25 上任意一点，平面上两个定点 M(10,0)，点 N132,3，则PN+12PM 的最小值为.解 设 PQ=12PM，且 Q(m,0)，由 OPQOMP 可得OP2=OM OQ m=2510(3.4)于是 PN+12PM=PN+PQ NQ=5.例 3.13 在平面四边形 ABCD

163、 中，BAD=90，AB=2，AD=1，若#AB#AC+#BA#BC=43#CA#CB，则 CB+12CD 的最小值为.解 由已知条件#AB#AC+#BA#BC=43#CA#CB 可得#CA#CB=3，取 AB 中点 M，由极化恒等式可知#CM2=4，以 A 为原点建立直角坐标系，则点 C 的轨迹为圆 M:x2+(y 1)2=4，设 CB=12CH，且 H(0,n)，由 MCBMHC 可得MC2=MB MH n=5(3.5)于是 CB+12CD=12(CH+CD)12HD=262.3.2.3同构之两圆方程之差推论 3.2.两圆方程之差1.若两圆相交，则两圆方程之差得到的直线方程为两圆交线所在直

164、线方程；2.若两圆相切，则两圆方程之差得到的直线方程为两圆公切线所在直线方程.例 3.14 已知圆 C1:x2+y2 2x 6y+1=0 与圆 C2:x2+y2 10 x 12y+m=0 内切，则m=；此时它们的公切线 l 的方程为.解 b=23，公切线 l 的方程为 4x+3y+2=0.例 3.15【2022 新高考 I】写出与圆 x2+y2=1 和圆(x 3)2+(y 4)2=16 都相切的一条直线的方第 76 页程.解 3x+4y 5=0.3.3椭圆直线联立椭圆直线联立椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)与直线 y=kx+m 联立后x2a2+y2b2=1y=kx+m(a2k2+b2

165、)x2+2a2kmx+a2m2 a2b2=0=4a2b2(a2k2+b2 m2)推论 3.3.直线截距的平方和联立后方程的二次项系数的关系.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)与直线 y=kx+m 联立后.0 a2k2+b2 m2 直线与椭圆相交.=0 a2k2+b2=m2 直线与椭圆相切.0 a2k2+b2 0,b 0)与直线 y=kx+m 有两个交点，两方程联立后.0 m2 a2k2 b2.韦达定理：x1+x2=2kma2a2k2+b2x1x2=a2m2 a2b2a2k2+b2y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=2mb2a2k2+b2y1y2=(kx1+m)(

166、kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=k2a2b2+m2b2a2k2+b2弦中点：kma2a2k2+b2,mb2a2k2+b2.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 77 页弦长|AB|=1+k2 a2k2+b2=2ab1+k2 a2k2+b2 m2a2k2+b2坐标原点到直线 y=kx+m 的距离 d=|m|1+k2SAOB=12|m|1+k2 2ab1+k2 a2k2+b2 m2a2k2+b2=ab|m|a2k2+b2 m2a2k2+b23.4焦半径与焦三角形定义 3.4:焦三角形如图 3.6,图 3.7 所示过圆锥曲线上任一点 P 与圆锥曲线的左、右焦点 F1

167、，F2 所组成的PF1F2 称作焦三角形.定义 3.5:焦半径线段 PF1，PF2 叫圆锥曲线的焦半径.图 3.6图 3.7定理 3.1P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一点,F1PF2=,则(1)SF1PF2=b2 tan 2；(2)|PF1|PF2|=2b21+cos.定理 3.2P 为双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0)上一点,F1PF2=，则(1)SF1PF2=b2tan 2；(2)|PF1|PF2|=2b21 cos.例 3.16 已知椭圆 E:x216+y28=1，F1，F2 是椭圆的左右焦点,点 P 在 E 上,且 F1PF2=3,则第 78 页F1P

168、F2 的面积为.解 833.例 3.17 已知 F1，F2 是椭圆 C:x216+y24=1 的左右焦点，P，Q 为椭圆 C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形 PF1QF2 的面积为.解 8.3.4.1焦三角形的心椭圆焦三角形重心设 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上的一点，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，则 F1PF2的重心 G 的轨迹为椭圆.证 设 P(x0,y0)，G(x,y)，由三角形重心公式易得 x0=3x，y0=3y，代入椭圆方程可得x2a2+y2b2=19(y 0).双曲线焦三角形重心设 P 是双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b

169、 0)上的一点，F1，F2 是双曲线的左、右焦点，则F1PF2 的重心 G 的轨迹为 x2a2 y2b2=19(y 0).椭圆焦三角形内心设 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上的一点，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，则 F1PF2的内心 I 的轨迹为椭圆 x2c2+y2 bca+c2=1(y 0).其中 c2=a2+b2.图 3.8例 3.18 设椭圆 C:x24+y23=1 的两个焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上任意一点，求 PF1F2 的秦九韶（约 12021261），字道古，四川安岳人。第 79 页内切圆的圆心 I 的轨迹方程.解 设 P(x0,y0)，I(x,y)，

170、|PF1|=m，|PF2|=n，易得 F1(1,0)，F2(1,0)，由内心向量形式的充要条件知2#IP+n#IF1+m#IF2=#0(3.6)即2(x0 x)+n(1 x)+m(1 x)=02(y0 y)ny my=0，又m+n=4m n=(x+1)(1 x)=2x，所以x0=2xy0=3y，而 P是椭圆上任意一点，即x204+y203=1，所以 x2+3y2=1(y 0)即为 PF1F2 的内切圆的圆心 I 的轨迹方程.双曲线焦三角形内心1.设 P 是双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上的一点,F1，F2 是左右焦点，则 F1PF2的内切圆圆心的横坐标为 a；2.内切圆圆心的

171、轨迹是以过双曲线顶点的两平行开线段，且内心纵坐标 y (b,b).图 3.9证 不妨设 P(x0,y0)为双曲线右支上一点，则 x0 a，I(x,y)，延长 PI 交 x 轴于 M(m,0)，由角平分线定理|PF1|PF2|=|MF1|MF2|，即 a+ex0a+ex0=c+mc m m=a2x0，由角平分线定理|PI|IM|=x0 xx m=x0 xx a2x0=y0 yy=|PF1|F1M|=|PF2|F2M|=|PF1|PF2|F1M|F2M|=2a2a2x0=x0a解得 x=a，y=ay0a+x0，所以 y2=ay0a+x02=b2(x20 a2)(a+x0)2=b2(x0 a)a+x

172、0 b 0)上一点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 M(m,0)，若椭圆的离心率为 e，则(1)e=MF1PF1=MF2PF2；(2)mx0=e2；(3)直线 PM 和过点 P(x0,y0)的椭圆的切线 x0 xa2+y0yb2=1 垂直.证(1)由三角形角平分线公式易得|F1P|F1M|=|PI|IM|=|F2P|F2M|等比性质=|F1P|+|F2P|F1M|+|F2M|=2a2c=1e，即e=MF1PF1=MF2PF2；(2)因为 F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 M(m,0)，所以|PF1|PF2|=|F1M|F2M|，由焦半径公式可得a+ex0

173、a ex0=c+mc m，解得 m=e2x0.例 3.19 P 为椭圆 x24+y2=1 上除长轴端点外的任一点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 M(m,0)，则 m 的取值范围为.解 由推论 3.5 的(2)可知点 m=34 xP，再由 2 xP 2 可知 32 xP 0,b 0)上异于顶点的一点，F1，F2 为双曲线的两个焦点，F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 M(m,0)，则(1)x0m=a2；(2)直线 PM 即为过点 P(x0,y0)的双曲线的切线 x0 xa2 y0yb2=1.例 3.20 A 为双曲线 x29 y227=1 上异于顶点的任一

174、点，F1，F2 为双曲线的两个焦点，F1AF2 的角平分线交 x 轴于点 M(2,0)，则|AF2|=.不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 81 页解法一 由推论 3.6 的(1)可知点 A 的横坐标为 92，再由第 92 页双曲线坐标式焦半径公式可知|AF2|=e xA a=6.解法二 由推论 3.6 的(2)可知点 A 的横坐标为 92，再由 92 页双曲线坐标式焦半径公式可知|AF2|=e xA a=6.例 3.21 P(x0,y0)为双曲线 x2 y23=1 上异于顶点的一点，F1，F2 为双曲线的两个焦点，F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 Q12,0，则 P 点

175、坐标为.解 P(2,3).例 3.22 已知 P 是双曲线 x216 y29=1 右支上任一点，F1，F2 分别为左右焦点.(1)设|PF1|=|PF2|，求 的范围；(2)动点 M 满足条件#PM=#PF1#PF1+#PF1#PF1(0)，经过点 F2 以#PF1#PF1#PF2#PF2 为方向向量的直线与动点 M 的轨迹交于点 N，试问：是否存在一个定点 E，使得|EN|为定值？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.图 3.10解(1)利用双曲线定义可求得 (1,9；(2)如图 3.10，动点 M 的轨迹是 F1PF2 的角平分线，易知经过点 F2 以#PF1#PF1#PF2#

176、PF2为方向向量的直线 垂直 于#PM，交#PM 于 N，交#PF1 于 H，#PF2=#PH，N 为 F2H 的中点，连接 NO，则|NO|=12|HF1|=12(|PF1|PH|)=12(|PF1|PF2|)=12 2a=4所以存在一点 E(0,0)，也就是 O(0,0)，使得|EN|为定值.第 82 页3.4.3焦三角形求离心率定理 3.3:精品离心率1.P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一点,F1，F2 为椭圆的两个焦点,若 PF1F2=，PF2F1=,则离心率 e=sin(+)sin +sin a ca+c=tan 2 tan 2.2.P 为双曲线 x2a2 y2b2

177、=1 上一点,F1，F2 为双曲线的两个焦点,若 PF1F2=，PF2F1=,则离心率 e=sin(+)|sin sin|.证 我们这里只证明椭圆的情况.如图 3.6 所示,在 PF1F2 中,由正弦定理,有|F1F2|sin F1PF2=|PF1|sin =|PF2|sin 2csin F1PF2=|PF1|+|PF2|sin +sin 即2csin(+)=2asin +sin e=sin(+)sin +sin.例 3.23 P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一点,F1，F2 为椭圆的两个焦点,若 POF2 为等边三角形,则椭圆离心率为.解 e=sin 90sin 30+si

178、n 60=3 1.例 3.24 已知 F1，F2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的两个焦点,P 为 C 上的点,O 为坐标原点.(1)若 POF2 为等边三角形,求 C 的离心率;(2)如果存在点 P,使得 PF1PF2,且 F1PF2 的面积等于 16,求 b 的值和 a 的取值范围.解 依题意(1)e=sin 90sin 30+sin 60=3 1.(2)设 P(x,y),由本书第 78 页定理 3.1 可知 b2 tan 45=16 b=4,因为 PF1PF2,所以 x2+y2=c2.()x2a2+y2b2=1.()由()，()知 x2=a2c2(c2 b2)c2 b2

179、,从而 a2=b2+c2 2b2=32,故 a 42,所以 a 的取值范围为42,+.第 83 页例 3.25 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点为 F1，F2,以 O 为圆心,F1，F2 为直径的圆与椭圆在第一象限交于点 P,且直线 OP 的斜率为3,则椭圆离心率为.解3 1.例 3.26 设 F1，F2 为椭圆 C:x236+y220=1 的两个焦点,M 为 C 上一点且在第一象限,若 MF1F2为等腰三角形,则 M 的坐标为.解 运用和坐标有关的椭圆焦半径定义可知|MF1|=a+ex0=6+23 x0，|MF2|=a ex0=6 23 x0,依题意1|MF1|=|F

180、1F2|,可得 6+23 x0=8 x0=3,所以 M(3,15);2|MF2|=|F1F2|,可得 6 23 x0=8 x0=43,舍去.故 M(3,15).变式训练 EXERCISES176.P 为双曲线 x2a2 y2b2=1 右支上一点,F1，F2 为双曲线的两个焦点,若 POF2 为等边三角形,则双曲线离心率为.177.双曲线 x2a2 y2b2=1，F1，F2 为双曲线的两个焦点,过 F2 垂直于实轴的直线交双曲线与 A，B两点,BF1 交 y 轴于点 C,若 ACBF1,则双曲线离心率为()(A)2(B)3(C)22(D)23178.双曲线 x2 y22=1 的左右焦点 F1，F

181、2,点 M 在双曲线上,满足#MF1#MF2=0,则点 M 到点 x轴的距离为()(A)43(B)53(C)233(D)3179.双曲线 x2 y2=1 的左右焦点 F1，F2,点 P 在双曲线上,满足 F1PF2=60,则|PF1|PF2|=()(A)2(B)4(C)6(D)8第 84 页180.椭圆 x24+y2=1 的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆上一动点,当 F1PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范围为.181.已知 A，F，P 分别为双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若 PFA=2PAF 恒成立,则双曲线的离心率为()(A)2(

182、B)3(C)2(D)1+3182.已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0)的左焦点 F1(c,0)关于直线3x+y=0 的对称点 P在双曲线上,则双曲线的离心率为.定义 3.6:黄金分割与白银分割 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0),若 b2=ac,则椭圆离心率为5 12;俗称黄金分割;若 b2=2ac,则椭圆离心率为2 1;俗称白银分割.已知双曲线 x2a2 y2b2=1,若 b2=ac,则双曲线离心率为5+12;俗称黄金分割;若b2=2ac,则双曲线离心率为2+1;俗称白银分割.例 3.27 双曲线 x2a2 y2b2=1 的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(

183、c,0),且 F1 关于双曲线的一条渐近线的对称点 P 在抛物线 y2=4cx 上,则双曲线的离心率为()(A)2+1(B)2(C)5(D)5+12图 3.11解 依题意如图 3.11,在 F1PF2 中,PF1=2b，PF2=2a，tan F1F2P=ba，cos F1F2P=ac，F1F2=PF2+PF2 cos F1F2P，2c=2a+2a cos F1F2P，e2 e 1=0，e=5+12.选 D阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 85 页注 双曲线 x2a2 y2b2=1 的焦点到渐近线的距离为 b.离心率范围(1)若椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上存在一点

184、 P,使得 F1PF2=,则椭圆离心率 e 的取值范围为 e sin 2,1.(2)若椭圆上不存在一点 P,使得 F1PF2=,则椭圆离心率 e 的取值范围为 e 0,sin 2.图 3.12证 如图 3.12 所示,易知当 P 为椭圆短轴端点时 取得最大值,而由存在性结论知,只需要焦三角形顶角最大值 即可.故只需保证 P 点在椭圆短轴端点处情形时的 F1PF2 即可,所以有ca=sin F1PF22 sin 2.例 3.28 椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点 F1，F2,满足#MF1#MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则 e 的取值范围为()(A)(0,1)(B)0,2

185、2(C)0,22(D)22,1解 C例 3.29 椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点 F1，F2,若椭圆上存在一点 P,使得 PF1PF2,则椭圆离心率的取值范围为()(A)55,1(B)22,1(C)0,55(D)0,22解 B第 86 页例 3.30 设 A，B 是椭圆 C:x23+y2m=1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足 AMB=120,则 m 的取值范围是()(A)(0,1 9,+)(B)(0,3 9,+)(C)(0,1 4,+)(D)(0,3 4,+)解 A端点与离心率P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)或双曲线 x2a2 y2b2=1(a

186、 0，b 0)上一点 A，B 为圆锥曲线左右两端点,若 PAB=，PBA=,则我们有 kAP kBP=e2 1.例 3.31 设 A，B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴的两个端点,C 为椭圆上异于 A，B 的一点,若将 ABC 的三内角记为 A，B，C,且满足 3 tan A+3 tan B+tanC=0,则椭圆的离心率为()(A)33(B)13(C)63(D)23解 根据诱导公式以及两角和的正切性质知3 tan A+3 tan B+tanC=0 3=11 tan A tan B tan A tan B=23,故选 A.变式训练 EXERCISES183.P 为双曲线 x2a

187、2 y2b2=1(a 0，b 0)上一点,A，B 为双曲线左右两端点,直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2,若 k1k2=12,则双曲线的离心率为()(A)32(B)2(C)62(D)32184.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率 e=12，A，B 为椭圆的左右两顶点,P 为椭圆上不同于 A，B 的一点,直线 PA，PB 的倾斜角分别为，,则 cos()cos(+)=.焦半径范围P 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一动点,则b2|PF1|PF2|a2#PF1#PF2=|PO|2|OF|2 b2 c2,b2cos F1PF2=2b2|PF1|PF2|1 2

188、b2a2 1知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 87 页注 式(3.4.3)利用极化恒等式很容易证明.推论 3.7.P 为双曲线 x2a2 y2b2=1 上一动点,则(1)|PF1|PF2|b2,+.(2)#PF1#PF2=|PO|2|OF|2 b2,+.变式训练 EXERCISES185.椭圆 x225+y29=1 的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆上一动点,则|PF1|PF2|的最大值为()(A)9(B)16(C)25(D)252186.椭圆 x24+y2=1 的左右焦点 F1，F2，P 为椭圆上一动点,则使|PF1|PF2|取最大值的点 P 为()(A)(2,0)(B)(0

189、,1)(C)(2,0)(D)(0,1)或(0,1)定理 3.41.若椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上存在一点 P,使得|PF1|=|PF2|(0 且 1).则椭圆离心率的取值范围e 1+1,1(3.7)2.双曲线离心率的取值范围e 1,+1 1(3.8)证 我们利用定义来证明：1.根据椭圆定义,不妨设 1,我们有|PF1|+|PF2|=2a|PF1|=|PF2|PF2|=2a+1另外,我们设椭圆的右顶点为 A,则|PF2|AF2|2a+1 a c 1 e 2+1 e 1+1第 88 页2.根据双曲线定义,不妨设 1,我们有|PF1|PF2|=2a|PF1|=|PF2|PF2|=2a

190、 1另外,我们设双曲线的右顶点为 A,则|PF2|AF2|2a 1 c a 2 1 e 1 e +1 1例 3.32 双曲线 x2a2 y2b2=1 的左右焦点为 F1，F2,点 P 在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则离心率 e 的最大值为()(A)43(B)53(C)2(D)73解 B例 3.33 已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点为 F1，F2,点 P 在双曲线的右支上,且|PF1|=3|PF2|,则离心率 e 的取值范围为.解 1 b 0)的左右焦点为 F1，F2,若椭圆上存在一点 P,使得|PF1|=8|PF2|,则椭圆离心率的取值范围为.解7

191、9,1.例 3.35 若椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上存在一点 P,使得asin PF1F2=csin PF2F1,则该椭圆离心率的取值范围为.解 在 PF1F2 中,由正弦定理有|PF2|sin PF1F2=|PF1|sin PF2F1|PF1|PF2|=ca=e.由定理 3.4 知 1 e1+e e 1 2 1 e b 0)的左右焦点分别为 F1，F2,点 P 是该椭圆上的任意一点,PF1PF2，PF1F2 的内切圆半径为2 1,求椭圆方程.解 我们易知 r=2a 2c2=2 1.又因为 e=ca=22 a=2，b=1.所以椭圆方程为x22+y2=1.批星戴月上学去，万家灯火

192、回家来！第 89 页3.4.4椭圆双曲线共焦点定理 3.5:椭圆双曲线共焦点已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是两曲线的一个公共点，且 F1PF2=，设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则它们满足1 cos e21+1+cos e22=2 sin2 2e21+cos2 2e22=1解法一 设|PF1|=m，|PF2|=n,椭圆长轴长为 2a1,双曲线实轴长为 2a2,则由椭圆双曲线定义可知m+n=2a1m n=2a2(3.9)对焦三角形 F1PF2 运用余弦定理可得(2c)2=m2+n2 2mn cos(3.10)将式(3.9)代入式(3.10),化简得 2c2=a21(1

193、 cos)+a22(1+cos)1 cos e21+1+cos e22=2.解法二 利用两个三角形面积公式（第 78 页定理 3.1 和第 78 页定理 3.2）.由SPF1F2=b21 tan 2SPF1F2=b22tan 2得b22b21=tan2 2=sin2 2cos2 2 c2=a21 sin2 2+a22 cos2 2 sin2 2e21+cos2 2e22=1推论 3.8.已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是两曲线的一个公共点，且 F1PF2=，设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2，则它们满足 1e1+1e22sin.证 设|PF1|=m，|PF2|=n,椭圆长

194、轴长为 2a1,双曲线实轴长为 2a2,则由椭圆双曲线定义可知m+n=2a1m n=2a2，则 a1+a2=m=|PF1|，于是1e1+1e2=a1c+a2c=2|PF1|F1F2|正弦定理=2 sin PF2F1sin 2sin 第 90 页例 3.37 如图 3.13 所示,已知 F1，F2 是椭圆 C1:x24+y2=1 和双曲线 C2 的公共焦点,A，B 分别是两曲线在第一三象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率为.图 3.13解62.例 3.38 已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是两曲线的一个公共点,且 F1PF2=3,则椭圆和双曲线的离心率

195、的倒数之和的最大值为()(A)433(B)233(C)3(D)2解 A.变式训练 EXERCISES187.已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 F1PF2=3,设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,则 e21+2e22 的最小值为.188.共焦点的椭圆和双曲线的左焦点为 F，A，B 分别是两曲线在第一、第三象限的交点,且AFB=23,则当两曲线的离心率之积最小时,双曲线有一条渐近线的方程是()(A)x 2y=0(B)2x+y=0(C)x 2y=0(D)2x+y=0189.已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 F1PF2=

196、90,设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,则e21+e22(e1e2)2 的值为()(A)12(B)1(C)2(D)22190.已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 F1PF2=60,设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,则 1e21+3e22的值为()业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 91 页97(A)14(B)12(C)2(D)4191.已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且|F1F2|=2|PO|,设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,则 1e21+1e22的值为.例 3.39 已知椭圆 C1:x2

197、m2+y2=1(m 1)与双曲线 C2:x2n2 y2=1(n 0)的焦点重合,e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率,则()(A)m n 且 e1e2 1(B)m n 且 e1e2 1(C)m 1(D)m n 且 e1e2 n,又e1=m2 1me2=n2+1n e1e2=m2 1 n2+1mn由式(3.11)以及等比性质可知 e1e2=m2 1mn=n2+1mn等比性质=两分式相加m2+n22mn 1故选 A.3.4.5椭圆第二定义定义 3.7:椭圆第二定义椭圆上一点到焦点的距离与到对应准线距离之比等于离心率.坐标式焦半径椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点为 F1，

198、F2,点 P(x0,y0)为椭圆 C 上一动点，则|PF1|=a+ex0(3.12)|PF2|=a ex0(3.13)双曲线坐标式焦半径双曲线 C:x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点为 F1，F2,点 P(x0,y0)为双曲线 C 上一动第 92 页点，则|PF1|=|ex0+a|(3.14)|PF2|=|ex0 a|(3.15)例 3.40 已知椭圆 x24+y23=1 的左、右端点为 A，B，右焦点为 F，直线 l:x=4 与 x 轴交于点D，直线 AM 与 l 交于点 N，是否存在常数，使得 MFD=NFD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.图 3.14图 3.15解

199、 易知直线 l:x=4 是椭圆的右准线，如图 3.15，作 MHND 于点 H，易知NMHNAD，所以|MN|MH|=|AN|AD|椭圆第二定义=|MN|MF|e=|AN|a2c+a(3.16)即|MN|MF|=|AN|e a2c+a=|AN|AF|(3.17)由正弦定理可得sin MFNsin MNF=sin AFNsin ANF sin MFN=sin AFN(3.18)所以 MFD=2NFD，即 =2.3.4.6原曲焦点弦定义 3.8:焦点弦如图 3.16 所示,过圆锥曲线的焦点 F 被圆锥曲线所截的弦 AB 称作焦点弦.敏而好学，不耻下问。孔子第 93 页图 3.16焦点弦长如图 3.

200、16 所示,焦半径公式和焦点弦长公式:|AF|=b2a c cos,|FB|=b2a+c cos(3.19)|AB|=|AF|+|FB|=2ab2a2 c2 cos2|AF|长,|FB|短.其中 为弦的倾斜角,a，b，c 为双曲线和椭圆定义里的数.例 3.41 过椭圆 x24+y23=1 的左焦点 F1 作两条垂直直线 l1，l2 与椭圆分别交于 A，C 和 B，D,是否存在常数,使得1|AC|，1|BD|成等差数列?若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由.解 当 AC 的斜率为零或不存在时,1|AC|+1|BD|=712.当 AC 斜率存在时,设倾斜角为,则 BD 的倾斜角为 +2,那么|

201、AC|=124 cos2,|BD|=124+sin2 1|AC|+1|BD|=712=2 =724.推论 3.9.抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切.推论 3.10.抛物线 y2=2px 中以焦半径为直径的圆与 y 轴相切.例 3.42 已知抛物线 C:y2=4x 和点 D(2,0),直线 x=ty 2 与抛物线交于不同两点 A，B,直线BD 与抛物线交于另一点 E,给出以下判断:1 以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离;2 直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为 2;第 94 页3 设过点 A，B，E 的圆的圆心坐标为(a,b),半径为 r,则 a2 r2=4.其中,所有判断正确的序号是

202、()(A)12(B)13(C)23(D)123解 对于 1,根据要点提示明显;对于 2,设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x0,y0),于是kOB kOE=y2y0 x2x0=y2y0 x2x0=4x2 (4x0)x2x0抛物线几何平均性质=84=2所以;对于 3,联立y2=4xx=ty 2得 y2 4ty+8=0，韦达定理y1+y2=4t(3.20)y1y2=8(3.21)又 y2y0=8,所以点 A，E 关于 x 轴对称,于是过点 A，B，E 的圆的圆心在 x 轴上,由(3.20),(3.21)得x1+x2=4t2 4(3.22)x1x2=4(3.23)可知点 A，B 的中点 M

203、(2t2 2,2t),所以直线 AB 的中垂线与 x 轴交点 N 的坐标为(2t2,0),于是a=2t2,且|MN|2=4+4t2(3.24)由两点距离公式知|AB|2=(x1 x2)2+(y1 y2)2=(x1+x2)2 4x1x2+(y1+y2)2 4y1y2=(4t2 4)2 16+16t2 32=16t4 16t2 32所以 a2 r2=a2|MN|2+|AB|24=4t4 4 4t2 4t4+4t2+8=4.所以 3.选 D.海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 95 页定理 3.6三大圆锥曲线中,若弦 AB 的倾斜角为,斜率为 k,且#AF=#FB(0),则|cos|=|1

204、|e(+1)e=1+k2 1+1(3.25)例 3.43 抛物线 y2=2px 的焦点为 F,过焦点的弦为 AB,若#AF=3#FB,则 AB 的倾斜角为()(A)6(B)3(C)4(D)2解 B.变式训练 EXERCISES192.过抛物线 C:y2=2px 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线与抛物线交于 A，B 两点(A 上 B 下),则|AF|BF|=.193.已知椭圆 :x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴是短轴的 2 倍,过右焦点 F 且斜率为 k(k 0)的直线与椭圆交于 A，B 两点,若#AF=3#FB.则 k=()(A)1(B)2(C)3(D)2194.已知椭圆 C:x

205、2a2+y2b2=1(a b 0)的上顶点为 B,左右焦点分别为 F1，F2,直线 BF2 与椭圆C 的另一个交点为 A,若 AF1F2，BF1F2 的面积之比为 4:5,则椭圆 C 的离心率为.195.过椭圆 x24+y23=1 的右焦点 F 作直线 l 与椭圆交于 M，N 两点,B 为椭圆短轴的一个顶点,是否存在直线 l,使得 SBFMSBFN=2.若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.196.已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0),若存在过右焦点 F 的直线与双曲线交于 A，B 两点,且#AF=3#BF.则双曲线离心率的最小值为()(A)2(B)3(C)2(D)2219

206、7.已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0)，F2(1,0),过点 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点,若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|则 C 的方程为()(A)x22+y2=1(B)x23+y22=1(C)x24+y23=1(D)x25+y24=1第 96 页定理 3.7:通径三大圆锥曲线中【双曲线需同一支】,若焦点弦 AB【不平行于坐标轴】,若 L 为通径,则1|AF|+1|BF|=4L=2ep(3.26)例 3.44 直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线交于 A，B 两点,若线段 AF，BF 的长分别为 m，n,则 4m+n 的最小值为()(A)10(

207、B)9(C)8(D)7解 由抛物线焦半径公式易知1|AF|+1|BF|=2p 1m+1n=1,再由权方和不等式可知4m+n=41m+11n(4+1)21m+1n=9,故选 B.引理 3.1.三大圆锥曲线中【双曲线需同一支】,AB 为焦点弦,且#AF=#FB,【L 为通径】.则|AB|=L4+1+2推论 3.11.抛物线 y2=2px 的焦点为 F,过焦点的弦 AB 的倾斜角为,则SAOB=p22 sin,|AB|=2psin2,xA xB=p24,yA yB=p2(3.27)推论 3.12.若抛物线的顶点对焦点弦的张角被对称轴分成两部分的大小分别为，则tan tan =4.推论 3.13.设

208、M(a,0)是抛物线 y2=2px(p 0)的对称轴上的一个定点，过 M 的直线交抛物线于 A，B 两点，AB 对顶点的张角被对称轴分成两部分的大小分别为，则tan tan =2pa.穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 97 页推论 3.14.抛物线 x2=2py 的焦点为 F,过焦点的弦 AB 的倾斜角为,则SAOB=p22 cos,|AB|=2pcos2,|AF|=p1 sin,|BF|=p1+sin(3.28)|AF|BF|=sin =1+1(3.29)例 3.45 过抛物线 y2=12x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点,设|AF|=m，|BF|=n，1 当m=4 时,n=2

209、 m 18n 的最小值为,解1 利用 1m+1n=2p=13 n=12，2 利用 1m+1n=2p=13 得 m 18n=m+18m 6 62 6.例 3.46 过抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点 F 且倾斜角为 120 的直线交抛物线于 A，B 两点,若AF，BF 的中点在 y 轴上的射影分别为 M，N,且|MN|=43,则抛物线 C 的准线方程为()(A)x=1(B)x=2(C)x=32(D)x=3解 设 A，B 两点在 y 轴上的射影分别为 A,B,易知|AB|=83,依题意由倾斜角为 120 可知|AB|=16,又根据式(3.27)知|AB|=2psin2 120=8p3，所以

210、 p=6,选 D.例 3.47 过抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 交抛物线于 A，B 两点【点 A 在第一象限】,线段 AB 的垂直平分线与 C 的准线交于点 M，MAB 的面积等于 12|AB|2,设线段 AB 的中点为 N,则下列结论正确的是.【填上所有正确的序号】1 点 N 到准线的距离为 12|MN|;2 AMB 90;3 直线 l 的倾斜角为 60;4|AF|BF|=7+43.解 设抛物线的准线为 m,分别过点 A，N，B 作 AAm，NNm，BBm，垂足分别为 A，N，B,因为直线 l 过抛物线的焦点 F,所以|BB|=|BF|，|AA|=|

211、AF|,又 MAB 的面积等于 12|AB|2,所以|MN|=|AB|,于是|NN|=12|BB|+|AA|=12(|BF|+|AF|)=12|AB|=12|MN|故 1;|MN|=12|AB|,所以以 AB 为直径的圆与准线相切,所以 ANB=90,所以 AMB b 0)的离心率为32，经过右准线与 x 轴的交点 E 且斜率为 k 的直线交椭圆于 A，B 两点，若#EA=3#EB，则 k=.解 k2=34 3 13+12=12 k=22.例 3.51【2010 高考 I 理】椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左准线与 x 轴的交点为 E，椭圆上顶点为 B，BE 交椭圆于 A 点，若

212、#EB=2#EA，则离心率 e=.解 e=33.例 3.52【2008 高考 II 理】抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴的交点为 E，过 E 作倾斜角为 30 的直线交抛物线于 A，B 两点，若#EA=t#EB，则 t=.解 t=5 26.君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 101 页3.6点差法3.6.1中心弦定义 3.10:中心弦 如图 3.18 所示,椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),直线 y=kx 与椭圆 E 交于 A，B 两点【AB 称为椭圆的直径】,P 为椭圆上异于 A，B 的点,若直线 PA，PB 的斜率存在,且分别为 k1，k2,则k1 k2=b2a2(3

213、.33)双曲线 E:x2a2 y2b2=1,则有结论 k1 k2=b2a2.图 3.18证 设 A(x0,y0),则 B(x0,y0)，P(x,y),则x20a2+y20b2=1x2a2+y2b2=1.两式做差得x2 x20a2+y2 y20b2=0.所以k1 k2=b2a2.例 3.53 ABC 的三个顶点在椭圆 4x2+5y2=6 上,其中 A，B 两点关于原点 O 对称,设直线 AB的斜率为 k1,直线 BC 的斜率为 k2,则 k1 k2=.解 45.例 3.54 设椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)与直线 y=x 交于 M，N 两点,若在椭圆上存在点 P,使得直线 MP，NP

214、 斜率之积为 49,则椭圆离心率为()(A)23(B)53(C)63(D)223第 102 页解 B.例 3.55 已知 A(2,0)，B(2,0),动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 12,记 M 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程,并说明是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点,点 P 在第一象限,PEx 轴,垂足为 E,连接 QE 并延长交 C 于点 G,证明：PQG 是直角三角形.解(1)yx+2 yx 2=12 x24+y22=1(x 2),所以 C 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,不含左右顶点.(2)设 P(x1,y1)，Q(x

215、1,y1),E(x1,0)于是 kPQ=y1x1，kQE=y12x1 kPQ=2kQE.1由于坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点,所以 kGP kGQ=24=12.2将 1 式代入 2 式即得 kGP kPQ=1,所以 PQPG,故 PQG 是直角三角形.中心弦结论1.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点为 A，B，P 为椭圆上任意一点【不与 A，B重合】,则 kPA kPB=b2a2=e2 1.2.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的内接平行四边形 ABCD 邻边 AB 与 AD 所在直线的斜率之积为 kAB kAD=b2a2=e2 1.3.双曲线 x2a2 y2

216、b2=1(a 0，b 0)的左右顶点为 A，B，P 为双曲线上任意一点【不与 A，B 重合】,则 kPA kPB=b2a2=e2 1.例 3.56 已知直线 l:3x+y+m=0 与双曲线 C:x2a2 y2b2=1(a 0，b 0)的右支交于 M，N两点,点 M 在第一象限,若点 Q 满足#OM+#OQ=0【O 为坐标原点】,且 MNQ=30,则双曲线的渐近线方程是()(A)y=12 x(B)y=x(C)y=2x(D)y=2x解 根据题意,#OM+#OQ=0 M，Q 关于坐标原点 O 对称,所以kNM kNQ=b2a2 (3)33=b2a2=1.答案为 B.例 3.57 如图 3.19,已知

217、椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的上、下顶点分别为 B1，B2，点 P 是椭圆三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 103 页上不与 B1，B2 重合的点，B1P，B2P 分别交 x 轴于 M，N，求证：|OM|ON|为定值.图 3.19证 设 M(m,0)，N(n,0)，由定义 3.10 可知 kB1P kB2P=b2a2，bm bn=b2a2，m n=a2，即|OM|ON|=a2 为定值.例 3.58 如图 3.20,PQ 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)不过中心的弦，椭圆的左、右顶点分别为a1，a2，直线 a1P，Qa2 相交于点 M，直线 Pa2，a1Q

218、相交于点 N，求证：MNa1a2.图 3.20证 设 M(x1,y1)，N(x2,y2)，由定义 3.10 可知 kPA1 kPA2=b2a2，即y1x1+a y2x2 a=b2a2(3.34)同理y2x2+a y1x1 a=b2a2(3.35)由以上两式得(x1+a)(x2 a)=(x2+a)(x1 a)，a(x2 x1)=a(x1 x2)，x1=x2，MNa1a2.例 3.59 如图 3.21,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 a1，a2，点 F2 是椭圆的右焦点，直线 l:x=a2c，M 为椭圆上任意一点，直线 a1M，a2M 分别交直线 l 于点 P

219、，Q，求证：PF2QF2.证 设 P(a2c,y1)，Q(a2c,y2)，由定义 3.10 可知 kMa1 kMa2=b2a2，y1a2c+ay2a2c a=b2a2，第 104 页图 3.21y1y2a4c2 a2=b2a2，y1y2=b21 a2c2=b4c2，kPF2 kQF2=y1a2c cy2a2c c=b4c2b4c2=1，PF2QF2.例 3.60 如图 3.21,已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的实轴的两个端点分别为 A，B，点 P 是双曲线上不同于实轴端点的点，直线 PA，PB 分别与直线 l:x=m(|m|0,b 0)与直线 y=kx 交于 A，B,两点

220、,点 P(x0,y0)为C 上任意一点,直线 PA,PB 的斜率分别为 kPA，kPB,且 kPA kPB=94,则下列结论正确的是()(A)双曲线的渐近线方程为 y=32 x(B)双曲线的渐近线方程为 y=52 x(C)双曲线的离心率为132(D)双曲线的离心率为 1343.6.2非对称韦达在圆锥曲线中，如果最后整理出的式子 x1，x2 或 y1，y2 前的系数相同，那么直接使用韦达定理即可化简；若并非对称出现，就要进行一些处理之后才能继续.非对称韦达式子 my1y2 y1my1y2+3y2就叫非对称韦达式，将含有两根积的项转化为两根和的形式即可.例 3.61 如图 3.25，已知 P，Q

221、分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点，直线 AB 过坐标轴上的定点 M(m,0)，于是kBQkPA=a+ma m.图 3.22证 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 AB:x=ty+m，联立x=ty+mb2x2+a2y2 a2b2=0可得(b2t2+a2)y2+2b2tmy+b2(m2 a2)=0(3.39)y1+y2=2b2tmb2t2+a2y1y2=b2(m2 a2)b2t2+a2 y1+y2y1y2=2b2tmb2(m2 a2)ty1y2=a2 m22m(y1+y2)(3.40)第 106 页kBQkPA=y2(x1+a)y1(x2 a)=ty1y2+

222、(m+a)y2ty1y2+(m a)y1(3.41)(3.40)代入(3.41)可得kBQkPA=(a+m)(a m)y1+(a+m)2y2(a m)2y1+(a+m)(a m)y2=a+ma m(3.42)例 3.62 如图 3.23,已知椭圆 C:x216+y212=1 的左、右顶点分别为 P，Q,过椭圆右焦点 F 的直线 l与椭圆交于 A，B 两点,且直线 l 的斜率不为 0,问是否存在常数,使得在直线 l 的转动过程中,有 kAP=kBQ 恒成立?图 3.23解 =13.例 3.63 如图 3.24,椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A，B,过右焦点 F(1,0)的直线

223、 l 与椭圆交于 M，N 两点,且直线 l 的斜率不为 0,则直线 AM 与直线 NB 交点 T(x0,y0)的横坐标 x0 为定值.解 设 M(x1,y1)，N(x2,y2),直线 l:x=my+1,易知 kNB=3kAM,设直线 NB:x=ty+2,则直线AM:x=3ty 2,联立x=ty+2x=3ty 2可得 x0=4.例 3.64 如图 3.25,已知 A，B 分别为椭圆 E:x2a2+y2=1(a 1)的左右顶点,G 为 E 的上顶点,#AG#GB=8，P 为直线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)证

224、明:直线 CD 过定点.解(1)x29+y2=1;人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 107 页图 3.24图 3.25(2)由对称性可知直线 CD 过 x 轴上一定点，设此定点 E(m,0)，设 C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线CD:x=ty+m，联立x=ty+mx2+9y2 9=0可得(t2+9)y2+2tmy+(m2 9)=0(3.43)y1+y2=2tmt2+9y1y2=m2 9t2+9 y1+y2y1y2=2tm(m2 9)ty1y2=9 m22m(y1+y2)(3.44)AC:y=y1x1+3(x+3)(3.45)BD:y=y2x2 3(x 3)(3

225、.46)(3.45)(3.46)，可得x+3x 3=ty1y2+(m+3)y2ty1y2+(m 3)y1=3+m3 m(3.47)把 x=6 代入(3.47)，得 3=3+m3 m m=32.所以直线 CD 过定点32,0.例 3.65 已知 A，B 分别为椭圆 y22+x2=1 的左右顶点，直线 l 过其上焦点 F(0,1)，与椭圆交于C，D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q，求证：#OP#OQ 为定值.证 易知直线 l 与 x 轴不垂直，设 C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线 l:y=kx+1，P1k,0，联立第 108 页y22+x2=1y=kx+

226、1可得(k2+2)x2+2kx 1=0(3.48)x1+x2=2kk2+2x1x2=1k2+2y1+y2=4k2+2y1y2=2k2 2k2+2 y1y2=1 k22(y1+y2)(3.49)直线 AC 与直线 BD 的方程为y=y1x1+1(x+1)(3.50)y=y2x2 1(x 1)(3.51)两式相比得x+1x 1=y2(x1+1)y1(x2 1)=y2y11k+1y1y21k 1=1ky1y2+1 1ky21ky1y2 1+1ky1(3.52)式(3.49)代入式(3.52)化简得 x+1x 1=k 1k+1，于是 xQ=k，所以#OP#OQ=1k(k)=1.例 3.66 已知椭圆

227、C:x24+y23=1 的左、右端点分别为 a1，a2，过点 F(1,0)的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，且点 P 位于 x 轴上方，记直线 a1Q，a2P 的斜率分别为 k1，k2.(1)证明：k1k2为定值;(2)设点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q1，求 PFQ1 面积的最大值.图 3.26解(1)k1k2=2 12+1=13；(2)易知ka1 P ka1 Q=34 13=14ka1 Q=ka1 Q1故 ka1 P ka1 Q1=14，于是 Q1P 所在直线恒过点 D(4,0)，设谁要游戏人生，他就一事无成。第 109 页P(x1,y1)，Q(x2,y2)，Q1(x2,y2)，直线

228、PQ:x=my+1，和椭圆联立后有 y1+y2=6m3m2+4，SPFQ1=SDFQ1 SDFP=32y1+y2=9|m|3m2+4=93|m|+4|m|(3.53)由基本不等式得SPFQ1=93|m|+4|m|9212=334(3.54)当且仅当 3m=4|m|时等号成立.例 3.67 椭圆 x24+y2=1 的左、右顶点分别为 A，B，P，Q 是椭圆上的两点且满足 kAP=7kQB，求 PQB 与 PQA 面积之差的最大值.解 设 P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线 PQ:x=my+n，联立x=my+nx2+4y2 4=0可得(m2+4)y2+2mny+n2 4=0(3.55)y1+

229、y2=2mnm2+4y1y2=n2 4m2+4 y1+y2y1y2=2mnn2 4 my1y2=4 n22n(y1+y2)(3.56)kAPkBQ=7 y1x1+2=7y2x2 2 7=my1y2+(n 2)y1my1y2+(2+n)y2(3.57)(3.56)代入(3.57)可得7=2 nn+2 n=32(3.58)所以直线 PQ 恒过定点 N32,0.此时方程(3.55)变为(m2+4)y2 3my 74=0(3.59)=9m2+4(m2+4)74=4(4m2+7)，第 110 页故 PQB 与 PQA 面积之差S=SPQB SPQA=12|BN|y1 y2|12|AN|y1 y2|=12

230、 72|y1 y2|12 12|y1 y2|=32|y1 y2|=32 24m2+7m2+4=34m2+7m2+4设 t=4m2+7，则 m2=t2 74，t 7，所以S=12tt2+9 12t2t2 9=2(3.60)当且仅当 t=3 7 时，不等式等号成立，故 PQB 与 PQA 面积之差的最大值为 2.例 3.68【2022 深圳二模】已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 M(1,32)，且焦距|F1F2|=23，线段 AB，CD 分别是它的长轴和短轴.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 N(s,t)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线 PQ 经过定点.

231、1s=1，t 32，直线 NA，NB 与椭圆 E 的另一交点分别为 P，Q；2t=2，s R，直线 NC，ND 与椭圆 E 的另一交点分别为 P，Q.解(1)x24+y2=1；(2)选 2，直线 PQ 经过的定点应是0,12.3.6.3中点弦为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 111 页定理 3.8:中点弦如图 3.27 所示,椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),直线 y=kx+m 与椭圆 E 交于 A，B 两点,P 为弦 A，B 的中点,若直线 AB 的斜率为 kAB,则kAB kOP=e2 1(3.61)双曲线 E:x2a2 y2b2=1 结论相同.图 3.27证 设 A(

232、x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0),则x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1,两式做差x22 x21a2+y22 y21b2=0 (x2+x1)(x2 x1)a2+(y2+y1)(y2 y1)b2=0 2x0(x2 x1)a2+2y0(y2 y1)b2=0 y2 y1x2 x1=b2a2 x0y0 kAB=b2a2 x0y0例 3.69 已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的一条弦所在直线方程是 x y+5=0,弦的中点坐标是M(4,1),则椭圆的离心率是()(A)12(B)22(C)32(D)55解 C.例 3.70 椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a

233、 b 0)的长轴长为离心率的两倍,直线 l:4x 4y+3=0 交 C 于第 112 页A，B 两点,且 AB 中点的横坐标为 12.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若 M，N 为椭圆 C 上的点,O 为坐标原点,且|OM|2+|ON|2=34,求证:OM，ON 的斜率平方之积是定值.解(1)依题意由中点弦公式可知椭圆 C 的方程为 2x2+4y2=1;证(2)设 M(x1,y1)，N(x2,y2),依题意|OM|2+|ON|2=34 x21+y21+x22+y22=34(3.62)因为 M，N 为椭圆 C 上的点,所以2x21+4y21=1(3.63)2x22+4y22=1(3.64)由(3

234、.62)(3.63)(3.64)可知 x21+x22=12.所以k2OM k2ON=y21 y22x21 x22=14(1 2x21)14(1 2x22)x21 x22=116(1 2(x21+x22)+4(x21 x22)x21 x22=14变式训练 EXERCISES206.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，M 是椭圆 C 的上顶点,椭圆 C 的左右焦点为 F1，F2,且 MF1F2 的周长为 6,(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过动点 P(1,t)作直线交椭圆 C 于 A，B 两点,且|PA|=|PB|,过 P 作直线 l,使 l 与 AB 垂直,求

235、证:直线 l 恒过定点,并求出此定点.207.已知椭圆 x24+y23=1,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y=4x+m,椭圆 C 上有两个不同的点关于这条直线对称.208.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)右焦点 F,斜率为 1 的直线交椭圆于 A，B 两点,#OA+#OB 与a=(3,1)共线,求椭圆的离心率.209.若双曲线 x2a2 y2b2=1 的离心率为黄金分割数5 12的倒数,则称为黄金双曲线.已知直线y=x+b 与黄金双曲线交于 A，B 两点,M 为 AB 的中点,则直线 OM 的斜率为()好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰。都德第 113 页(A)5

236、 12(B)5+12(C)5 12(D)1 52210.在平面直角坐标系中,ABC 的顶点 A(1,0)，B(1,0),且 sin A，sinC，sin B 成等差数列.(1)求 ABC 的頂点 C 的轨迹方程;(2)直线 y=kx+b 与頂点 C 的轨迹交于 M、N 两点,当线段 MN 的中点 P 落在直线y=32 上时,试问:线段 MN 的垂直平分线是否恒过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.211.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32,且经过点1,32.(1)求随圆 C 的方程;(2)过点(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、

237、B,以 OA、OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点 M 在椭圆 C 上,求直线 l 的方程.定理 3.9:抛物线中点弦公式 抛物线 E:y2=2px 的中点弦公式为kAB=py0(3.65)抛物线 E:x2=2py 的中点弦公式为kAB=x0p(3.66)例 3.71 抛物线 x2=4y,一动点 P(1,t),若过点 P 可以作直线交抛物线于 A，B 两点,且 P 为线段AB 的中点,则直线 AB 的斜率为()(A)12(B)12(C)2(D)2解 由抛物线中点弦公式可知 kAB=x0p=12,故选 A.例 3.72 过抛物线 y2=43x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两

238、点(点 A 在第一象限),若#AF=3#FB,则以 AB 为直径的圆的方程为()(A)x 5332+(y 2)2=643(B)(x 2)2+(y 23)2=643第 114 页(C)(x 53)2+(y 2)2=64(D)(x 23)2+(y 2)2=64解 易知 AB 所在直线方程为 x=33 y+3.设 A，B 中点 M(x0,y0),由中点弦公式kAB=23y0=3 y0=2 x0=533.故选 A.例 3.73 抛物线的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),过焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点,若直线 l 的倾斜角为 45,则弦 AB 的中点坐标为.解(3,2).变式训练 EX

239、ERCISES212.设点 F 为抛物线 y2=16x 的焦点,A，B，C 三点在抛物线上,且四边形 ABCF 为平行四边形,若对角线|BF|=5(点 B 在第一象限),则对角线 AC 所在的直线方程为()(A)8x 2y 11=0(B)4x y 8=0(C)4x 2y 3=0(D)2x y 3=0二次曲线中点弦所在直线方程求法 移项,使得右边为常数【0 也可以】.等号左边二次项分别用x0 x 和 y0y 替换.一次项分别用 x0+x2和 y0+y2替换.等号右边是把已知点带入移项后的曲线的左端.具体结论：(1)若点 P(x0，y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)内,则被 P 所

240、平分的中点弦的方程是x0 xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(2)双曲线：x0 xa2 y0yb2=x20a2 y20b2.(3)抛物线：y2 2px=0 y0y p(x0+x)=y20 2px0.证(1)由式(3.61)可知y y0=b2x0a2y0(x x0)a2y0y a2y20+b2x0 x b2x20=0 b2x0 x+a2y0y=b2x20+a2y20 x0 xa2+y0yb2=x20a2+y20b2无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 115 页中点轨迹(1)若点 P(x0,y0)为椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)所在平面内一点,则过 P 的椭

241、圆的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2(2)双曲线：x2a2 y2b2=x0 xa2 y0yb2证(1)由式(3.61)可知y y0 x x0 yx=b2a2 a2y2 a2y0y+b2x2 b2x0 x=0 b2x2+a2y2=b2x0 x+a2y0y x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2例 3.74 过椭圆 x216+y24=1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,则这条弦所在直线方程为.解 x+2y 4=0.3.6.4圆曲中的 8 字例 3.75 如图 3.28，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，任意作两条斜率为 k 的

242、平行直线 l1，l2，分别与椭圆 C 交于 A，B，C，D 四点，设 AB，CD 的中点分别为 E，F，则直线 EF 必过坐标原点.证 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，直线 AB 的斜率为 k，由点差法易知kOE=b2a2k=kOF，所以 O，E，F 三点共线.图 3.28图 3.29第 116 页例 3.76 如图 3.29，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，任意作两条斜率为 k 的平行直线 l1，l2，分别与椭圆 C 交于 A，B，C，D 四点，AD，BC 相交于点 M(x0,y0)，则椭圆离心率为e=1+k y0 x0.证 设

243、 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，设 AB，CD 的中点分别为 E，F，由点差法易知kOE=b2a2k=kOF，所以 O，E，F 三点共线.又 ABMCDM，所以 M，E，F 三点共线，于是 kOE=b2a2k=kOF=kOM，即 b2a2k=y0 x0，所以 e2=c2a2=1+y0 x0，即 e=1+k y0 x0.图 3.30例 3.77 如图 3.30，过点 F(1,0)和点 E(4,0)的两条平行直线 l1，l2，分别与抛物线 y2=4x 交于A，B，C，D 四点，AD 交 x 轴于点 G.(1)求证：点 C，点 D 的纵坐标乘积为定值；(2)

244、分别记 ABG 和 CDG 的面积为 S 1 和 S 2，当 S 1S 2=14 时，求直线 AD 的方程.证(1)设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，由抛物线几何平均值可知 x3x4=42=16，所以 y3y4=(4x3)(4x4)=16；(2)由抛物线几何平均值以及平行线可得y1y2=4(3.67)y3y4=16(3.68)y1+y2=y3+y4(3.69)设直线 AB 的斜率为 k，由三角形面积公式，SABG=12|AB|AG|sin BAGSCDG=12|CD|DG|sin CDG，可得少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光。第 117 页S

245、 1S 2=|AB|y1|CD|y4，依题可得1+k2|y1 y2|y11+k2|y3 y4|y4=y21 y1y2y3y4 y24=14 y21+4y24+16=14 2y1=y4(3.70)由式(3.67)，(3.68)，(3.69)，(3.70)解得 y1=2，y4=4，进而可得 S(4,4)，A(1,2)，所以直线AD 方程为 y=2x+4.3.7定点定值3.7.1直角引定点直径对直角：圆上一点张直角的弦为直径，过定点圆心.椭圆的顶点：(1)如果直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)相交于 A、B 两点，M 是其右顶点，当 MAMB时，直线 l 过定点(at,0)，其中

246、 t=a2 b2a2+b2.(2)如果直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)相交于 A、B 两点，M 是其左顶点，当 MAMB时，直线 l 过定点(at,0)，其中 t=a2 b2a2+b2.(3)如果直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)相交于 A、B 两点，M 是其上顶点，当 MAMB时，直线 l 过定点(0,tb)，其中 t=a2 b2a2+b2.(4)如果直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)相交于 A、B 两点，M 是其下顶点，当 MAMB时，直线 l 过定点(0,tb)，其中 t=a2 b2a2+b2.双曲线的顶点：(1)如果直线 l

247、 与双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0,a b)相交于 A、B 两点，M 是其右顶点，当MAMB 时，直线 l 过定点(at,0)，其中 t=a2+b2a2 b2.(2)如果直线 l 与双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0,a b)相交于 A、B 两点，M 是其左顶点，当MAMB 时，直线 l 过定点(at,0)，其中 t=a2+b2a2 b2.抛物线的顶点：第 118 页(1)如果直线 l 与抛物线 y2=2px 相交于 A、B 两点，当 OAOB 时，直线 l 过定点(2p,0).(2)如果直线 l 与抛物线 x2=2py 相交于 A、B 两点，当 OAOB 时，直线

248、 l 过定点(0,2p).直角顶点在圆锥曲线上的其它点（非顶点）：(1)如果直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)相交于 A、B 两点，M(x0,y0)是椭圆上一定点，当 MAMB 时，直线 l 过定点(tx0,ty0)，其中 t=a2 b2a2+b2.(2)如果直线 l 与双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0,a b)相交于 A、B 两点，M(x0,y0)是双曲线上一定点，当 MAMB 时，直线 l 过定点(tx0,ty0)，其中 t=a2+b2a2 b2.(3)如果直线 l 与抛物线 y2=2px(p 0)相交于 A、B 两点，M(x0,y0)是抛物线上一定点，当

249、MAMB 时，直线 l 过定点(x0+2p,y0).例 3.78 过椭圆 C:x24+y2=1 的上顶点 A 作互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 M，N 两点，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标.解 设直线 AM 方程为 y=kx+1，联立椭圆方程，得(4k2+1)x2+8kx=0(3.71)由韦达定理解得 xM=8k4k2+1，yM=1 4k24k2+1，同理可得 xN=8kk2+4，yN=k2 4k2+4，由两点式可得直线 MN 的方程为 y 1 4k24k2+1=k2 15kx+8k1+4k2，即 y=k2 15kx 35，直线MN 过定点0,35.3.7.2两垂直弦中点连线过定

250、点推论 过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)内 x 轴上一点 E(m,0)作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N，则直线 MN 恒过定点 a2ma2+b2,0.例 3.79 已知椭圆 x22+y2=1，过点 E(1,0)作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N.(1)求证：直线 MN 过定点；(2)求 MNE 面积的最大值.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 119 页解(1)设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 AB:x=t1y+1，联立x2+2y2 2=0 x=t1y+1(t21+2)y2+2t1y 1

251、=0(3.72)韦达定理y1+y2=2t1t21+2y1y2=1t21+2 x1+x2=4t21+2，点 M 坐标为2t21+2,tt21+2，由对称性易知直线MN 恒过 x 轴上某定点，设直线 MN 方程为 x=my+n，代入点 M，可得nt21 mt1+2n 2=0(3.73)同理设直线 CD:x=t2y+1，可得点 N 满足方程nt22 mt2+2n 2=0(3.74)所以直线 MN 方程为 nt2 mt+2n 2=0，并且 t1，t2 为此方程的两根，因为 ABCD，所以2n 2n=1 n=23，所以直线 MN 过定点23,0.(2)采用 参数方程，设直线 AB 方程为x=1+p co

252、s y=p sin，代入椭圆方程，整理得(1+sin2)p2+2p cos 1=0(3.75)设 p1，p2 为此方程的两根，则|ME|=p1+p22=cos 1+sin2(3.76)同理|NE|=p1+p22=sin 1+cos2(3.77)SMNE=12|ME|NE|=12 sin cos(1+sin2)(1+cos2)(3.78)=18sin 2+sin 2 19(3.79)所以 MNE 面积的最大值为 19.第 120 页例 3.80 已知椭圆 x24+y23=1，过点 E(1,0)作两条斜率分别为 k1，k2 的弦 AB，CD，且k1+k2=1，设 AB，CD 的中点分别为 M，N，

253、求证：直线 MN 过定点.证 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 AB:x=t1y+1，这里 t1=1k1，联立x24+y23=1x=t1y+1(3t21+4)y2+6t1y 9=0(3.80)韦达定理y1+y2=6t13t21+4y1y2=93t21+4 x1+x2=4t21+2(3.81)点 M 坐标为43t21+4,3t3t21+4，设直线 MN 方程为 mx+ny=1，代入点 M，可得3t21+3nt1+4 4m=0(3.82)同理设直线 CD:x=t2y+1，这里 t2=1k2，可得点 N 满足方程3t22+3nt2+4 4m=0(3.83)所以直线 MN 方程为 3t2+

254、3nt+4 4m=0，并且 t1，t2 为此方程的两根，因为 k1+k2=1，所以 t1+t2+t1t2=0 4 4m=3n，所以直线 MN 过定点1,34.变式训练 EXERCISES213.已知过抛物线 y2=2px，过 x 轴上一点 E(m,0)作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N，则直线 MN 恒过定点(p+m,0).3.7.3两斜率互为相反数两斜率互为相反数：三大圆锥曲线中,曲线上的一定点 A(x0,y0)与曲线上的两动点 B，C 满足直线 AB 与直线 AC 的斜率互为相反数,则直线 BC 的斜率为定值.(1)kBC=b2x0a2y0,椭圆 x2a2

255、+y2b2=1(a b 0);(2)kBC=b2x0a2y0,双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0);秦九韶（约 12021261），字道古，四川安岳人。第 121 页(3)kBC=py0,抛物线 y2=2px(p 0).证(1)设 AB:y y0=k(x x0)，与椭圆联立y=kx+y0 kx0 x2a2+y2b2=1(a2k2+b2)x2+2a2k(y0 kx0)x+a2(y0 kx0)2 b2=0由韦达定理得x0+xB=2a2k(y0 kx0)a2k2+b2 Ba2k2x0 2a2ky0 b2x0a2k2+b2,b2y0 a2k2y0 2b2kx0a2k2+b2(3.84)同理

256、 Ca2k2x0+2a2ky0 b2x0a2k2+b2,b2y0 a2k2y0+2b2kx0a2k2+b2，所以 kBC=4b2kx04a2ky0=b2x0a2y0.(3)设 A(x0,y0)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，y20=2px0y21=2px1两式 相减 并整理得kAB=y1 y0 x1 x0=2py1+y0(3.85)同理kAC=y2 y0 x2 x0=2py2+y0(3.86)kBC=y1 y2x1 x2=2py1+y2(3.87)因为直线 AB 与直线 AC 的斜率互为相反数，所以 kAB=kAC，即 y1+y2=2y0，故 kBC=py0.和通径相关的点(1)已知椭圆

257、 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 e，右焦点为 F2，点 Ac,b2a，M、N 为椭圆 C 上的两个动点，当直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率互为相反数，那么直线 MN 的斜率为 e.(2)已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的离心率为 e，右焦点为 F2，点 Ac,b2a，M、N 为双曲线 C 上的两个动点，当直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率互为相反数，那么直线 MN的斜率为 e.第 122 页(3)已知抛物线 y2=2px(p 0)焦点为 F，点 A p2,p，M、N 为抛物线 C 上的两个动点，当直线 AM 的斜率与直线 AN 的斜率互为相反

258、数，那么直线 MN 的斜率为 1.例 3.81 椭圆 C:x2a2+y23=1 过点 A1,32，E，F 是椭圆上的两动点,直线 AE 与直线 AF 的斜率互为相反数,则直线 EF 的斜率为定值,并求出该定值.解 设直线 AE 方程为 y=k(x 1)+32,代入椭圆方程 x24+y23=1 得(3+4k2)x2+4k(3 2k)x+432 k2 12=0(3.88)设 E(x1,y1)，F(x2,y2),因为点 A1,32在椭圆上，由韦达定理，x1+1=4k(3 2k)3+4k2x1 1=432 k2 123+4k2所以 x1=432 k2 123+4k2，y1=kx1+32 k,又直线 A

259、E 与直线 AF 的斜率互为相反数，所以 kEF=y2 y1x2 x1=k(x2+x1)+2kx2 x1=12，即直线EF 的斜率为定值 12.变式训练 EXERCISES214.作斜率为 13 直线 l 与椭圆 C:x236+y24=1 交于 A，B 两点，点 P(32,2)在直线 l 的左上方，求证：PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上.215.已知椭圆 x24+y23=1 上一定点 P1,32,过 P 作两条直线 l1,l2 与圆(x 1)2+y2=r20 r 0,b 0)的焦点到渐近线的距离是定值 b；双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的顶点到渐近线的距离是定值 be.定

260、理 3.10过双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若|FB|=|FA|，1.点 A 坐标为 Aa2c,abc，在右准线上；2.如图 3.31，若 A，B 在 F 同侧，则双曲线的离心率 e=2 1；3.如图 3.32，若 A，B 在 F 异侧，则双曲线的离心率 e=2+1.图 3.31图 3.32证 我们这里只证第一种情况.如图 3.31 所示，由点 A 坐标及相似可得 B 点坐标 Bc2 b2c,abc，又 B 点在渐近线 y=ba x上，解得 e=2 1.注 第二种情况利用角平分线定理+勾股定理可证明.例 3

261、.82 已知 F 为双曲线 C:x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的左焦点,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线 l,垂足为 H,直线 l 与双曲线 C 的另一条渐近线交于点 P,O 为坐标原点,若 POF 为等腰三角形,则双曲线的离心率为.解 依题意可知 FP=2FH,所以 e=2 22 1=2 或 e=2 22+1=233.第 124 页例 3.83 过双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为 A,与另一条渐近线交于点 B,若 SAOB=2ab(O 为原点),则双曲线的离心率为()(A)153或213(B)62或2(C)102或62(

262、D)102或6解 设|FB|=|FA|,分两种情况讨论:1如图 3.31,若 A，B 在 F 同侧,则 2ab=SAOB=12|OA|AB|=12 a (1)b =5,由定理 3.10 知双曲线的离心率 e=2 55 1=102.2如图 3.32,若 A，B 在 F 异侧,则 2ab=SAOB=12|OA|AB|=12 a (+1)b =3,由定理 3.10 知双曲线的离心率 e=2 33+1=62.选 C.例 3.84 设 F 是双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的一个焦点,过 F 作双曲线一条渐近线的垂线,与两条渐近线分别交于 P，Q,若#FP=3#FQ,则双曲线的离心率为(

263、)(A)62(B)52(C)3(D)102解 C.例 3.85 过双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为 A,与另一条渐近线交于点 B,若#FB=2#FA,则该双曲线的离心率为()(A)2(B)3(C)2(D)5解 C.例 3.86 已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2,过 F1 的直线分别与 C的两条渐近线交于 A，B 两点,若#F1A=#AB,#F1B#F2B=0,则 C 的离心率为.解法一 如图 3.33 所示,依题意易知|OB|=|OF1|,所以 OA F1B,所以F1OA=AOB=BOF

264、2=60,因此 e=1+ba2=1+(3)2=2.解法二 依题意易知|OB|=|OF1|,所以 OAF1B,利用本书第 124 页定理 3.10 可知e=2 22 1=2.第 125 页图 3.33图 3.34定理 3.11过双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的焦点 F 且与一条渐近线平行的直线与双曲线交于点M,与另一条渐近线交于点 N,若#FM=#MN,则双曲线的离心率 e=+1.证 如图 3.34 所示,联立 FN 所在直线方程与第二条渐近线,得 N 点坐标.y=ba(x c)y=ba x Nc2,bc2a,联立 FM 所在直线方程与双曲线,得 M 点坐标.y=ba(x c)

265、x2a2 y2b2=1 Ma2+c22c,b32ac,根据题意可知#FM=#MN yMyN=+1 b2c2=+1 e=+1.例 3.87 过双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的焦点 F 且与一条渐近线平行的直线与双曲线交于点M,与另一条渐近线交于点 N,若#FM=12#MN,则双曲线的离心率为()(A)2(B)3(C)62(D)32解 C.例 3.88 设双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的右顶点为 A，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从 A 引两条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点，若#OR=#OP，#OQ=#OP，则=1.证 设 P(x0,

266、y0)，则x20a2 y20b2=1，A(a,0)，所以 AQ，AR 的方程为y=ba(x a)y=ba(x a)#OR=#OP，第 126 页#OQ=#OP，#OR=(x0,y0)，#OQ=(x0,y0)，y0=ba(x0 a)y0=ba(x0 a)=abbx0 ay0=abbx0+ay0所以=abbx0+ay0abbx0 ay0=(ab)2b2x20 a2y20=1推论 3.17.过已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上的任意一点,分别作两条渐近线的平行线,则它们与渐进线围成的平行四边形面积是定值 ab2.图 3.35证 如图 3.35 所示，设 P(x0,y0)，AOB=

267、2，则 sin 2=2 tan 1+tan2 =2ba1+b2a2，S 四边形AOBP=|OA|OB|sin AOB=|OA|OB|sin 2=|PH|sin 2|PG|sin 2 sin 2=|PH|PG|1sin 2=x0a+y0b1a2+1b2 x0a y0b1a2+1b21+b2a22ba=a2b22ab=12ab例 3.89 已知点 P 是双曲线 C:x2a2 y2b2=1(a 0，b 0，c2=a2+b2)上一点,若点 P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为 c24,则该双曲线的离心率为()(A)2(B)52(C)3(D)2解 特殊化:把点 P 看成顶点,则点 P 到渐近线的距离

268、为 abc,所以 a2b2c2=c24 c2=2ab,即a2+b2=2ab a=b,离心率为2,选 A.例 3.90 过已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的焦点，分别作两条渐近线的平行线，它们与渐阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 127 页进线围成的四边形面积为 bc，则双曲线的离心率为()(A)2(B)2(C)3(D)3解 B.推论 3.18.如图 3.36，直线 l 与双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的渐近线交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则 AOB 的面积为 ba|x1x2|.证 三角形 AOB 的面积为 12|x1y2 x

269、2y1|=12 x1ba x2 x2ba x1 =ba|x1x2|.图 3.36图 3.37推论 3.19.如图 3.37，过双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上一点 P 的切线与双曲线的渐近线交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则三角形 AOB 的面积为 ab.证 设 P(x0,y0)，则切线 AB 方程为 b2x0 x a2y0y=a2b2，与渐近线联立b2x2 a2y2=0b2x0 x a2y0y=a2b2解得 x1=a2bbx0 ay0，x2=a2bbx0+ay0，故 SAOB=ba|x1x2|=ba a4b2a2b2=ab.变式训练 EXERCISES217.

270、【2014 福建】已知双曲线 E:x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x，l2:y=2x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)动直线 l 分别与 l1，l2 交于 A，B 两点（A，B 分别在第一，第四象限），且 OAB 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，请说明理由.第 128 页推论 3.20.如图 3.38,已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)，直线 l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于 A，B，C，D 四个点，求证：|AB|=|CD|.图 3.38证

271、设 l:x=ty+m(t ba)，渐近线方程为 x2a2 y2b2=0，联立直线和渐近线，x2a2 y2b2=0 x=ty+m(b2t2 a2)y2+2b2mty+b2m2=0 yA+yD=2b2mt1 m2，AD 的中点坐标为ma2a2 b2t2,b2mta2 b2t2，联立双曲线和直线方程x2a2 y2b2=1x=ty+m(b2t2 a2)y2+2b2mty+b2(m2 a2)=0故 BC 的中点坐标为ma2a2 b2t2,b2mta2 b2t2，所以 AD 与 BC 的中点为同一点，又 A，B，C，D 四点共线，故|AB|=|CD|.例 3.91【2010 重庆高考改编】如图 3.39，

272、设双曲线 C:x24 y2=1，过点 M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4 与过点 N(x2,y2)的直线 l2:x2x+4y2y=4 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN与两条渐近线分别交于 G，H 两点，求 OGH 的面积.图 3.39解 因为点 E(x3,y3)为 l1，l2 的交点，所以x1x3+4y1y3=4x2x3+4y2y3=4所以 lMN:x3x+4y3y=4，又因为点 E 在双曲线 C 上，所以x234 y23=1，知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 129 页设 G(x4,y4)，H(x5,y5)，直线 GH 和双曲线的渐近线联立x24 y2=

273、0 x3x+4y3y=4整理得14 x2316y23 x2+x32y23x 1y23=0，由韦达定理知 x4x5=16x23 4y23=4，由推论 3.18 可知SOGH=12|x4x5|=2.推论 3.21.如图 3.40 所示，平行四边形 ABCD 中，若两个小平行四边形的面积相等，即S 1=S 2，则 EF/BD.证 因为 S 1=S 2，所以 ad sinC=bc sinC，即 ab=cd，于是 EF/BD.图 3.40图 3.41推论 3.22.如图 3.41 所示，双曲线 C:x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的渐近线为 l1，l2，点P(x0,y0)不在双曲线和渐近线上，过

274、点 P(x0,y0)作 l1 的平行线交双曲线于点 A，交 l2 于点M，过点 P(x0,y0)作 l2 的平行线交双曲线于点 B，交 l2 于点 N，则 AB/MN.解法一 由推论 3.17，推论 3.21 可知 AB/MN.解法二 直线 l1，l2 所形成的点集 C1 可以视作一个特殊的二次曲线，其方程为 x2a2 y2b2=0，过点P(x0,y0)作 l1，l2 的平行线 PA，PB 所形成的二次曲线 C2 的方程为(x x0)2a2(y y0)2b2=0，将双曲线 C 和 C2 方程相减得2x0 x x20a22y0y y20b2=1(3.89)因为点 A 和点 B 都在 C 和 C2

275、 上，所以点 A 和点 B 必在方程(3.89)上，又因为此方程表示一条直线，所以方程(3.89)就是直线 AB 的方程.同理将二次曲线 C1 和 C2 方程相减得 MN 方程2x0 x x20a22y0y y20b2=0(3.90)注意到 AB 和 MN 的斜率相等，且纵截距不相等，所以 AB/MN.第 130 页例 3.92【2022 新高考 II 卷】设双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点为 F(2,0)，渐近线方程为 y=3x.(1)求 C 的方程；(2)经过 F 的直线与 C 的渐近线分别交于 A，B 两点，点 P(x1,y1)，Q(x2,y2)在 C 上，且x1

276、 x2 0，y1 0过 P 且斜率为3 的直线与过 Q 且斜率为3 的直线交于点 M，从下面三个条件 123 中选择两个条件，证明另一个条件成立：1 M 在 AB 上；2 PQ/AB；3|AM|=|BM|.图 3.42图 3.43解(1)x2 y23=1；(2)设 M(x0,y0)，由于双曲线 x2a2 y2b2=1 的两条渐近线的方程为x2a2 y2b2=0，故两条相交直线 PM QM 的方程为(x x0)2a2(y y0)2b2=0(3.91)此方程与双曲线 C 的方程有相同的二次项系数，相减即可得到直线 PQ 的方程为2x0 xa2 2y0yb2=x20a2 y20b2 1(3.92)故

277、 kPQ=b2x0a2y0，即 kPQ kOM=b2a2.我们可以用“点差法”证明垂径定理在双曲线 x2a2 y2b2=(R)，包括退化的情形，即两条渐近线的情形)中的推广：设 M 是曲线 x2a2 y2b2=的弦 AB 的中点，则 kAB kOM=b2a2.因此，如果选择 13 作为条件，马上有 kAB=kPQ，通过数量关系很容易得到 2 PQ/AB由于两条直线的交点是唯一的，故 12 3 和 23 1 均可以用同一法证明批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 131 页事实上，利用在“垂径定理”在双曲线中的推广，可以进一步得到如下结论：设直线 l 与双曲线C 交于 P，Q 两点，与双曲线 C

278、的渐近线交于 S，T 两点，则由推论 3.20 可知|S P|=|QT|，|S Q|=|PT|据此可以给出 12 3 的另一个证明：如图 3.43，依题意得四边形 AMQS，BMPT 都是平行四边形，故|AM|=|S Q|=|PT|=|BM|推论 3.23.双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的两条渐近线上分别有两点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，且三角形 AOB 的面积为 ab，平面上点 N 满足#ON=#OA+#OB，则点 N 的轨迹方程为x2a2 y2b2=4.证 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点都在 y 轴右侧，易知 N(x1+x2,y1+y2)，由推论 3

279、.18 可得x1x2=a2，且 y1y2=ba x1 bax2=b2，则b2(x1+x2)2 a2(y1+y2)2=2(b2x21 a2y21)+2(b2x22 a2y22)+(2a2b2 2a2y1y2)=(2a2b2+2a2b2)=4a2b2所以 x2a2 y2b2=4，即点 N 的轨迹方程为 x2a2 y2b2=4.3.7.5抛物线的弦引发的结论推论 3.24.抛物线 y2=2px(p 0)，AB 为抛物线的弦，设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 kAB=2py1+y2.证 kAB=y2 y1x2 x1=y2 y1y222p y212p=2py1+y2.推论 3.25.抛物线中的

280、内接三角形1.在抛物线 y2=2px 上有两点 A，B，则有1kOA+1kOB=1kAB.2.在抛物线 x2=2py 上有两点 A，B，则有 kOA+kOB=kAB.例 3.93 已知过点 M(1,0)的直线 AB 与抛物线 y2=2x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为.解 设 A(x1,y1)，B(x2,y2),由抛物线几何平均性质知 x1x2=1,所以 y1y2=2,因此kOA kOB=y1y2x1x2=2第 132 页于是1kOA+1kOB=1kAB kAB=2,所以直线 AB 方程为 y=2x+2.例 3.94 已知不过原点 O

281、 的直线交抛物线 y2=2px 于 A，B 两点，若 OA，AB 的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则 OB 的斜率为()(A)3(B)2(C)2(D)3解 D.例 3.95 已知抛物线 y2=2px(p 0)，四边形 ABCD 内接于抛物线，若直线 AB，CD，BC，AD的斜率存在，分别记为 k1，k2，k3，k4，则 1k1+1k2=1k3+1k4.证 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，则1k1=y1+y22p,1k2=y3+y42p(3.93)1k3=y2+y32p,1k4=y1+y42p(3.94)于是1k1+1k2=y1+y2+y3+y42

282、p=1k3+1k43.7.6抛物线几何平均抛物线几何平均 抛物线 y2=2px,直线 l 与抛物线交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,直线 l 与 x 轴交于点C(x0,0),则 x20=x1x2;抛物线 x2=2py,直线 l 与抛物线交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,直线 l 与 y 轴交于点C(0,y0),则 y20=y1y2.图 3.44证 设直线 x=ty+x0,与抛物线联立可得方程 y2 2pty 2px0=0,再由韦达定理知 y1y2=2px0.业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 133 页又 y1y2=2px1 (2px2)=2p x1x2.所以

283、x20=x1x2.例 3.96 过抛物线 y2=4x 焦点的直线 l 与抛物线交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点(异于 O),若|AF|=5,则|BF|=()(A)14(B)1(C)54(D)2解 由抛物线定义可知点 A 坐标为 A(4,4),再由几何平均性质知点 B 坐标为 B14,1,故|BF|=1+14=54.例 3.97 抛物线 y2=4x,直线 l 与抛物线交于异于 O 的两点 A(x1,y1)，B(x2,y2),且 kOA kOB=12,求证:直线 AB 恒过定点.证 设直线 AB 与 x 轴交于点 C(x0,y0).kOA kOB=12 y1x1 y2x2=12 4x1

284、 4x2x1x2=12 x1x2=64 x0=8所以直线 AB 恒过定点(8,0).例 3.98 抛物线 y2=8x 的焦点为 F,直线 y=k(x+2)与抛物线交于两点 A(x1,y1)，B(x2,y2),则直线 FA 与直线 FB 的斜率之和为()(A)0(B)2(C)4(D)4解 根据抛物线几何平均性质可知 x1x2=(2)2=4,而kFA+kFB=y1x1 2+y2x2 2=k(x1+2)x1 2+k(x2+2)x2 2=2k(x1x2 4)(x1 2)(x2 2)=0例 3.99 抛物线 y2=4x 上两动点 A(x1,y1)，B(x2,y2)(A 上 B 下)满足 OAOB,则 A

285、OB 与 AOF面积之和的最小值是()(A)16(B)83(C)85(D)18解 易知 SAOB=12 4 (y1 y2)=2(y1 y2),SAFO=12y1,又由抛物线几何平均性质知x1x2=16 y1y2=16 y2=16y1所以 SAOB+SAFO=5y12+32y1 85.第 134 页例 3.100 已知直线 y=k(x 3)(k 0)与抛物线 C:y2=4x 交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,且 C 的准线与 x 轴交于点 M,求证:9x1+x2 18.证 由抛物线几何平均性质知 x1x2=9 9x1+x2 29x1x2=18，当且仅当 9x1=x2,即 x1=1，x

286、2=9 时等号成立.例 3.101 抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上,且满足#FA+#FB=#FC,则1kAB+1kBC+1kCA=.解 我们不妨设 C 为坐标原点,易知1kAB+1kBC+1kCA=1kAB+1kAB=2kAB根据题意 F 为三角形的重心,则 ABx 轴,因此2kAB=0.例 3.102 抛物线 y2=4x 的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上,且满足#FA+#FB+#FC=0,则|#FA|+|#FB|+|#FC|=.解 我们不妨设 A，B，C 三点的横坐标分别为 x1，x2，x3,则由抛物线定义|#FA|=x1+1|#FB|=x2+

287、1|#FC|=x3+1|#FA|+|#FB|+|#FC|=x1+x2+x3+3由根据题意可知 F 为三角形的重心,所以 x1+x2+x3=3,答案为 6.3.7.7中心张直角两半弦定理 3.12:中心张直角两半弦已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，在 AOB 中，AB 边上的高为 OH，则#OA,#OB=2 1|OH|2=1|OA|2+1|OB|2=1a2+1b2.例 3.103 已知椭圆 x25+y24=1,直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过原点 O，试探究点 O 到直线 AB 的距离是否为定值？若是,求出该定值；若

288、不是,请说明理由.解法一 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 垂直于 x 轴，由对称性可设 B(x,x)，代入椭圆方程可得|x|=253，此时原点 O 到直线 AB 的距离是 253.当直线 AB 的斜率 k 存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，敏而好学，不耻下问。孔子第 135 页图 3.45 中心张直角由x25+y24=1y=kx+t得(4+5k2)x2+10ktx+5t2 20=0,所以x1+x2=10kt4+5k2x1x2=5t2 204+5k2，以 AB 为直径的圆经过原点 O，#OA#OB，x1x2+y1y2=0,x1x2+(kx

289、1+t)(kx2+t)=(k2+1)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0,9t2=20(1+k2)，此时原点 O 到直线 AB 的距离 d=|t|1+k2=253，此时原点 O 到直线 AB的距离是 253.综上所述，原点 O 到直线 AB 的距离是 253.解法二 当直线 AB 的斜率不存在时，|OA|=5|OB|=2或|OB|=5|OA|=2，于是 d=254+5=253.当直线 OA 的斜率 k 存在且不为 0 时，设 OA 的方程为 y=kx,与椭圆联立x25+y24=1y=kx得x2A=204+5k2y2A=20k24+5k2同理x2B=20k25+4k2y2B=205+4k2由

290、等面积 法可知d2=|OA|2|OB|2|AB|2=|OA|2|OB|2|OA|2+|OB|2 1d2=1|OA|2+1|OB|2=4+5k220(1+k2)+5+4k220(1+k2)=920(3.95)于是 d=253.第 136 页解法三 设 A(x,y)，B(y,x)，代入椭圆方程可得x25+y24=1(3.96)2y25+2x24=1 12=y25+x24(3.97)(3.96)+(3.97)可得 2+12=920(x2+y2)，于是1d2=1|OA|2+1|OB|2=1x2+y2+12(x2+y2)=2+12(x2+y2)=920(3.98)于是 d=253.变式训练 EXERCI

291、SES218.已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其短半轴长为 1,一个焦点坐标为(1,0),点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OAOB.(1)证明:直线 AB 与圆:x2+y2=1 相切;(2)设 AB 与椭圆 C 的另一个交点为 D,当 AOB 面积最小时,求 OD 的长.219.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点1,32,且其离心率为 12,过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 M，N 两点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线 MN 总相切,若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.220.已知椭

292、圆 x26+y23=1，P，Q 是椭圆上的两点,且#OP#OQ=0,设 OPQ 内切圆的半径为 r,则 r 的最小值为()(A)2 1(B)2 2(C)2+1(D)2推论 3.26.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，若 OAOB，则|AB|2=|OA|2+|OB|2 的最小值为 4a2b2a2+b2.海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 137 页例 3.104 已知椭圆 x25+y24=1,直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过原点 O，试求弦长|AB|的最小值.解法一 采用“1”的代换|AB|2=|OA|2+|O

293、B|2=209|OA|2+|OB|2 1|OA|2+1|OB|2=2092+|OB|2|OA|2+|OA|2|OB|2 809当且仅当|OA|=|OB|时|AB|取得最小值 453.解法二 由 等面积 法可知求弦长|AB|的最小值即求|OA|OB|的最小值.由基本不等式920=1|OA|2+1|OB|2 2|OA|OB|OA|OB|409(3.99)当且仅当|OA|=|OB|时|OA|OB|取得最小值，此时|AB|也取得最小值 453.3.7.8椭圆中有趣的六个定值推论 3.27.已知动直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)交于 M(x1,y1)，N(x2,y2)两个不同的点，

294、若 kOM kON=b2a2.则:1 x21+x22=a2；2 y21+y22=b2；3 x1y1+x2y2=0；4x1y2 x2y1=ab；5|OM|2+|ON|2=a2+b2；6 SMON=12ab.证 详细证明如下：1kOM kON=b2a2 y1y2x1x2=b2a2 a2y1y2=b2x1x2(3.100)因为点 M(x1,y1)，N(x2,y2)在椭圆上，所以b2x21+a2y21=a2b2 b2x21 a2b2=a2y21(3.101)b2x22+a2y22=a2b2 b2x22 a2b2=a2y22(3.102)(3.101)(3.102)得 b4(x21 a2)(x22 a2

295、)=a4y21y22(3.100)=b4x21 x22，所以 x21+x22=a2；第 138 页2(3.101)+(3.102)得 b2(x21+x22)+a2(y21+y22)=2a2b2，所以 y21+y22=b2；3因为(x1y1+x2y2)2=x21y21+x22y22+2x1x2y1y2椭圆方程=b2x211 x21a2+b2x221 x22a2 2 b2a2 x21 x22=b2(x21+x22)b2a2(x21+x22)2=a2b2 b2a2 a4=04因为(x1y2 x2y1)2+(x1y1+x2y2)2=(x21+x22)(y21+y22)，所以(x1y2 x2y1)2=a

296、2b2 x1y2 x2y1=ab.5|OM|2+|ON|2=x21+y21+x22+y22=(x21+x22)+(y21+y22)=a2+b2；6SMON=12x21+y21 x22+y22 sin MON=12x21+y21 x22+y22 1(x1x2+y1y2)2(x21+x22)(y21+y22)=12(x21+x22)(y21+y22)(x1x2+y1y2)2=12(x1y2 x2y1)2=12 x1y2 x2y1=12ab例 3.105 已知椭圆 x28+y24=1，A，B 为椭圆的左右顶点,M，N 为椭圆上非顶点的两点,P 为椭圆上一点,满足 OM/AP，ON/BP，求证:OMN

297、 的面积为定值.证 根据题意，kOM kON=kAP kBP=b2a2=12，可知答案为 22.例 3.106 设点 A(3,0)，B(3,0),直线 AP 和 BP 相交于点 P，且它们的斜率之积为 23.(1)求点 P 的轨迹方程 C；(2)点 M，N 是 C 上不同于 A，B 的两点,且满足 AP/OM，BP/ON，求证 MON 的面积为定值.解(1)x23+y22=1x 3;(2)根据题意AP/OMBP/ON kOM kON=23=b2a2 SOMN=62.穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 139 页例 3.107 椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 A(2,0)，B1

298、,32.(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形 EFGH 的四个顶点都在椭圆上,且对角线 EG,FH 过原点 O,若 kEG kFH=34,求证：四边形 EFGH 的面积为定值,并求出此定值.解(1)x24+y23=1;(2)kEG kFH=34=b2a2,所以 S 四边形EFGH=4SOGH=4 ab2=43.定理 3.13如图 3.46 所示,已知动直线 l:Ax+By+C=0 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)交于 M(x1,y1)，N(x2,y2)两个不同的点,当且仅当 a2A2+b2B2=2C2 时,OMN 的面积取到最大值 ab2.图 3.46证 由等面积法可知12|MN|

299、d=ab2 2a2b2(A2+B2)(a2A2+b2B2 C2)a2A2+b2B2|C|A2+B2=ab 2a2A2+b2B2 C2|C|=a2A2+b2B2 a2A2+b2B2=2C2.例 3.108 已知椭圆 C:x22+y2=1,A1,12，B(1,2).(1)若直线 l1 与椭圆 C 交于 M，N 两点,且 A 为线段 MN 的中点,求直线 MN 的斜率;(2)若直线 l2:y=2x+t(t 0)与椭圆 C 交于 P，Q 两点,求 BPQ 面积的最大值.解(1)具体方法详见本书第 112 页定理 3.8.答案为 1;(2)22.第 140 页定理 3.14已知动直线 l 经过点 P(x

300、0,y0),且与椭圆 x2a2+y2b2=1 交于 M，N 两个不同的点.1.当x20a2+y20b2 12 时,OMN 的面积取到最大值 ab2.相应的直线 l 与椭圆 x2a2+y2b2=12相切.2.当x20a2+y20b2 12 时,OMN 的面积取到最大值 ab x20a2+y20b2 1 x20a2 y20b2.相应的点 P 是点 M，N 的中点.例 3.109 已知圆 O:x2+y2=4,点 F(0,3),以线段 PF 为直径的圆内切于圆 O,记点 P 的轨迹为C.(1)求曲线 C 的方程;(2)若 A(x1,y1)，B(x2,y2)为曲线 C 上两点,记 m=x1,y12，n=

301、x2,y22,且 mn,试问 AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.解(1)根据题意,取 F(0,3),连接 PF.设动圆圆心为 M,因为两圆内切,所以|OM|=2 12|FP|.又因为|OM|=12|PF|,所以|PF|+|PF|=4|FF|=23.所以点 P 的轨迹是以 F，F 为焦点的椭圆,曲线 C 的方程为 y24+x2=1,(2)当直线 AB 斜率不存在时,易知 SAOB=1,当直线 AB 斜率存在时,化椭为圆即可.答案为SAOB=1.例 3.110 如图 3.47 所示,已知动直线 l:Ax+By+C=0 与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)交于

302、M(x1,y1)，N(x2,y2)两个不同的点,R 为 MN 的中点,若#OM#ON=b2a2,则 R 的轨迹为x2a2+y2b2=12.解 根据题意,#OM#ON=b2a2 y1x1 y2x2=b2a2,化椭为圆x=xy=aby kOMkON,所以 R 的轨迹方程为 x2+y2=a22 x2a2+y2b2=12.例 3.111 已知椭圆 x212+y24=1，N(x0,y0)为椭圆上任意一点,从原点 O 向圆读书破万卷，下笔如有神。杜甫第 141 页图 3.47图 3.48N:(x x0)2+(y y0)2=3 作两条切线,分别交椭圆于 A，B 两点,试探究|OA|2+|OB|2 是否为定值

303、?若是,求出其值;若不是,说明理由.解 如图 3.48 所示,设 A(x1,y1)，B(x2,y2),切线为 y=kx,因为与圆相切|kx0 y0|k2+1=3 (x20 3)k2 2x0y0k+y20 3=0kOA kOB=y20 3x20 3=y20 39 3y20=13这就是我们的模型了.答案为 16.3.7.9伴侣点在椭圆和双曲线的很多性质中，常常出现有一对活跃的点 A(m,0)和 B(a2m,0)，而在抛物线上出现的形式则是 A(m,0)和 B(m,0)，这一对点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特殊的点形象地称作伴侣点.一、伴侣点等角证明例 3.11

304、2 设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0)，B(2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点,证明：ABM=ABN.证 设直线 l:x=ty+2，点 M(x1,y1)，N(x2,y2),要证 ABM=ABN,即证 kBM+kBN=0,等价于 1k1+1k2=0,即x2+2y2+x1+2y1=0 ty2+4y2+ty1+4y1=0此即2t+4y1+4y2=0(3.103)第 142 页直线和抛物线联立y2=2x,x=ty+m,y2 2ty 4=0.韦达定理y1+y2=2ty1y2=4 1y1+1y2=t2(3.104)由式(3.103)，(3.104)得证.例 3.113 动直

305、线 l 与椭圆 C:x24+y23=1 交于 A，B 两点，F 为 C 的右焦点，若直线 AF 与 BF 的倾斜角互补，求证：直线 AB 过定点.证 设直线 l:x=ty+m，点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，依题可得 kAF+kBF=0,等价于1kAF+1kBF=0,即x1 1y1+x2 1y2=0 ty1+m 1y1+ty2+m 1y2=0此即2t+(m 1)1y1+1y2=0(3.105)直线和椭圆联立3x2+4y2 12=0 x=ty+m(3t2+4)y2+6tmy+3m2 12=0.韦达定理y1+y2=6tm3t2+4y1y2=3m2 123t2+4 1y1+1y2=6tm3m

306、2 12(3.106)由式(3.105)，(3.106)可得 m=4.故直线 AB 过定点(4,0).例 3.114 动直线 l 与抛物线 C:y2=2px 交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若直线 AF 与 BF 的倾斜角互补，求证：直线 AB 过定点.证 设直线 l:x=ty+m，点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，依题可得 kAF+kBF=0,等价于1kAF+1kBF=0,即x1 p2y1+x2 p2y2=0 ty1+m p2y1+ty2+m p2y2=0君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 143 页此即2t+m p2 1y1+1y2=0(3.107)直线和抛物线联立y2=

307、2pxx=ty+m y2 2pty 2pm=0.韦达定理y1+y2=2pty1y2=2pm 1y1+1y2=tm(3.108)由式(3.107)，(3.108)可得 m=p2.故直线 AB 过定点 p2,0.二、伴侣点引发三斜率成等差例 3.115 过抛物线 C:y2=2px(p 0)的对称轴上的定点 M(m,0)（其中 m 0）的直线 AB 交抛物线 C 于 A，B 两点，交直线 l:x=m 于点 N，点 P 是过点 M 垂直 x 轴的直线上异于点 M 的任一点，则直线 PA，PN，PB 的斜率成等差数列.图 3.49图 3.50证 如图 3.49，图 3.50，设 A(x1,y1)，B(x

308、2,y2)，直线 AB 方程为 x=ty+m，则 P(m,y0)(y0 0)，Nm,2mt，kPN=y0 2mtm (m)=1t+y02m，联立方程x=ty+my2=2px y2 2pty 2pm=0第 144 页故y1+y2=2pty1y2=2pm，又 kPA=y1 y0 x1 m=y1 y0ty1+m m=y1 y0ty1=1t y0ty1，又 kPB=1t y0ty2，所以kPA+kPB=1t y0ty1+1t y0ty2=2t y0t 1y1+1y2=2t y0ty1+y2y1y2=2t y0t 2pt2pm=2t+y0m=2kPN所以直线 PA，PN，PB 的斜率成等差数列.例 3.

309、116 过定点 M(m,0)（其中 m 0）的直线 AB 交椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)于 A，B 两点，交直线 l:x=a2m 于点 N，点 P 是过点 M 垂直 x 轴的直线上异于点 M 的任一点，则直线PA，PN，PB 的斜率成等差数列.图 3.51图 3.52证 如图 3.51，图 3.52，当直线 AB 为 x 轴时，易知直线 PA，PN，PB 的斜率成等差数列.当直线 AB 不与 x 轴重合时，设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 AB 方程为 x=ty+m，则P(m,y0)(y0 0)，Na2m,a2 m2mt，所以 kPN=y0 a2m2mtm a2m

310、=1t+my0m2 a2，联立方程x=ty+mx2a2+y2b2=1(a2+b2t2)y2+2mtb2y+m2b2 a2b2=0故y1+y2=2mtb2a2+b2t2y1y2=m2b2 a2b2a2+b2t2，又 kPA=y1 y0 x1 m=y1 y0ty1+m m=y1 y0ty1=1t y0ty1，又 kPB=1t y0ty2，三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 145 页所以kPA+kPB=1t y0ty1+1t y0ty2=2t y0t 1y1+1y2=2t y0ty1+y2y1y2=2t+y0t2mtm2 a2=2t+2my0m2 a2=2kPN所以直线 PA，PN，PB 的

311、斜率成等差数列.例 3.117 过定点 M(m,0)（其中 m 0）的直线 AB 交双曲线 C:x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)于 A，B两点，交直线 l:x=a2m 于点 N，点 P 是过点 M 垂直 x 轴的直线上异于点 M 的任一点，则直线PA，PN，PB 的斜率成等差数列.3.7.10抛物线性质归纳焦半径、焦点弦性质如图，AB 是过抛物线 y2=2px(p 0)焦点 F 的弦，AD、BC 是准线的垂线，垂足分别为D、C，M 是 CD 的中点，N 是 AB 的中点设点 A(x1,y1)、点 B(x2,y2)，直线 AB 交 y 轴于点 K(0,y3)，则：(1)1 y1y2=p2

312、；2 x1x2=p24；31y1+1y2=1y3；4|AB|=x1+x2+p=2psin2，（为AB 的倾斜角）；5 SAOB=p22 sin；6 S 梯形ABCD=2p2sin3.第 146 页(2)1|AF|+1|BF|=2p；(3)AMB=DFC=90；(4)AM、BM 是抛物线的切线；(5)AM、BM 分别是 DAB 和 CBA 的平分线；(6)AM、DF、y 轴三线共点，BM、CF、y 轴三线共点；(7)A、O、C 三点共线，B、O、D 三点共线；(8)若|AF|:|BF|=m:n，点 A 在第一象限，设 为直线 AB 的倾斜角，则 cos =m nm+n；(9)以 AF 为直径的圆

313、与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB 为直径的圆与准线相切；(10)MN 交抛物线于点 Q，则 Q 是 MN 的中点.3.8两点距离公式见奇效例 3.118 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，点 P(x0,y0)为椭圆外一点，过点 P 的两条直线分别交椭圆于 A，B 和 C，D 四点，求|PA|PB|PC|PD|的值.解法一 采用 直线参数方程，设直线 AB 方程为x=x0+t cos y=y0+t sin(t 为参数)，代入椭圆方程，整理得cos2 a2+sin2 b2t2+2x0 cos a2+2y0 sin b2t+x20a2+y20b2 1=0

314、(3.109)|PA|PB|=t1t2=x20a2+y20b2 1cos2 a2+sin2 b2(3.110)设直线 CD 方程为x=x0+t cos y=y0+t sin(t 为参数)，同理可得|PC|PD|=t3t4=x20a2+y20b2 1cos2 a2+sin2 b2(3.111)人生的价值，并不是用时间，而是用深度量去衡量的。第 147 页由式(3.110)，(3.111)可得|PA|PB|PC|PD|=cos2 a2+sin2 b2cos2 a2+sin2 b2(3.112)解法二 采用 两点距离公式，设直线 AB:y=k1x+m，CD:y=k2x+m，A(x1,y1)，B(x2

315、,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，则联立x2a2+y2b2=1y=k1x+m(a2k21+b2)x2+2a2mk1x+a2(m2 b2)=0 x1+x2=2a2mk1a2k21+b2x1x2=a2(m2 b2)a2k21+b2所以|PA|=1+k21|x1 x0|(3.113)|PB|=1+k21|x2 x0|(3.114)|PC|=1+k22|x3 x0|(3.115)|PD|=1+k22|x4 x0|(3.116)于是|PA|PB|PC|PD|=1+k21 x1x2 x0(x1+x2)+x201+k22 x3x4 x0(x3+x4)+x20然后将韦达定理代入计算即可.例 3.1

316、19 已知椭圆 C:x24+y23=1，过(0,2)的直线 l 相切椭圆于点 T，直线 l/OT，交椭圆于 A，B 两点，交直线 l 于点 P，(1)求点 T 坐标；(2)证明：|PA|PB|PT|2为定值.解(1)T1,32；(2)解法一 由式(3.112)可得|PA|PB|PT|2=cos2 4+sin2 3cos2 4+sin2 3(3.117)第 148 页其中，分别为直线 l，直线 l 的倾斜角，所以cos =213,sin =313cos =25,sin =15代入式(3.117)可得|PA|PB|PT|2=454+1534134+9133=1315(3.118)解法二 采用 两点

317、距离公式，设直线 l:y=32 x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，解得 P1 m2,32+m4，则|PT|2=5m216(3.119)联立x24+y23=1y=32 x+m x2+mx+13m2 1=0 x1+x2=mx1x2=13m2 1所以|PA|=1+k2|x1 xP|=132x1 1 m2(3.120)|PB|=1+k2|x2 xP|=132x2 1 m2(3.121)由式(3.119)，(3.120)，(3.121)可得|PA|PB|PT|2=134 x1x2 1 m2(x1+x2)+1 m22 5m216=13m2485m216=1315例 3.120 在平面直角坐标系

318、xOy 中，已知椭圆 E:x26+y23=1，过点 P(2,2)作直线 l1，l2 与椭圆E 分别交于 A，B 和 C，D，且直线 l1，l2 的斜率互为相反数.(1)证明：PA PB=PC PD；(2)记直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1+k2 为定值解(1)要证 PA PB=PC PD，即证 PAPC=PDPB，由两点距离公式知只要证明 2 xAxC 2=xD 22 xB即可；人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 149 页图 3.53设直线 l1:y 2=k(x 2)，则直线 l2:y 2=k(x 2)联立x26+y23=1y 2=k(x 2)可

319、得(2k2+1)x2+8k(1 k)x+8(1 k)2 6=0则xA+xB=8k(1 k)2k2+1xAxB=8(1 k)2 62k2+1同理xC+xD=8k(1+k)2k2+1xC xD=8(1+k)2 62k2+1因为(2 xA)(2 xB)=4 2(xA+xB)+xAxB=62k2+1(xC 2)(xD 2)=4 2(xC+xD)+xC xD=62k2+1所以(2 xA)(2 xB)=(xC 2)(xD 2)，所以 2 xAxC 2=xD 22 xB，所以 PAPC=PDPB，即PA PB=PC PD.(2)如图 3.53，由(1)知 PACPBD，根据三角形外角和有PGH=PBD+BF

320、G(3.122)PHG=HCE+CEH=PCA+CEH(3.123)因为直线 l1，l2 的斜率互为相反数，所以 PGH=PHG BFG=CEH，而k1=tan CEH(3.124)k2=tan BFG(3.125)故 k1+k2=0.例 3.121 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(17,0)，F2(17,0)，点 M 满足|MF1|MF2|=2 记 M 的轨迹为 C(1)求 C 的方程；第 150 页(2)设点 T 在直线 x=12 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|T B|=|TP|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和

321、解(1)由双曲线定义可得 C 的方程为 x2 y216=1(x 0)；(2)设 T12,t，直线 AB 的方程为 y=k1x 12+t，和双曲线联立x2 y216=1y=k1x 12+t可得(16 k21)x2+(k21 2tk1)x 14k21+k1t t2 16=0则xA+xB=k21 2tk1k21 16xAxB=14k21+k1t t2 1616 k21所以|TA|T B|=(1+k21)x1 12 x2 12=(1+k21)(t2+12)k21 16(3.126)同理|TP|TQ|=(1+k22)(t2+12)k22 16(3.127)由以上两式可得(1+k21)(t2+12)k21

322、 16=(1+k22)(t2+12)k22 16 k21=k22 k1+k2=0.例 3.122 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的短轴长为 22，离心率为22.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 为直线 x=4 上的动点，过点 P 的动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A，B，在线段 AB上取点 Q，满足|AP|QB|=|AQ|PB|，证明：点 Q 的轨迹过定点.解(1)x24+y22=1；(2)设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(x,y)，P(4,t)，直线 AB 的斜率显然存在，设为 k，则 AB 的方程为y=k(x 4)+t.因为 A，B，Q，P 四点共

323、线，不妨设 x2 x x1 0)x，点 F(a,0)，M(b,0)为 x 轴上两定点，过点 F 且斜率为 k1 的直线与抛物线交于 A，B 两点，延长 AM，BM 与抛物线交于 C，D 两点，设直线 CD 的斜率为 k2，则 k1k2=ba 为定值，且直线 CD 过定点 Nb2a,0.变式训练 EXERCISES223.【2011 四川改编】如图 3.59，过点 C(0,1)的椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0)，B(a,0)，过点 C 的直线与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.(1)求椭圆

324、方程；(2)当点 P 异于点 B 时，求证：#OP#OQ 为定值.224.已知四边形 ABCD 内接于抛物线 y2=4x，对边 AB，CD 与 x 轴分别相交于点 E(1,0)，F，两条对角线 AC，BD 与 x 轴都相交于点 M(4,0)，试问直线 CD 是否经过定点？第 156 页图 3.593.10面积最值点乘法已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),设直线 l:y=kx+m 与椭圆交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,则利用点乘法我们可以得到 AOB 面积的一个关系式,并可知面积最值.图 3.60解 两式相乘并配方x21a2+y21b2=1x22a2+y22b2=1

325、 x1x2a2+y1y2b22+(x1y2 x2y1)2a2b2=1，即 x1x2a2+y1y2b22+4(SAOB)2a2b2=1,因此当 x1x2a2+y1y2b2=0 即就是 kOA kOB=b2a2 时,三角形面积有最大值 ab2.例 3.128 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为22.(1)求椭圆 C 的方程;(2)A,B 为椭圆 C 上满足 AOB 的面积为64 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P,设#OP=t#OE,求实数 t 的值.无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回

326、的事来。第 157 页解(1)x22+y2=1；(2)设 A(x1,y1)，B(x2,y2),因为两点在椭圆上,所以x212+y21=1x222+y22=1 x1x22+y1y22+12(x1y2 x2y1)2=1(3.142)因为 AOB 的面积为64,代入(3.142),可知 x1x22+y1y22=14 x1x2+2y1y2=1(3.143)#OP=t#OE=t(x1+x2)2,t(y1+y2)2因为点 P 在椭圆上,所以t2(x1+x2)28+t2(y1+y2)24=1 t24(2+x1x2+2y1y2)=1(3.144)将(3.143)式代入(3.144),可得 t2=4 或 t2=

327、43.例 3.129 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C 的中心在原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 2，离心率为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)A(x1,y1)，B(x2,y2)为椭圆 C 上两点,m=x1b,y1a，n=x2b,y2a，且满足 m n=0，试问AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解(1)y24+x2=1；(2)AOB 的面积为 1.例 3.130 已知直线 y=2x+m 与椭圆 C:x25+y2=1 相交于 A，B 两点,O 为坐标原点,当 AOB的面积取得最大值时,|AB|=()(A)54221(B)21021(C)2427

328、(D)3427解 由本书第 140 页定理 3.13 可知当 AOB 的面积取得最大值时,有5 4+1 1=2m2 m2=212第 158 页最后由弦长公式可知|AB|=25 5 21 21221=54221定理 3.15:四边形面积任意凸四边形 ABCD 的面积公式：两对角线长度之积的一半乘以两对角线夹角的正弦值.S 四边形ABCD=|AC|BD|sinAC,BD2例 3.131 椭圆 x24+y23=1 的右焦点,右顶点分别为 F，A,过 F 的直线交椭圆于 C，D 两点,求四边形 OCAD 面积的最大值.解 设 OA，CD 的夹角为,则 S 四边形OCAD=|OA|CD|sin 2|OA

329、|CD|2=a 2b2a2=3.引理 3.2.抛物线 y2=2px 有过焦点的两互相垂直弦 AC，BD,则两弦长和最小值为 8p,四边形 ABCD 的面积最小值为 8p2【取最小时两弦的斜率分别为 1】.证 令两条焦点弦分别为|AC|=2psin2,|BD|=2psin2(+2)=2pcos2.例 3.132 抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点.如图 3.61 所示.(1)若#AF=2#FB,求直线 AB 的斜率;(2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值.图 3.61解(1)利用本书第

330、96 页式子(3.25),得 k=22;(2)根据题意,点 M 为线段 OC 的中点,所以S 四边形OACB=2SAOB=2 42 sin =4sin 4少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光。第 159 页推论 3.29.如图 3.62 所示，已知定点 A,M 为 A 里面的一定点,过 M 有无数条直线和 A的两边相交，当且仅当 M 为 BC 的中点时，三角形 ABC 的面积有最小值.证 如图 3.63 所示，作 BN/AC，则 CC1MBNM，所以 SAB1C1 SABC.图 3.62图 3.63图 3.64例 3.133 如图 3.64 所示,过抛物线 x2=4y 的焦点作任一直线

331、l 交抛物线于 M，N 两点,则MON 的面积的最小值为()(A)2(B)22(C)4(D)8解 A.3.11圆锥曲线中的向量3.11.1共线型定义 3.11:两根比若 x1，x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两根,且 x1x2=,则 b2=+1+2ac.证 根据题意x1x2=x2x1=1(x1+x2)2x1x2 2=+1,再利用韦达定理得ba2ca=+1+2 b2=+1+2ac.例 3.134 椭圆 x23+y2=1 与直线 l 交于两个不同的点 A，B,若直线 l 过点 E(1,0),且#EA+2#EB=0,求直线 l 的方程.解 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，l:x=ty+

332、1,联立x23+y2=1x=ty+1(t2+3)y2+2ty 2=0，#EA+2#EB=0 y1y2=2 由第 160 页定义 3.11 可知 4t2=2 12+2(t2+3)(2)t=1.第 160 页例 3.135 过点 P(1,0)的直线 l 交抛物线 y2=4x 于两个不同的点 A，B,若#PA=2#PB,求直线 l 的方程.解 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，l:x=ty 1,联立y2=4xx=ty 1 y2 4ty+4=0，又#PA=2#PB y1y2=2，由第 160 页定义 3.11 可知 16t2=2+12+2 4 t=324.例 3.136 椭圆 E:y26+x22

333、=1,过点 C(0,1)的直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点,若#AC=2#CB,求直线 l 的方程.解 y=5x+1.例 3.137 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程【t 为参数】为x=a+35ty=1+45t,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的坐标系中,曲线 C 的方程为 cos2 +8 cos =0,已知点 P(a,1),设直线 l 与曲线C 的两个交点为 A，B,若|PA|=3|PB|,求 a 的值.解 联立x=a+35ty=1+45ty2=8x 1625t2 165 t+(1 8a)=0，设 A，B 两点对应的 t 分别为 t1，t2.1若 t1t2=3,165

334、2=(3+13+2)1625 (1 8a)a=142若 t1t2=3,1652=(3 13+2)1625 (1 8a)a=138例 3.138 设直线 l 过点 E(1,0),与椭圆 x24+y2=1 相交于 A，B 两点,若|EA|=2|EB|,求直线 l 的方程.解 y=156(x+1).例 3.139 设直线 l:y=k(x+1)(k 0)与椭圆 3x2+y2=a2(a 0)相交于 A，B 两点,与 x 轴相交于点 C,若#AC=2#CB,求 OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.解 y215+x25=1.例 3.140 过点 M(2,1)的直线交椭圆 x216+y24=1 于 A，B

335、两点,使 M 是 AB 的一个三等分点,求此直线的斜率.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 161 页解 容易验证当 AB 斜率不存在时,不符合题意.当 AB 斜率为 k 时,设直线 AB 的方程为x=2+t,y=1+kt,其中 t 为参数,与椭圆方程联立(2+t)216+(1+kt)24=1，即(4k2+1)t2+(8k+4)t 8=0(3.145)设此方程的两根为 t1，t2,分别对应点 A，B,有 t1t2=2.因为 t1，t2 为方程(3.145)的两根,所以(8k+4)2=2 12+2(4k2+1)(8)，化简得 12k2+16k+3=0 k=4 76.3.11.2线性

336、组合型推论 3.30.椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)，A，B 为椭圆上两动点,M 为平面上一动点，满足#OM=#OA+#OB，若 kOA kOB=b2a2，则动点 M 的轨迹方程为 x2a2+y2b2=2+2.证 设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 M(x1+x2,y1+y2)，由 kOA kOB=b2a2 可得 b2x1x2+a2y1y2=0，从而b2(x1+x2)2+a2(y1+y2)2=2(b2x21+a2y21)+2(b2x22+a2y22)+2(b2x1x2+a2y1y2)=(2+2)a2b2所以(x1+x2)2a2+(y1+y2)2b2=2+2，即点 M 的

337、轨迹方程为 x2a2+y2b2=2+2.推论 3.31.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，A，B 是椭圆上两点，点 M 为弦 AB 的中点，若kOA kOB=b2a2，则点 M 的轨迹方程为 x2a2+y2b2=12.例 3.141 椭圆 x24+y22=1，M，N 是椭圆上两点,直线 OM，ON 的斜率之积为 12，若动点 P 满足#OP=#OM+2#ON，试探究是否存在两个定点 F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2 的坐标；若不存在，请说明理由.解 由推论 3.30可得点 P 的轨迹方程为 x220+y210=1，故 F1(10,0)，F2(10,0

338、).例 3.142 椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22,其焦点在圆 x2+y2=1 上.(1)求椭圆方程；(2)设 A，B，M 是椭圆上的三点,且存在锐角,使#OM=cos#OA+sin#OB.第 162 页1求证:直线 OA 与 OB 的斜率的乘积为定值；2求|OA|2+|OB|2 的值.解(1)x22+y2=1；(2)易知 1 kOA kOB=12；2 由 1 知 y1y2x1x2=12 (y1y2)2=x212 x222=(1 y21)(1 y22)，继续化简可知(y1y2)2=1 (y21+y22)+(y1y2)2 y21+y22=14，又x212+y21+x22

339、2+y22=2 x21+x22=2，所以|OA|2+|OB|2=3=a2+b2.这其实就是本书第 138 页推论 3.27.3.12二次曲线的切线3.12.1切线方程定理 3.16:二次曲线的切线二次曲线 Ax2+By2+Cx+Dy+E=0 上一点 P(x0,y0)处的切线方程为 Axx0+Byy0+C x0+x2+D y0+y2+E=0.定理 3.17(1)与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)相切的斜率为 k 的切线方程是 y=kx a2k2+b2.(2)椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 x0 xa2+y0yb2=1.(3)椭圆 x2a

340、2+y2b2=1(a b 0)外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 x0 xa2+y0yb2=1.(4)双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0)上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 x0 xa2 y0yb2=1.(5)双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0，b 0)外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是x0 xa2 y0yb2=1.(6)抛物线 y2=2px 上一点 P(x0,y0)处的切线方程是 y0y=p(x+x0).(7)抛物线 y2=2px 外一点 P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是 y0y=p(x+x0).秦九韶（约 12021261），字

341、道古，四川安岳人。第 163 页证(1)点 P 在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上，x20a2+y20b2=1，对 x2a2+y2b2=1 求导得：2xa2+2yyb2=0，将点 P(x0,y0)代入得 2x0a2+2y0y0b2=0，y=b2x0a2y0，所以切线方程为y y0=b2x0a2y0(x x0)(3.146)即 x0 xa2+y0yb2=1.(2)设切点为 A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知xx1a2+yy1b2=1(3.147)xx2a2+yy2b2=1(3.148)因为点 P(x0,y0)是这两条切线的交点，故x0 x1a2+y0y1b2=1(3.14

342、9)x0 x2a2+y0y2b2=1(3.150)因为点 A，B 在直线 AB 上，且同时满足方程 x0 xa2+y0yb2=1，所以 AB:x0 xa2+y0yb2=1.例 3.143 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的任一点 M 到直线 y=1 的距离比 M 点到点 F(0,2)的距离小 1.(1)求动点 M 的轨迹 C1 的方程;(2)若点 P 是圆 C2:(x 2)2+(y+2)2=1 上一动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,切点分别为A，B,求直线 AB 斜率的取值范围.解(1)曲线 C1 上的任一点 M 到直线 y=2 的距离等于 M 点到点 F(0,2)的距离,由抛

343、物线定义可知 C1:x2=8y；(2)易知点 P(x0,y0)在曲线 C1 外,利用导数可知 kAB=x04,又因为 1 x0 3，kAB 14,34.推论 3.32.若 l 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)不垂直于对称轴的切线,M 为切点,则kl kOM=b2a2.例 3.144 过椭圆 x29+y24=1 上一点 M 作圆 x2+y2=2 的两条切线,A，B 为切点,过 A，B 的直线l 与 x 轴,y 轴分别交于 P，Q 两点,则 POQ 面积的最小值为()(A)12(B)23(C)1(D)43第 164 页解 设 M(x0,y0),则直线 l 方程为 x0 x+y0y=2,

344、所以P 2x0,0,Q0,2y0 SPOQ=12 2x0 2y0=2|x0y0|(3.151)又因为点 M 在椭圆上,所以1=x209+y204 2x209 y204=|x0y0|3(3.152)由式(3.151)，(3.152)知答案为 B.例 3.145 圆 x2+y2=1 的切线与椭圆 x24+y23=1 交于 A，B 两点,分别以 A，B 为切点的椭圆x24+y23=1 的切线交于点 P,则点 P 的轨迹方程为.解 设 P(x1,y1)，Q(x2,y2),其中点 Q 是直线 AB 与圆的切点,所以直线 AB 方程可以分别用 P，Q表示出来x14 x+y13 y=1x2 x+y2 y=1

345、x2=x14y2=y13 x142+y132=1所以点 P 的轨迹方程为 x216+y29=1.例 3.146 抛物线 x2=2py(p 0)的焦点为 F，直线 m 是抛物线的不与 x 轴重合的切线，切点为P，抛物线的准线与 m 交于点 Q，求证：以线段 PQ 为直径的圆过点 F.证 设 P 点坐标为 P(x0,y0),则切线 m 的方程为 y=x0p(x x0)+x202p,因此,Q 点坐标为Qx20 p22x0,p2,所以#FP=x0,x202p p2，#FQ=x20 p22x0,p#FP#FQ=0.例 3.147 直线 l 与椭圆 x24+y2=1 相切于点 P（不为椭圆的左右顶点），直

346、线 l 与直线 x=2 相交于点 A，与直线 x=2 相交于点 B，点 F 为椭圆右焦点，请问 AFB 是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明.证 两种情况讨论:1当直线 l 斜率为 0 时,A(2,1)B(2,1)F(3,0)#FA#FB=0;不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 165 页2当直线 l 斜率不为 0 时,设 P 点坐标为 P(x0,y0),则切线 l 的方程为 x04 x+y0y=1.因此三个点的坐标为 A2,2 x02y0，B2,2+x02y0，F(3,0),可得#FA#FB=0.3.12.2求出切点引理 3.3.求出切点设直线 y=kx+m（k 存

347、在）与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)切于点 P，则点 P 的坐标为a2kma2k2+b2,mb2a2k2+b2.证 联立x2a2+y2b2=1y=kx+m(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2 b2)=0.因为直线与椭圆相切，所以方程有两相等实数根，由韦达定理可得 xP=a2kma2k2+b2，代入直线方程可得 yP=mb2a2k2+b2，故点 P 的坐标为a2kma2k2+b2,mb2a2k2+b2.例 3.148 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)，圆 M:x2+y2=R2（其中 b R b 0)，直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且仅有一个公共点

348、 P，直线 l 交直线 x=a2c 于点 Q，求证：以线段 PQ 为直径的圆恒过右焦点.例 3.149 椭圆 C:x22+y2=1，直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点 P，直线 l 交直线 x=2 于点 Q，求证：以线段 PQ 为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标.解 依题意联立x22+y2=1y=kx+m(2k2+1)x2+4kmx+2m2 2=0(3.158)因为直线与椭圆相切，所以 =0 m2=2k2+1.又方程(3.158)有两相等实数根，由韦达定理可得 xP=2km，代入直线方程可得 yP=1m，故点 P的坐标为2km,1m.设 Q(2,2k+m)，以线段 PQ

349、 为直径的圆的方程为x+2km(x2)+y 1m(y2km)x2+y2+2km 2x+2k+m+1my+1 2km=0(3.159)第 167 页整理得(x2+y2 2x+1)+2km x+2k+m+1my 2km=0(3.160)于是x2+y2 2x+1=(x 1)2+y2=02km x+2k+m+1my 2km=0 x=1y=0(3.161)故圆过定点 K(1,0).推论 3.33.设直线 y=kx+m（k 存在）与椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)切于点 P，则k kOP=b2a2.变式训练 EXERCISES225.已知抛物线 C:y2=4x 和直线 l:x=1,过直线 l 上

350、任一点 P 做抛物线的两条切线,切点记为A，B,求证：直线 AB 过定点.226.已知点 P 是抛物线 x2=4y 上的动点,点 F 是抛物线的焦点,点 A 的坐标为(0,1),则|PF|PA|的最小值为.227.已知点 P 是抛物线 y=18 x2 上的动点,点 F 是抛物线的焦点,点 A 的坐标为(3,2),则|PF|PA|的最小值为.3.12.3阿基米德三角形定义 3.12:阿基米德三角形圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫阿基米德三角形.定理 3.181.从抛物线 y2=2px 外一点 P 作抛物线的两条的切线 PA,PB,切点分别为 A(x1,y1)，B(x2,y2),

351、则 P 点坐标为 Py1y22p,y1+y22.2.从抛物线 x2=2py 外一点 P 作抛物线的两条的切线 PA,PB,切点分别为 A(x1,y1)，B(x2,y2),则 P 点坐标为 P x1+x22,x1x22p.3.F 为抛物线的焦点,则 PFA=PFB.第 168 页证 由定理 3.17 知以 Ay212p,y1，By222p,y2 两点为切点的切线方程为yy1=px+y212p(3.162)yy2=px+y222p(3.163)两式相减 可得 yP=y1+y22，故点 P 坐标为 Py1y22p,y1+y22.注 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴例 3.150 已知抛物线

352、 C:x2=2py(p 0),直线 l 交 C 于 A，B 两点与原点不重合,点 M(1,2)为线段 AB 的中点.(1)若直线 l 的斜率为 1,求抛物线 C 的方程;(2)分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线,若两条切线交于点 S,求证点 S 在一条定直线上.解(1)kAB=x0p p=1；(2)设 A(x1,y1)，B(x2,y2),求导可知过点 A 的切线方程为 x1x=py1+x212p,同理过点 B 的切线方程为 x2x=py2+x222p，两式做差可得 x=x1+x22=1，所以点 S 在定直线x=1 上.推论 3.34.若阿基米德三角形底边弦 AB 过抛物线内定点 C，则另

353、一顶点 P 的轨迹为一条直线.图 3.65证 依题意，设 P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x0,y0)，由 3.18易知 x=x1+x22，y=x1x22p，所以阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 169 页x1x2=2py，因为 A，B，C 三点共线，所以y1 y2x1 x2=y1 y0 x1 x0 x212p x222px1 x2=x212p y0 x1 x0 x0(x1+x2)=x1x2+2py0(3.164)将 x1+x2=2x，x1x2=2py 代入上式可得 x0 x=p(y+y0)，即为 Q 点的轨迹方程，它表示一条直线.推论 3.35.若直线

354、l 与抛物线无公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底过定点证 依题意，设直线 l 的方程为 ax+by+c=0，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x0,y0)，由于弦 AB 过 C，所以两切线交点 P 的轨迹为 x0 x=p(y+y0)，该方程与 ax+by+c=0 表示同一条直线，于是有x0=apb，y0=cb，即弦 AB 过定点apb,cb.例 3.151 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过直线 y=x 2 上任一点引抛物线的两条切线，切点为 A，B，则点 F 到直线 AB 的距离()(A)无最小值(B)无最大值(C)有最小值,最小值为 1(D)有最大值,最大值为5解

355、 易知直线 AB 恒过点 Q(2,2)，所以|FQ|即为点 F 到直线 AB 的最大距离，计算得5，当直线 AB 经过点 F 时距离最短，为 0，故选 D.例 3.152 抛物线 y2=2px 外一点 P 作抛物线的两条的切线 PA，PB,切点分别为 A(x1,y1)，B(x2,y2),F 为抛物线的焦点，则|PF|2=|AF|BF|.证 易知点 Py1y22p,y1+y22，F p2,0，则|PF|2=y1y22p p22+y1+y222=y21y224p2+y21+y224+p24(3.165)|AF|BF|=x1+p2 x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=y21y224p2

356、+y21+y224+p24(3.166)所以|PF|2=|AF|BF|.变式训练 EXERCISES228.已知曲线 x2=4y,动点 P 在直线 y=3 上,过点 P 作曲线的两条切线 l1，l2,切点分别为 A，B,则直线 AB 截圆 x2+y2 6y+5=0 所得弦长为()第 170 页(A)3(B)2(C)4(D)23229.过点 P 作抛物线 C:x2=2y 的切线 l1，l2，切点分别为 M，N，若 PMN 的重心坐标为(1,1)，且 P 在抛物线 D:y2=mx 上，则 D 的焦点坐标为()(A)14,0(B)12,0(C)24,0(D)22,0推论 3.36.阿基米德三角形中,

357、P 为过 A，B 两点的抛物线的切线的交点.若弦 AB 过抛物线y2=2px 的焦点 F,则有：P 点坐标为 P p2,y1+y22.PAPB.PFAB【即符合射影定理】.PAB 的面积的最小值为 p2.注 抛物线 x2=2py 的情况基本一样,留给读者朋友推导.例 3.153 抛物线 x2=4y 的焦点为 F,点 A，B 在抛物线上,且#AF=2#FB,过点 A，B 分别引抛物线的切线 l1，l2,且 l1，l2 相交于点 P,则|PF|=()(A)322(B)433(C)22(D)23解 由本书第 98 页式(3.28)可知|AF|=3，|BF|=32,再由射影定理可知答案为 A.例 3.

358、154 抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过 F 的直线 l 与抛物线交于不同两点 A，B,过点 A，B 分别引抛物线的切线 l1，l2,且 l1，l2 相交于点 P,设|AB|=m,则|PF|=.(结果用 m 表示)图 3.66知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 171 页解 依题意，设直线 l 的倾斜角为，取 AB 中点 M，连接 MP,则m=|AB|=2pcos2 =4sin2 FMP又根据阿基米德三角形性质知|PM|=12|AB|=12m.在 RtPFM 中，|PF|=|PM|sin FMP=m2 2m=m.变式训练 EXERCISES230.已知抛物线 C:y=x22，

359、D 为直线 y=12 上的动点,过点 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A，B,证明:直线 AB 过定点.231.抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，在 C 上存在 A，B 两点满足#AF=3#FB，且点 A 在 x 轴上方，以 A 为切点作 C 的切线 l，l 与该抛物线的准线交于点 M，则 M 的坐标为.232.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,A(1,0),则|PF|PA|的最小值为()(A)13(B)22(C)45(D)32233.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点,A(1,0),当|PF|PA|取得最小值时,直线 AP的方程为.2

360、34.已知抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F,准线为 l,抛物线 C 上存在一点 P,过点 P 作PMl,垂足为 M,使 PMF 是等边三角形且面积是 43.(I)求抛物线 C 的方程;(II)若点 H 是圆 O:x2+y2=r2(r 0)与抛物线 C 的一个交点,点 A(1,0),当|HF|HA|取得最小值时,求此时圆 O 的方程.235.已知点 F1 是抛物线 C1:y=14 x2 与椭圆 C2:x2a2+y2b2=1(b a 0)的公共焦点,F2 是椭圆C2 的另一焦点,P 是抛物线 C1 上一动点,当|PF1|PF2|取得最小值时,点 P 恰好在椭圆 C2 上,则椭圆 C2

361、 的离心率为.236.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，A，B 是抛物线上两动点,且#AF=#FB(0),过 A，B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M,则#FM#AB=()(A)大于 0(B)等于 0(C)小于 0(D)无法判断第 172 页237.已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点,若#MA#MB=0,则 k=()(A)12(B)22(C)2(D)2238.椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)与抛物线 E:y2=4x 相交于 M，N,过点 P(1,0)的直线与抛物线 E 相切于 M，N 点,设椭圆的

362、右顶点为 A,若四边形 PMAN 为平行四边形,则椭圆的离心率为()(A)33(B)22(C)23(D)34239.已知抛物线 C:y2=4x 与点 M(1,1),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点,若AMB=90,则 k=.240.已知抛物线 C:x2=2py(p 0)的焦点为 F,点 M(xM,2)在抛物线上,且|MF|=52,在抛物线上不同的两点 P，Q 分别作切线 l1,l2,记线段 PQ 的中点为 N,若 l1l2,则点 N 的纵坐标的最小值为()(A)14(B)32(C)1(D)12241.过抛物线 C:x2=4y 的准线上任意一点 P 作抛物线的两条切线

363、 PA，PB,切点分别为 A，B,则A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和的最小值为.242.已知 F1 为抛物线 x2=2py 的焦点,点 F2 为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点,过 F2 作抛物线 C 的切线,切点为 A,若点 A 恰好在以 F1，F2 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()(A)6 22(B)2 1(C)2+1(D)6+22定理 3.19:抛物线阿基米德三角形的面积 过抛物线 y2=2px(p 0)内一点 M(m,n)的阿基米德三角形的面积的最小值为1p(2pm n2)3,此时 PM/x 轴.过抛物线 x2=2py(p 0)内一点 M(m,n)的阿基米德三角形

364、的面积的最小值为1p(2pn m2)3,此时 PM/y 轴.例 3.155 已知抛物线 C:x2=4y,直线 l:y=kx+1 交抛物线 C 于 A，B 两点,过 A，B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 E,求 EAB 面积的最小值.批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 173 页解 依题意,易知 E 点坐标为 E(2k,1),抛物线和直线方程联立可得：x2 4kx 4=0,韦达定理x1+x2=4kx1x2=4.由“水平宽，铅锤高”可得三角形面积SEAB=12(2k2+2)16k2+16=4(k2+1)k2+1k2+1=t1=换元4t3 4.注 此结果和本书第 160 页推论 3.29 一样

365、.例 3.156 已知抛物线 C:y=ax2 的焦点坐标为(0,1)，点 P(0,3)，过点 P 作直线 l 交抛物线 C 于A，B 两点,过 A，B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 Q，则 QAB 面积的最小值为()(A)62(B)63(C)123(D)122解 C.3.13同构原理构造一元二次方程3.13.1双切线及蒙日圆定理 3.20如图 3.67 所示,过圆锥曲线外一点 P(x0,y0)的两条切线的斜率分别为 k1，k2,设过点 P 的直线方程为 y=k(x x0)+y0,与二次曲线联立后,令 =0 便会得到一个关于 k 的二次方程.很明显 k1，k2 均满足这个二次方程,所以 k

366、1，k2 为该二次方程的两根.图 3.67例 3.157 求证:椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)两垂直切线交点的轨迹为圆.证 设 P(x0,y0),过点 P 的直线方程为 y=k(x x0)+y0,联立椭圆方程x2a2+y2b2=1y=k(x x0)+y0=0 a2k2+b2=(y kx0)2 (a2 x20)k2+2x0y0k+b2 y20=0第 174 页则 k1，k2 为其两根,所以 k1k2=b2 y20a2 x20=1 x20+y20=a2+b2.例 3.158 已知椭圆 C:x23+y2=1,直线 l:mx+y 3m 2=0,若直线 l 上存在点 P,使得过点 P总能作出

367、椭圆 C 的两条互相垂直的切线,则实数 m 的取值范围为.解 易知点 P 的运动轨迹为 x2+y2=4(蒙日圆),依题意直线 l 和此圆总有交点,即|3m+2|m2+1 2 125 m 0.例 3.159 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点为 F1，F2,点 P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点,过右焦点 F2 作 F1PF2 的外角平分线 l 的垂线,垂足为 Q,且|OQ|=2,椭圆的离心率为 12.(1)求椭圆 C 方程;(2)设 S 是圆 x2+y2=7 上任一点,由 S 引椭圆两条切线 S A，S B,切点分别为 A，B,求证：S AS B.解(1)易知|OQ|

368、=a,故椭圆 C 方程为 x24+y23=1；(2)1 当两条切线中的一条的斜率不存在时,不妨设点 S 在第一象限,且 S Ax 轴,则点 A 为椭圆的右顶点,此时 A(2,0)，S(2,3)，B(0,3),所以 S AS B.2 当两条切线的斜率都存在时,设 S(x0,y0),一条切线的斜率为 k.则过点 S 的切线方程为y y0=k(x x0)(3.167)联立椭圆方程得(4k2+3)x2+8k(y kx0)x+4(y kx0)2 12=0(3.168)因为相切,所以 =0 (x20 4)k2 2x0y0k+y20 3=0 kS A kS B=y20 3x20 4，又因为点 S 在圆x2+

369、y2=7 上,故 x20+y20=7.所以 kS A kS B=7 x20 3x20 4=1.推论 3.37.如图 3.67，过椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的蒙日圆 x2+y2=a2+b2 上一点P 作椭圆 E 的两条切线 PM，PN，切点为 A，B，与圆交于 M，N 两点，直线 MN 交椭圆E 于 C，D 两点，则(1)SPMN a2+b2；(2)若点 F 为椭圆 E 上一点，则 kEC kED=b2a2.例 3.160 求证:抛物线 y2=4x 两垂直切线交点的轨迹为直线,且此直线为抛物线的准线.业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 175 页证 设 P(x0,y0

370、),过点 P 的直线方程为 y=k(x x0)+y0,联立椭圆方程y2=4xy=k(x x0)+y0 k4y2 y+y0 kx0=0=0 x0k2 y0k+1=0，则 k1，k2 为其两根，所以 k1k2=1x0=1 x0=1.变式训练 EXERCISES243.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆,若椭圆 C:x2a+2+y2a=1(a 0)的蒙日圆为 x2+y2=4,则 a=()(A)1(B)2(C)3(D)4244.已知两动点 A，B 在椭圆 C:x2a2+y2=1(a 1)上,动点 P 在直

371、线 3x+4y 10=0 上,若APB 恒为锐角,则椭圆 C 的离心率的取值范围为.3.13.2蒙日圆即伴随圆推论 3.38.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的任意切线 l 与圆 x2+y2=a2+b2 相交于 A，B 两点（两点均不在坐标轴上），则直线 OA，OB 的斜率之积 kOA kOB=b2a2.证 设切线 l:y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线和椭圆联立x2a2+y2b2=1y=kx+m(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2 b2)=0(3.169)=0 m2=a2k2+b2(3.170)直线和圆联立x2+y2=a2+b2y=kx+m(k2+1

372、)x2+2kmx+m2 a2 b2=0(3.171)第 176 页韦达定理x1+x2=2kmk2+1x1x2=m2 a2 b2k2+1(3.170)=a2k2 a2k2+1(3.172)所以kOA kOB=y1y2x1x2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2x1x2(3.170)=(3.172)b2a23.13.3双斜率例 3.161 已知抛物线 y2=2px，直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且 OAOB，求证：直线 AB 恒过定点.证 A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 OA，OB 的斜率为 k1=y1x1，k2=y2x2，直线 l:x=t

373、y+m，则x tym=1，和抛物线联立得y2=2px 1=2px x tym化简得my2+2ptxy 2px2=0(3.173)给式子(3.173)两边同除以 x2，得myx2+2ptyx 2p=0(3.174)因为 OAOB，所以 k1 k2=1，且 k1，k2 是方程(3.174)的两根，于是 2pm=1 m=2p.故直线 AB 恒过定点(2p,0).例 3.162 已知抛物线 y2=2px，点 P p2,p，过点 P 的两条直线分别交抛物线于 A，B 两点，且直线 PA，PB 的倾斜角互补，求证：直线 AB 的斜率为定值.证 我们通过平移把点 P 移到坐标原点 O，令x=x+p2y=y+

374、p，抛物线方程化简为y2 2px+2py=0(3.175)敏而好学，不耻下问。孔子第 177 页A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线 AB 的方程为 y=kx+m，则 y kxm=1，和式子(3.175)联立得y2 2px y kxm+2py y kxm=0化简得(m+2p)y2 (2p+2pk)xy+2pkx2=0(3.176)给式子(3.176)两边同除以 x2，得(m+2p)yx2(2p+2pk)yx+2pk=0(3.177)因为直线 PA，PB 的倾斜角互补，所以 k1+k2=0，即 2p+2pkm+2p=0 2p+2pk=0 k=1.因为平移不影响斜率，所以直线 AB 的斜率为定

375、值 1.例 3.163 已知 F1，F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点,点 P(2,3)为其上一点,且|PF1|+|PF2|=8.(1)求椭圆 C 方程;(2)若直线 l:y=kx 4 与椭圆 C 交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,且原点在以线段 AB 为直径的圆的外部,求 k 的取值范围.解(1)x216+y212=1；(2)先构造“1”y=kx 4 kx y4=1代入椭圆方程得x216+y212=kx y42 x216+y212=k2x2+y2 2kxy16(3.178)同除以 x2 就可以得到和斜率有关的一元二次方程,并且此斜率和坐标原点有关.y

376、x2+6kyx+3 3k2=0(3.179)设方程(3.179)的两根分别为 k1=y1x1，k2=y2x2,可以得到=36k2 4(3 3k2)0k1k2 1k,12 12,+k 233,233第 178 页综上,k 233,12 12,233.例 3.164 已知 F1，F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点,点 P1,32为其上一点,且|PF1|+|PF2|=4.(I)求椭圆 C 方程;(II)若直线 l:y=kx 62 与椭圆 C 交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,且 OA，OB 所在直线斜率满足kOA kOB=14,求 k 的值.解(I)x24+

377、y23=1;(II)k=22.例 3.165 椭圆 C:x216+y212=1,直线 l 与椭圆 C 交于 A(x1,y1)，B(x2,y2)两点,与 x 轴,y 轴分别交于 P，Q 两点,若直线 OA，OB 的斜率之积为 34,求 OPQ 的面积的取值范围.解 采用齐次化方法：设直线 AB:mx+ny=1,联立得：(4 48n2)yx2 96mnyx+(3 48m2)=0(3.180)设方程(3.180)的两根分别为 k1=y1x1，k2=y2x2,可以得到kOA kOB=34 3 48m24 48n2=34 8m2+6n2=1|OP|=1m|OQ|=1n SOPQ=12mn.由基本不等式

378、1=8m2+6n2 83mn SOPQ 43.例 3.166 椭圆 E:x28+y22=1,不经过点 A(2,1)的直线与椭圆交于 P，Q 两点,且直线 AP 与直线AQ 的斜率之和为 0,证明:直线 PQ 的斜率为定值.证 坐标变换,令x=x+2y=y+1,椭圆方程转换为 x2+4x+4y2+8y=0,现在设直线PQ:mx+ny=1,联立得：(4+8n)y2+(8m+4n)xy+(4m+1)x2=0(3.181)海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 179 页两边同除以 x2,得(4+8n)yx2+(8m+4n)yx+(4m+1)=0(3.182)设此方程的两根分别为 k1=y1x1

379、，k2=y2x2,根据题意可得0=k1+k2 8m+4n=0 n=2m所以直线 PQ 的斜率为 12.例 3.167 椭圆 E:x23+y2=1,过点 D(1,0)的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点,设点 E(3,2),直线 AE，BE 的斜率分别为 k1，k2,问 k1+k2 是否为定值?并证明你的结论.证 定值 2.例 3.168 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 M(0,1),长轴长是短轴长的 2 倍.(I)求椭圆 C 的方程;(II)设直线 l 经过点 N(2,1)且与椭圆相交于 A，B 两点(异于点M),记直线 MA 的斜率为 k1,直线MB 的斜率为 k2

380、,证明 k1+k2 为定值.证(I)椭圆 C:x24+y2=1;(II)定值 1.注 我们一直是给直线方程做手术,让其产生“1”,构造其次方程的思想如下：若曲线方程里有一次项,那么一次项就乘以这个“1”;若曲线方程里有常数项,那么常数项就要乘以这个“1”的平方.3.13.4双定比注 我们把直线与曲线的两个交点看成一个点，根据定比分点公式求出二合一点的坐标，把此坐标带入曲线方程，我们便可得到关于两个比例系数的一元二次方程.例 3.169 已知抛物线 C:y2=4x,过点 M(0,2)的直线 l 交抛物线于 A，B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C,设#MA=#AC，#MB=#BC,证明 +

381、为定值.证 易知直线 l 的斜率存在且不为 0,设方程为 y=kx+2,令#MD=#DC,设 D 点坐标为(x,y)，C第 180 页点坐标为2k,0,由定比分点公式可得x=2k1+y=21+,因为 D 点在抛物线上,所以y2=4x 2(+1)=k 22+2 k=0(3.183)根据题意我们可知 和 是方程(3.183)的两个根.所以 +=1.例 3.170 已知抛物线 C:y2=4x，过抛物线的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，交准线 l 与M，设#MA=1#AF，#MB=2#BF，求 1+2.解法一 易知直线 l 的斜率存在且不为 0，设方程为 x=ty+1，令#MD=#DF，设

382、D 点坐标为(x,y)，M 点坐标为1,2t，由定比分点公式可得x=1+1+y=2t1+，因为 D 点在抛物线上，所以y2=4x t22 t2 1=0(3.184)根据题意可知 1 和 2 是方程(3.184)的两个根，所以 1+2=0.解法二 易知 1 2 b 0)上.(I)求椭圆 C 的方程;(II)经过 F2 作直线 m 交 C 于两点 A，B,交 y 轴于 M 点,若#MA=1#AF2，#MB=2#BF2,且12=1,求 1 与 2.250.若椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴三者长的平方成等差数列,直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别

383、交于点 Q，P,与椭圆分别交于点 M，N,各点均不重合且满足#PM=1#MQ，#PN=2#NQ.(I)求椭圆 C 的标准方程;(II)若 1+2=3,证明:直线 l 过定点并求此定点.向量共线中的双比值例 3.171 ABC 中，D 为 BC 边上的中点，若#BE=1#EA，#CF=2#FA，且 1+2=1，设 AD 与EF 交于点 P，求证：P 为 ABC 的重心.解法一 设#AP=m#AE+n#AF，则 m+n=1，再设#AD=k#AP，所以#AD=mk1+1#AB+nk2+1#AC，故mk1+1=nk2+1=12，于是m1+1=n2+1等比性质=m+n1+1+2+1=13所以 k=32，

384、故 P 为 ABC 的重心.解法二 设 EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G，设 DPPA=，由梅涅劳斯定理可得AEEB BGGC CFFA=1(3.187)AEEB BGGD DPPA=1(3.188)APPD DGGC CFFA=1(3.189)第 182 页由式(3.187),(3.188)可得 BGGC CFFA=BGGD DPPA，即1GC 2=1GD ，于是 2=GCGD ，由式(3.187),(3.189)可得 1=BGGD ，再由 1+2=1 可得=DGBG+GC=DGGD+BD+GD BD=12，故 P 为 ABC 的重心.图 3.68图 3.69例 3.172 过抛物线

385、 y=x2 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线，分别交 x 轴于点 D，交 y 轴于点 B，点 C 在抛物线上，若#AE=1#EC，#BF=2#FC，且 1+2=1，设 CD 与 EF 交于点 P，当点 C在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹.解 易知 AB:y=2x 1，故 B(0,1)，且点 D 为线段 AB 的中点，设 P(x,y)，C(t,t2)，由例 3.171可知点 P 为 ABC 的重心，因为点 C 不与 A 重合，所以 t 1，由重心坐标公式可得3x=t+13y=t2消去 t 得 3y=(3x 1)2.故所求轨迹方程为 3y=(3x 1)2,(x 23).3.13.5“同构法”

386、处理与圆的切线有关的一类问题过某曲线 G 上一点 P 向圆 A 引两条切线，求解相关问题本文介绍一个有效的方法“同构法”方法 3.1.解决这类问题的方法是：先设出 B，C 点的坐标，由直线方程的两点式写出切线PB 的方程，由直线和圆相切的条件可得点 B 的坐标所满足的某个 二元一次方程，同理可得出点 C 的坐标 也 满足的这个二元一次方程例 3.173 已知点 P(1,1)在椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)上，椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，PF1F2 的面积为62.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 A，B 在椭圆 C 上，直线 PA，PB 均与圆 O:x2+y2=

387、r2(0 r c，直线 PB 的方程：y b=y0 bx0 x，化简得(y0 b)x x0y+x0b=0(3.192)又因为和圆相切|y0 b+x0b|(y0 b)2+x20=1 (y0 b)2+x20=(y0 b)2+2x0b(y0 b)+x20b2(3.193)易知 x0 2，上式化简得(x0 2)b2+2y0b x0=0(3.194)第 184 页同理(x0 2)c2+2y0c x0=0(3.195)于是 b，c 是方程(x0 2)x2+2y0 x x0=0 的两根，由韦达定理知b+c=2y0 x0 2bc=x0 x0 2,则(b c)2=4x20+4y20 8x0(x0 2)2(3.1

388、96)因为点 P 在抛物线上，故 y20=2x0，则 b c=2x0 x0 2，所以SPBC=12(b c)x0=x0 x0 2 x0=(x0 2)+4x0 2+4 24+4=8此时，x0=4，y0=22，因此 PBC 面积的最小值为 8.例 3.175 过抛物线 y=x2 上的点 A 向圆 G:x2+(y 2)2=1 引两条切线 AB，AC，与抛物线分别交于点 B，C 两点,连接 BC，证明：直线 BC 也是圆 G 的切线.证 设 A(a,a2)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，由两点式可求得直线 AB 的方程为(x1+a)x y ax1=0(3.197)因直线 AB 与圆 G 相切，则

389、|2+ax1|1+(x1+a)2=1 (a2 1)x21+2ax1+3 a2=0 (a2 1)y1+2ax1+3 a2=0(3.198)式(3.198)说明 B(x1,y1)在直线(a2 1)y+2ax+3 a2=0 上，同理 C(x2,y2)也在直线(a2 1)y+2ax+3 a2=0 上，故直线 BC 的方程为(a2 1)y+2ax+3 a2=0，因圆心 G 到直线 BC 的距离d=|2(a2 1)+3 a2|(2a)2+(a2 1)2=a2+1a2+1=1(3.199)故直线 BC 也是圆 G 的切线.例 3.176【2021 甲卷】抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直

390、线 l:x=1 与 C 交于P，Q 两点，且 OPOQ，已知点 M(2,0)，且 M 与 l 相切.君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 185 页(1)求 C，M 的方程；(2)设 a1，a2，A3 是 C 上的三个点，直线 a1a2，a1A3 均与 M 相切，判断直线 a2A3 与 M 的位置关系，并说明理由.解(1)C:y2=x；M:(x 2)2+y2=1；(2)设 a1(x1,y1)，a2(x2,y2)，A3(x3,y3)，当 a1，a2，A3 中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为 3 时，满足条件，此时直线 a2A3 与 M 相切.当 x1，x2，x3 互不相等时，直线 a1

391、a2 的方程为x (y1+y2)y+y1y2=0(3.200)则|2+y1y2|(y1+y2)2+1=1 (y21 1)y22+2y1y2+3 y21=0(3.201)同理可得(y21 1)y23+2y1y3+3 y21=0(3.202)所以 y2，y3 是方程(y21 1)y2+2y1y+3 y21=0 的两个根，则y2+y3=2y1y21 1y2y3=3 y21y21 1设点 M 到直线 a2A3:x (y2+y3)y+y2y3=0 的距离为 d，则d2=(2+y2y3)21+(y2+y3)2=2+3y21y21121+2y1y2112=1所以直线 a2A3 与 M 相切.综上可得，直线

392、a2A3 与 M 相切.变式训练 EXERCISES251.已知抛物线 y2=2px 上三点 A(2,2)，B，C，直线 AB，AC 是圆(x 2)2+y2=1 的两条切线，则直线 BC 的方程为()第 186 页(A)x+2y+1=0(B)3x+6y+4=0(C)2x+6y+3=0(D)x+3y+2=03.14圆曲中的外接圆方程例 3.177 过点 P(1,2)作抛物线 y2=2x 的两条切线，分别交 y 轴于 M，N 两点，求 PMN 的外接圆方程.解 设切线方程为 y=k(x+1)+2，由y2=2xy=k(x+1)+2得到 k2y2 y+k+2=0，=1 2k(k+2)=0 2k2+4k

393、 1=0，依题可得 M(0,k1+2)，N(0,k2+2)，其中k1+k2=2k1 k2=12设 PMN 的外接圆方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有1+4 D+2E+F=0(3.203)y2+Ey+F=0(3.204)其中 k1+2，k2+2 是方程(3.204)的两根，故k1+2+k2+2=E(k1+2)(k2+2)=FE=2F=12(3.205)由方程(3.203)、(3.205)可知 PMN 的外接圆方程为 x2+y2+12 x 2y 12=0.例 3.178 过定点 C(0,2)的直线与抛物线 x2=4y 交于 A、B 两点，问是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以

394、 AC 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由.解 设存在直线 l:y=a，A(x1,y1)，B(x2,y2)，以 AC 为直径的圆的方程为(x 0)(x x1)+(y 2)(y y1)=0(3.206)设直线 l 与圆的交点为 P(x3,y3)，Q(x4,y4)，将 y=a 代入(3.206)，得x2 x1x+(a 2)(a y1)=0 x3+x4=x1x3x4=(a 2)(a y1)(3.207)三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 187 页则弦长|PQ|=|x3 x4|=(x3+x4)2 4x3x4=x21 4(a 2)(a y1)=4y1 4

395、a2 ay1 2a+2y1=4(a 1)y1+a(2 a)令 a 1=0，得 a=1，此时|PQ|=2 为定值，故满足条件的直线 l 存在，其方程为 y=1.变式训练 EXERCISES252.过点 P(1,2)作双曲线 x22 y2=1 右支的两条切线，分别交 y 轴于 M，N 两点，求 PMN的外接圆方程.第 188 页第四章立体几何4.1正方体中的截面问题正方体的截面形状有如下几种情况：图 4.1 锐角三角形图 4.2 等腰三角形图 4.3 等边三角形图 4.4 梯形图 4.5 平行四边形图 4.6 菱形图 4.7 矩形图 4.8 任意五边形图 4.9 任意六边形图 4.10 正六边形正

396、方体中的截面形状正方体的截面只能三角形、四边形、五边形、六边形.当截面是三角形时，不可能是直角三角形和钝角三角形;当截面是四边形时，则四边形至少有一组对边平行，不可能是直角梯形；当截面是五边形时，则必有两组分别平行的边，不可能是正五边形；当截面是六边形时，则必有三组平行的边，特别地，可以是正六边形.正方体截面面积最大时，截面为体对角面（矩形）.例 4.1【多选】用一个平面去截正方体，截面不可能是()189(A)菱形(B)直角三角形(C)正五边形(D)直角梯形解 BCD.与正方体体对角线垂直的截面1.如图 4.11，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a，DB1 面 ACD1 于点

397、 H，则H 为 DB1 的三等分点；2.正方体每条棱所在直线与截面所成的角 都相等，sin =DHDD1=33；3.当截面与正方体三个面相交时，截面为等边三角形；当截面与正方体六个面相交时，截面为三组对边平行的六边形；如图 4.12，其中该六边形的周长为定值 32a，和上面的等边三角形周长相等；面积不是定值，当六边形是正六边形时面积最大，为334 a2.图 4.11图 4.12例 4.2【联赛】已知平面与正方体 ABCD A1B1C1D1 的 12 条棱的夹角都等于，则sin =.解33.例 4.3【联赛】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，任作平面 与对角线 AC1 垂直，使得 与每个

398、面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l，则()(A)S 为定值，l 不为定值(B)S 与 l 均为定值(C)S 不为定值，l 为定值(D)S 与 l 均不为定值解 C.例 4.4【2016 高考】平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1 的顶点 A，/平面 CB1D1，平面ABCD=m，平面 ABB1A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为()(A)32(B)22(C)33(D)13第 190 页解 因为平面 A1B1C1D1/平面 ABCD，平面 CDD1C1/平面 ABB1A1，故 CD1B1 即为所求角，又 CD1B1 为等边三角形，故选 A.例 4.5【2018 高

399、考】已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 与此正方体所得截面面积的最大值为()(A)334(B)233(C)324(D)32解 如图 4.13，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，平面 AB1D1 与 AA1，AB，AD 所成的角都相等，又正方体的其余棱与它们三个都平行，故正方体的每条棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角都相等，则 最大时是图中的正六边形，边长为22，面积为 6 34 222=334.图 4.13图 4.14图 4.15例 4.6【多选】如图 4.14，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，M

400、为 CC1 上的动点，AM 平面,下面说法正确的是()(A)直线 AB 与平面 所成角的正弦值的范围为33,22(B)点 M 与点 C1 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大(C)点 M 为 CC1 的中点时，若平面 经过点 B，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形(D)已知 N 为 DD1 中点，当 AM+MN 的和最小时，M 为 CC1 的中点解 对于 A，直线 AB 与平面 所成角的正弦值即为直线 AB 与直线 AM 所成角的余弦值，；显然 B；对于 C，如图 4.15，分别作出 AM 在在外正方形和左正方形面上的投影 M1，M2，分别取 A1D1，A1B1 的中点

401、 E，F，由正方形十字架理论可知 AM1BF，AM2BE，再由三垂线逆定理可知AMBF，AMBE，于是平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形 BDEF，；对于 D，将平面 ACC1A1 和平面 CDD1C1 展开，连接 AN 与 CC1 的交点是点 M，显然 M 不是中点，.故答案为 A，C.变式训练 EXERCISES253.【多选】如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，P，N 分别为棱 CC1，CB，人生的价值，并不是用时间，而是用深度量去衡量的。第 191 页97CD 上的动点，（点 P 不与 C，C1 重合），若 CP=CM=CN，下列说法正确的是()(A)存

402、在点 P，使得点 A1 到平面 PMN 的距离为 43(B)用过 M，P，D1 三点的平面去截正方体，得到的截面一定为梯形(C)BD1/平面 PMN(D)用平行于平面 PMN 的平面 去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形的周长一定为 32图 4.164.2翻折问题的探究翻折问题翻折就是旋转，旋转即对称，对称即垂直.从这一意义上说，如图 4.17，平面四边形 ABCD，将 ABC 沿 BC 翻折，过点 A 作折痕 BC 的垂线 AH，交 CD 于点 E，则点 A 在平面 BCD上的投影必落在射线 AE 上.图 4.17例 4.7 如图 4.18，在矩形 ABCD 中，AB=33，BC=3，

403、沿对角线 BD 把 BCD 折起使 C 点移到 C1 点，且 C1 在平面 ABD 内的射影 O 恰好落在 AB 上，求二面角 C1 BD A 的正切值.图 4.18图 4.19第 192 页图 4.20图 4.21解 如图 4.20，过点 C 作射线 COBD，垂足为 G，且交 BA 于点 O，因为点 C1 在平面 ABD 上的射影必落在射线 CG 上，又依题知 C1 在平面 ABD 内的射影 O 恰好落在 AB 上，故 C1O 平面 ABD，如图 4.21，由 C1GBD，OGBD 可知 C1GO 即为面 C1BD 与面 ABD 所成的角，在图 4.20 中由等面积法可知 CG=332，再

404、由“8”字相似可得 OG=32，故tan C1GO=C1OOG=22.例 4.8 如图 4.22，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线 BD 把 ABD 折起，使 A 在平面 BCD 内的射影落在 BC 上.(1)求异面直线 AB 和 CD 所成的角；(2)求异面直线 AB 和 CD 之间的距离.图 4.22图 4.23解(1)因为直线 AB 在底面 ABC 的射影 BE 和 CD 垂直，由三垂线定理可得 ABCD.(2)因为直线 AC 在底面 ABC 的射影 EE 和 CD 垂直，由三垂线定理可得 ABCCD，再ABCDABADAD CD=D可得 BA 面 ACD，故 AC 为

405、异面直线 AB 和 CD 的公垂线，所以 AB和 CD 之间的距离即为线段 AC 的长度.在 RtABC 中，AB=3，BC=4，AC=BC2 AB2=7，人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 193 页故异面直线 AB 和 CD 之间的距离为7.例 4.9【多选】如图 4.24，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=23，将 ABC 沿 AC 向上翻折到BAC 的位置，设二面角 B AC D 的平面角为，若 cos =13，则以下结论正确的是()(A)BD=22(B)异面直线 AC 与 BD 所成的角为 3(C)四面体 ABCD 的体积为 433(D)四面体 ABCD

406、 外接球的体积为 323图 4.24图 4.25图 4.26解 对于 A.如图 4.25，过点 B 作 AC 的垂线，分别交 AC，AD 于点 H，G，易知 BH=3，HG=33，如图 4.26，BHG 即为二面角 B AC D 的平面角，又因为 cos =13，所以BG 平面 ACD，且 BG=263，于是 BD=BG2+GD2=22.对于 B.由异面直线夹角公式 cosAC,BD=AB2+CD2 AD2 BC22AC BD=|4+4 12 12|162=22，故异面直线 AC 与 BD所成的角为 4.对于 C.四面体 ABCD 的体积为 13 12 2 23 263=423.对于 D.易知

407、 RtBAC 的外心（AC 中点）到两平面交线 AC 的中点的距离 m=0，RtDAC 的外心（AC 中点）到两平面交线 AC 的中点的距离 n=0，由公式 R2=AC24+m2+n2 2mn cos sin2 可得 R2=4 R=2，所以 V球=43R3=323.本题答案为 AD.例 4.10【多选】如图 4.27，在长方形 ABCD 中，AB=2，BC=4，E 为 BC 的中点，将 BAE沿 AE 向上翻折到 PAE 的位置，连接 PC，PD，在翻折的过程中，以下结论正确的是()(A)四棱锥 P AECD 体积的最大值为 22(B)PD 的中点 F 的轨迹长度为32(C)EP，CD 与平面

408、 PAD 所成的角相等第 194 页图 4.27图 4.28(D)三棱锥 P AED 外接球的表面积有最小值 16解 对于 A.易知当面 PAE 面 AECD 时四棱锥 P AECD 体积最大，易知 APE 斜边 AE 上的高为2，所以四棱锥 P AECD 体积最大值为 13 6 2=22.对于 B.如图 4.28，取 PA 中点 G，连接 GE，GF，FC，易知四边形 GFCE 为平行四边形，所以点 F 的轨迹和点 G 的轨迹相同，过 AB 的中点 G 作 AE 的垂线，分别交 AE，AD 于 H，G，易知点 G 的轨迹为半圆 GGG，其半径 GH=22，于是弧 GGG 长=22.对于 C.

409、因为 EC/面 PAD，所以点 E，点 C 到面 PAD 的距离相等，又 EP=CD，故 EP，CD与平面 PAD 所成的角相等.对于 D.易知等腰直角三角形 PAE 的外心（AE 中点）到两平面交线 AE 的中点的距离 m=0，RtDEA 的外心（AD 中点）到两平面交线 AE 的中点的距离 n=2，设二面角 P AE D=，三棱锥 P AED 外接球的半径为 R，由公式 R2=AE24+m2+n2 2mn cos sin2 可得R2=2+2sin2 4，故三棱锥 P AED 外接球的表面积有最小值 4 4=16.本题答案为 ACD.例 4.11【浙江高考】如图 4.29，在矩形 ABCD

410、中，AB=2，BC=1，E 为 DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点.现将 AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD 垂直平面 ABC在平面 ABD 内过点 D 作 DKAB，K 为垂足设 AK=t，则 t 的取值范围是.图 4.29图 4.30图 4.31解 如图 4.31，过点 D 作射线 DGAF，垂足为 G，且交 AB 于点 K，因为点 D 在平面 ABC 上的射影必落在射线 DG 上，又依题翻折后平面 ABD 垂直平面 ABC，设 DF=x，则 1 x 2，在 RtADF 和 RtKAD 中ADK=GAK=AFDADF=KAD=90，谁要游戏人生，他就一事无成。第 195

411、页所以 ADFKAD ADDF=AKAD，即 xt=AD2=1，故 t=1x(1 x 2)，所以 12 t 1.4.3动点位置关系4.3.1平行关系一定一动两点组成的线段与定平面平行已知平面 外一定点 A，动点 P，满足 AP/平面，则动点 P 的轨迹为平面，且 AP 平面，/.如图 4.32.图 4.32图 4.33图 4.34例 4.12 如图 4.33，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别是 D1C1，AB，BC的中点，P 是底面 ABCD 内（包括边界）的动点，D1P/平面 EFG，则 D1P 的最小值为.解 如图 4.34，易知点 P 的轨迹为平面

412、ACD1 与底面 ABCD 的交线 AC，所以当 D1PAC 时，D1P 最小，此时 D1P=6.例 4.13 如图 4.35，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，P 是 BB1 的中点，Q 是面BB1C1C 内（包括边界）的动点，若 D1Q/平面 A1PD，则点 Q 的轨迹是一条线段.图 4.35图 4.36解 如图 4.36，取 CC1，B1C1 的中点 M，N，易知点 Q 的轨迹为平面 D1MN 与面 BB1C1C 的交线段 MN.例 4.14 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=AD=1，AA1=2，P 是线段 BC1 上的一动点，则A1P/平面 AD1C

413、.解 利用面 A1BC1/面 AD1C 即可.第 196 页例 4.15 如图4.37，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，点 E，F，G，H 分别是 CC1，C1D1，DD1，DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足时，有 MN/平面 B1BDD1.图 4.37图 4.38解 HN/DB，FH/D1D，面 FHN/面 B1BDD1，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，故 M FH.故答案为 M 在线段 FH 上.例 4.16 如图 4.39，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是 DD1 的中点，点 F 在

414、正方体的表面上运动，若点 F 满足 B1F/平面 A1BE，则点 F 的轨迹长度为.图 4.39图 4.40解 如图 4.40，取 CC1，C1D1 的中点 M，N，易知点 F 的轨迹为 B1MN，其周长为 25+2.4.3.2垂直关系定理 4.1:三垂线定理1.文字表示：平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线在面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.2.符号表示：如图 4.41 所示,PO 平面，PA 平面 =A,若直线 l 平面 且 lOA,则 lPA.定理 4.2:三垂线逆定理1.文字表示：平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.2.符号

415、表示：PO 平面，PA 平面 =A,若直线 l 平面 且 lPA,则 lOA.为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 197 页图 4.41例 4.17 如图 4.42，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，M，N 分别为 AA1，A1D1 的中点，点 P 为棱 A1B1 上的动点，则 MNCP.图 4.42图 4.43解 如图 4.43，找到 CP 在平面 AA1D1D 内的射影 DA1，易知 MNDA1，所以 MNCP.例 4.18【2021 新高考二卷:多选】如图，下列各正方体中，O 为下底的中点，M，N 为顶点，P为所在棱的中点，则满足 MNOP 的是()(A)(B)(

416、C)(D)解 BC.矩形十字架如图 4.44，端点分别在矩形四条边上的两条垂直线段长度之比等于矩形的长宽之比.第 198 页证 利用 GHIFEJ(AA).得证.图 4.44图 4.45正方形弦图如图 4.45，已知正方形 ABCD 中，点 E 为 CD 上的动点（不与 C，D 重合），连接 BE，过A 作 AF BE 交 BC 于点 F，则 ABFBCE；反之亦然.例 4.19【2021 新课标乙卷】如图 4.46，四棱锥 P ABCD 的底面是矩形，PD 底面 ABCD，PD=DC=1，M 为 BC 的中点，且 PBAM.(1)求 BC；(2)求二面角 A PM B 的正弦值.图 4.46

417、图 4.47图 4.48解(1)如图 4.47，易知 AM 面 PBD，所以 AMBD，如图 4.48，由 AODMOB 且相似比为 2:1，可得BCAB=ABBC2 BC=2(2)建系可求得二面角 A PM B 的正弦值为7014.例 4.20【2021 新课标甲卷】如图 4.49，已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB=BC=2，E，F 分别为 AC 和 CC1 的中点，D 为棱 A1B1 上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DEF 所成的二面角正弦值最小？好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服

418、饰。都德第 199 页图 4.49图 4.50证(1)如图 4.50，取 BC 中点 M，连接 B1M，ME，EA1，由正方形弦图可知 BFB1M，又BFA1B1，所以 BF 面 A1B1ME，于是可得 BFDE.(2)建系可求得当 B1D=12 时，面 BB1C1C 与面 DEF 所成的二面角正弦值最小.例 4.21 如图4.51，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 为 BC 棱中点，若 N 在四边形 CDD1C1内运动，且总有 MN A1C，则点 N 的轨迹为()(A)线段(B)圆的一部分(C)椭圆的一部分(D)双曲线的一部分图 4.51图 4.52解 如图 4.52，因为

419、A1C 为在平面 CC1D1D 内的射影为 D1C，分别取 CC1，CD 中点 P，Q，则D1CPQ，故 A1CPQ，即点 N 的轨迹为线段 PQ.故选 A.例 4.22 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 为 CD 棱中点，点 O 是侧面 AA1D1D 的中心，若点 P 在侧面 B1C 及边界上运动，且总保持 OP AM，则点 P 的轨迹为.图 4.53图 4.54解 作 OP 在底面 ABCD 上的投影 O1P1，因为 AMO1B，所以 OP 的射影为 O1B 时总保持第 200 页OP AM，故点 P 的轨迹为线段 BB1.4.4几何体的外接、内切球简单多面体外接球问题是立

420、体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径长度或确定球心 O 的位置问题,其中球心的确定是关键.4.4.1几何体外接球有一个侧棱垂直于底面的几何体的外接球若棱柱或棱锥的一个侧棱垂直于底面,并且此棱的长度为 h.1 若底面为边长为 a 的等边三角形,则外接球半径 R2=d2+r2=h24+a23.2 若三角形的三个角分别为 30，30，120 或者 30，60，90 的三角形,且 30 所对的边长为 a,则外接球半径 R2=h24+a2.3 若底面为直角边分别为 a，b 的直角三角形或者长和宽分别为 a,b 的矩形,则外接球半径 R2=h24+a2+b24.4 若底面为普通三角形,先

421、对底面用正弦定理求其外接圆半径 r,则外接球半径 R2=d2+r2=h24+r2.例 4.23 已知三棱锥 P ABC 的各顶点都在同一球面上,且 PA 底面 ABC，ABBC，PA=AC=2,则外接球的表面积为()(A)4(B)8(C)16(D)20解 易知 R2=PA24+BA2+BC24=44+44=2 4R2=8.例 4.24【2019 全国 I】已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形,E，F 分别为 PA，AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为()(A)86(B)46(C)26(D)6解 依题意 E，F 分别为

422、PA,AB 的中点,CEF=90,可知 PBCE,又因为三棱锥 P ABC 为正三棱锥,所以易知 PBAC,所以 PB 面 PAC,此即有一条棱垂直于底面的几何体,又因为ABC 是边长为 2 的正三角形,PA=PB=PC=2 且两两垂直,故R2=(2)2+(2)2+(2)24=32无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 201 页图 4.55因此,V=43R3=6,故选 D.例 4.25 已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的点,S A 平面 ABC，ABBC，S A=AB=1，BC=2,则球 O 的表面积为.解 如图 4.56 所示,R2=|BC|24+|S A|22=1.

423、图 4.56图 4.57图 4.58例 4.26 如图 4.57 所示,三棱锥 D ABC 的各顶点都在同一球面上,若 DA 平面 ABC,ABBC,又 DA=AB=BC=3,则外接球的体积为.解 R2=34+32=94.例 4.27 已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在同一球面上,SC 平面 ABC,若 SC=AB=AC=1,BAC=120,则此球的表面积等于.解 如图 4.58 所示,R2=|SC|24+|AB|2=14+1=54.例 4.28 已知四面体 ABCD 的各顶点都在球 O 的球面上,AD=AC=BD=2,CD=22,BDC=90,平面 ADC 平面 BDC,则此球的体积等.解

424、 如图 4.59 所示,易知 R2=|BD|24+|AC|22=3.例 4.29 四面体 A BCD 的各顶点都在球面上,BCD 是边长为 3 的正三角形,AB 平面 BDC,若第 202 页图 4.59图 4.60AB=2,则此球的表面积等于()(A)4(B)12(C)16(D)32解 如图 4.60 所示,易知 R2=224+323=4.例 4.30 已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,PA 平面 ABC,ABC 是边长为23 的等边三角形,若球 O 的表面积为 20,则直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值为()(A)34(B)73(C)377(D)74图 4.6

425、1解 取 AB 的中点 D,连接 DP,DC,因为 PA 平面 ABC,所以球 O 的外接球半径满足5=R2=PA24+2323 PA=2,又因为CDABCDPAAB PA=A CD平面PAB,所以直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值为 CDPD=37=377.例 4.31 三棱锥 S ABC 中,点 P 是 RtABC 的斜边 AB 上一点,给出下列四个命题:1若 S A 平面 ABC,则三棱锥 S ABC 的四个面都是直角三角形;少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光。第 203 页2若 AC=4,BC=4,SC=4,SC 平面 ABC,则三棱锥 S ABC 的外接球体积为 32

426、3;3若 AC=3,BC=4,SC=3,S 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的内心,则三棱锥S ABC 的体积为 2;4若 AC=3,BC=4,S A=3,S A 平面 ABC,则直线 PS 与平面 S BC 所成的最大角为 60.其中正确命题的序号是.解 依题意 1 明显;外接球半径满足 R2=SC2+CA2+CB24=12,43R3=323,故 2;设 ABC 的内心为 O,易知内切圆半径 r=3+4 52=1,所以 OC=2,于是S O2=SC2 OC2=3 2=1,三棱锥 S ABC 的体积为 13 12 3 4 1=2,故 3;直线 PS 与平面 S BC 所成的最大角时,P 点

427、与 A 点重合,在 RtSCA 中,tan ASC=33=1,ASC=45,故 4.答案为 123.变式训练 EXERCISES254.四面体 A BCD 中,AB底面BCD，AB=BD=2，CB=CD=1，则四面体 A BCD 的外接球的表面积为.255.已知三棱柱 ABC A1B1C1 内接于一个半径为3 的球,四边形 A1ACC1 与 B1BCC1 为两个全等的矩形,M 是 A1B1 的中点,且 C1M=12A1B1,则三棱柱 ABC A1B1C1 体积的最大值为()(A)12(B)16(C)4(D)43图 4.62256.如图,平面四边形 ABCD 中，AB BC，AB=3，BC=2，

428、ABD 为等边三角形，现将ABD 沿 AB 翻折，使点 D 移动到点 P，且 PBBC，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为()第 204 页(A)8(B)6(C)4(D)823257.已知三棱锥 S ABC 所有顶点都在球 O 的球面上,且 SC 平面 ABC,若 SC=AB=AC=1,BAC=120,则球 O 的表面积为()(A)52(B)53(C)4(D)5258.在矩形 ABCD 中,BC=4，M 为 BC 的中点,将 ABM 和 DCM 分别沿 AM，DM 翻折,使点B 与 C 重合于点 F,若 APD=150,则三棱锥 M PAD 的外接球的表面积为.259.在三棱锥 A BC

429、D 中,AB=CD=2,AD=BC=1,AC=3,且二面角 B AC D 为 120,则三棱锥 A BCD 外接球的表面积为()(A)4(B)5(C)6(D)7图 4.63260.如图,在平面四边形 ABCD 中,ADCD,ABC 是边长为 3 的正三角形,将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为 120 的二面角 D AC B,则四面体 A BCD 的外接球的表面积为()(A)12(B)13(C)14(D)15261.在三棱锥 P ABC 中,底面 ABC 为正三角形,PC AC,PA=PB,且 PC+AC=4.若三棱锥P ABC 的每个顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的半径的最小值为()

430、(A)77(B)277(C)377(D)477定义 4.1:弹三角板1 如图 4.64 所示,ABDACD,CHAD,则四面体体积VABCD=13SBCH AD.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 205 页2 如图 4.65 所示,ABBD,ACCD,则四面体 ABCD 的外接球直径为 AD.图 4.64图 4.65例 4.32 在三棱锥 A BCD 中,AB=CD=6,其余各棱长均为 5,则三棱锥 A BCD 内切球的表面积为.解 我们知道三棱锥内切球的半径 R=3VABCDS ABCD,又由弹三角板模型知 VABCD=67,且易知S ABCD=48,故 R=3VABCDS

431、ABCD=378.例 4.33【2021 甲卷】已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 ACBC，AC=BC=1，则三棱锥 O ABC 的体积为()(A)212(B)312(C)24(D)34解 A.例 4.34 已知正三棱锥 P ABC 的外接球的球心 O 满足#OA+#OB+#OC=0,则二面角 A PB C的正弦值为()(A)16(B)28(C)265(D)63解法一 如图 4.66 所示,设 ABC 边长为 2,作 AEPB,连接 EC,根据题意#OA+#OB+#OC=0 OB=OP=233 PB=263在 PAB 中运用等面积法可知 AE=102.解三角形 E

432、AC.第 206 页解法二 由等体积法VPABC=13 SABC OP=13 SEAC BP SEAC=62又因为 SEAC=12 AE2 sin AEC sin AEC=265.图 4.66图 4.67例 4.35 三棱锥 A BCD 中,棱 AD 是其外接球(多面体各顶点都在球面上)的直径,AB=AC=12AD=2,平面 ABD 平面 ACD,则该三棱锥的体积为()(A)12(B)1(C)2(D)3解 如图 4.67 所示,典型的弹三角板模型.过点 B 作 BHAD 于 H,连接 CH.易知 BCH 为等腰直角三角形且面积为 32,所以 VABCD=13SBCH AD=2,选 C.变式训练

433、 EXERCISES262.【2017 全国 I】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径,若平面 SCA 平面 SCB,S A=AC,S B=BC,三棱锥 S ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为.263.在三棱锥 S ABC 中,AB BC,AB=BC=2,S A=SC=22,二面角 S AC B 的余弦值是 33,则三棱锥 S ABC 的外接球表面积是()(A)6(B)8(C)12(D)18264.如图 4.68,在平面四边形 ABCD 中,满足 AB=BC,CD=AD,且 AB+AD=10,BD=8,沿着BD 把 ABD 折起,使点 A 到达

434、点 P 的位置,且使 PC=2,则三棱锥 P BCD 体积的最大值为()秦九韶（约 12021261），字道古，四川安岳人。第 207 页图 4.68(A)12(B)122(C)1623(D)163定义 4.2:双半径单交线若两平面相互垂直,且在两平面内各自凸多边形的外接圆半径分别为 R1,R2,两平面外接圆公共弦长为 L,则由两平面凸多边形顶点连接而成的凸多面体的外接球半径R2=R21+R22 L24例 4.36 已知四棱锥 P ABCD 的顶点都在球 O 的表面上,底面 ABCD 是矩形,AB=2AD=4,平面 PAD 垂直底面 ABCD，PAD 为等边三角形,则球 O 的表面积为()(A

435、)323(B)32(C)64(D)643解 根据题意 R2=R21+R22 L24=43+5 44=163.选 D.例 4.37 在三棱锥 P ABC 中,ABC,PBC 为等边三角形,侧面 PBC 底面 ABC,AB=43,则该三棱锥外接球的表面积为.解 根据题意 R2=R21+R22 L24=16+16 484=20,故答案为 80.例 4.38 已知直角梯形 ABCD,ABAD,CDAD,AB=2AD=2CD=2,沿 AC 折叠成三棱锥,当三棱锥体积最大时,此时三棱锥外接球的体积为.图 4.69图 4.70第 208 页解 如图 4.70 所示,折成直二面角时体积最大.所以 R2=R21

436、+R22 L24=12+1 12=1 V=43.例 4.39 已知 ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形,P 为平面 ABC 外一点,且平面 PBC 平面ABC,BC=3,PB=22,PC=5,则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为.解 设 ABC 的外接圆半径为 R1,PBC 的外接圆半径为 R2,则三棱锥 P ABC 的外接球的半径R2=R21+R22 BC24=94+52 94=52,所以三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 S=4R2=10.例 4.40 现有一副斜边长相等的直角三角板,若将它们的斜边 AB 重合,其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥 A BCD,如图 4.71 所

437、示,已知 DAB=6,BAC=4,三棱锥的外接球的表面积为 4,则三棱锥的体积的最大值为()(A)33(B)36(C)324(D)348图 4.71解 易知外接球的直径为 AB=2,由等体积法可知 VABCD=VCABD,所以当点 C 到面 ABD 的距离最远时,三棱锥的体积有最大值,此时面 CAB 面 DAB,故VABCD=VCABD=13 12 AD BD 12AB=13 12 3 1 12 2=36.故选 B.变式训练 EXERCISES265.在三棱锥 A BCD 中,ABC 与 BCD 都是边长为 1 的正三角形,则当三棱锥 A BCD 的体积最大时,其外接球的表面积为.266.在直

438、角梯形 ABCD 中,ADAB,AB/CD,AB=BC=2,ABC=3,将 BCD 沿 BD 折起得到一个三棱锥 C ABD,且有面 BCD 面 ABD,若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上,则此球的表面积为()(A)12(B)283(C)14(D)203不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 209 页图 4.72图 4.73267.如图 4.72 所示,在三棱锥 P ABC 中,ABBC,AB=3,BC=2,点 P 在平面 ABC 内的投影 D恰好落在 AB 上.且 AD=1,PD=2,则三楼锥 P ABC 外接球的表面积为()(A)9(B)10(C)12(D)14定理 4.3

439、:任意二面角引发外接球记 A BC D 二面角为,O1 为 ABC 的外心,O2 为 DBC 的外心,M 为 BC 的中点,记O1M=m,O2M=n,O1MO2=,BC=l,则四面体 ABCD 外接球半径满足R2=l24+m2+n2 2mn cos sin2(4.1)例 4.41 如图 4.74,已知二面角 P AB C 的大小为 120,且 PAB=ABC=90,AB=AP,AB+BC=6,若点 P,A,B,C 都在同一个球面上,则该球的表面积的最小值为()(A)45(B)2887(C)147(D)727图 4.74图 4.75解 M,N,E 分别为各自线段的中点,对照公式(4.1),则 m

440、=ME,n=EN,MEN=120,依题意2m+2n=6 m+n=3(4.2)第 210 页所以R2=(2m)24+m2+n2+mn34=m2+m2+(3 m)2+m(3 m)34=m2+43(m2 3m+9)=73m2 4m+12故当 m=67 时,R2 有最小值 227,该球的表面积的最小值为 2887.选 B.定义 4.3:球心如图 4.76 所示,过球截面所得圆的圆心且与该面垂直的所有直线的交点即为球心.【也就是说几何体的外接球球心即为过几何体任意两个面外接圆圆心的垂线的交点】.图 4.76图 4.77例 4.42 已知三棱锥 A BCD 中,ABC 为等边三角形,AB=23,BDC=9

441、0,二面角A BC D 的大小为 150,则该三棱锥外接球的表面积为()(A)7(B)12(C)16(D)28解 如图 4.77 所示,设 O1,O2 分别为 ABC,DBC 的外心,O 为外接球球心,根据题意O1OO2=30O1O2=1 OO1=3,在 RtOO1A 中,R2=OA2=OO21+AO21=3+4=7.选 D.例 4.43 在四棱锥 P ABCD 中,PAB 是边长为 23 的正三角形,ABCD 为矩形,AD=2,PC=PD=22,若四棱锥 P ABCD 的顶点均在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为.解 如图 4.78,过矩形 ABCD 对角线的交点 H 作矩形 ABCD

442、所在面的垂线,过正三角形 PAB 的重心 G 作三角形 PAB 所在面的垂线,两线交于点 O,此即球心,连接 PG 并延长,交 AB 于 E,连接第 211 页图 4.78EH 并延长,交 DC 于 F,连接 PF,易知点 E,F 分别为 AB,DC 的中点,PD=22,DF=3,PF=19,在 PEF 中,由余弦定理可得cos PEF=PE2+EF2 PF22PE EF=12 PEF=120所以 GH=OH=OG=3,AH=2,R=OA=7,于是 S=4R2=28.答案为 28.两种特殊外接球 对棱相等的四面体的外接球其实就是一个长方体的外接球,如图 4.79 所示.其中 AB=CD，AD=

443、BC，AC=BD.正四面体外接球其实就是一个正方体的外接球,如图 4.80 所示.图 4.79图 4.80例 4.44 在平行四边形 ABCD 中，AB=22，BC=3，且 cos A=23，以 BD 为折痕，将 BDC折起，使点 C 到达点 E 处，且满足 AE=AD，则三棱锥 E ABD 的外接球的表面积为.解 依题意,此三棱锥可以补成长方体,设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c，则a2+b2=9(4.3)b2+c2=9(4.4)a2+c2=8(4.5)第 212 页则 a2+b2+c2=13,即 2R=13,所以 R=132,于是三棱锥 E ABD 的外接球的表面积为 13.锥体外接球

444、若锥体的母线长为 l，高为 h，则其外接球半径 R=l22h.4.4.2过球内一点截面圆面积的最值过球 O 内一点 E 的截面圆面积的最值：当截面过球心 O 时面积最大，这个很好理解，当球心 O与点 E 的连线与截面圆垂直且点 E 为截面圆圆心时，截面圆面积最小，如图 4.81.图 4.81例 4.45 已知三棱锥 A BCD，AB=BC=BD=CD=AD=4，二面角 A BD C 的余弦值为13，点 E 在棱 AB 上，且 BE=3AE，过 E 作三棱锥 A BCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为()(A)103(B)3(C)3(D)图 4.82图 4.83解 由二面角 A BD C

445、 的余弦值为 13，可知该四面体为正四面体，其外接球半径R=64 4=6，设外接球球心为 O，在 OAB 中，易知 cos B=63，再由余弦定理可知OE2=3，所以在 RtOEN 中，EN2=ON2 OE2=6 3=3，故所作截面面积的最小值为S=r2=3.选 B.变式训练 EXERCISES阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 213 页268.已知正三棱锥 A BCD，AB=23，BC=3，点 E 在棱 BD 上，且 BD=3BE，过 E 作三棱锥 A BCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为.269.正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 AB 的中点，过点 E

446、作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是()(A)4(B)8(C)12(D)164.4.3外接球估算外接球估算 选项倒着算能求出外接球半径.外接球直径一定大于等于几何体的任一棱、任一高.例 4.46 直角梯形 ABCD 中,ABAD，CDAD，AB=2AD=2CD=2,沿 AC 将此梯形折叠成三棱锥,当三棱锥体积最大时,此时三棱锥外接球的体积为()(A)32(B)43(C)3(D)4解 由选项 A 倒着计算,可知 2R=3,由选项 B 倒着计算,可知 2R=2,由选项 C,D 倒着计算,无法得到半径,又外接球的直径一定大于等于几何体的棱,排除 A,选 B.例 4.47 已知正四棱锥 P

447、 ABCD 的各顶点都在同一球面上,底面正方形的边长为2,若该正四棱锥的体积为 2,此时外接球的体积为()(A)1243(B)62581(C)50081(D)2569解 由选项 A,B,D 倒着计算,无法得到半径,故选 C.例 4.48 三棱锥 P ABC 的各顶点都在同一球面上,AB=BC=15，AC=6，PC 平面 ABC，PC=2,此时外接球的表面积为()(A)253(B)252(C)833(D)832解 若以最长棱 AC 为直径,此时外接球表面积为 36,而选项中大于等于 36 的只有 D.例 4.49 点 A，B，C，D 在同一球的球面上,AB=BC=AC=3,若四面体 ABCD 体

448、积的最大值为3,则外接球的表面积为()第 214 页(A)16916(B)28916(C)2516(D)8解 四面体 ABCD 体积的最大值为3,则以 D 为顶点的三棱锥的高的最大值为 4,因为几何体外接球表面积必大于以高为直径的外接球表面积 16,而选项中大于 16 的只有 B.例 4.50 在三棱锥 P ABC 中,AB=BC=AC=PA=PB=2,且平面 PAB平面ABC,则三棱锥外接球的体积为()(A)203(B)201527(C)51527(D)5159解 由选项 A,B,C,D 倒着计算,得到 R3A=5，R3B=151527 R=153，R3C=1515108，R3D=15153

449、6.只有选项 B 能求出半径.故选 B.例 4.51 已知正三棱锥 S ABC 的侧棱长为 43,底面边长为 6,则该正三棱锥外接球的体积是()(A)16(B)643(C)64(D)2563 解 几何体外接球直径大于等于几何体的任意一条棱,2R 43，R3 243，43R3 9633,排除 AB,而对于选项 C，43R3=64 R3=48,无法求出 R,排除 C,而对于选项 D，43R3=2563 R3=64 R=4.故选 D.注 对于选项 A，43R3=16 R3=12,无法求出 R,排除 A,对于选项 B，43R3=643 R3=16,无法求出 R,排除 B.例 4.52 如图 4.84,

450、已知四棱锥 S ABCD 的底面为等腰梯形,AB/CD，AD=CD=BC=1，AB=S A=2，S A 平面 ABCD,则四棱锥 S ABCD 的的外接球体积为()(A)8(B)823(C)82(D)223解 通过球的体积公式对四个选项进行计算求出外接球半径 R,A、R3=6 B、R3=22,C、R3=62,D、R3=22.只有选项 B 能解出 R,故选 B.例 4.53 三棱锥 A BCD 的顶点都在同一个球面上,满足 BD 过球心 O,且 BD=22,则三棱锥知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 215 页图 4.84A BCD 体积的最大值为;三棱锥 A BCD 体积最大时,

451、平面 ABC 截球所得的截面圆的面积为.解 易知 AB2+AD2=8,由基本不等式可知当 AB=AD 时 RtABD 面积有最大值 2,由于RtABD 所在的面为大圆,所以三棱锥 C ABD 的高 h 小于等于球半径2,故Vmax=13SABD h 223,易知当三棱锥 A BCD 体积最大时,ABC 是边长为 2 的等边三角形,其外接圆半径为r=22 sin 60=23,故 S=r2=43.答案为 223,43.例 4.54 已知三棱锥 D ABC 的外接球半径为 2,且球心为线段 BD 的中点,则三棱锥 D ABC 体积的最大值为()(A)23(B)43(C)83(D)163解 易知 AB

452、2+AC2=16,由基本不等式可知当 AB=AC 时 RtABC 面积有最大值 4,由于RtABC 所在的面为大圆,所以三棱锥 D ABC 的高 h 小于等于球半径 2,故Vmax=13SABC h 83.答案为 C.4.5异面直线的夹角定理 4.4:异面直线夹角 平移,构造三角形.异面直线夹角公式或三余弦定理.补型法：把空间几何图形补成熟悉的几何体.第 216 页定理 4.5:异面直线夹角公式如图 4.85 所示,空间四边形 ABCD 的两条异面直线 AC 与 BD 夹角为,则cos =(|AB|2+|CD|2)(|AD|2+|BC|2)2|AC|BD|图 4.85图 4.86图 4.87例

453、 4.55 如图 4.86 所示,在正方体中,M 为 BB1 的中点,则异面直线 A1M 与 BD1 所成角的余弦值为.解 如图 4.87 所示,采用补型法,给右边补一个正方形,答案：155.例 4.56 如图 4.88 所示,在直三棱柱中,求异面直线 AC 与 BD 所成角的余弦值.图 4.88图 4.89图 4.90解 如图 4.89 所示,采用补型法,把直三棱柱补成直四棱柱.例 4.57 如图 4.90 所示,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,ACB=90,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值为.解 补型法或异面直线夹角公式可得答案为66.例 4.

454、58 长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=1,AD=2,AA1=3,则异面直线 A1B1 与 AC1 所成角的余弦值为()批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 217 页(A)1414(B)8314(C)1313(D)13解 平移即可,选 A.例 4.59 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值为()(A)32(B)155(C)105(D)33解 如图 4.91 所示,易知BC1=2AB1=5AC1=8,所以 cos#BC1,#AB1=AB2+B1C21AC21+BB212AB1 BC1=|4+1

455、 8 1|210=105.图 4.91图 4.92例 4.60 如图 4.92 所示,正三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长都相等,M 是侧棱 CC1 的中点,则异面直线 AB1 与 BM 所成角的大小为.解 设棱长为 1,则 cos =AB2+B1M2AM2+BB212 AB1 BM=1+54 54 12 2 52=0.例 4.61 已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 是 S B 的中点,则异面直线 AE 与S D 所成角的余弦值为()(A)13(B)23(C)33(D)23解 利用异面直线夹角公式,选 C.第 218 页例 4.62 在四棱锥 P ABCD 中,AB

456、P 是等边三角形,底面 ABCD 是矩形,二面角 P AB C 是直二面角,AB=23,若四棱锥 P ABCD 的外接球的表面积为 20,则异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值为()(A)34(B)58(C)34(D)58图 4.93解 依题意,如图 4.93 所示,设矩形 ABCD 的外接圆半径为 R1,利用本书第 208 页定义双半径单交线可知 5=R21+4 124 R1=2,所以 BC=2,再由二面角 P AB C 是直二面角易知 PD=4,由异面直线夹角公式可知cosPA,BD=PB2+AD2PD2+AB22 PA BD=|12+4 16 12|2 23 4=34例 4.63 在

457、正四面体 A BCD 中,P 是 AB 的中点,Q 是直线 BD 上的动点,则直线 PQ 与 AC 所成角可能为()(A)12(B)4(C)512(D)2图 4.94解 如图,取 BC 中点 E,连接 EQ,又 PE/AC,则直线 PQ 与 AC 所成角即 EPQ,由最小角定理可知 EPQ 的最小值即 PE 与平面 ABD 的线面角,即 AC 与平面 ABD 的线面角,易知在正四面体中,AC 与平面 ABD 的线面角的余弦值为 13,令线面角为,估值可知业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 219 页4 3,又 EPQ ,排除 A,B 选项;又由 QP=QE,知三角形 QPE 为等腰三角

458、形,于是 EPQ 2(C)1 2(D)不能确定解 因为 1 是线面角，2 是线线角，由最小角定理知 1 2，又 BC 不是 A1P 在底面的射影，故 1 2，选 C.例 4.70 如图 4.102，已知直二面角 l ，A ，B ，设直线 AB 与，所成的角分别为1，2，则()第 222 页(A)1+2=90(B)1+2 90(C)1+2 90(D)1+2 f()，则 f(x)的单调递增区间是()(A)k 3,k+6(k Z)(B)k,k+2(k Z)(C)k+6,k+23(k Z)(D)k 2,k(k Z)解 由 f(x)f6 可知f6 为函数的最大值，结合函数 f(x)=sin(2x+)的图

459、形特征，易知 x=6 为 f(x)的极值点，即f 6=0 3+=k+2 =k+6(k Z)(5.17)又f2 f()sin(+)sin sin 0)在区间0,3上单调递增，在区间3,2上单调递减，则 =()(A)3(B)2(C)32(D)23解 依题意 f 3=0 cos 3=0 3=k+2 =32+3k(k Z)，故选 C.变式训练 EXERCISES282.已知 35 sin +45 cos =1，则 tan =.5.5简单的平移例 5.11 要得到函数 y=sin2x+3的图象,只要将函数 y=sin 2x 的图象()第 232 页(A)向左平移 3 个单位长度(B)向右平移 3 个单位

460、长度(C)向左平移 6 个单位长度(D)向右平移 6 个单位长度解 令两个函数都等于 1,解出各自的 x.sin 2x=1sin2x+3=1x=4x=12，4 12 相当于往左平移 6 个单位长度.例 5.12 要得到函数 y=sin2x 6的图象,只要将函数 y=cos 2x 的图象()(A)向右平移 6 个单位长度(B)向右平移 3 个单位长度(C)向左平移 6 个单位长度(D)向左平移 3 个单位长度解 令两个函数都等于 1,解出各自的 x.cos 2x=1sin2x 6=1x=0 x=3，0 3 相当于向右平移 3 个单位长度.变式训练 EXERCISES283.为了得到函数 y=si

461、n2x+4的图象,只要将函数 y=cos6 2x的图象()(A)向右平移 24 个单位长度(B)向左平移 24 个单位长度(C)向右平移 12 个单位长度(D)向左平移 12 个单位长度284.为了得到函数 y=2 cos 2x 的图象,只需把函数 y=3 sin 2x cos 2x 的图象()(A)向左平移 3 个单位长度(B)向右平移 3 个单位长度(C)向左平移 6 个单位长度(D)向右平移 6 个单位长度285.已知直线 x=6 是 f(x)=sin(2x+)|0）的最小正周期为 T,且 f(x)在 1,2（1,2 0）上单调递增,则 T4 max 1,2.例 5.13 已知 0,函数

462、 f(x)=2 sin x 在3,4上是增函数,则 的取值范围是.解 依题意,24 3 32,又 0,于是答案为 0 0，函数 f(x)=sin(x+4)在(2,)上单调递减，则 的取值范围为()(A)12,54(B)12,34(C)(0,12(D)(0,2解法一 依题意，当 x (2,)时，2+4 x+4 +4，又函数 f(x)=sin(x+4)在(2,)上单调递减，则 2 T2=，解得 0 4，+4 94，进而可得 2+4 2 且 +4 32，解得 12 54.选 A.解法二 依题意，当 x (2,)时，2+4 x+4 +4，又函数 f(x)=sin(x+4)在(2,)上单调递减，则2k+

463、2 2+4,k Z2k+32 +4,k Z解得 4k+12 2k+54，所以 4k+12 2k+54，解得k 0，所以 k=0，于是 12 54.选 A.例 5.15【2016 天津文】已知 0，函数 f(x)=sin2 x2+12 sin x 12 在区间(,2)内没有零点，则 的取值范围为()(A)(0,18(B)(0,14 58,1)(C)(0,58(D)(0,18 14,58解法一 依题意，化简 f(x)=22 sin(x 4)，当 x (,2)时，4 x 4 2 4，又第 234 页函数 f(x)在区间(,2)内没有零点，则 2 T2=，解得 0 4，2 4 42 4 0，或 4 0

464、2 4 ，或 4 2 4 74，解得 (0,18 14,58，选 D.解法二 依题意，化简 f(x)=22 sin(x 4)，当 x (,2)时，4 x 4 2 4，又函数 f(x)在区间(,2)内没有零点，则 4 k,k Z2 4 k+,k Z解得 k+14 k2+58，所以k+14 k2+58，解得 k 0，所以 k=0 或 k=1，当 k=0 时，14,58，当 k=1 时，(0,18，综上得 (0,18 14,58，选 D.推论 5.1.(1)正余弦函数的任意两个零点之差或任意两个最值点之差为 kT2；(2)正余弦函数的任意两个最小值点之差或任意两个最大值点之差为 kT；(3)正余弦函

465、数的任意最小值点与最大值点之差为 T2+kT=(2k+1)T2；(4)正余弦函数的任意一个零点与最值点之差为 T4+kT2=(2k+1)T4.例 5.16【2016 新课标 I 卷】函数 f(x)=sin(x+)(0,|2)，x=4 为 f(x)的零点，x=4 为 y=f(x)图象的对称轴，且 f(x)在(18,536)单调，则 的最大值为()(A)11(B)9(C)7(D)5解 依题意知：4 (4)=(2k+1)T4，解得 =2k+1，又 f(x)在(18,536)单调，所以536 18=12 T2，所以 T 6，从而可得 12.当 =11 时，T=211，由于 4 T=344 (18,53

466、6)，故 f(x)在(18,536)不单调，当 =9 时，T=29，由于 4 T=36 (18,536)，故 f(x)在(18,536)单调，故选 B.人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 235 页5.7线性正余弦函数推论 5.2.对于函数 f(x)=a|sin x|+b|cos x|，其中 a，b 为非零实数.(1)若 a=b，则 f(x)的最小正周期为 2；(2)若 a b，则 f(x)的最小正周期为.变式训练 EXERCISES287.函数 f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期为.288.函数 f(x)=|sin x|+2|cos x|的最小正周期

467、为.第 236 页第六章解三角形解三角形是近几年高考的重点考查内容,而且经常以大题的形式出现,有时候也会在选择题和填空题中考查.6.1三角形解的个数1.已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解；2.已知三角形的任意两边与其中一边的对角(SSA).当角 A 为锐角时，画出钟摆图；1a=b sin A，一解；2b sin A a sin B A B a b.在 ABC 中,cos 2A B a b.例 6.1 ABC 中,“A B”是“cos 2B cos 2A”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)及不充分也不必要条件解 cos 2B cos 2A 1 2

468、sin2 B 1 2 sin2 A sin A sin B A B,故选 C.237锐角三角形不等式 sin A+sin B+sinC cos A+cos B+cosC.sin A sin B sinC cos A cos B cosC.tan A tan B tanC 1.其中一个角的 sin 一定大于另一个角的 cos.例 6.2 已知奇函数 f(x)在 1,0 上单调递减,，为锐角三角形两内角,则()(A)f(cos)f(cos)(B)f(sin)f(sin)(C)f(sin)f(cos)(D)f(sin)cos，由单调性可知 f(sin)cosC,则 p 是 q 的()(A)充分不必要

469、条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)及不充分也不必要条件定理 6.1:射影定理在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则有如下结论:a cos B+b cos A=c；a cosC+c cos A=b；c cos B+b cosC=a.例 6.3【2008 全国】ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a cos B b cos A=35c，则tan Atan B=.解 由题及射影定理a cos B b cos A=35ca cos B+b cos A=c a cos B=45c，b cos A=15c，即2R sin A cos B=45c(6.1

470、)2R sin B cos A=15c(6.2)第 238 页(6.1)(6.2)得 tan Atan B=4.推论 6.1.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=c cos B，则 ABC 为直角三角形，且 C=90.例 6.4 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,若 2c cos B=2a+b,则 C=.解 由射影定理 2c cos B=2a+b 2c cos B=2c cos B+2b cosC+b cosC=12 C=23.例 6.5 在锐角 ABC 中,sin 2C=3 cos 2C+3，c cos B+b cosC=22,则 ABC 面

471、积的取值范围为.图 6.1解 由射影定理知 a=22,再由辅助角公式可知角 C=3,如图所示,当 ABC 底为 BC 时,高的最大值为 AB=26,此时 ABC 的面积为 43;当 ABC 斜边为 BC 时,ABC 的面积最小为3,故 ABC 面积的取值范围为 3,43.变式训练 EXERCISES290.三角形 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,若 3b cosC=c(1 3 cos B),则sinC:sin A=()(A)2:3(B)4:3(C)3:1(D)3:2291.三角形 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,满足 a sin B cosC+c s

472、in B cos A=12b 且a b.(1)求角 B 的大小;(2)若 b=1，BC 边上的中线 AM 的长为 12a,求 ABC 的面积.谁要游戏人生，他就一事无成。第 239 页6.3面积周长最值定理 6.2:定边定角面积最大值已知在 ABC 中，设 ABC=，边 AC=m，则 ABC 面积最大值为 m24 1tan 2.证 如图 6.2 所示,已知三角形的一条边 AC 的长度及其对角 ABC 的大小,则三角形的面积的最大值求法我们借助其外接圆 O,由图易知只有当 B 点在线段 AC 的中垂线上时三角形的高最大,因此面积也最大,(计算时利用正弦定理求出外接圆半径).图 6.2图 6.3图

473、 6.4定理 6.3:定边定角周长最大值已知 ABC 的角 ACB=，AB=m,则 ABC 周长最大值为msin 2+m.解 在 AC 的延长线上截取 CD=CB,则 CA+CB=AD,连接 BD,则 D=12,作 ABD 的外接圆 O,设半径为 R,可知ABsin D=2R msin 2=2R，AD 2R，AD msin 2，CA+CB+AB msin 2+m.例 6.6 ABC 中,a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边,且(a+b+c)(a+b c)=3ab.(1)求角 C 的值;(2)若 c=2,求 a+b 的取值范围.图 6.5第 240 页解 依题意由余弦定理易知(1)C=3;(

474、2)如图 6.5,延长 AC 至 D,使得 CD=CB,即 a+b=AD,连接 DB,则 D=6,在 ABD 中,由正弦定理可知csin D=2r,其中 r 为 ABD 的外接圆半径,所以 AD 的最大值为 2r=4,再由三角形两边之和大于第三边可知 a+b c=2,故 a+b 的取值范围为(2,4.注 如图 6.3 所示,已知三角形的一条边 AB 的长度及其对角 C 的大小,则三角形三条边的线性组合的最值利用正弦定理以及辅助角公式解决.定理 6.4:邻边定角面积取值范围由正弦定理以及正切取值范围可得.例 6.7 在锐角 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且4 sin A

475、cos2 A 3 cos(B+C)=sin 3A+3.(1)求角 A 的大小；(2)若 b=2，求 ABC 面积的取值范围解法一(1)依题意cos(B+C)=cos A(6.3)sin 3A=sin(2A+A)=sin 2A cos A+cos 2A sin A(6.4)sin 2A=2 sin A cos A(6.5)将以上三式代入已知等式，得2 sin 2A cos A+3 cos A=sin 2A cos A+cos 2A sin A+3整理得 sinA+3=32 A=3.(2)易知 B 6,2，在 ABC 中，由正弦定理得2sin B=csinC c=2 sinCsin B=2 sin

476、23 Bsin B=3tan B+1 c (1,4)，于是 SABC=12bc sin A=32 c 32,23.为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 241 页图 6.6解法二(1)同上；(2)直角三角形是临界点，如图 6.6，于是当 A 和 b 固定时，AB1C 的面积最小，为32；AB2C 的面积最大，为 23，故 SABC 32,23.变式训练 EXERCISES292.已知函数 f(x)=4 sin x cosx 3,在锐角三角形 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,且 f(A)=23.(1)求 A 的大小;(2)若 a=23,求三角形 ABC 面积的最大值.29

477、3.三角形 ABC 中 B=60，b=3,求 2a+c 的最大值.294.锐三角形 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,若 a=3，A=60,则三角形 ABC 周长的取值范围是()(A)3,33(B)23,33(C)3 3,33(D)3+3,33295.已知 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,且满足3a=3b cosC c sin B.(1)求 B 的大小;(2)若 b=23，AD 为 BC 边上的中线,当 ABC 的面积取得最大值时,求 AD 的长.296.已知 ABC 外接圆的半径 R=2,且 23 cos2 A2=sin A,则 ABC 周长的取值范

478、围为()(A)23,4(B)4,43(C)43,4+23(D)4+23,63第 242 页6.4线段比中构造相似例 6.8 如图 6.7，在 ABC 中，点 D 在 ABC 的边 BC 上，且 DC=2BD，AB:AD:AC=3:k:1，则实数 k 的取值范围为.图 6.7图 6.8解 如图 6.8，过 D 作 AB 的平行线交 CA 于 E，则 DE=2，AE=13，在三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边得2 13|AD|0,x 无解.综上所述,tan B=33.例 6.12 在 ABC 中，D 为 AC 边上一点，AB=AD=4，AC=6，若 ABC 的外心 O 恰好

479、在线段 BD 上，则 BC=.图 6.14解 由三角形外心性质及外角定理可得ACB=12AOB=12(ADB+(DAO)=12(ABD+DAO)=12(BAO+DAO)=12BAC即 A=2C，故 a2=c(c+b)=40，于是 BC=a=210.变式训练 EXERCISES299.锐角三角形 ABC 中,B=2A,则 ab 的取值范围是()(A)33,22(B)33,+(C)22,+(D)2,3300.锐角三角形 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A=2C，c=1,则 ABC 的周长取值范围是()(A)0,2+2(B)0,3+3(C)2+2,3+3(D)2+2,3+330

480、1.三角形 ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,若 2 sin2 A+cos B=1,则cb a 的取值范围是.第 246 页302.ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,且 a，b，c 互不相等,并满足b cosC=(2b c)cos B.(1)求证 A=2B;(2)若 c=2a,求 cos B.6.6三角形中的等差等比推论 6.2.ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c,(1)A，B，C 成等差数列，则 B=3；(2)A，B，C 成等比数列，则 B 0,3.证(2)A，C 可看作方程 x2 (B)x+B2=0 的两个正根，得 0 0,a 1）

481、；3.ax 1ax+1=1 2ax+1，ax+1ax 1=1+2ax 1 是奇函数（a 0,a 1）；4.logab+cxb cx是奇函数（a 0,a 1）；5.logaabx+1 b2 x 是偶函数（a 0,a 1）；6.loga b2x2+1 bx是奇函数（a 0,a 1）.注 复合函数的奇偶性:内偶则偶,内奇同外.例如1.f(x)=sin|x|,内偶则偶,则 f(x)是偶函数.2.f(x)=cos x3,内奇同外,则 f(x)是偶函数.例 7.1 已知 f(x)=ex+eax,为偶函数,则 f(x)的最小值为.解 易知 a=1,所以 f(x)min=f(0)=1+1=2.例 7.2 已知

482、函数 f(x)=ex1 e1x+x,则不等式 f(x)+f(3 2x)2 的解集是是()(A)1,+)(B)0,+)(C)(,0(D)(,1256解 易知 g(x)=f(x)1=ex1 e1x+x 1 的图象关于点(1,0)中心对称且单调递增,不等式f(x)+f(3 2x)2 即 g(x)+g(3 2x)0,因为 g(x)+g(2 x)=0,故只需 g(3 2x)g(2 x),等价于 3 2x 2 x,解得 x 1,故选 A.例 7.3 已知函数 f(x)为偶函数,当 x 0 时,f(x)=x cos x sin x+13 x3,则满足不等式f(log2 m)+flog 12 m 2f(1)的

483、实数 m 的取值范围为()(A)12,2(B)(0,2)(C)0,12(1,2)(D)(2,+)解 A例 7.4 关于函数 f(x)=1x1+2ex 1,有下列结论:1 图象关于 y 轴对称;2 图象关于原点对称;3 在(,0)上单调递增;4 f(x)恒大于 0.其中正确结论的编号是()(A)13(B)24(C)34(D)134解 奇 奇=偶,1;2;减 减=增,3;当 x 0时,正 正=正 4.如图 7.1.故选 D.图 7.1例 7.5 设函数 f(x)=x(ex+aex)的导函数为 f(x),若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为()(A)2e(B)1

484、e(C)2(D)2e解 奇函数易知 a=1,于是 f(x)=x(ex ex),所以 f(x)=(ex ex)+x(ex+ex),则 f(1)=2e,选 D.例 7.6【2020 全国二卷】设函数 f(x)=ln|2x+1|ln|2x 1|,则 f(x)()(A)是偶函数,且在12,+单调递增(B)是奇函数,且在12,12单调递减阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 257 页(C)是偶函数,且在,12单调递增(D)是奇函数,且在,12单调递减解 利用特殊数字,f(1)=ln 3,f(1)=ln 3,排除 A,C,取 x1=0,x2=14,f(0)=0 1 的解集为()(A)(0,1

485、)(B)(,ln 3)(C)(0,ln 3)(D)(0,2)315.已知 x,y R,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),且有 f(x2+2x+2)+f(2y2+8y+3)=0,则 x+y 的最大值是.316.已知函数 f(x)=lg 1+4x2+ax的图象关于原点对称,则实数 a 的值是.317.“a=2”是函数“f(x)=lg 1+2x2 ax”为奇函数的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件318.已知函数 f(x)=loga(ax+1)+bx(a 0且a 1)为偶函数,则()(A)b=12且f(a)f1a(B)b=12且f

486、(a)f1b(D)b=12且fa+1a f1b319.下列函数既是奇函数,又在 1,1 上单调递增的是()(A)f(x)=|sin x|(B)f(x)=ln e xe+x(C)f(x)=12ex ex(D)f(x)=ln x2+1 x第 258 页320.已知函数 f(x)=x ln 1+x1 x，a=f1，b=f1e，c=f14，则以下关系成立的是()(A)c a b(B)c b a(C)a b c(D)a c 0 成立,若a=f log3 18,b=fln e22,c=feln 102,则以下关系成立的是()(A)b a c(B)a c b(C)c b a(D)b c f(2x 1)成立的

487、 x 的取值范围为.323.已知函数 f(x)=x2 3x 13x+1,则不等式 f 3 log2 x+f(1 log2 x)0 的解集是()(A)0,22(B)22,+(C)0,2(D)2,+324.已知函数 f(x)=ex1+e1x,则满足 f(x 1)1e2 e2 成立的 x 的取值范围为()(A)(2,+)(B)(1,+)(C)(2,+)(D)(3,+)326.设函数 f(x)=2x+a2x 是奇函数,g(x)=bx log2(4x+1)为偶函数,则 f(ab)=()(A)174(B)52(C)154(D)32327.已知偶函数 f(x)的图象经过点(1,2),且当 0 a b 时,不

488、等式 f(b)f(a)b a 0 恒成立,则使得 f(x 1)6 的解集为()(A)(,1)(B)(1,+)(C)(,2)(D)(2,+)知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 259 页329.已知函数 f(x)=1ex+1 12,则 f(x)()(A)是奇函数,且在 R 上是增函数(B)是偶函数,且在(0,+)上是增函数(C)是奇函数,且在 R 上是减函数(D)是偶函数,且在(0,+)上是减函数330.已知函数 f(x)=x3 2x+ex 1ex,若 f(a 1)+f2a2 0,则实数 a 的取值范围是.331.已知函数 f(log3 x+1)=9x2 1,函数 g(x)=log

489、9(f(x)+2)+kx 是偶函数,则 k=.332.已知 f(x)的定义域为 R,令 g(x)=f(|x|)|f(x)|,有以下 6 个论断:1 f(x)是奇函数时,g(x)是奇函数;2 f(x)是偶函数时,g(x)是奇函数;3 f(x)是偶函数时,g(x)是偶函数;4 f(x)是奇函数时,g(x)是偶函数;5 g(x)是偶函数;6 对任意的实数 x,g(x)0.则正确结论的编号是()(A)34(B)126(C)346(D)345333.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f(x),若 x 0 时,f(x)3x2+2x 1 的解集为.334.若函数 f(x)=x2+2x

490、m cos(x+1)+m2+3m 7 有且仅有一个零点,则 m=.335.【2021 新高考二卷】写出一个同时具备下列性质 123 的函数 f(x).1 f(x1x2)=f(x1)f(x2)；2 当 x (0,+)时，f(x)0；3 f(x)为奇函数.定理 7.1:复合函数的对称内轴对称则整个轴对称,并且对称轴不变.例 7.7 设函数 f(x)=ln|x 1|,设 a=f75,b=f(4),c=f32,则 a,b,c 的大小关系是()(A)a b c(B)c a b(C)b c a(D)c b a解 易知函数 f(x)图象为轴对称图形,对称轴为 x=1,且在(1,+)内单调递增,即开口向上的轴

491、对称图形,故自变量离对称轴越远函数值就越大，75 1=25,|4 1|=3,32 1=12，故选 C.例 7.8 已知函数 f(x)=x2 x sin x,若 a=f log0.2 3,b=f log3 0.2,c=f0.23,则 a,b,c 的大小关系为()(A)a b c(B)b a c(C)c b a(D)c a b解 易知函数 f(x)为偶函数且开口向上,接下来我们比较log0.2 3,log3 0.2,0.23 的大小,第 260 页log0.2 3=log5 3 12,1,log3 0.2=log3 5 1,所以 b a,排除 A,D,而0.23=0.23 c,排除 C,选 B.推

492、论 7.1.函数 F(x)=f(x)+C,其中 f(x)为在 0 处有定义的奇函数,C 为常数,则F(m)+F(m)=2F(0)=2C注 说白了就是函数对称中心平移.例 7.9 已知函数 f(x)=lg x2+1+x+12,则 f(ln 5)+fln 15=()(A)0(B)12(C)1(D)2解 易知函数 f(x)=lg x2+1+x+12 是以0,12为对称中心的中心对称函数,所以f(ln 5)+fln 15=2 12=1,选 C.例 7.10 已知函数 g(x)为一次函数,若 m,n R,有 g(m+n)=g(m)+g(n)3,当 x 2,2 时,函数 f(x)=log22x+4x2+1

493、+g(x)的最大值与最小值之和为()(A)10(B)8(C)7(D)6解 特殊化令 g(x)=x+3,又易知函数 h(x)=log22x+4x2+1为奇函数,所以函数f(x)=h(x)+x+3 为对称中心是(0,3)的中心对称函数,f(x)max+f(x)min=2 3=6.选 D.变式训练 EXERCISES336.已知函数 f(x)=ln 1+x2 x+1,f(a)=4,则 f(a)=.337.函数 f(x)=(x+1)2+sin xx2+1的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=.338.函数 f(x)是定义在 R 上的函数,且对任意 x,y R,均有 f(x+y)=f(x)+f(y)

494、+2018 成立,若函数 g(x)=f(x)+2018x2019 有最大值 M 和最小值 m,则 M+m=.339.已知函数 f(x)=ln 1+x1 x+x+1,且 f(a)+f(a+1)2,则 a 的取值范围是()(A)12,+(B)1,12(C)12,0(D)12,1批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 261 页340.对任意 x,y R,有 f(x)+f(y)f(x+y)=3,函数 g(x)=xx2+1+f(x),则 g(2)+g(2)=()(A)0(B)4(C)6(D)9341.已知函数 f(x)=sin 2x sin 2x+3,则 f lg(log3 4)+f lg(log4 3)

495、=()(A)0(B)3(C)6(D)9常规对称已知函数 f(x)的表达式（经过化简、换元后可变形为一个奇函数加常数）,其中 f(x)的定义域为 a,b,则 f(m)+f(m)=2fa+b2.变式训练 EXERCISES342.已知函数 f(x)=x2 2xsin(x 1)+x+1 在区间 1,3 上的最大值为 M,最小值为 m,则M+m=()(A)4(B)2(C)1(D)0343.已知函数 f(x)=(x 1)cos(x 1)+ex1 e1x+1 在区间 2,4 上的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=()(A)4(B)2(C)1(D)0344.函数 f(x)=1+2x+12x+1+sin

496、 x 在区间 k,k(k 0)上的值域为 m,n,则 m+n=.7.1.2周期性与对称性定理 7.2:函数周期1.若 f(x+a)=f(x),则 f(x)的周期为 T=2|a|.2.若 f(x+a)=1f(x),则 f(x)的周期为 T=2|a|.3.若 f(x+a)=1 f(x)1+f(x),则 f(x)的周期为 T=2|a|.4.若 f(x+a)=1+f(x)1 f(x),则 f(x)的周期为 T=4|a|.5.若 f(x+a)=12+f(x)f 2(x),则 f(x)的周期为 T=2|a|.6.若 f(x+a)=1f(x)1,则 f(x)的周期为 T=3|a|.第 262 页7.若 f(

497、x)=f(x+a)+f(x a),则 f(x)的周期为 T=6|a|.例 7.11 已知函数 f(x),x R,满足 f(x+2)=f(x),f(x+1)=f(x)f(x+2),且 f(x)0,若f(1)=4,则 f(2019)+f(2020)=()(A)34(B)2(C)52(D)4解 依题意f(x+1)=f(x)f(x+2)(7.1)得f(x+2)=f(x+1)f(x+3)(7.2)(7.2)(7.1)得 f(x+3)=1f(x),f(x)的最小正周期为 6，f(2019)+f(2020)=f(3)+f(4),而 f(4)=1f(1)=14.再由 f(x+2)=f(x)知 f(x)的对称轴

498、为 x=1,故 f(2)=f(0),由 f(x+1)=f(x)f(x+2)知 f(0+1)=f(0)f(2)f(0)=2，f(3)=1f(0)=12.于是 f(3)+f(4)=12+14=34.故选 A.变式训练 EXERCISES345.已知函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x+2)=1 f(x)1+f(x),且 f(1)=12，f(2)=14,则 f(2018)=()(A)12(B)14(C)13(D)35346.已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x+1)f(x),且 f(1)=lg 3 lg 2,f(2)=lg 3+lg 5 成立,则f(2010)=()(A)1(B)2(C

499、)3(D)1很多学生对给定的一个关于函数性质的式子,无法判定是对称性还是周期性?我给学生总结了一个口诀:和定是对称,差定是周期.业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 263 页和定是对称,差定是周期1.若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(bx),则函数 f(x)的图象关于直线 x=(x+a)+(b x)2=a+b2轴对称;2.若函数 f(x)满足 f(x+a)=f(b x),则函数 f(x)的图象关于点a+b2,0中心对称;3.若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)的最小正周期为 T=|(x+b)(x+a)|=|b a|;4.若数f(x)满足f(x+a)=f(x

500、+b),则函数f(x)的最小正周期为 T=2|(x+b)(x+a)|=2|b a|;5.若函数f(x)满足f(x+a)=cf(x+b),则函数f(x)的最小正周期为 T=2|(x+b)(x+a)|=2|b a|.例 7.12 已知函数 f(x)=ex exex+ex+2,若有 f(a)+f(a 2)4,则 a 的取值范围是.解 如图 7.2,易知函数 f(x)的对称中心为(0,2),且在定义域内单调递增,由中心对称的性质可知f(a)+f(a)=4,所以 f(a)+f(a 2)f(a)+f(a)f(a 2)f(a),故 a 2 a a 1.答案为(1,+).例 7.13 定义在 R 上的奇函数

501、f(x)的图象关于点(2,1)对称,则 f(6)=()(A)9(B)7(C)5(D)3解 根据题意 f(x)+f(4 x)=2 f(6)+f(4 6)=2 f(6)+f(2)=2.又f(x)+f(4 x)=2 f(2)+f(2)=2 f(2)=1，因此 f(6)=3.图 7.2图 7.3例 7.14 设函数 f(x)的定义域为 R,满足 f(x+1)=2f(x),且当 x (0,1 时,f(x)=x(x 1),若对任第 264 页意 x (,m,都有 f(x)89,则 m 的取值范围是()(A),94(B),73(C),52(D),83解 依题意 f(x+1)=2f(x)f(x)=12 f(x

502、+1),即把 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度再把纵坐标压缩为原来的 12,向右情况恰好相反.如图 7.3 所示.易知当 x (2,3 时,f(x)=4(x 2)(x 3),当 x=2.5 时,f(x)=1,故要使 f(x)89 恒成立,x 必须小于 2.5,故选 B.变式训练 EXERCISES347.已知函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1 x),且 f(x)在(0,+)上单调递增,则不等式f(x)f(2x+1)的解为()(A)(,1)(B)(1,+)(C)1,13(D)1,13348.已知函数 f(x)=x3 32 x2+34 x+18,则2016k=1fk2017的值为()(

503、A)0(B)504(C)1008(D)2016349.已知函数 f(x)=2 2x2x 1,数列 an 的通项公式 an=fn2017,则此数列前 2017 项的和为.350.已知函数 f(x)=2x 22x+2,g(x)=k(x 1)3,若 f(x)的图象与 g(x)的图象有 n 个不同的交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),则(x1+x2+x3+xn)+(y1+y2+y3+yn)=()(A)n(B)2n(C)n+2(D)n2351.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2a x)=2b f(x),h(x+a)=bx4+x2 sin x+8bx4+8,设y

504、=f(x)与 y=h(x)的图象的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x2m,y2m),若2mi=1(xi+yi)=4m,则 a2+b2 的最小值为.352.已知函数 f(x)=4x 24x2 4x+5 (2x 1)3+12,则2018k=1fk2019=()(A)0(B)1009(C)2018(D)2019敏而好学，不耻下问。孔子第 265 页353.已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且满足 f(1+x)=f(1 x),当 x 1,0 时,f(x)=x,则函数 F(x)=f(x)+x+41 2x 在区间 9,10 上的零点个数为()(A)10(B)12(C)

505、18(D)20奇偶平移1.若函数 f(kx+b)为偶函数，则 f(x)图象关于直线 x=b 对称.2.若函数 f(kx+b)为奇函数，则 f(b)=0，且 f(x)图象关于点(b,0)对称.证 代数方法1.若函数 f(kx+b)为偶函数，则 f(kx+b)=f(kx+b)，故 f(x)图象关于直线 x=b 对称.2.若函数 f(kx+b)为奇函数，则 f(kx+b)=f(kx+b)，故 f(b)=0，且 f(x)图象关于点(b,0)对称.例 7.15 已知函数 f(x)及其导数 f(x)的定义域均为 R，记 g(x)=f(x)，若 f(32 2x)为偶函数，g(12+x)为奇函数，则()(A)

506、f32=0(B)g12=0(C)g(1)+g(2)=0(D)g12+g72=0解 因为 f(32 2x)为偶函数，所以 f(x)关于直线 x=32 轴对称，故 A；因为 g(12+x)为奇函数，故 B；依题 f(x)关于直线 x=32 轴对称，所以 g(x)关于点(32,0)中心对称，故 C，D；答案为 BCD.例 7.16 已知奇函数 f(x)及其导数 f(x)的定义域均为 R，记 g(x)=f(x)，若 h(x)=f(x 4)+x，则()(A)函数 g(x 2)的图象关于直线 x=2 对称(B)g(0)=0(C)函数 h(x)的图象关于点(4,4)中心对称(D)设数列 an 为等差数列，若

507、 a1+a2+a11=44，则 h(a1)+h(a2)+h(a11)=44解 因为 f(x)为奇函数，所以 g(x)关于 y 轴对称，故 B；函数 g(x 2)的图象关于直线 x=2对称，故 A；依题 h(4 x)+h(4+x)=f(x)+4 x+f(x)+4+x=8，故 C，由第 8 页中心对称函数与等差数列的结论可知 D；答案为 BCD.第 266 页变式训练 EXERCISES354.【2021 新高考二卷】设函数 f(x)为定义域为 R，且 f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则()(A)f12=0(B)f(1)=0(C)f(2)=0(D)f(4)=0例 7.17【2013

508、全国乙卷】若函数 f(x)=(1 x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=2 对称，则f(x)的最大值为.解 由题设 f(1)=0，f(1)=0，又函数 f(x)的图像关于直线 x=2 对称，所以f(3)=f(5)=0，从而有 f(x)=(x+5)(x+3)(x+1)(x 1)，即 f(x)=(x+2)2 52+16，所以 f(x)的最大值为 16.定理 7.3:相同的两倍,不同的四倍 若 f(x)关于直线 x=a 和直线 x=b 对称,则 f(x)的周期为 T=2|a b|.若 f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称,则 f(x)的周期为 T=2|a b|.若 f(x)关于点(a,0

509、)和直线 x=b 对称,则 f(x)的周期为 T=4|a b|.注 定理 7.3 可根据正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 的图象与性质来记忆.例 7.18【2021 新课标乙卷】已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(1+x)=f(x)，若f13=13，则 f53=()(A)53(B)13(C)13(D)53解 由 f(1+x)=f(x)可知函数 f(x)的对称轴为 x=12，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，故它的最小正周期为 4 12 0=2，于是 f53=f13=13，故选 C.例 7.19 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于点(1,0)对

510、称,以下关于 f(x)的结论 1f(x)是周期函数；2 f(x)满足 f(x)=f(4 x)；3 f(x)在(0,2)单调递减；4 f(x)=cos x2 是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1解 根据相同的两倍,不同的四倍可知 1;2;3;4.选 B.例 7.20【多选】已知函数 f(x)对 x R,满足 f(x)=f(6 x),f(x+1)=f(x+1),若f(a)=f(2020),a 5,9,且 f(x)在 5,9 上为单调函数,则下列结论正确的是()(A)f(3)=0(B)a=8海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 267 页(C)f(x

511、)是周期为 4 的周期函数(D)y=f(x)的图象关于点(1,0)对称解 由 f(x)=f(6 x),代入 x=3,可得 f(3)=0,故 A;由 f(x)=f(6 x)可知 f(x)关于点(3,0)中心对称,由 f(x+1)=f(x+1)可知 f(x)关于线x=1 轴对称,于是 f(x)的最小正周期为 8,故 C;因为 f(x)的最小正周期为 8,故 f(2020)=f(4),所以f(a)=f(2020)=f(4)(7.3)由 f(x+1)=f(x+1),代入 x=3,可得f(4)=f(2)(7.4)由(7.3),(7.4)两式可得 f(a)=f(2),代入 f(x)=f(6 x)可知 a=

512、8,故 B;D 明显.答案为 A，B.例 7.21【2021 甲卷】设函数 f(x)的定义域为 R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x 1,2 时，f(x)=ax2+b，若 f(0)+f(3)=6，则 f92=()(A)94(B)32(C)74(D)52解 D.变式训练 EXERCISES355.已知函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x 1)都是奇函数,则()(A)f(x)是偶函数(B)f(x)是奇函数(C)f(x)=f(x+2)(D)f(x+3)是奇函数356.已知函数 f(x)为定义域为 R 的偶函数,f(x 1)为奇函数,当 x 0,1 时,f(x)=1

513、 x3,则f292=.周期性奇函数求和规律奇函数f(x)的最小正周期 T=t,若 f(1)=a,则ni=1f(i)的值有如下情形:若 n 除以最小正周期 t 的余数为 t 2,则ni=1f(i)=f(1)=a.第 268 页 若 n 除以最小正周期 t 的余数为 0 或 t 1,则ni=1f(i)=0.例 7.22 已知 f(x)是定义域为(,+)的奇函数,满足 f(1+x)=f(1 x),若 f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(50)=()(A)50(B)0(C)2(D)50解 易知 f(x)的最小正周期为 4,因为 50 4=12 2,而 2=4 2,所以f(1)+f(2)+f(50)

514、=f(1)=2.例 7.23 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(3 x)+f(x 3)=0,若 f(1)=1,f(2)=2,则f(1)+f(2)+f(2020)=()(A)1(B)0(C)1(D)2解 依题意,奇函数 f(x)满足 f(3 x)+f(x 3)=0,得 f(3 x)=f(3 x),所以函数 f(x)的最小正周期为 6,于是 2020 6=336 4,又 4=6 2,故 f(1)+f(2)+f(2020)=f(1)=1，选 C.变式训练 EXERCISES357.已知 f(x)是定义域在 R 上的奇函数,满足 f(1+x)=f(1 x),若 f(1)=1,则f(1)+f(2

515、)+f(2019)=()(A)1(B)0(C)1(D)2019358.已知 f(x)是定义域为(,+)的奇函数,且 f(x+2)为偶函数,若 f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(55)=()(A)110(B)0(C)4(D)110359.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 x 0,32时,f(x)=x2 6x+8,则f(0)+f(1)+f(2)+f(2020)=.7.1.3抽象函数找原型例 7.24【2015 新课标甲卷】设函数 f(x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数，f(1)=0，当 x 0时，x f(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是()(A)

516、(,1)(0,1)(B)(1,0)(1,+)(C)(,1)(1,0)(D)(0,1)(1,+)穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 269 页解 设 f(x)是多项式函数，因为 f(x)是奇函数，所以它只含奇次项；又 f(1)=f(1)=0，所以f(x)能被 x2 1 整除，因此可取 f(x)=x x3，检验知 f(x)满足所有题设条件，解不等式f(x)0，得到 x (,1)(0,1)，选 A.抽象函数找原型满足 f(x+y)+f(x y)=2f(x)f(y)的原型函数为 1 双曲余弦函数 f(x)=ex+ex2；2 余弦函数 f(x)=cos x.7.2比较大小例 7.25 设 x，y，z 为

517、正数，且 2x=3y=5z，则()(A)2x 3y 5z(B)5z 2x 3y(C)3y 5z 2x(D)3y 2x 0,则 2x=k 2ln 2=k 4ln 4,3y=k 3ln 3,5z=k 5ln 5,而函数f(x)=xln x 在(e,+)单调递增,故选 D.例 7.26 比较 20212022 与 20222021 的大小.解 构造函数 f(x)=ln xx，易知其在 e,+)上是减函数，因此，当 n 3 时，ln nn ln(n+1)n+1 nn+1 (n+1)n，故 20212022 20222021.例 7.27 比较 log2021 2022 与 log2022 2023 的

518、大小.解 转化为 logn(n+1)与 logn+1(n+2)的大小.logn(n+1)logn+1(n+2)=lg(n+1)lg n lg(n+2)lg(n+1)=lg2(n+1)lg n lg(n+2)lg n lg(n+1)由均值不等式可知lg n lg(n+2)lg n+lg(n+2)22=lg(n2+2n)22 logn+1(n+2)，故 log2021 2022 log2022 2023.例 7.28 比较1+120212021与1+120222022的大小.第 270 页解 转化为1+1nn与1+1n+1n+1的大小.1+1nn=1+1n 1+1n 1+1n1 1+1n+1+1n

519、+1+1n+1n+1n+1=1+1n+1n+1故1+1202120211+120222022.推论 7.2.记数列 Fn 为斐波那契数列，其中 F1=F2=1，Fn=Fn1+Fn2(n 3,n N)，1,1,2,3,5,8,13,，则n 1n logFn+2 Fn+1 nn+1(n 2,n N)例 7.29 设 a=log3 2，b=log5 3，c=23，则()(A)acb(B)abc(C)bca(D)cab解 A.例 7.30 设 a=log5 3，b=log8 5，c=log13 8，则()(A)abc(B)bac(C)bca(D)cab解 A.注 通过这两道例题我们发现不等式链log3

520、 2 23 log5 3 34 log8 5 45 0,b 0）,如图 7.5 所示:例 7.33【2021 新课标乙卷】下列函数中最小值为 4 的是()(A)y=x2+2x+4(B)y=|sin x|+4|sin x|(C)y=2x+22x(D)y=ln x+4ln x解 由基本不等式取等条件知选 C.例 7.34 椭圆 x24+y2=1,直线 l 经过点 C(0,2),且与椭圆交于 A,B 两点,求 OAB 面积的最小值.第 272 页解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线的斜率存在,设直线方程为 y=kx+2.易知SOAB=SOCB SOCA=12|OC|x2 x1|=

521、44k2 34k2+1令 t=4k2 3(t 0)SOAB=4tt2+4=4tt2+4=4t+44 1,当且仅当 t=2 时最值成立.此时 SOAB=1 为最小值.7.3.3一些超越函数的图象1.飘带函数 f(x)=x ax（a 0）.见图 7.6；2.f(x)=ln x2+1 x,g(x)=ln x2+1+x.见图 7.7；图 7.6图 7.73.函数 f(x)=12x 1+12.见图 7.8,函数 f(x)=12x+1 12.见图 7.9.图 7.8图 7.94.f(x)=xln x.见图 7.10,f(x)=exx.见图 7.11;5.f(x)=x ln x.见图 7.12,函数 f(x

522、)=xex.见图 7.13,6.f(x)=xex.见图 7.14；函数 f(x)=ln xx.见图 7.15；7.类双曲正弦函数 f(x)=ex+ex.类双曲余弦函数 g(x)=ex ex.见图 7.16,图 7.17君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 273 页图 7.10图 7.11图 7.12图 7.13图 7.14图 7.15图 7.16图 7.17图 7.18图 7.19第 274 页8.双曲正切函数 h(x)=ex exex+ex.见图 7.18,函数 f(x)=ex+exex ex.见图 7.19,.例 7.35 设 f(x)=ex，f(x)=g(x)h(x),且 g(x)为

523、偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数 m,当x 1,1 时,不等式 mg(x)+h(x)0 成立,则 m 的最小值为()(A)e2 1e2+1(B)2e2+1(C)e2+1e2 1(D)1 e21+e2解 依题意可得 g(x)=ex+ex2,h(x)=ex ex2,则 mg(x)+h(x)0 m ex exex+ex.因此m e e1e+e1=e2 1e2+1,故选 A.例 7.36 已知函数 f(x)=exx tln x+x+2x恰有两个极值点,则实数 t 的取值范围为()(A),12(B)12,+(C)12,e3 e3,+(D),12 e3,+图 7.20解 f(x)的定义域为(0,+)，

524、f(x)=(x 1)ex t(x+2)x2=(x 1)(x+2)exx+2 tx2,exx+2 t=0 有且只有一个不为 1 的正解.即 1t=x+2ex 1te2=x+2ex+2记作=g(x),我们易知 g(x)的图象如图 7.20,所以 0 1te2 12,又 1te2 g(1)=3e3 t e3,故选 C.例 7.37 已知函数 f(x)=exx tln x+x+2x恰有一个极值点为 1,则实数 t 的取值范围为()(A),13 e3(B),13(C),13 e3(D),12解 f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=(x 1)ex t(x+2)x2=(x 1)(x+2)exx+2 tx

525、2,三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 275 页exx+2 t=0 无正数解.即 1t=x+2ex 1te2=x+2ex+2记作=g(x),我们易知 g(x)的图象如图 7.20,所以 1te2 g(0)=2e2 0 t 12,或 1te2 0 t 0,当 t=0 时也满足题意,故选 D.例 7.38 函数 f(x)=aex 与 g(x)=x 1 的图象上存在关于 x 轴的对称点,则实数 a 的取值范围为.解 题目转化为 f(x)+g(x)=0 有解,即 aex x=0 有解,分离变量a=x+1ex ae=x+1ex+1记作=h(x)，易知 h(x)是函数 xex 向左平移一个单位得到

526、,所以h(x)h(0)=1e,于是 ae 1e,解得 a 1.答案为 a 1.图 7.21 f(x)=xex 的图象图 7.22例 7.39 若函数 f(x)=x ln x 2ax2 x 有两个不同的极值点,则实数 a 的取值范围为.解 依题意 f(x)=ln x+1 4ax 1=ln x 4ax,函数 f(x)=x ln x 2ax2 x 有两个不同的极值点,则函数 y=4a 和函数 y=ln xx的图象有两个交点,如图 7.22,所以 0 4a 1e 0 a 0 且 a 1，函数 f(x)=xaax(x 0).(1)若 a=2，求 f(x)的单调区间；(2)若曲线 y=f(x)与直线 y=

527、1 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围.解(1)f(x),x (,0),2ln 2,+f(x),x 0,2ln 2(2)a (1,e)(e,+).7.4三次函数三次函数在高考中占据着非常重要的位置,其一般形式为 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0).为了简洁,我只给出 a 0 的情况.令 =b2 3ac 为该三次函数的判别式.第 276 页7.4.1三次函数的单调性三次函数图象如图 7.23 所示 当 0 时,f(x)为 R 上的单调递增函数.当 0 时,f(x)会在中间一段单调递减,形成三个单调区间以及两个极值.当 0 时,三次函数 f(x)的两个极值点分别为x1=b b2 3ac

528、3a,x2=b+b2 3ac3a其中 x1 为极大值点,x2 为极小值点.图 7.23例 7.41 函数 f(x)=ax3+bx2+cx+da 0b2 3ac c b23a.故c2b 3a b23a2b 3a=b23a(2b 3a)b2 3a+2b3a22=1，故选 A.例 7.42 设函数 f(x)=x3+ax2 (3+2a)x+1,若 f(x)在 x=1 处取得极大值,那么实数 a 的取值范围为.解 若 f(x0)0,则 x0 是 f(x)的极小值点;若 f(x0)0,则 x0 是 f(x)的极大值点.依题意 f(x)=6x+2a,f(1)=6+2a 0 a 1 a 3,选 B.例 7.4

529、4【2021 新课标乙卷】设 a 0，若 x=a 为函数 f(x)=a(x a)2(x b)的极大值点，则()(A)a b(C)ab a2解 x=a 既是函数 f(x)=a(x a)2(x b)的极大值点，又是零点，对 a 分正负讨论可知选 D.变式训练 EXERCISES360.设随机变量 服从正态分布 N(1,2),若 P(0,如果过点 A(0,2)可做曲线 y=f(x)的三条不同切线,求 a的取值范围.人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 279 页364.已知函数 f(x)=ax3+bx2 3x（a,b R）在点(1,f(1)处的切线方程为 y+2=0.(1)求函

530、数 f(x)的解析式；(2)若对于区间 2,2 上任意两个自变量的值 x1，x2 都有|f(x1)f(x2)|c,求实数 c 的最小值；(3)若过点 M(2,m)(m 2)可做曲线 y=f(x)的三条切线,求 m 的取值范围.7.4.3三次函数的对称定理 7.4函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是中心对称图形,关于点 P b3a,f b3a对称.例 7.48 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx,满足 f(1+x)+f(1 x)+22=0,则 f(x)的单调递减区间是.解 因为 f(1+x)+f(1 x)+22=0,所以此三次函数的对称中心为(1,11),所以 a=3,b=9,易知答

531、案为 1,3.例 7.49 已知直线 l 与曲线 y=x3 6x2+13x 9 的交点依次为 A，B，C,且|AB|=|BC|=5,则直线 l 的方程为()(A)y=2x+3(B)y=2x 3(C)y=3x 5(D)y=3x+2解 易知直线 l 上的点 B 为此三次函数的对称中心为(2,1),所以排除 A,D,联立方程组y=x3 6x2+13x 9(x 2)2+(y 1)2=5x1=3y1=3,x2=1y2=1(7.5)故选 B.例 7.50 已知函数 f(x)=x3 9x2+29x 30,若实数 m，n 满足 f(m)=12,f(n)=18,则m+n=.解 易知此三次函数的对称中心为(3,3

532、),所以 f(x)+f(6 x)=6,又f(m)+f(n)=12+18=6 m+n=6.第 280 页7.4.4三次方程中的韦达定理推论 7.3.若关于 x 的方程 ax3+bx2+cx+d=0(a 0,x R)有三个根 x1，x2，x3,则我们有 1 x1+x2+x3=ba，2 x1 x2 x3=da，3 x1 x2+x1 x3+x2 x3=ca.证 若关于 x 的方程 ax3+bx2+cx+d=0(a 0,x R)有三个根 x1，x2，x3，则我们有ax3+bx2+cx+d=a(x x1)(x x2)(x x3)=ax3 a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x1x3+x2x3)x x

533、1x2x3系数相等得证.例 7.51 已知函数 f(x)=x3 9x，g(x)=3x2+a(a R),若方程 f(x)=g(x)有三个不同实数根 x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列,则 a=.解 依题意,方程 f(x)=g(x)有三个不同实数根 x1，x2，x3，等价于方程 x3 3x2 9x a=0 有三个不同实数根 x1，x2，x3，由韦达定理知 x1+x2+x3=3，它们可以构成等差数列,x2=1,代入原方程可知 a=11,故答案为 11.例 7.52【2009 新课标理科】已知函数 f(x)=(x3+3x2+ax+b)ex.(1)若 a=b=3，求 f(x)的单调区间；(2)若

534、f(x)在(,)，(2,)单调增加，在(,2)，(,+)单调减少，证明：6.解(1)依题意可得 f(x)=ex(x3 9x)=exx(x+3)(x 3)，由穿针引线法可知：f(x)在(,3)，(0,3)单调增加，在 3,0)，(3,+)单调减少.(2)f(x)=exx3+(a 6)x+b a，由条件得 f(2)=0，即 23+2(a 6)+b a=0，故b=4 a，从而f(x)=exx3+(a 6)x+4 2a因为 f()=f()=0，所以x3+(a 6)x+4 2a=(x 2)(x )(x )=(x 2)x2 (+)x+比较系数得 +=2，=a 2，故 =(+)2 4=12 4a，又(2)(

535、2)0，即 2(+)+4 0，由此可得 a 6.7.5讨论含参函数单调性类型一：极值点唯一谁要游戏人生，他就一事无成。第 281 页1.已知函数 f(x)=ax ln x(a R)，讨论 f(x)在(0,e 的单调性.2.已知函数 f(x)=ln x 12ax2+1，讨论 f(x)的单调性.3.已知函数 f(x)=xa ln(ax),若 a 0，求函数 f(x)的极值.4.已知函数 f(x)=2x+(1 2a)ln x+ax，讨论 f(x)的单调性.5.已知函数 f(x)=a2x2+ax 3 ln x+1，其中 a 0，讨论 f(x)的单调性.6.已知函数 f(x)=xex+ax2 2(ex+

536、ax)+a，其中 a 0，讨论 f(x)的单调性.7.已知函数 f(x)=exx+a ln x ax，其中 a 0，讨论 f(x)的单调性.4.已知函数 f(x)=x2 2x a ln x+ax，其中 a 0，求 f(x)的极值.5.已知函数 f(x)=(x 1)ex ax2，讨论 f(x)的单调性.类型三：先通过 判断再比较极值点1.已知函数 f(x)=(x2+a)ex，讨论 f(x)的单调性.2.已知函数 f(x)=12 x2+ax+ln x，讨论 f(x)的单调性.3.已知函数 f(x)=ln x ax2 2x 2，讨论 f(x)的单调性.7.6两曲线公切线众所周知，求两曲线 C1 与

537、C2 的公切线的通法是，先分别求出曲线上任一点处的切线方程，当这两条切线重合时，变成了两曲线的公切线.两曲线的公切线设公切线 l 与函数 y=f(x)的图象在点 A(x1,y1)处的切线方程为 y f(x1)=f(x1)(x x1)；设公切线 l 与函数 y=g(x)的图象在点 B(x2,y2)处的切线方程为 y g(x2)=g(x2)(x x2).第 282 页所以，两直线重合的充要条件为两切线方程的 斜率和截距分别相等.f(x1)=g(x2)(7.6)f(x1)x1 f(x1)=g(x2)x2g(x2)(7.7)注 上述方程组有解表示两曲线存在公切线；方程组的解 x1，x2 分别是相应切线

538、的横坐标，方程组有几组解就表示两曲线有几条公切线.例 7.53 若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，b=.解 设 A(x1,y1)是曲线 y=ln x+2 的切点，则切线方程为 y=1x1 x+1+ln x1；设 B(x2,y2)是曲线 y=ln(x+1)的切点，则切线方程为 y=1x2+1 x+ln(x2+1)x2x2+1，则1x1=1x2+1(7.8)1+ln x1=ln(x2+1)x2x2+1(7.9)解得 x1=12，x2=12，此时 b=1+ln x1=1 ln 2.即为所求.例 7.54 曲线 y=1x(x 0，即2 ln t

539、 2t 1=0(7.12)为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 283 页只需探究此方程解的个数.易知函数 f(x)=2 ln x 2x 1 在(0,+)上单调递增，且 f(1)=3 0，于是f(x)=0 有唯一解，故两曲线的公切线条数为 1.注 两曲线存在公切线条数问题解题思路：利用斜率和截距相等得到方程组后消去 x1 或x2 中的一个，转化为方程在特定区间上有解的个数问题.例 7.55 若曲线 y=ln x 与曲线 y=x2+2x+a(x 0)有公切线，则实数 a 的取值范围是.解 设 A(x1,y1)是曲线 y=ln x 的切点，则切线方程为 y=1x1 x+ln x1 1；设 B(x

540、2,y2)是曲线 y=x2+2x+a(x 0，故 1 x2 0，设f(x)=ln(2x+2)+x2 1(1 x 0)与曲线 y=ex 有公切线，则实数 a 的取值范围是.解 设 A(x1,y1)是曲线 y=ax2(a 0)的切点，则切线方程为 y=2ax1x ax21；设 B(x2,y2)是曲线 y=ex 的切点，则切线方程为 y=ex2 x+(1 x2)ex2，则2ax1=ex2(7.15)ax21=(x2 1)ex2(7.16)消元得 a=ex24(x2 1)，易知 x1 0，x2 1，设 f(x)=ex4(x 1)(x 1)，求导易知函数 f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+)上单

541、调递增，且 f(2)=e24，limx1 f(x)+，limx+f(x)+，则f(x)e24,+)，故实数 a 的取值范围是 e24,+).注 两曲线存在公切线求参数取值范围问题解题思路：利用斜率和截距相等得到方程组后消去 x1 或 x2 中的一个，转化为方程在特定区间上有解的问题，再参变分离转化为相应函数值域问题.其中要关注自变量的取值范围.第 284 页例 7.57 已知曲线 y=ex+a 与曲线 y=x2 恰有两条公切线，则实数 a 的取值范围是()(A)2 ln 2 2,+)(B)(2 ln 2,+)(C)(,2 ln 2 2(D)(,2 ln 2 2)解 设 A(x1,y1)是曲线

542、y=ex+a 的切点，则切线方程为 y=ex1+a x+ex1+a(1 x1)；设 B(x2,y2)是曲线 y=x2 的切点，则切线方程为 y=(2x2)x x22，则ex1+a=2x2 0(7.17)ex1+a(1 x1)=x22(7.18)则 2x2(1 x1)=x22，即 x1=1+x22，于是关于 x2 的方程a=ln(2x2)x1=ln(2x2)1 x22(7.19)在(0,+)上有两个不同解，设 f(x)=ln(2x)1 x2(x 0)，求导易知函数 f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+)上单调递减，又 limx0 f(x)，limx+f(x)，f(2)=2 ln 2 2，于

543、是可得实数 a 的取值范围是(,2 ln 2 2)，选 D.7.7巧“变”洛必达我们在处理恒成立问题时，若采用分离参数法，在得出函数在区间上单调性后，无法求出最值，针对这种情况，有人启用洛必达法则解决，但因高中没有学习洛必达法则而受质疑，干脆放弃分离参数的方法另谋它法，进而采用分类讨论的方法进行求解本文使用了 导数的定义，既避免了繁琐的分类讨论，又没有使用超纲的洛必达法则，且整个解答过程极为简洁，无疑是一种值得推广的好方法.例 7.58【2016 新课标】已知函数 f(x)=(x+1)ln x a(x 1).(1)当 a=4 时，求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)若当 x

544、 (1,+)时，f(x)0，求 a 的取值范围.解(1)所求切线方程为 2x+y 2=0；(2)若当 x (1,+)时，f(x)0 等价于 a 1)，则 g(x)=x21x 2 ln x(x 1)2，令 h(x)=x2 1x 2 ln x,(x 1)，则 h(x)=(x 1)2x2 0，所以 h(x)在(1,+)上单调递增，于是 h(x)h(1)=0，所以 g(x)0，故 g(x)在(1,+)上单调递增，好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰。都德第 285 页设(x)=(x+1)ln x,(x 1)，则 g(x)=(x)(1)x 1，于是limx1 g(x)=limx1(x)(1)x 1=

545、(x)x=1=ln x+x+1x x=1=2(7.20)所以 a limx1 g(x)=2.故 a 的取值范围(,2.例 7.59【2012 大纲】已知函数 f(x)=ax+cos x,x 0,.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 f(x)1+sin x，求 a 的取值范围.解(2)f(x)1+sin x 即 ax 1+sin x cos x，当 x=0 时，不等式成立；当 x 0 时，参变分离，a 1+sin x cos xx，设 g(x)=1+sin x cos xx,(x 0,)，则 g(x)=(cos x+sin x)x 1 sin x+cos xx2，令 h(x)=(cos x+

546、sin x)x 1 sin x+cos x，则 h(x)=(cos x sin x)x，又 x 0,，所以 h(0)=0，h(4)=0，故 h(x)在0,4上单调递增，在4,上单调递减，又 h(0)=0，h()=2 0 且 x 1 时，f(x)ln xx 1+kx，求 k 的取值范围.解法一(1)a=b=1；(2)由(1)知 f(x)ln xx 1+kx=11 x22 ln x+(k 1)(x2 1)x，考虑函数 h(x)=2 ln x+(k 1)(x2 1)x,(x 0)，h(x)=(k 1)(x2+1)+2xx2，第 286 页(i)设 k 0，由 h(x)=k(x2+1)(x 1)2x2

547、知，当 x 1 时，h(x)0 11 x2 h(x)0,x (0,1)h(x)0,x (1,+)从而当 x 0 且 x 1 时，f(x)ln xx 1+kx；(ii)设 0 k 0，故 h(x)0，而 h(1)=0，故当 x 1,11 k时，h(x)0 11 x2 h(x)0，而 h(1)=0，故当 x (1,+)时，h(x)0 11 x2 h(x)0，与题设矛盾；综上所述，k 的取值范围为(,0.解法二(1)a=b=1；(2)原不等式即 k 0，此时 2xx2 1g(x)0；2 当 x (1,+)时，g(x)0.因此当 x 0 且 x 1 时，2xx2 1ln x x2 12x 0.又 li

548、mx12x ln xx2 1=limx12x ln xx+1x 1=2x ln xx+1 x=1=1，所以 2x ln xx2 1+1 0，故 k 的取值范围为(,0.7.8双变量处理策略函数中的双变量问题是近年高考中的“宠儿”,题型多样,方法多变,对思维能力和运算能力要求较高.7.8.1A-L-G 不等式定义 7.1:A-L-G 不等式1.对数型:a,b 0,定义 L(a,b)=a bln a ln b,(a b)a,(a=b)ab L(a,b)a+b2(7.21)当且仅当 a=b 时取等号.无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 287 页2.指数型:当 a b 时ea+b

549、2 ea eba b b 0,不等式等价于2 a ba+b 0构造函数 f(x)=ln x 2 x 1x+1(x 1).于是 f(x)=1x 4(x+1)2=(x 1)2x(x+1)2,所以 f(x)(1,+)单调递增,故 f(x)f(1)=0,于是 ln x 2 x 1x+1.再证左边,不妨设 0 a b,不等式等价于ln a ln b a bab ln ab 1),于是 f(x)=2x 1 1x2=2x x2 1x2=(x 1)2x2,所以f(x)在(1,+)单调递减,故 f(x)f(1)=0,于是 2 ln x x 1x.0 x 2 且 x1x2=1.k=f(x1)f(x2)x1 x2=

550、1+1x1x2 a ln x1 ln x2x1 x2=2 a ln x1 ln x2x1 x2若存在 a,使得 k=2 a,则 ln x1 ln x2x1 x2=1,即x1 x2ln x1 ln x2=x1x2,与式(7.21)矛盾.例 7.62 已知函数 f(x)=ln x+x2 ax(a R),若 f(x)有两个极值点 x1，x2,记过点 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)的直线的斜率为 k,问:是否存在 a,使得 k=2a a2?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.第 288 页解 求导后通分利用韦达定理知 x1+x2=a2 且 x1x2=12.k=f(x1)f(x2)x

551、1 x2=ln x1 ln x2x1 x2 a2若存在 a,使得 k=2a a2,则 ln x1 ln x2x1 x2=2a=1x1+x2，而 ln x1 ln x2x1 x22x1+x21x1+x2,矛盾.例 7.63 已知函数 f(x)=ln x ax2+(2 a)x,若函数 f(x)图象与 x 轴交于 A，B 两点,线段 AB 的中点为 x0,证明:f(x0)x2 0),则ln x1 ax21+(2 a)x1=0ln x2 ax22+(2 a)x2=0两式相减得 ln x1 ln x2x1 x2=a(x1+x2)+a 2.所以f(x0)=f x1+x22=2x1+x2(a(x1+x2)+

552、a 2)=2x1+x2 ln x1 ln x2x1 x2 f(x0)0例 7.64 已知函数 f(x)=a ln x+x2+(a+2)x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 a 0.证(1)具体方法详见本书第 281 页第 7.5 节;(2)依题意f(x1)f(x2)=0 aln x1 ln x2x1 x2+(a+2)+(x1+x2)=0(7.23)又f x1+x22=2ax1+x2+(x1+x2)+(a+2)(7.24)把(7.23)代入(7.24)得f x1+x22=a2x1+x2 ln x1 ln x2x1 x2 0(7.25)少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光。第 289

553、页例 7.65 已知函数 f(x)=ln xx 12ax b,g(x)=ax2+bx,若函数 y=f(x)的两个零点分别为 x1，x2,且 x1 x2,证明:g x1+x22 1.证 依题意f(x1)=0 ln x1 12ax21 bx1=0f(x2)=0 ln x2 12ax22 bx2=0两式做差得ln x1 ln x2x1 x2 12a(x1+x2)b=0(7.26)所以x1+x22 ln x1 ln x2x1 x2=a x1+x222+b x1+x22=g x1+x22 1(7.27)例 7.66 已知函数 f(x)=x a ln x,若 0 x1 x2，a 0,f(t)=f(x2)f

554、(x1)x2 x1(x1 t x2),证明:t x1+x22.证 依题意f(t)=1 atf(x2)f(x1)=x2 x1 a(ln x2 ln x1)f(x2)f(x1)x2 x1=1 a ln x2 ln x1x2 x1即 1 at=1 a ln x2 ln x1x2 x1 t=x2 x1ln x2 ln x1.所以只需证x2 x1ln x2 ln x1 x1+x22.相信大家都已经看到黎明的曙光了！对数和反比例函数例 7.67 已知函数 f(x)=a 1x ln x，若存在 x1 2.证 由 f(x1)=f(x2)可得1x1 1x2ln 1x1 ln 1x2=1，由 A-L-G 不等式有

555、 1x1+1x2 2，再由权方和不等式，1x1+1x24x1+x24x1+x2 2对数和二次函数例 7.68 已知函数 f(x)=x2 x ln x，若存在 x1 2.第 290 页证 由 f(x1)=f(x2)可得x21 x1 ln x1=x22 x2 ln x2 x1 x2ln x1 ln x2=1x1+x2 1由 A-L-G 不等式有x1 x2ln x1 ln x2=1x1+x2 1 x1+x22，接下来将 x1+x2 看成一个整体，1x1+x2 1 0 x1+x2 2例 7.69 已知函数 f(x)=2 ln x (a+1)x2 2ax+1(a R).(1)求函数 f(x)的单调区间；

556、(2)若函数 f(x)有两个零点为 x1，x2,(i)求实数 a 的取值范围；(ii)求证：x1+x2 21a+1.解(1)1 当 a 1 时，(0,+)是函数 f(x)的单调递增区间；2 当 a 1 时，(0,1a+1)是函数 f(x)的单调递增区间，(1a+1,+)是函数 f(x)的单调递减区间.(2)(i)1 a 0；(ii)由 f(x1)=f(x2)=0 可得x1 x2ln x1 ln x2=2(a+1)(x1+x2)+2a，由 A-L-G 不等式有2(a+1)(x1+x2)+2a x1+x22，接下来将 x1+x2 看成一个整体，2(a+1)(x1+x2)+2a 0 x1+x2 2因

557、为(x1+x2)+2 0，1 a 2a+1，因为 a+1 1，所以2a+1 21a+1，因此 x1+x2 21a+1.指数型例 7.70 记函数 f(x)=ex 的图象为 C，函数 g(x)=kx k 的图象为 l，若图象 C 与直线 l 有两个不同的交点 A，B，其横坐标分别是 x1，x2，设 x1 x2，求证：x1x2 x1+x2.解法一 依题意知ex1=k(x1 1)(7.28)ex2=k(x2 1)(7.29)(7.29)(7.28)得 ex2 ex1=k(x2 x1)，又 x1 0，(7.29)(7.28)得 ex1+x2=k2(x1x2 x1 x2+1)，人生有两出悲剧。一是万念俱

558、灰；另一是踌躇满志。第 291 页要证 x1x2 x1+x2，只需证 x1x2 x1 x2=ex1+x2k2 1 0，即证 ex1+x2 k2=ex2 ex1x2 x12，即证ex1+x22 ex1+x22，故(x1 1)(x2 1)1，即(x1 1)(x2 1)1，即 x1x2 x1+x2.解法三 依题可知 1 x1 x2，(7.29)(7.28)得 ex2x1=x2 1x1 1，两边取对数，x2 x1=ln(x2 1)ln(x1 1)(x2 1)(x1 1)ln(x2 1)ln(x1 1)=1由 A-L-G 不等式可得(x1 1)(x2 1)(x2 1)(x1 1)ln(x2 1)ln(x

559、1 1)=1，整理即得 x1x2 2 时,f(x)g(x);(3)若 x1 x2,且 f(x1)=f(x2),求证:x1+x2 4.解(1)f(x)在(,2)内是增函数,在(2,+)内是减函数.极大值 f(2)=1e2;(2)易知 g(x)=3 xe4x,令F(x)=f(x)g(x)=x 1ex 3 xe4x F(x)0 F(x)F(x)F(2)=0(3)证明:由等比性质ex1x1 1=ex2x2 1=ex1+ex2x1+x2 2=ex1 ex2x1 x2 4.7.8.2极值点偏移对称构造函数法解题思路一如果 f(x1)=f(x2)，对结论为 x1+x2 2m 或 x1+x2 2m 的问题，可

560、以构造函数 g(x)=f(2m x).例 7.72【2016 全国卷 I 理科】函数 f(x)=(x 2)ex+a(x 1)2 有两个零点.第 292 页(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点，证明:x1+x2 0；当 x (1,+)时，h(x)0 时，直线 y=a 与曲线 y=h(x)有两个交点，所以 f(x)有两个零点，从而可得 a 的取值范围为(0,+).图 7.25(2)不妨设 x1 x2，因为 f(x1)=f(x2)，可知 x1 1 x2，且 2 x2 (,1)，f(x)在(,1)单调递减，所以 x1+x2 f(2 x2)，即 f(2 x2)1 时 g

561、(x)1 时 g(x)0，从而 g(x2)=f(2 x2)0，故x1+x2 2m 或 x1+x2 0)，利用导数可得 h(t)h(1)=6，故(x1+x2)2+(x1+x2)6，解得 x1+x2 2 或 x1+x2 3（舍去）.变式训练 EXERCISES55.已知函数 f(x)=2 ln x+x2 1，两不等正数 x1，x2 满足 f(x1)+f(x2)=0，证明:x1+x2 2.56.已知函数 f(x)=x ln x ax2 a R.(1)若函数 f(x)有两个极值点,求 a 的取值范围;(2)若 g(x)=f(x)x 有两个极值点 x1,x2,试判断 x1+x2 与 x1 x2 的大小关

562、系并证明.57.【多选】关于函数 f(x)=2x+ln x,下列判断正确的是()(A)x=2 是 f(x)的极大值点(B)函数 y=f(x)x 有且只有 1 个零点(C)存在正实数 k,使得 f(x)kx 成立(D)对任意两个正实数 x1,x2,且 x1 x2,若 f(x1)=f(x2),则 x1+x2 458.已知函数 f(x)=ln x+a 12x2 2ax,a R.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)在定义域内是增函数,且存在不相等的正实数 x1,x2,使得 f(x1)+f(x2)=3,证明:x1+x2 2.7.8.3“切割线夹”秒解零点差割线夹如图 7.26，可得 x2 x

563、1 x4 x3.切线夹如图 7.27，可得 x2 x1 x4 x3.一切一割如图 7.28，可得 x1+x2 x3+x4.注 作割线时考虑 极值点，作切线时 切点 多为图象与 x 轴的交点，具体怎么割？怎么切？要根据题目来 反演.第 294 页图 7.26图 7.27图 7.28例 7.74【2021 新高考一卷】已知函数 f(x)=x(1 ln x).(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 a，b 为两个不相等的正数，且 b ln a a ln b=a b，证明：2 1a+1b 2，解法一 对称性构造法构造奇函数 G(x)=f(1+x)f(1 x),x (0,1)，则G(x)=f(1+x)+

564、f(1 x)=ln(1+x)ln(1 x)=ln(1 x2)0所以 G(x)单调递增，从而 G(x)G(0)=0，故 f(1+x)f(1 x),令 x=1 x1 (0,1)，则可得 f(2 x1)f(x1)=f(x2)，又因为 2 x1 (1,e)，x2 (1,e)，由(1)知 f(x)在(1,+)单调递减，故 2 x1 2.解法二 妙用“1”构造同构式法由 f(x1)=f(x2)得 x1(1 ln x1)=x2(1 ln x2)，变形得x2 ln x2 x1 ln x1x2 x1=1注意到 0 x1 1 x2 2，即证明 x1+x2 2 x2 ln x2 x1 ln x1x2 x1，即证x2

565、2 2x2 ln x2 x21 2x1 ln x1.令 g(x)=x2 2x ln x，易知 g(x)=2(x ln x 1)0，所以 g(x)单调递增，故 g(x2)g(x1)，从而x1+x2 2.解法三 引参消元构造法设 x2=tx1(t 1)，由 f(x1)=f(x2)得 x1(1 ln x1)=x2(1 ln x2)=tx1(1 ln tx1)，整理得不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 295 页ln x1=1 t ln tt 1，所以x1+x2 2 (1+t)x1 2 ln(1+t)+ln x1 ln 2 ln(1+t)+1 t ln tt 1 ln 2(t 1)l

566、n(1+t)t ln t+(1 ln 2)(t 1)0设 g(t)=(t 1)ln(1+t)t ln t+(1 ln 2)(t 1),t 1，则g(t)=ln(1+t)+t 11+t ln t ln 2因为 g(t)=t 1t(1+t)2 0，所以 g(t)在在(1,+)上单调递增，故 g(t)g(1)=0，从而 g(t)在在(1,+)上单调递增，故 g(t)g(1)=0，故 x1+x2 2.图 7.29要证 x1+x2 e，解法四分析 即证 x3+x4=e，易知 x3=k，故 x4=e k，于是过点 AB 直线方程为 y=x+e,为了说明直线 AB 在函数 f(x)图象的上方，只需求导证明

567、h(x)=(x+e)f(x)在(1,+)恒正即可.此乃切线.2 1a+1b e.解法五 单侧取点放缩因为 0 x1 1，又因为 f(x1)=f(x2)，故可得x1 x1(1 ln x1)=f(x1)=f(x2)=x2(1 ln x2)所以 x1+x2 x2(1 ln x2)+x2，要证 x1+x2 e，只需证 x2(1 ln x2)+x2 e，即证2x2 x2 ln x2 e 0，所以 g(x)在(1,e)上单调递增，又 1 x2 e，故 g(x2)g(e)=0，即 x2(1 ln x2)+x2 e，从而可得 x1+x2 1)，由 f(x1)=f(x2)得 x1(1 ln x1)=x2(1 l

568、n x2)=tx1(1 ln tx1)，整理得ln x1=1 t ln tt 1，所以x1+x2 e (1+t)x1 e ln(1+t)+ln x1 1 ln(1+t)+1 t ln tt 1 1 ln(1+t)t 1)，则 h(t)=t 1 t ln tt(t 1)2，设(t)=t 1 t ln t(t 1)，则(t)=ln t 0，所以(t)在(1,+)上单调递减，则(t)(1)=0，故 h(t)在(1,+)上单调递减，于是 h(t+1)h(t)，即 ln(1+t)t ln tt 1 成立，从而可得 x1+x2 0 且 a 1）.例 7.75 已知 0，对任意的 x (0,+)，不等式 e

569、2x ln x2 0 恒成立，则 的最小值为.解 易知函数 y=e2x 的反函数为 y=ln x2，对称轴为 y=x，则原不等式等价于 e2x x 恒成立，所以 2 ln xx恒成立，即 12e.例 7.76 已知 t 0，对任意的 x (0,+)，不等式 e2tx ln 2+ln xt 0 恒成立，则 t 的取值范围为.例 7.77【2020 山东改编】对任意的 x (0,+)，不等式 aex1 ln x+ln a 1 恒成立，则 a 的取值范围为.解 原不等式化为不等式 aex1 ln xa+1 恒成立，易知函数 y=aex1 的反函数为 y=ln xa+1，对称轴为 y=x，则原不等式等

570、价于 aex1 x 恒成立，即 a xex1 恒成立，即 a 1.第 297 页例 7.78 对任意的 x (2,+)，不等式 aex+ln a 2+ln(x+2)恒成立，则 a 的取值范围为.解 原不等式化为不等式 aex 2 ln x+2a恒成立，易知函数 y=aex 2 的反函数为 y=ln x+2a，对称轴为 y=x，则原不等式等价于 aex 2 恒成立，即 a x+2ex恒成立，即 a e.例 7.79 若 x1 满足 2x+2x=5，x2 满足 2x+2 log2(x 1)=5，则 x1+x2=.解 依题意，2x=5 2x，2 log2(x 1)=5 2x，即 2x1=52 x，l

571、og2(x 1)=52 x，函数y=2x1，y=log2(x 1)分别是由函数 y=2x，y=log2 x 向右平移一个单位得到的，由反函数定义可得它们的图象关于直线 y=x 1 对称.故直线 y=52 x 和 y=x 1 的交点的横坐标即为 x1+x2 的一半，答案为 72.推论 7.5.函数 y=ex a,(x 0)和 y=ln(x+a),(x 0)互为反函数.例 7.80 证明：当 x 0 时，(ex 1)ln(x+1)x2.证 易知 x=0 时等号成立；当 x 0 时采用隔离放缩方法，由泰勒展开式得到启发，得到 ex 1 x+12 x2=x(x+2)2，故只需证明 ln(x+1)2xx

572、+2，令 g(x)=ln(x+1)2xx+2(x 0)，利用求导易知 g(x)单调递增，故g(x)g(0)=0，故 ln(x+1)2xx+2，于是(ex 1)ln(x+1)x2.综上可知当 x 0 时，(ex 1)ln(x+1)x2.推论 7.6.函数 y=ex1 和 y=1+ln x 互为反函数.例 7.81 已知函数 f(x)=ex 1 x ax2.(1)当 x 0 时，恒有 f(x)0，求 a 的取值范围；(2)证明：当 x 1 时，ex(1+ln x)ex2.第 298 页解(1)见第 301 页例 7.88.(2)解法一 由(1)知 ex 1+x+12 x2，故 ex1 x+12(x

573、 1)2，又 ex(1+ln x)ex2 ex1 x21+ln x，故只需证明：x (1,+)时，x2+12x21+ln x，即证：x (1,+)时，ln x x2 1x2+1，此即本书第 303 页不等式链(7.48).解法二 ex(1+ln x)ex2 ex1xx1+ln x，设 h(x)=ex1x，则 h(1+ln x)=x1+ln x，于是ex1xx1+ln x h(x)h(1+ln x)，易知 h(x)在(1,+)上单调递增，且当 x 1 时，1+ln x 1，故只需证明 x 1+ln x，此即本书第 301 页不等式(7.32).7.9.2同构换元解导数题例 7.82【2014 新

574、课标乙卷】设函数 f(x)=aex ln x+bex1x，曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y=e(x 1)+2.(1)求 a，b；(2)证明 f(x)1.解(1)a=1，b=2；(2)由(1)知 f(x)=ex ln x+2ex1x，从而f(x)1=ex ln x+1xex1+1xex1 1=ex 1ex+ln x+1x(ex1 x)设 g(x)=xe ln x，则 f(x)1=exg1x+1xg(ex)，求导易知 g(x)在(0,+)的最小值为 g(e)=0，所以 g(x)0，等号当且仅当 x=e 时成立.由于 1x 和 ex 不同时为 e，所以 exg1x+1xg(ex

575、)0，即 f(x)1.预备知识1.函数 y=x+ln x 在(0,+)单调递增，值域为(,+)；2.函数 y=xex 在(0,+)单调递增，值域为(0,+)；3.ex x+1(x R)，当且仅当 x=0 时等号成立例 7.83 证明不等式 1xex+x+ln x 1.解法一 令 t=x+ln x(t R)，则 1xex=e(x+ln x)=et，于是1xex+x+ln x 1 et+t 1 et (t)1 0阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 299 页由预备知识 3 知其显然成立，于是命题得证.解法二 令 t=xex(t 0)，则 ln t=ln(xex)=x+ln x，于是1

576、xex+x+ln x 1 1t+ln t 1 eln 1t ln 1t 1 0由预备知识 3 知其显然成立，于是命题得证.例 7.84 讨论函数 f(x)=xex a(x+ln x)的零点个数.解 令 t=xex(t 0)，则 ln t=ln(xex)=x+ln x，由预备知识 2 知函数 y=xex 在(0,+)单调递增，所以函数 f(x)=xex a(x+ln x)的零点个数 t a ln t=0 的根的个数 1a=ln tt的根的个数 直线 y=1a 与曲线 y=ln tt的交点个数，于是当 0 a e 时，f(x)有两个零点；当 a=e 或 a 0)(7.32)ex x+1(7.33)

577、例 7.88【2010 理科全国卷】已知 f(x)=ex 1 x ax2.(1)若 a=0，求 f(x)的单调区间；(2)若当 x 0 时 f(x)0，求 a 的取值范围.解(1)f(x)在(,0)内单调递减，在(0,+)内单调递增；(2)f(x)=ex 1 2ax，由(1)知 ex 1+x，当且仅当 x=0 时等号成立，故f(x)x 2ax=(1 2a)x(7.34)从而当 1 2a 0，即 a 12 时，f(x)0，而 f(0)=0，于是当 x 0 时 f(x)0.由 ex 1+x 可得 ex 1 x，从而当 a 12 时，f(x)ex 1+2a(ex 1)=ex(ex 1)(ex 2a)

578、(7.35)故当 x (0,ln 2a)时，f(x)0，而 f(0)=0，于是当 x (0,ln 2a)时，f(x)0.综上可得 a 的取值范围是,12.由式(7.32)知 ln x 0)(7.37)式(7.32)中 x 1x 知ln x 1 1x,(x 0)(7.38)知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 301 页由式(7.32)可得 ln x 1x 1，它和式(7.32)相加可得，ln x 12x 1x,(x 1)(7.39)对式(7.38)积分，x ln x x x ln x+C，取零点 x=1 知 C=2，故x ln x x x ln x 2 ln x 2(x 1)x+1

579、,(x 1)(7.40)式(7.39)中 x ex 知ex ex 2x 0,(x 0)(7.41)式(7.37)中 x ex 知e2x ex x 0(7.42)式(7.33)中积分知ex 1+x+12 x2,(x 0)(7.43)式(7.43)中 x x 1 知ex ex+12(x 1)2 ex+12(x 1)2,(x 0)(7.44)式(7.36)知ln x 1e x x2(7.45)7.10.2换汤不换药我们熟知正切双曲函数 y=ex 1ex+1 的一条切线方程为 y=12 x，所以我们可得当 x 0 时，有ex 1ex+1 0(7.46)当 x 12 x ex(x 2)+(x+2)0 时

580、，由 f(x)ax 知，a ex exx=g(x)，求导可得g(x)=e2x(x 1)+(x+1)exx2(x 0)，由式(7.46)易知 g(x)0，第 302 页 a limx0+ex exx=ex exx=0=2，所以 a 的取值范围是(,2.当 x (1,+)时，有x2 1x2+1 2(x 1)x+1 ln x x 1x 12(x 1x)(7.48)当 x (0,1)时，有12(x 1x)x 1x ln x 2(x 1)x+1 x2 1x2+1(7.49)例 7.90 本书第 286 页例 7.60.当 x (0,+)时，由式(7.48)有ln(1+x)1+x 11+x=x1+x(7.

581、51)例 7.91【湖南改编】已知 f(x)=ln2(1+x)x21+x，求 f(x)的单调区间.解 f(x)=2 ln(1+x)1+x x(x+2)(1+x)2，当 x (1,0)时，由式(7.51)有f(x)=2 ln(1+x)1+x x(x+2)(1+x)2 21+x x1+x x(x+2)(1+x)2=2x1+x x(x+2)(1+x)2=x(1+x 1)2(1+x)2 0当 x (0,+)时，由式(7.50)有 f(x)1,n N).例 7.92【2022 甲卷理】已知 a=3132，b=cos 14，c=4 sin 14，则()(A)cba(B)bac(C)abc(D)acb解 在

582、不等式 cos x 1 x22!中，令 x=14，可得 b a，又因为当 x 0,2时，不等式 x tan x恒成立，令 x=14，可得 b kx+x33对 x (0,1)恒成立，求 k 的最大值.解 将式(7.52)中的 x 换成 x，得到ln(1 x)=x x22 x33 xnn ,x (1,1)(7.58)第 304 页(7.52)(7.58)得ln 1+x1 x=2x+x33+x55+x2n12n 1+(7.59)当 x (0,1)时，显然有 ln 1+x1 x 2x+x33，故 k 2.而 k 2 只是一个使 ln 1+x1 x kx+x33成立的充分条件，因此需证 k 2 不符合题

583、意，这个问题的思路就形成了.例 7.94 设实数 k 使得 ex ex k(x+x36)对 x (0,+)恒成立，求 k 的最大值.解 将式(7.53)中的 x 换成 x，得到ex=1 x+x22!x33!+x44!+(x)nn!+(7.60)(7.53)(7.60)得ex ex=2(x+x33!+x55!+x2n1(2n 1)!+)(7.61)显然有 ex ex 2(x+x33!)，故 k 2.而 k 2 只是一个使 ex ex k(x+x36)成立的充分条件，因此需证 k 2 不符合题意，这个问题的思路就形成了.例 7.95【2021 八省联考改编】已知 g(x)=ex+sin x+cos

584、 x，若 g(x)2+ax，求 a.解 将式(7.53)，(7.54)，(7.55)相加并舍弃高阶无穷小进行放缩可得 ex+sin x+cos x 2x+2，所以 a=2.7.12经典正弦不等式推论 7.7.切割线放缩：如图 7.30，当 x 0,2时，不等式 2 x sin x x tan x 恒成立；且函数 sin xx单调递减.推论 7.8.如图 7.31，函数 f(x)=sin xx没有最大值，值域为 23,1，有无数个零点 k(k Z,k 0)，当 x +时，f(x)0.例 7.96 关于函数 f(x)=sin xx，下列命题中的真命题有.业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第

585、305 页图 7.30图 7.311 f(x)为偶函数；2 f(x)的最大值为 f(0)；3 f(x)为周期函数；4 f(x)在(0,)上单调递减；5 当 0 x 2 时，f(x)2；6 limnf(n)=0(n N).解146变式训练 EXERCISES59.【江西高考】当 x 0,2时，下列不等式成立的是()(A)sin x 2 x(C)sin x 3 x60.【福建高考】设 a=sin 1，b=5 sin 15，c=3 sin 13，则()(A)a b c(B)c b a(C)a c b(D)b a c61.【湖北高考】当 x 0,2时，则()(A)2x 3 sin x(B)2x 3 s

586、in x(C)2x=3 sin x(D)与 x 的取值有关62.【河北竞赛】当 x (0,1 时，下列不等式正确的是()(A)sin xxsin xx2 sin x2x2(B)sin xx2 sin xx sin x2x2(C)sin xx2 sin x2x2 sin xx(D)sin x2x2sin xx2 sin xx7.13导数零点问题7.13.1指数函数与分式函数乘积例 7.97【2015 新课标 I 卷理科】设函数 f(x)=ex(2x 1)ax+a，其中 a 1，若存在唯一的整数 x0，使得 f(x0)0，故只需考虑 x 1 的情况.(i)存在唯一的整数 x0 (,1)，使得 f(

587、x0)0 等价于存在唯一的整数 x0 (,1)，使得a ex0(2x0 1)x0 1，设 g(x)=ex(2x 1)x 1(x 1)，则 g(x)=ex(2x2 3x)(x 1)2，故当 x 0，当 0 x 1 时，g(x)0，所以 g(x)在(,0)单调递增，在(0,1)单调递减，可得 g(x)的大致图像如图 7.32 所示，故存在唯一的整数 x0 (,1)，使得 f(x0)0 等价于 g(1)a g(0)，即图 7.3232e a 1.(ii)存在唯一的整数 x0 (1,+)，使得 f(x0)ex0(2x0 1)x0 1，设 g(x)=ex(2x 1)x 1(x 1)，则 g(x)=ex(

588、2x2 3x)(x 1)2，故当 1 x 32 时，g(x)32 时，g(x)0，所以 g(x)在1,32单调递减，在32,+单调递增，而g32=4e32 1，由于 a 1，故不存在整数 x0 (1,+)使得 f(x0)0.综上 a 的取值范围是 32e,1，选 D.例 7.98【2016 全国卷 I 理科】函数 f(x)=(x 2)ex+a(x 1)2 有两个零点.(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点，证明:x1+x2 2.解(1)方法一：由于 x=1 不是 f(x)的零点，当 x 1 时，a(x 1)=(2 x)exx 1，设g(x)=(2 x)exx 1

589、，g(x)=exx 322+34(x 1)2 0，函数 g(x)的单调递减区间(,1)，(1,+)，当x 1 时，g(x)1 时，g(x)R，函数 y=a(x 1)的图像表示斜率为 a 过(1,0)的直线，要使函数 f(x)=(x 2)ex+a(x 1)2 有两个零点，则函数 y=a(x 1)和函数 y=g(x)的图像必有两个交点，则 a 0，如图 7.33.敏而好学，不耻下问。孔子第 307 页图 7.33图 7.34图 7.35方法二：由于 x=1 不是 f(x)的零点，参变分离，设 h(x)=(2 x)ex(x 1)2，则 h(x)=(x2 4x+5)ex(x 1)3，从而当 x (,1

590、)时，h(x)0；当 x (1,+)时，h(x)0 时，直线 y=a 与曲线 y=h(x)有两个交点，所以 f(x)有两个零点，从而可得 a 的取值范围为(0,+).(2)不妨设 x1 x2，因为 f(x1)=f(x2)，可知 x1 1 x2，且 2 x2 (,1)，f(x)在(,1)单调递减，所以 x1+x2 f(2 x2)，即 f(2 x2)1 时 g(x)1 时 g(x)0，从而 g(x2)=f(2 x2)0，故x1+x2 0 时，(x 2)ex+x+2 0.解 求导得 f(x)=x2ex(x+2)2(x 2)，则 f(x)在(,2)和(2,+)上均为递增函数，如图7.35 所示，所以

591、f(x)f(0)=1，即 x 2x+2ex 1，即(x 2)ex+x+2 0.7.13.2虚设零点我们在求解某些导数压轴题时，经常会碰到导函数具有零点，但求解相对比较繁杂甚至无法求解的情况，此时可以将这个零点只设出来而不必求出，然后谋求一种整体的转化或过渡，再结合其它条件，从而最终获得问题的解决.例 7.100【2013 新课标 II 理科】已知函数 f(x)=ex ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；第 308 页(2)当 m 2 时，证明：f(x)0.解法一(1)m=1，f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增；(2)当

592、m 2，x (m,+)时，ln(x+m)ln(x+2)，故只需证明当 m=2 时，f(x)0.当 m=2 时，函数 f(x)=ex 1x+2 在(2,+)上单调递增，又 f(1)0，故f(x)=0 在在(2,+)上有唯一实根 x0，且 x0 (1,0)，从而 f(x)min=f(x0)，由 f(x0)=0 得ex0=1x0+2 x0=ln(x0+2)(7.64)故f(x)f(x0)(7.64)=1x0+2+x0=(x0+1)2x0+2 0综上，当 m 2 时，f(x)0.解法二(2)先证 ex x+1，不等式两边取对数，得 x ln(x+1)，此不等式仅当 x=0 时取等号，所以ex ln(x

593、+m)ex ln(x+2)=(ex x 1)+x+1 ln(x+2)0.例 7.101 已知函数 f(x)=exa，x y 1=0 是曲线 y=f(x)的一条切线.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明:f(x)ln x 0.解(1)设直线与曲线切于点(x0,ex0a)，f(x)=exa,ex0a=1ex0a=x0 1x0=2a=2，f(x)=ex2；(2)令 h(x)=ex2 ln x,h(x)=ex2 1x 在(0,+)上单调递增,又 h(1)0，h(x)=0 在(0,+)上有唯一实根 x0,且 x0 (1,2),当 x (0,x0)时,h(x)0,从而当 x=x0 时,h(x)取得极小值

594、,也是最小值.由 h(x0)=0 ex02=1x0 x0 2=ln x0,故 h(x)h(x0)=ex02 ln x0=1x0+x0 2 21x0 x0 2=0.所以 h(x)0 即 f(x)ln x 0.例 7.102 函数 f(x)=ex 1 ln(x a).(1)若函数 f(x)在点(2,f(2)处的切线过点(1,0),求 a 的值；海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 309 页(2)若不等式 f(x)0 在定义域上恒成立,求 a 的取值范围.解(1)依题意,f(2)=e2 1 ln(2 a)，f(x)=ex 1x a，f(2)=e2 12 a,故函数 f(x)在点(2,f(2

595、)处的切线方程为 y e2 1 ln(2 a)=e2 12 a(x 2),又 0 (e2 1 ln(2 a)=e2 12 a(1 2)ln(2 a)+1=12 a,令 2 a=t ln t+1 1t=0,设 g(t)=ln t+1 1t g(t)=1t+1t2 0,故 g(t)在(0,+)上单调递增.又 g(1)=1+ln 1 11=0,故 2 a=1,解得 a=1.(2)由题可知 x a,设 h(x)=f(x)=ex 1x a，h(x)=ex+1(x a)2 0,故 f(x)在(a,+)上单调递增.又 x a 时,f(x)；当 x +时,f(x)+,故 f(x)=0 在(a,+)上有唯一实数

596、根 x0,当 x (a,x0)时,f(x)0,所以f(x)min=f(x0)=ex0 1 ln(x0 a)(7.65)又由 f(x0)=0 可知ex0=1x0 a x0=ln(x0 a)(7.66)由(7.65)，(7.66)两式可知f(x)f(x0)=ex0 1 ln(x0 a)=1x0 a+x0 a+a 1 2+a 1 0 a 1故 a 的取值范围为(1,+).7.13.3含三角的导数问题一、含三角的导数零点问题关键词寻找废区间，五点中的横坐标，有界或不等式放缩.例 7.103【2019 理科 I 卷】已知函数 f(x)=sin x ln(x+1)，f(x)为 f(x)的导数，证明：(1)

597、f(x)在区间1,2存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有 2 个零点.第 310 页证(1)设 g(x)=f(x)=cos x 11+x，则 g(x)=sin x+1(1+x)2，当 x 1,2时，g(x)单调递减，而 g(0)0，g 2 0，可得 g(x)在1,2上有唯一零点，设为，所以 g(x)在(1,)上单调递增，在,2上单调递减，故 f(x)在区间1,2存在唯一极大值点；(2)分析：通过极限思想可知当 x +时，f(x)0，f()=0 ln(+1)1，故 f(x)=sin x ln(x+1)0，f(x)无零点；（废区间）2当 x (1,0 时，由(1)知 f(x)在(1,0)上单调

598、递增，而 f(0)=0，所以当 x (1,0)时，f(x)0，故 f(x)在(1,0)上单调递减，又 f(0)=0，从而 x=0 是 f(x)在(1,0 上的唯一零点；3当 x 0,2时，由(1)知 f(x)在(0,)上单调递增，在,2上单调递减，又 f(0)=0，f 2 0，所以当 x 0,2时，f(x)无零点；4当 x 2,时，f(x)0，f()0，所以当 x 2,时，f(x)有唯一零点；综上，f(x)有且仅有 2 个零点.例 7.104 已知函数 f(x)=ln x x+2 sin x.(1)证明：f(x)在区间0,2存在唯一极值点；(2)讨论 f(x)零点个数.证(1)f(x)=1x

599、1+2 cos x，设 g(x)=f(x)，则 g(x)=1x2 2 sin x 0，f 2=2 1 0，所以存在唯一的 x0，使得 f(x0)=0，且 f(x)在(0,x0)上单调递增，在x0,2上单调递减，故 f(x)在区间0,2存在唯一极大值点 x0；(2)分析：通过极限思想可知当 x +时，f(x)1 2 2+2 0，f()=ln 0，推测 f(x)在 的右侧恒为负.穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 311 页1当 x ,2)时，sin x 0，记 h(x)=ln x x，h(x)=1x 1 0，所以 h(x)在区间,2)单调递减，又 h()=ln 0，所以 f(x)=1x 1+2

600、cos x 在区间,2)恒为负数，故无零点；（废区间）2当 x 2,+)时，f(x)=ln x x+2 sin x ln x x+2，记h(x)=ln x x+2(x 2,+)，h(x)=1x 1 0，所以 h(x)在区间 2,+)单调递减，又 h(2)=ln(2)2+2 2e 2+2 f2 0，又f(x)=ln x x+2 sin x f(x)=ln x x+2x=ln x+x x 1+x=0 x=12故 f12=ln 12 12+2 sin 12 12 1 12+2 12=0，所以当 x 0,2时，f(x)有唯一零点；4当 x 2,时，f(x)0，f()0，f(x)在0,2上单调递增；3当

601、 x (,0)时，f(x)0，易知 g(0)=0，g2=e2 0 e 2 0，推测 f(x)在 的右侧恒为正.第 312 页1当 x 2,+时，g(x)=ex+sin x 2 e2 1 2 e 2 3 0，所以 g(x)在2,+上单调递增，又 g2 0，所以 g(x)在2,+上无零点；（废区间）2当 x 2,0时，g(x)=ex+sin x 2=(ex 1)+(sin x 1)g(0)=0，故 g(x)在2,0上无零点；3当 x 0,2时，因为 g(x)单调递增，且 g(0)=1 0，所以存在x0 0,2，使得 g(x0)=0，当 x 0,x0)时，g(x)单调递减，当 x x0,2时，g(x

602、)单调递增，且 g(0)=0，故 g(x0)时，h(x)=(sin x+cos x)ex 2 e 2 时，n(x)=ex(a 2 cos x)0，则 n(x)在 R 上单调递增，又 n(0)=2 a 0，所以存在 x0 (0,+)，使得 n(x0)=0，故当 x x0 时，m(x)单调递增，则 m(x0)m(0)=0，即 g(x0)ax0+2，矛盾；读书破万卷，下笔如有神。杜甫第 313 页3当 a，使得在 x0,x0 上 n(x)0，则 n(x)在 x0,x0 上单调递减，又n(0)=2 a 0 时，所以 m(x)在 x0,0 上单调递增，则 m(x0)m(0)=0，即g(x0)0，所以 f

603、(x)无零点；2当 a 0，f(x)单调递增，又 f(0)=1 0，且当 x 0 时f(x)=ex ax e0 ax=0 x=1a(7.67)故 f1a=e1a 1 0 时，方程 f(x)=0 的根为 x=ln a，易知 f(x)在(,ln a)单调递减，在(ln a,+)单调递增，且 f(x)min=f(ln a)=a(1 ln a)，1 当 0 a 0，所以 f(x)无零点；2 当 a=e 时，f(x)有唯一零点 x=1；3 当 a e 时，f(ln a)0，所以存在 x1 (0,ln a)，使得 f(x1)=0；当x ln a 时f(x)=ex ax x2 ax=0 x=a(7.68)故

604、 f(a)=ea a2 a2 a2=0，所以存在 x2 (ln a,a)，使得 f(x2)=0，即存在唯一零点.综上，当 a 0 或 a=e 时，1 个零点；当 0 a e 时，2 个零点.注 式子(7.67)，(7.68)用到了有界放缩和不等式 ex x2(x 0)放缩.例 7.108【2012 新课标理科卷】已知函数 f(x)满足 f(x)=f(1)ex1 f(0)x+12 x2.(1)求 f(x)的解析式及单调区间；(2)若 f(x)12 x2+ax+b，求(a+1)b 的最大值.第 314 页解(1)f(x)=ex x+12 x2，f(x)在(,0)单调递减，在(0,+)单调递增；(2

605、)由已知条件得 ex (a+1)x b，设 g(x)=ex (a+1)x，则 g(x)=ex (a+1)，1若 a+1 0，进而 g(x)单调递增，则对任意常数 b，当 x 0 时，ex (a+1)x 1 (a+1)x，令 1 (a+1)x=b，解得 x=1 ba+1，故当 x 1 ba+1 时，可得 ex (a+1)x 0，则 g(x)在(,ln(a+1)单调递减，在(ln(a+1),+)单调递增，故 g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1 (a+1)ln(a+1)所以 f(x)12 x2+ax+b，等价于b a+1 (a+1)ln(a+1)(7.69)因此(a+1)b (a+1)2 (

606、a+1)2 ln(a+1)设 h(a)=(a+1)2 (a+1)2 ln(a+1)，则 h(a)=(a+1)1 2 ln(a+1)，所以 h(a)在(1,e12 1)单调递增，在(e12 1,+)单调递减，故 h(a)有最大值h(a)e2 (a+1)b e2当 a=e12 1，b=e122 时，式(7.69)成立，故 f(x)12 x2+ax+b.综合得(a+1)b 的最大值为 e2.例 7.109【2018 年 I 卷】已知函数 f(x)=ex ax2.(1)若 a=1，证明：当 x 0 时，f(x)1；(2)若 f(x)在(0,+)只有一个零点，求 a.解(1)当 a=1 时，f(x)1

607、等价于(x2+1)ex 1 0，设函数 g(x)=(x2+1)ex 1，则g(x)=(x2 2x+1)ex=(x 1)2ex.当 x 1 时，g(x)0，h(x)没有零点；君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 315 页(ii)当 a 0 时，h(x)=ax(x 2)ex，易知 h(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，故 h(2)=1 4ae2 是 h(x)在 2,+)的最小值.1若 h(2)0，即 a e24，h(x)在(0,+)没有零点；2若 h(2)=0，即 a=e24，h(x)在(0,+)只有一个零点；3若 h(2)e24，由 h(0)=1，所以 h(x)在(0,2)

608、有一个零点，由(1)知当 x 0时，ex x2，所以h(4a)=1 16a3e4a=1 16a3e2a2 1 16a3(2a)4=1 1a 0(7.70)故 h(x)在(2,4a)有一个零点，因此 h(x)在(0,+)有两个零点，综上，f(x)在(0,+)只有一个零点时，a=e24.例 7.110【2021 新高考 II 卷】已知函数 f(x)=(x 1)ex ax2+b，从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点.1 12 2a；2 0 a 12，b 2a.证 选 2，求导易知，f(x)=x(ex 2a)，当 0 a 2a(ln 2a 1)a ln2 2a+2a=a(2 ln 2a)l

609、n 2a x+1 在(0,+)上成立，当 x 1 时，f(x)=(x 1)ex ax2+b(x 1)(x+1)12 x2+b=12 x2 1+b则 x 1 且 x 2 2b 时有 f(x)0，又 f(x)在(0,+)上递增，且 f(0)=b 1 2a 1 0，则 f(x)在(0,+)上有唯一零点.例 7.111 讨论函数 f(x)=ln x ax 的零点个数.第 316 页解 依题意 f(x)=1x a=1 axx，1当 a=0 时，f(x)=ln x，所以 f(x)有唯一零点 x=1；2当 a 0，所以 f(x)在(0,+)单调递增，又 f(1)=a 0，且当 0 x 1时，由 ln x x

610、 1 可得f(x)=ln x ax x 1 ax=0 x=11 a(7.71)故 f11 a=ln11 a 11 a 11 a 1 11 a=1 0 时，f(x)在0,1a单调递增，在1a,+单调递减，所以 f(x)max=f1a=ln 1a 1，1 当 a=1e 时，f(x)有唯一零点 x=e；2 当 a 1e 时，f(x)无零点；3 当 0 a 0，因为 f(1)0，且当 x 1 时，f(e)=1 ae 0ln x 1e x 12 x ln x 1)(7.72)故f(x)=ln x ax x ax=0 x=1a2(7.73)故 f 1a2=ln 1a2 1a 1e 时，无零点；当 0 a

611、0 时，f(x)0，所以 f(x)在(0,+)单调递增，又 f(1)=a 1 时，三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 317 页由 ln x 1 1x 可得f(x)=ln x ax 1 1+ax=0 x=a+1(7.74)故 f(a+1)=ln(a+1)aa+1 1 1a+1 aa+1=0，所以存在 x0 (1,a+1)，使得f(x0)=0，即存在唯一零点；3当 a 0 时，f(x)在(0,a)单调递减，在(a,+)单调递增，所以f(x)min=f(a)=ln(a)+1，1 当 a=1e 时，f(x)有唯一零点 x=1e；2 当 a 1e 时，f(x)无零点；3 当 1e a 0 时，f

612、(a)0，由ln x2 x 1x(0 x a 1a 1a=a 0(7.76)所以存在 x1 (a2,a)，x2 (a,1)，使得 f(x)=0，即存在两个零点；综上，当 a 0 或 a=1e 时，1 个零点；当 a 1e 时，无零点；当 1e a 0 时，2 个零点.7.14母不等式与数列求和7.14.1不等式短边为数字例 7.113 已知函数 f(x)=ex x(x R)，g(x)=x sin x(x 0,+).(1)分别求出 f(x)，g(x)的最小值；(2)求证：1+sin 12 1+sin 122 1+sin 123 1+sin 12n 0 时，ex x+1；x sin x，第 318

613、 页当 n N 时，0 12n 12,0 1+sin 12n 1+12n e12n，于是1+sin 12 1+sin 122 1+sin 123 1+sin 12n e12 e122 e123 e12n=e12+122+12n=e1 12n e例 7.114 已知函数 f(x)=ln(1+x).(1)求证：当 x (0,+)时，x1+x f(x)x；(2)证明：e 1+1n2 1+2n2 1+nn2 e(n N).证(1)略；(2)由(1)知 ln(1+x)x 对 x (0,+)恒成立，所以ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn2 1n2+2n2+nn2=1+2+nn2=n+12n=12

614、+12n 12+12 1=1所以1+1n2 1+2n2 1+nn2x1+x 对 x (0,+)恒成立，所以 ln1+kn2kn21+kn2=kn2+k，所以ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn21n2+1+2n2+2+nn2+n 1n2+n+2n2+n+nn2+n=1+2+nn2+n=12所以1+1n2 1+2n2 1+nn2 e.综上，e 1+1n2 1+2n2 1+nn2 e.例 7.115 已知函数 f(x)=ln x kx+1.(1)若 f(x)0 恒成立，求实数 k 的取值范围；(2)证明：1+122 1+132 1+1n2 1).人生的价值，并不是用时间，而是用深度量去衡量

615、的。第 319 页解(1)k 1,+)；(2)由(1)可知 ln1+1n2 1n2 1n2 1=121n 1 1n+1，所以ln1+122+ln1+132+ln1+1n2 122+1212 14+1n 2 1n+1n 1 1n+1=14+1212+13 1n 1n+1 14+1212+13=23即1+122 1+132 1+1n2 1).例 7.116【2017 新课标卷 III】已知函数 f(x)=x 1 a ln x.(1)若 f(x)0，求实数 a 的值；(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n，1+12 1+122 1+12n m，求 m 的最小值.解(1)a=1；(2)利用不等式

616、ln x x 1 即可得ln1+12+ln1+122+ln1+12n 12+122+12n=1 12n 1，即有1+12 1+122 1+12n1+12 1+122 1+123=13564 2.故当 n 3 时，1+12 1+122 1+12n(2,e)，综上 m 的最小值为 3.7.14.2不等式短边含 n例 7.117 已知函数 f(x)=x ln x+ax+1(a R).(1)若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：当 x 1 时，2 ln x x 1x；(3)若 n N，求证：n2n+4 (ln 2)2+(ln 32)2+(ln n+1n)2 1(

617、n+2)(n+1)=1n+1 1n+2(7.77)第 320 页由(1)不等式 1 1x 1(n+1)2，而1(n+1)2 1(n+2)(n+1)，对式子(7.77)累加即可得证；R.H.S.只需证明ln n+1n21n(n+1)=1n 1n+1(7.78)由(2)知 2 ln x x 1x，令 x=n+1n，可得2 lnn+1nn+1nnn+1=1n(n+1)ln n+1n ln(n+1)+n2(n+1)(n N).证 此不等式是前 n 项和 VS 含 n 型，我们采用 阶差法求出其通项公式，然后比较大小，即证明1n 121n 1n+1+ln1+1n ln1+1n 121n+1n+1即ln

618、x 12x 1x ln(1+x)121+x 11+x=12x+xx+1于是 ln(1+x)12x+xx+1，令 x=1n，可得ln1+1n 121n+1n1n+1=121n+1n+1例 7.119 已知函数 f(x)=(x+1)ln(x+1)x.(1)当 x 0 时，f(x)0，求 的最大值；(2)设 n N，证明：1 12+13 14+12n 1 12n 0 时，(x+1)ln(x+1)x，由不等式 ln(1+x)x1+x 稍作变形可得(x+1)ln(x+1)x x+1xxx+1=1，故 的最大值为 1；(2)由(1)知 ln(1+x)x1+x，令 x=1n，即1n+1 ln(n+1)ln

619、n，进而人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 321 页1n+2 ln(n+2)ln(n+1)，12n ln(2n)ln(2n 1)，故1 12+13 14+12n 1 12n=1+12+13+14+12n 1+12n 212+14+12n=1+12+13+14+12n 1+12n11+12+1n=1n+1+1n+2+12n ln(n+1)(n N).证 此不等式是前 n 项和 VS 含 n 型，我们采用 阶差法求出其通项公式，然后比较大小，即证明1n2+n ln1+1n令 x=1n，可得ln(1+x)x1+x=x+1 11+x=x+1 1x+1母不等式 ln x 1)，

620、112+1 ln 2 ln 1,122+2 ln 3 ln 2,1n2+n ln(n+1)ln n累加即得112+1+122+2+1n2+n ln(n+1).例 7.121 若 n N，且 n 2，求证：12+13+1n ln n 1 时，f(x)xx+1.证 第一步（取倒数）式(7.79)两边取倒数得 ex 1x+1；第二步（改变不等式方向）：同乘以 1 得 ex 1x+1；第三步（变形整理）：在不等式两边+1 得 1 ex 1 1x+1=xx+1.即题目所证.例 7.123【2010 新课标卷改编】已知函数 f(x)=x(ex 1)ax2，若当 x 0 时，f(x)0，求 a的取值范围.解

621、 第一步（引入参数）得 ex ax+1；第二步（包装）：同乘以 x 得 xex ax2+x；第三步（变形整理）：得 x(ex 1)ax2 0，从而题干函数设置为 f(x)=x(ex 1)ax2.例 7.124【2017 全国 II 卷改编】已知函数 f(x)=(1 x2)ex，若当 x 0 时，f(x)ax+1，求 a的取值范围.解 第一步（替换）式(7.79)中 x 替换 x 得 ex x+1；第二步（包装）：同乘以(1+x)ex 得(1 x2)ex x+1；第三步（引入参数）：当 x 0 时，(1 x2)ex ax+1，所以 a 1.例 7.125【2018 全国 III 卷改编】已知 f

622、(x)=ax2+x 1ex，证明当 a 1 时，f(x)+e 0.证 第一步（替换）：式(7.79)中 x+1 替换 x 得 ex+1 x+2；第二步（包装）：同时加 x2+x 1 得 x2+x 1+ex+1 x2+2x+1=(x+1)2 0；第三步（引入参数）：当 a 1 时，ax2+x 1+ex+1 x2+2x+1=(x+1)2 0；谁要游戏人生，他就一事无成。第 323 页第四步（变形整理）：同除以 ex，即 ax2+x 1ex+e 0.二、基于 ln x x 1 命制的高考题例 7.126【2016 全国 III 卷改编】已知函数 f(x)=ln x x+1，证明当 x 1 时，1 x

623、 1ln x 1 时，式(7.81)两边同除以 ln x 即得不等式1 x 1ln x；式(7.81)中用 1x 替换 x 得 ln 1x 1x 1，也即 ln x 1 xx，通过整理可得 x 1ln x 1.证 第一步（变形）：式(7.80)变为 1ex 1ex，式(7.82)中 1x 替换 x 得变为 ln x 1ex，第 324 页第二步（合并）：两式相加得 1ex ln x 2ex；第三步（整理）：两边乘以 ex 时，1 ex ln x 2x(7.83)例 7.132【2022 新高考 II 卷改编】已知函数 f(x)=xeax ex，当 x 0 时，f(x)ex，两边乘以 ex，e2

624、x 2xex 1；第二步（引入参数）：可得 2xeax e2x 0，易知F(x)min=F(1)=e 2，据此可以命制如下试题例 7.133 已知函数 f(x)=ex x2 ax 1，若 x 0，都有 f(x)0，求实数 a 的取值范围.解 a 0，易知H(x)min=H(1)=e 74，据此可以命制如下试题例 7.135 已知函数 f(x)=ex 14 x3 12 x2 ax 1，若 x 0，都有 f(x)0，求实数 a 的取值范围.解 a e 74.二、基于 f(x)=exx2 命制的考题设 f(x)=exx2，则 f(x)=ex(x 2)x3，1 为了嵌入式(7.79)，可以构造一个导函

625、数F(x)=(x 2)(ex 1 x)x3=ex(x 2)x31x 1x2 2x3取原函数 F(x)=exx2 ln x+1x+1x2，对于 F(x)，其两部分的极值点相同，都为 2，若 x 0，易知F(x)min=F(2)=e24 34 ln 2 0.404 0，由 F(x)=exx2 ln x+1x+1x2 0 ex x 1 x2 ln x，据此可以命制如下试题例 7.136 已知函数 f(x)=ex x 1，g(x)=x2 ln x，证明：f(x)g(x).2 为了嵌入式 ex x，可以构造一个导函数 G(x)=1x3(x 2)(ex x)=ex(x 2)x31x 2x2取原函数 G(x

626、)=exx2 ln x+2x，对于 G(x)，若 x 0，易知 G(x)min=G(2)=e24 ln 2 1，据此可以命制如下试题例 7.137 证明：当 x 0 时，ex 2x x2 ln x.2 为了嵌入式(7.85)，可以构造一个导函数G(x)=1x3(x 2)ex 1 x 12 x2=ex(x 2)x312 1x2 2x3取原函数G(x)=exx2 12 x+1x+1x2，对于 G(x)，若 x 0，易知 G(x)min=G(2)=e2 74，据此可以命制如下试题第 326 页例 7.138【2020 高考 I 卷改编】已知函数 f(x)=ex+ax2 x，若 x 0，都有 f(x)

627、12 x3+1，求实数 a 的取值范围.解 a e2 74.好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰。都德第 327 页第八章排列组合与概率8.1排列组合方程组解法例 8.1 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，经过 5 次跳动，质点落在点(3,0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种.解 依题意，设正方向跳动 x 次，负方向跳动 y 次，则x+y=5x y=3x=4y=1，所以共有C45=5 种情况例 8.2 设坐标平面内有一个质点从原点 O 出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1 个单位，设每次向左移动的概率为 13，

628、向右移动的概率为 23，经过 5 次跳动，质点落在点(3,0)（允许重复过此点）处的概率为解 依题意，设正方向跳动 x 次，负方向跳动 y 次，则x+y=5x y=3x=4y=1，所以向右跳动了 4 次，向左挑动了 1 次，由独立重复实验概率公式得 P=C15 234 13=80243.例 8.3 设坐标平面内有一个质点从原点 O 出发，沿 x 轴跳动，每次等可能地向左或向右跳 1 个单位，设质点到达位置的数字记为 X.(1)若该质点共移动 2 次，位于原点 O 的概率；(2)若该质点共移动 6 次，求该质点到达数字 X 的分布列和数学期望解(1)依题意，设正方向跳动 x 次，负方向跳动 y

629、次，则x+y=2x y=0 x=1y=1，所以向右跳动了 1 次，向左挑动了 1 次，由独立重复实验概率公式得 P=C12 12 12=12.(2)随机变量 X 可能取得的值为 6，4，2，0，2，4，6，按照(1)的做法可得E(X)=6 164+4 664+2 1564+0 2064+(2)1564+(4)664+(6)164=0328X6420246P164664156420641564664164例 8.4 楼梯共有 12 级，某人上楼，每步可以上一级，也可以上两级，要用 8 步走完这 12 级楼梯，共有种走法.解 依题意，设上一级的步数为 x 步，上两级的步数为 y 步，则x+y=8x

630、+2y=12x=4y=4，所以上一级的步数为 4 步，上两级的步数为 4 步，问题等价转化为：从“8”选“4”的问题，从而共有 C48=70 种方法.例 8.5 数列 an 共有 11 项，a1=0，a11=4 且|an+1 an|=1，n=1,2,3 ,10，满足这种条件的不同数列的个数有.解 依题意 4=a11=(a11 a10)+(a10 a9)+(a9 a8)+(a3 a2)+(a2 a1)，上面等式右边有 10 个括号，又因为|an+1 an|=1，所以，每个括号内的值或者为 1 或者为 1，而和为 4设和为 1 的有 x 个，和为 1 的有 y 个，则x+y=4x y=10 x=7

631、y=3，所以共有C310=120 种情况，每一种情况与所求的数列之间形成一一对应关系所以，共能组成 120 个数列变式训练 EXERCISES63.设坐标平面内有一个质点从原点 O 出发，沿 x 轴跳动，每次等可能地向左或向右 1 个单位，经过 6 次跳动，质点落在点(2,0)（允许重复过此点）处的概率为8.2环排涂色问题方法 8.1.将一个圆环分成 n(n 2)个扇形区域，现用 m(m 2)种不同颜色对这 n 个区域涂色，要求一个区域使用一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法是(m 1)n+(1)n(m 1)(8.1)证 从 A1 区域先涂色，可知 A1 区域有 m 种涂法，A2 区域

632、有 m 1 种涂法，A3 区域有 m 1 种涂法，An1 区域有 m 1 种涂法，An 区域有 m 1 种涂法，则不同的涂色方法有 m(m 1)n1种，但这里面会包含两种情况：(1)A1，An 区域不同色，设不同的涂色方法有 an 种.无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 329 页图 8.1(2)A1，An 区域同色，则不同的涂色方法有 an1 种.于是an+an1=m(m 1)n1(8.2)即an=an1+m(m 1)n1=an1+(m 1)+1(m 1)n1=an1+(m 1)n+(m 1)n1于是an (m 1)n=(1)an1 (m 1)n1(8.3)所以数列 an

633、 (m 1)n 是以 a2 (m 1)2=m(m 1)(m 1)2=m 1 为首项，公比为 1 的等比数列，故an (m 1)n=(m 1)(1)n2=(m 1)(1)n an=(m 1)n+(1)n(m 1)(8.4)例 8.6 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分(如图)，现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种(用数字作答).解 先对区域 1 进行涂色，有 4 种涂法，再对其它区域采用式(8.1)可得(3 1)4+(3 1)=18 种，故共有 4 18=72 种涂法.例 8.7 如图 8.2，将一个四棱锥的每一个面染一种

634、颜色，并使相邻两面不同色，如果有 5 种不同的颜色供选用，则不同的染色方法有种(用数字作答).解 先对底面进行涂色，有 5 种涂法，再对其它区域采用式(8.1)可得(4 1)4+(4 1)=84 种，故共有 5 84=420 种涂法.第 330 页图 8.2例 8.8 如图 8.3，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使一条棱上的两个端点不同色，如果有 5 种不同的颜色供选用，则不同的染色方法有种(用数字作答).解 先对 P 点进行涂色，有 5 种涂法，再对其它顶点采用式(8.1)可得(4 1)4+(4 1)=84 种，故共有 5 84=420 种涂法.例 8.9 如图 8.4，用 4 种不

635、同的颜色给图中 A，B，C，D 区域涂色，要求一个区域使用一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的染色方法有种(用数字作答).解 先对图中 A，B，C 采用环排，由式(8.1)可得(4 1)3 (4 1)=24 种，再可知区域 D 有 3 种涂法，故共有 24 3=72 种涂法.图 8.3图 8.4例 8.10 甲、乙、丙三人传球，由甲开始进行 5 次传球，又回到甲的方法数有种.解 我们把图 8.1 的每一个分隔符看成每一次传球，相当于用 3 种颜色去涂 5 个区域，由式(8.1)可得(3 1)5 (3 1)=30 种，但甲、乙、丙都有可能作为首位，所以总的传球方法为 30C13=10.例 8.1

636、1 甲、乙、丙、丁四人传球，由甲开始进行 4 次传球，又回到甲的方法数有种.解 我们把图 8.1 的每一个分隔符看成每一次传球，相当于用 4 种颜色去涂 4 个区域，由式(8.1)可得(4 1)4+(4 1)=84 种，但甲、乙、丙、丁都有可能作为首位，所以总的传球方法为84C14=21.例 8.12 一条线段上有 n 个点，用 m 种不同的颜色去染色，相邻顶点不同色，且两端不同色，问有种染色方法？解 设符合条件的染色方法有 an 种，当首末同色时，可去掉其中一点化为有 an1 种，又少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光。第 331 页an+an1 表示相邻两点不同色的方法数，共有 m(

637、m 1)n1 种.，和方法 8.1 其实是一模一样的.答案为 an=(m 1)n+(1)n(m 1).8.3相同元素有序分组的“隔板式”方法方法 8.2.凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即“n 个同元素有序分成 m 组(每组的任务不同)”的问题一般可用“隔板法”解，即(1)当每组含元素数目至少一个时，其不同分组方式为 N=Cm1n1 种，即给 n 个元素的中间 n 1 空格加入 m 1 个“隔板”(2)任意分组，可出现某些组含元素为 0 个时，不同分组方式为 N=Cm1n+m1 种，即将 n个相同元素与 m 1 个相同“隔板”进行排列，在 n+m 1 个位置中选 m 1 个安排隔板例 8.1

638、3 某城市的一条街道边有 9 只路灯，为节约用电且不影响照明，现要关掉不在街两头的 3只灯，而且关掉的 3 只灯互不相邻，则不同的关灯方式共有种.解 本题表面上与“相同元素的有序分组相距甚远，但可转化为该类问题：可视为往不关掉的 6只灯中间的 5 个空格中加入无区别的 3 个“隔板”（关掉的路灯），共 N=C35=10 种关灯方式例 8.14 将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种.解 先考虑每校至少有一个名额的分法，设分配给三个学校的名额分别为 x1，x2，x3，则x1+x2+x3=24，该方程的正整数解有 C223=253 种，即每

639、校至少有一个名额的分法有 253 种每校至少有一个名额的分法中，至少有两个学校的名额数相同的分配方法有两种情况：两个学校名额相同：(1,1,22)，(2,2,20)，(3,3,18)，(4,4,16)，(5,5,14)，(6,6,12)，(7,7,10)，(9,9,6)，(10,10,4)，(11,11,2)，有 10C13=30 种分法三个学校名额相同：(8,8,8)，1 种分法故至少有两个学校的名额数相同的分配方法是 31 种.综上知，满足条件的分配方法共有 253 31=222 种变式训练 EXERCISES64.将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互

640、不相同的分配方法共有种.8.4比赛问题例 8.15 两人进行乒乓球比赛，先赢 3 局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局的不同视为不同情形)共有种.第 332 页解 从 5 个大小相同，编号分别为 1 到 5 的小球中任取 3 个小球，比如，取出的小球编号分别为1，2，5，则表示甲第 1，2，5 场赢得比赛，以 3 比 2 获胜；取出的小球的编号分别为 1，2，3，则表示甲第 1，2，3 场赢得比赛，以 3 比 0 获胜，依此类推，故甲获胜的情形有 C35=10 种同理乙获胜的情形也有 10 种，故所有可能出现的情形共有 20 种.8.5映射问题8.5.1映射映射与投信具有相

641、同的数学模型，它们的本质是相同的在解决数学问题时，常常把生疏的、复杂的、未知的问题转化为我们熟悉的、简单的、已知的问题来解决现举几例如下例 8.16 将 5 封信投入 3 个邮筒，不同的投法共有种解 第 1 封信有 3 种不同的投递方法，第 2 封信也有 3 种不同的投递方法，同理第 3、4、5 封信都有 3 种不同的投递方法，则共有 35 种投法.例 8.17 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2个,则该外商不同的投资方案有种例 8.18 安排 3 名教师去 4 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有种解 用映射的观点看,设 X

642、为 3 个不同项目(3 名教师)的集合,Y 为 4 个候选城市(4 所学校)的集合,则例 8.17、例 8.18可统一为:从 X 向 Y 作映射,不能将 X 中 3 个元素全映射到 Y 中同一个元素上的映射有多少个?因为从 X 到 Y 的映射共有 43 个,其中 3 个元素全映射到 Y 中同一个元素上的映射有 C14=4 个,故例 8.17、例 8.18 的解均为 43 4=60 种.用映射的观点可将例 8.17、例 8.18 推广为推论 8.1.设集合 X 为 n 元集合,集合 Y 为 m 元集合,从 X 向 Y 作映射,不能将 X 中 n 个元素全映射到 Y 中同一个元素上,则这样的映射共

643、有 mn C1m=mn m 个.8.5.2单射例 8.19 某校设有 6 个不同的兴趣小组，每名学生限报一个组，现有 3 名学生报名，假设每名学生报每个组的可能性相同，则任何两名学生不报同一个组的概率为()(A)A3636(B)C3636(C)A3663(D)C3663解 问题为从 3 元集合到 6 元集合的单射有多少种？满足条件的报名方法有 C36A33=A36 种，而 3名同学的报名方法共有 63 种，故所求概率为A3663，选 C.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 333 页8.5.3满射例 8.20 现要将 6 名奥运志愿者分派到 4 个奥运场馆工作，要求每个奥运场馆至

644、少派 1 名志愿者，则不同的分派方法有种.解法一 常规方法是先分组、再分配来解决，即C36+C26C24A22 A44=1560 种.解法二 我们可以设将这 6 名志愿者分派到 n 个场馆，且每个场馆至少 1 人的方法为 an 种，则数列 an 满足a1=1,a2=26 C12a1=62,a3=36 C13a1+C23a2=540a4=46 C14a1+C24a2+C34a3=1560推论 8.2.将 m 名志愿者分派到 n 个场馆，且每个场馆至少 1 人，我们可以称之为 满射 分配问题.设分配方法为 an 种，则数列 an 满足 a1=1，n 2 时，an=nm C1na1+C2na2+Cn

645、1nan1.变式训练 EXERCISES65.现要将编号为 1、2、3、4、5 的 5 个小球放入 4 个不同的小盒中，则恰有一个空盒的概率为.66.【2021 乙卷理科】将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有()(A)60 种(B)120 种(C)240 种(D)480 种8.6灵活分组求概率例 8.21 8 支排球队中有 2 支为强队，任意将 8 个队分成两组(每组 4 个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少?解法一 设强队 A 的编组已定，则与

646、A 同组的空位共有 3 个，与 A 不同组的空位有 4 个，将 B 填入任一空位的可能性应是相等于是 A、B 同组的概率 P=37.第 334 页推论 8.3.如果有 2n 个队：平均分为两组，则指定的两队编在同一组的概率为 P=n 12n 1.解法二 将 8 个队分成两组(每组 4 个队)进行比赛，假设 A 的编组已定，则与 A 同组的空位共有3 个，共有 C37 种分法；强队 A、B 的编组已定，则与 A、B 同组的空位共有 2 个，共有 C26 种分法；故所求概率为 P=C26C37=37.8.7概率问题“浓度”法我们知道：盒中有形状相同的白球 m 个，红球 n 个，从中取一个球是红球的

647、概率=nm+n=红球在盒中比例值(相当于盒中红球的“浓度”)，而红球个数 的数学期望(均值)nm+n=(红球的“浓度”)1(取球个数)，从形式上看“概率”=“浓度”能否用“浓度”的方法一般性地处理“摸球”这类的问题呢?例 8.22(1)甲盒中有形状完全相同的 4 个红球、12 个白球，现从中取出 3 个球，求取到红球个数的数学期望；(2)若将(1)中取出的 3 个球放到装有同样形状的 3 个红球、4 个白球的乙盒中，再从乙盒中取一个球是红球的概率是多少?解(1)甲盒中红球的“浓度”=412+4，则取出的 3 个球(溶液的量)中含有红球的个数(溶质的量)为412+4 3=34，这就是取到红球个数

648、的数学期望.(2)由(1)可知，从甲盒中取出的 3 个球中有红球 34 个，将取出的 3 个球放到的乙盒中后，乙盒中有球 4+3+3 个，其中红球 3+34 个，故再从乙盒中取一个球是红球的概率是3+344+3+3=38.例 8.23(1)甲盒中有形状完全相同的 m 个红球、n 个白球，现从中取出 t 个球，求取到红球个数 的数学期望；(2)若将(1)中取出的 t 个球放到装有同样形状的 a 个红球、b 个白球的乙盒中，再从乙盒中取一个球是红球的概率是多少？解(1)E()=mm+n t；(2)P=mm+n t+at+a+b.8.8混合方差推论 8.4.设第 i 组样本数据的平均数为 xi，第

649、i 组样本数据的方差为 S 2i，第 i 组样本数据的权重为 i，n 组样本数据混合在一起的平均数为 z，则 n 组样本数据混合在一起的方差为S 2总=ni=1i(xi z)2+S 2i(8.5)秦九韶（约 12021261），字道古，四川安岳人。第 335 页例 8.24 已知样本数据 x1，x2，x40 的平均数和方差分别为 77 和 123，样本数据 y1，y2，y30 的平均数和方差分别为 m 和 n，全部 70 个数据的平均数和方差分别为 74 和 138，则m=；n=.解 易知 m=70；由公式(8.5)可得 138=47(77 74)2+123+37(70 74)2+n，解得 n

650、=130.例 8.25 一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了 30 人，计算得这 30 人的平均身高为 154cm，方差为 30；从初二年级随机抽取了 40 人，计算得这 40 人的平均身高为 167cm，方差为 20；从初三年级随机抽取了 30 人，计算得这 30 人的平均身高为 170cm，方差为 10依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为.解 先求总体平均值为 154 30+167 40+170 30 100=164，由公式(8.5)可得310(154 164)2+30+410(167 164)2+20

651、+310(170 164)2+10=64.4例 8.26 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 m 人，按年龄分成 5 组，其中第一组：20,25)，第二组 25,30)，第三组：30,35)，第四组 35,40)，第五组 40,45，得到如图 8.5 所示的频率分布直方图，已知第一组有 10 人.(1)根据频率分布直方图，估计这 m 人的平均年龄和第 80 百分位数；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 37 和 52，第五组宣传使者的年龄

652、的平均数与方差分别为 43 和 1，求这 m 人中 35 45 岁所有人的年龄的方差.图 8.5解(1)设这 m 人的平均年龄为 x，则x=22.5 0.05+27.5 0.35+32.5 0.3+37.5 0.2+42.5 0.1=32.25岁设第 80 百分位数为 a，由 5 0.02+(40 a)0.04=0.2，解得 a=37.5.(2)易知这两组宣传使者的年龄的平均数为 4 37+2 436=39，由公式(8.5)可得46(37 39)2+52+26(43 39)2+1=10，据此，可估计这 m 人中 35 45 岁所有人的年龄第 336 页的方差为 10.8.9方差和期望的关系推论

653、 8.5.设随机变量 X 中样本数据：x1,x2,xn，则 方差等于平方的期望减去期望的平方D(X)=E(X2)E2(X)(8.6)证 由方差定义可得D(X)=ni=1pixi E(X)2=ni=1pix2i 2xiE(X)+E2(X)=ni=1pix2i 2E(X)ni=1pixi+ni=1piE2(X)=E(X2)2E(X)E(X)+1 E2(X)=E(X2)E2(X)不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 337 页第九章不等式9.1基本不等式定理 9.1:basic inequality设 a，b 为正实数，则 a+b2ab.当且仅当 a=b 时等号成立.衍生品a,b,R

654、,a2+b2 2ab(9.1)a,b,R+,a2+b22 a+b2ab 21a+1b(9.2)双变量化单变量求最值例 9.1 已知 a 0，b 0，且 1a+1b=1，则1a 1+4b 1 的最小值为.解 由 1a+1b=1，可得1a 1=ba，1b 1=ab，所以1a 1+4b 1=ba+4ab 4.当且仅当ba=4ab 时等号成立.换元法求最值例 9.2 已知实数 xy 0，则xx+y+2yx+2y 的最大值为.解 设m=x+yn=x+2y，则x=2m ny=n m，于是xx+y+2yx+2y=2m nm+2n 2mn=4 nm+2mn 4 22.例 9.3 若 4x y 0，则y4x y

655、+xy 的最小值为.解 54.3389.2权方和不等式定理 9.2:权方和不等式设 m，xi，yi 为正实数(i=1,2,n)，则xm+11ym1+xm+12ym2+xm+1nymn(x1+x2+xn)m+1(y1+y2+yn)m.当且仅当 x1y1=x2y2=xnyn时等号成立.例 9.4 已知 a 1，b 1，则a2b 1+b2a 1 的最小值为.解a2b 1+b2a 1 (a+b)2a+b 2，设 a+b 2=t，则(t+2)2t=t+4t+4 8，当且仅当 t=2，a=2b=2时等号成立.例 9.5 已知正数 x，y，z 满足 x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y

656、 的最小值为.解 13.例 9.6 已知正数 x，y 满足 x+y=1，则 1x2+8y2 的最小值为.解1x2+8y2=13x2+23y2 (1+2)3(x+y)2=27，当 1x=2y，即 x=13，y=23 时等号成立.例 9.7 已知正数 x，y 满足 x+3y=2，则 1x3+3y3 的最小值为.解1x3+3y3=14x3+14y3+14y3+14y3 (1+1+1+1)4(x+3y)3=25，当 1x=1y，即 x=12，y=12 时等号成立.例 9.8 已知正数 x，y 满足 x+y=xy，则1x 1+9yy 1 的最小值为.解 由 x+y=xy 可得 1x+1y=1，则1x 1

657、+9yy 1=xx 1+9yy 1 1=11 1x+91 1y 1 (1+3)22 1 1=15.例 9.9 已知椭圆 x24+y2=1，A，B 分别为右顶点和上顶点，直线 y=kx(k 0)与 AB 相交于点D，与椭圆相交于 E，F 两点，求四边形 AEBF 面积的最大值.第 339 页图 9.1解 设 E(x0,y0)，F(x0,y0)，故四边形 AEBF 面积 S=SDEF+SAEF=x0+2y0，由题x204+y20=x204+(2y0)24(x0+2y0)28=S 28当且仅当 x04=2y04 即 x0=2y0 时等号成立.所以四边形 AEBF 面积的最大值为 22.例 9.10

658、已知数列 an 的通项公式为 an=3n3n+2，证明：a1+a2+an n2n+1.证 an=3n3n+2=11+2 13n，所以a1+a2+an=121+2 131+121+2 132+121+2 13nn2n+2 13+132+13n=n2n+1 13n n2n+19.3构造平方差求二元最值例 9.11 设 x，y 为实数，若 4x2+y2+xy=1，则 2x+y 的最大值为.解 设2x=a+by=a b代入 4x2+y2+xy=1 后整理得 5a2+3b2=2，所以 a2 25，所以105 a 105，又 2x+y=2a，故 2x+y 的最大值为 2105.例 9.12 设 x，y 为

659、实数，若 x2+y2+xy=1，则 x+y 的最大值为.解 x+y 的最大值为 233.第 340 页例 9.13【2022 新高考二卷：多选】若 x，y 满足 x2+y2 xy=1，则()(A)x+y 1(B)x+y 2(C)x2+y2 2(D)x2+y2 1解 设x=a+by=a b代入 x2+y2 xy=1 后整理得 a2+2b2=1，所以 a2 1，所以 1 a 1，又 x+y=2a，故 2 x+y 2，B；又 x2+y2=2(a2+b2)=2(a2+b2)=2(1 b2)2，C.答案为 BC.注 这种换元的思想是为了消去“困扰”项 xy.9.4糖水不等式定理 9.3:糖水不等式1 真

660、分数 ba(a b 0)，在分子分母同时加上一个 c(c 0)，则 ba b 0)，在分子分母同时加上一个 c(c 0)，则 ab a+cb+c.（做差法容易证明）.例 9.14 比较 log2 3，log3 4，log4 5 的大小.解 由糖水不等式知 ln 2ln 3 ln 2+ln 43ln 3+ln 43=ln 83ln 4 log3 4，同理可得log3 4 log4 5，综上所述，log2 3 log3 4 log4 5.例 9.15【2022 全国甲卷文科 12 题】已知 9m=10，a=10m 11，b=8m 9，则()(A)a0b(B)ab0(C)ba0(D)b0a解 由糖水

661、不等式知 log9 10=ln 10ln 9 ln 10+ln 109ln 9+ln 109=ln 1009ln 10 ln 11ln 10=log10 11，所以log9 10 log10 11，同理可得 log8 9 log9 10，综上所述 log10 11 log9 10 10log10 11 11=0，b=8m 9=8log9 10 9 0 b，故选 A.变式训练 EXERCISES67.已知 9m=11，a=10m 12，b=8m 10，则()(A)a0b(B)ab0(C)ba0(D)b0a阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 341 页第十章高中数学二级结论1.平行四

662、边形对角线平方和等于四条边平方和.2.斜二测画法直观图面积为原图面积的24 倍.3.四面体内切球半径为 3VS（V 为体积,S 为表面积）.4.任意 ABC 中,tan A+tan B+tanC=tan A tan B tanC.5.ABC 中,若 tan A+tan B+tanC 0)为双曲线，其焦点为 2k,2k和 k 0 时的2k,2k.10.三角形三边 a,b,c 成等差数列,则 tan A2 tan C2=13.11.棱长为 a 的正四面体外接球半径 R=64 a;内切球半径 r=612 a;四面体高 h=63 a;四面体体积 V=212 a3;四面体的中心将高分为 3:1 两部分.

663、12.正四面体相邻两面重心连线长度为棱长的 13;相邻两面所成二面角的余弦值为 13.13.第一余弦定理：ABC 中,a cos B+b cos A=c.（根据对称性还会有几个公式）.14.任意 ABC 中,tan A2 tan B2+tan A2 tan C2+tan B2 tan C2=1.15.三角混合不等式：若 x 0,2,则 sin x x b sin A sin B cos 2A cos A+cos B+cosC.19.锐角 ABC 中,任意两角的正切之积一定大于 1.20.锐角 ABC 中,tan A tan B tanC 33.21.钝角 ABC 中,其中一个锐角的 cos 一

664、定大于另一个锐角的 sin.22.正弦平方差公式:sin2 A sin2 B=sin(A+B)sin(A B).23.不等式链：设 a 0，b 0，则2aba2+b2 2aba+b ab a+b2a2+b22 a2+b2a+b a2+b22ab（当且仅当 a=b 时等号成立）.知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子第 343 页第十一章变式训练参考答案1.易知 S 9=9a5=3a5 a5=0,所以 S 5=S 6,故选 D.2.依题意可得a1+2d=54a1+6d=8a1+4d解得a1=1d=2所以 an=2n 1,于是 a10=19.3.a2+2a7+a8a3+a6=2a5+2a7

665、a3+a6=4a6a3+a6=2011,于是a6a3+a6=511,故S 11S 8=11a64(a3+a6)=114 511=54,选 D.4.根据公式 S n=na n+12 可知 S 9=9a5=81 a5=9,所以 d=4,于是a10=a5+5d=9+4 5=29,故选 D.5.根据题意 S 9=S 4 S 9 S 4=0 可知 a7=0,所以 2a4=a1+a7=1 a4=12.故选 C.6.根据公式 S n=na n+12 可知 S 4=4a2.5=0 a2.5=5 02.5=0,所以 d=a5 a2.55 2.5=2,又因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,并且一次项系数

666、为公差,排除 B;又等差数列的前 n 项和是关于 n 的无常数项的二次函数,并且二次项系数为公差的一半,排除 C,D,故选 A.7.不妨假设 a1=1 a2=3 an=2n 1,利用公式 S n=na n+12,可得 S 10S 5=10a5.55a3=2 105=4.8.由已知得an+12n 3=an2n 5+1,又a12 5=7,可得数列an2n 5是首项为 7,公差为 1 的等差数列,所以an2n 5=n 8 an=(2n 5)(n 8),其对称轴 n=10.52=5.25,所以 an 的最小的一项是第 5 项.9.由已知得 S 4=4a2.5=11 a2.5=114,所以 d=3 11

667、43 2.5=12,可得 S 7=7a4=7 3+12=492.34410.依题意 S 6=90 6a3.5=90 a3.5=15,a27=a3a9 (15+3.5d)2=(15 0.5d)(15+5.5d),解得 d=2,故 B;所以 a1=a3.5 2.5d=20,故 A;易知数列 an 单调递减,且 an=2n+22,故S n=n(21 n),对称轴为 n=11.5,故 C;S 20 0,S 21=0,故 D.11.依题意 2S 2+1=S 1+1+S 3+1,即 27+d=2+10+3d,解得 d=2 或 d=18(舍去),an=2n+1,于是 S n=n(n+2),S n+10an+

668、1=n2+2n+102n+2=(n+1)2+92(n+1)=12(n+1)+9n+1(n+1)9n+1=3,当且仅当n=2 时S n+10an+1min=3.12.由已知得 a21+(a1+4d)2=8,化简得(a1+2d)2+4d2=4,引入参数方程a1+2d=2 cos 4d=4 sin 于是 a1+a2=4 cos 3 sin =5 sin(+),其中 tan =43,故有最大值 5.13.由已知得an+12n 3=an2n 5+1,又a12 5=7,即数列an2n 5是首项为 7,公差为 1 的等差数列,于是an2n 5=n 8,则 an=(2n 5)(n 8),其对称轴 n=5.25

669、,所以 an 的最小的一项是第 5项.故选 A.14.a1=0,4an+1 an 0,an+1+an 1=24an+1 an,即 an+1 an2=1,即数列 an是首项为 0,公差为 1 的等差数列,an=n 1,即 an=(n 1)2.15.设等差数列 an 的公差为 d,2020 a2019=2019 a2020 2020(a1+2018d)=2019(a1+2019d),于是 a1=d,则 an 的前 n 项和 S n=12n(n+1)d 0,故 S 2019S 2020=12 2019 202012 2020 2021=20192021.16.S 5S 9=5a39a5=59 13=

670、527.17.设数列 an 的公差为 d,则 2 S 2a2=1+S 3a3,可得 d(d a1)=0,于是 d=a1(d 0),an=a1+(n 1)d=na1,S n=n(n+1)2a1,即 S nan=n+12,则 S 3a3=2,选 B.18.易知奇函数 f(0)=0 an+1 an=cos n3,所以 a2=a1+cos 3=32,a3=a2+cos 23=1,a4=a3+cos 33=0,a5=a4+cos 43=12,a6=a5+cos 53=0,a7=a6+cos 63=1,于是最小正周期为 6,批星戴月上学去，万家灯火回家来！第 345 页 2020 6=336 4,于是S

671、2020=a1+a2+a3+a4+a2020=a1+a2+a3+a4+336(a1+a2+a3+a4+a5+a6)=72+3363=20232.故选 A.19.(1)依题意 S 9=9a5=54 a5=6,又 a3=2,d=6 25 3=2,an=2n 4;(2)证 由(1)知1an+3=12n 122n 1+2n+1=2n+1 2n 1,1a1+3+1a2+3+1a3+3+1a100+3(3 1)+(5 3)+(201 199)=201 1 14 1=13.20.依题意,a2019=S 2019 S 2018 0,a2020=S 2020 S 2019 0,a2020,a2021,an 0,

672、对于 bn=anan+1an+2,易知 当 n 2017 时,bn 0,1bn 0,Tn;当 n=2018 时,bn 0,1bn 0,T2018 0,1bn 0,T2019 T2018;当 n 2020 时,bn 0,1bn 0(11.2)a2018a2019a2020a2021 0(11.3)由式(11.1),(11.2),(11.3)可知1b2018+1b2019 0,所以 T2019 T2017.故选 B.注 特殊化:令 a2019=3,a2020=1,满足 a2019+a2020 0.即可方便验证.第 346 页21.由赋值法可得数列 an 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故其

673、前前 n 项和S n=2(2n 1)=2n+1 2,所以 ak+1+ak+2+ak+10=S k+10 S k=2k+11 2k+1=215 25,解得k=4.22.(1)依题意 a1+a2=a1(1+q)=4,a3 a1=a1(q2 1)=8,两式作比可得1q 1=13 q=3,所以 an=3n1.(2)由(1)知数列 log3 an 的通项公式为 n 1,于是 S n=n(n 1)2,故由式 S m+S m+1=S m+3 可得m(m 1)2+m(m+1)2+(m+2)(m+3)2,解得 m=6 或 m=0(舍去).23.(1)an=2n;(2)依题意 b2=1,b4=2,b8=3，b16

674、=4，b32=5，b64=6,前 100 项其余为 0,故S 100=1+2+3+4+5+6=21.24.易知此数列为等比数列,当 n=1 时,a1=2,当 n=2 时,a2=a1+a22 1,可知 a2=4,所以公比 q=2,于是 S 7=(2)(1 27)1 2=254,答案为 254.25.依题意 S n=32an+32,a1=3,q=3 an=3n,a10a8=k=32=9.26.S n=Aqn A,S n=a4 4n+b,a4=b,ba=14.27.依题意可设 an=kqn,则 anan+1=k2q (q2)n,所以 q2=9,且 k2q=1,于是 q=3.28.由数列通项公式的通性

675、,不妨设 ana bn,则 an+an+1=ab(1+b)bn1=4 3n1,解得 a=13,b=3,于是 an=3n1,经验证 a1=1 符合上式,故数列 an 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,故S 2020=32020 12.29.根据公式 S 2021=a1(1 q2021)1 q,可知 a1 和 S 2021 同号,故选 C.30.等比数列 S 3,S 6 S 3,S 9 S 6,成等比数列,设 S 3=1,则 S 5=6,于是 S 9 S 6=25,所以S 9=31,则 S 9S 6=316.32.令 a1=2,q=3,满足 an 是递增数列,故 A;令 a1=1,q=2,满

676、足 an 是递减数列,故 B;令 a1=1,q=12,则 a6 a5,S 6 S 5 S 5 S 4,故 C;选项 D 明显正确.业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 347 页33.由等比数列性质知 a1a11+2a5a9+a3a13=a26+2a6a8+a28=(a6+a8)2=25,于是 a6+a8=5,所以 a1a13=a6a8 a6+a822=254,当且仅当 a6=a8=52 时取等号.34.(1)由 an+1=a1+2Tn 得 a2=a1+2b1=2+2=4,因为数列 an 为等差数列,所以该数列的公差为 a2 a1=2,于是 S n=2n+n(n 1)2 2=n2+n;(

677、2)当 n 2 时,an=a1+2Tn1,因为 Tn Tn1=bn,所以 an+1 an=2bn,即 an+1=an+2bn,同理可得 bn+1=bn+2an,则 an+1+bn+1=3(an+bn),所以 an+1+bn+1an+bn=3(n 2),又 a2=a1+2b1=2+2=4,b2=b1+2a1=5,所以 a2+b2a1+b1=3,所以 an+1+bn+1an+bn=3,所以数列 an+bn 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列;因为 an+1 bn+1=(an bn),所以 an+1 bn+1an bn=1(n 2),又 a2 b2a1 b1=4 52 1=1,所以an+1 bn

678、+1an bn=1,所以数列 an bn 是以 1 为首项,1 为公比的等比数列.35.a7=a6+2a5 q2a5=qa5+2a5 q2=q+2,解得 q=2 或 q=1(舍去),所以aman=4a1 a12m1 a12n1=4a1,2m+n2=16 m+n=6,由权方和不等式知1m+4n (1+2)26=32.当且仅当 n=2m 时等号成立.36.由式 a1a2a3=1 可得 a2=1,所以a1a3=11a1+1a3=52解得a1=2a3=12或a1=12a3=2于是可解得an=2n2 或 an=22n.37.a2019 1a2020 1 1 说明等比数列 an 单调递减,故 0 q 1,

679、0 a2020 1,故 S 2019 S 2020,所以 A;有因为等比数列,所以 a2019a2021 1=a22020 1 0,所以 B;T2019 是数列 Tn 中的最大值,所以 C;D.答案为 A,B.38.由比例的等比性质可知 a4a2=a5a4=a5 a4a4 a2=d2d=12,所以 a2=2a4,又 a1=5,所以5+d=2 (5+3d),于是 d=1,所以 a2020=5 2019=2014.故选 D.39.(1)由比例的等比性质可知 a4a2=a8a4=a8 a4a4 a2=4d2d=2,所以 a4=2a2=2(a1+d)=8+2d,又a4=a1+3d=4+3d,所以 d=

680、4,于是 an=4n;第 348 页(2)由(1)知 S n=n(2n+2),所以 1S n=121n 1n+1,于是Tn=1S 1+1S 2+1S n=121 12+12 13+1n 1n+1=121 1n+140.由比例的等比性质可知 a3a2=a9a3=a9 a3a3 a2=6dd=6,所以 a3=6a2,又 a3=a2+d,所以d=5a2,于是 a2+a3+a4a4+a5+a6=a3a5=a2+da2+3d=38.故选 B.41.由式 2a7 a13=1 可得 a1=1,由 a1,a3 1,a6+5 成等比数列,可得 d=2(负值舍去),则an=2n 1,所以数列(1)n1an 的前

681、21 项和为a1 a2+a3 a4+a19 a20+a21=1 3+5 7+37 39+41=2 10+41=21.42.依题意 2(a1+a2+a5)(cos a1+cos a2+cos a5)=5,又因为cos a1+cos a2+cos a5 不是 的倍数,故 cos a1+cos a2+cos a5=0,因此2(a1+a2+a5)=10a3=5 a3=2.故选 D.43.易知 f(x)的对称中心为38,1.a1+a2+a21=21 a11=21 38 f(a1)+f(a2)+f(a11)=21 1=21.44.依题意 f(x)+f(2 x)=ex e2x+1+e2x ex+1=2,所以

682、 f(x)的对称中心为(1,1),故f(x)+f(2 x)=2.又由阶差法可知数列 an 是以 14 为首项,公比等于 2 的等比数列,于是 an=2n3,所以 f(log2 a1)+f(log2 a2)+f(log2 a2)=f(2)+f(1)+f(4)=(f(2)+f(4)+(f(1)+f(3)+(f(0)+f(2)+f(1)=3 2+1=7.45.当 n=1 时,a1+b1=1,当 n 2 时,an+bn=S n S n1=2n 2+2n1,所以 a2+b2=4,于是d+q=(a2+b2)(a1+b1)=3.敏而好学，不耻下问。孔子第 349 页46.依题意a1+3a2+3n1an=n(

683、11.4)a1+3a2+3n2an1=n 1(11.5)式(11.4)(11.5)得 3n1an=1 an=31n,S 4=a1+a2+a3+a4=1+13+132+133=4027.47.当 n=1 时,a1=2a1 2,解得 a1=2,当 n 2 时,S n=2an 2,所以 S n1=2an1 2,两式做差得 an=2an1,所以数列 an 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an=2n,于是由 aman=64 可得2m+n=26,解得 m+n=6,m=1,n=5,此时 11+165=215;m=5,n=1,此时 15+161=815;m=2,n=4,此时 12+164=92;m=

684、4,n=2,此时 14+162=334;故选 B.48.当 n=1 时,2 a1=a1+1,解得 a1=1,当 n 2 时,4S n=a2n+2an+1,所以4S n1=a2n1+2an1+1,两式做差得 a2n a2n1=2an+2an1,于是 an an1=2,所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,故 an 7=2n 8,于是 Tn=n(n 7),当 n=3 时 Tn 有最小值 12.49.S n+S n+1=2n2+3n,S n+1+S n+2=2(n+1)2+3(n+1),两式相减得S n+2 S n=an+2+an+1=4n+5,化简得 an+2=4n+5 an+1,

685、于是 an+1=4n+1 an(n 2),两式相减得 an+2 an=4(n 2),可得数列 an 是从第二项开始的偶数项,组成的以 4 为公差的等差数列,由 an+2 an=4 可得 an+1 an1=4(n 3),可得数列 an 是从第三项开始的奇数项,组成的以 4 为公差的等差数列,又因为 S 1+S 2=2a1+a2=5,则有 a2=5 2a1,a3=9 a2=4+2a1,a4=13 a3=9 2a1,a5=17 a4=8+2a1,a6=21 a5=13 2a1,对 n N,an an+1,则由 a1 a2 an,从第二项开始,得:由 a2 14;由 a3 a4 得 a1 54;由 a

686、4 14;由 a5 a6 得 a1 54;,于是 14 a1 1,数列 bn 单调递增,bn b1=12,故 的最小值为 12.答案为 2n1n,12.52.依题意可得 an+1=32+ni=12i=32+n(2+2n)2=32+n(n+1),于是 an=32+n(n 1),故ann=32n+n 1,当 n=6 时有最小值 313.选 C.53.依题意可得 an+1=2+ni=1(2i+2)=2+n(n+3),于是 an=n(n+1),所以 1an=1n 1n+1,故1a1+1a2+1a20=1 121=2021.选 D.54.依题意可得 an+1 an=2 3n+1,所以an+1=3+ni=

687、1(2 3i+1)分组求和=3+2 (3+32+3n)+n=3n+1+n,于是 an=3n+n 1.55.(1)证 易知 an=2n1,依题意得(bn+2 bn+1)(bn+1 bn)=2,所以数列 bn+1 bn 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,于是 bn+1 bn=2n 1,所以 bn+1=1+ni=1(2i 1)=1+n2,所以 bn=1+(n 1)2=n2 2n+2;(2)设 cn=bnan,所以 cn cn1=n2 2n+22n1(n 1)2 2(n 1)+22n2=(n 2)(n 4)2n1,c1=c2 c5 c6 ,故 cn 的最大值为 c4=42 8+223=54.海纳

688、百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 351 页56.依题意 an+1=1+2nan an+1an=n+2n,由分母减去分子(大减小)除以 n 的系数得(n+2)n1=2,可知 an+1a1=(n+2)(n+1)1 2 an+1=(n+2)(n+1)an=n(n+1).57.十字相乘(n+1)a2n+1 na2n+an+1an=0 可化为(an+1+an)(n+1)an+1 nan=0,所以an+1an=nn+1,由分母减去分子(大减小)除以 n 的系数得(n+1)n1=1,可知an+1a1=1(n+1)an=1(n+1).58.由 2(n+1)an nan+1=0 可得 an+1n+1=

689、2 ann,所以ann是以 a11=4 为首项,2 为公比的等比数列,故 A;因为 ann=4 2n1=2n+1,所以 an=n 2n+1,显然递增,故 A;因为S n=1 22+2 23+n 2n+1,2S n=1 23+2 24+n 2n+2,所以S n=1 22+23+2n+1 n 2n+2=22(1 2n)1 2 n 2n+2,于是 S n=(n 1)2n+2+4,故 C;因为 an2n+1=n 2n+12n+1=n,所以 an2n+1的前 n 项和 Tn=n2+n2,故 D.59.设an+=23(an1+)an=23an1 13(11.8)由题设an+1=23an+1(11.9)比较

690、(11.8),(11.9)两式可得 =3,故 an 3=23(an1 3),因此数列 an 3 是首项为1 3=2,公比为 23 的等比数列,所以 an 3=(2)23n1 an=3 3 23n.60.当 n=1 时,a1=3a1 2 a1=1,当 n=2 时,a1+a2=3a2 4 a2=52,当 n=3 时,a1+a2+a3=3a3 6 a3=194,于是52+2=(1+)194+,解得 =2.61.(1)由式 S n=3an 2n 得 S n+1=3an+1 2(n+1),两式做差得 an+1=32an+1,由第 13 页一次函数型的做法构造等比数列可知 an+2 为以 3 为首项,32

691、 为公比的等比数列,即 bn 为以 3 为首项,32 为公比的等比数列.an+2=3 32n1 an=3 32n1 2;(2)cn=13 23n1,Tn=131 23n1 23=1 23n,Tn 1,故 m 1.第 352 页62.(1)由 T1=2b1 1 得 b1=1，因为 Tn Tn1=(2bn n)2bn1 (n 1)(n 2)，所以bn=2bn1+1，从而由 bn+1=2(bn1+1)，得 bn+1bn1+1=2(n 2),所以数列 bn 是以 2 为首项,2为公比的等比数列,故 bn=2n 1;(2)依题意,an=2 log2(1+bn)1=2n 1，a1=1，b1=1，所以 an

692、+1 an=2，于是数列 an 是以1 为首项，2 为公差的等差数列，又因为 b1=1，b2=3，b3=7，b4=15，b5=31，b6=63，b7=127，a56=111，a57=113,所以 c1+c2+c50=(a1+a2+a56)(b1+b2+b6)=56(1+111)2(21+22+26 6)=562 (27 8)=3016.63.式子 an+1=12an+12n+1 两边同乘以 2n+1,得 2n+1an+1=2nan+1,所以数列 2nan 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,于是 2nan=n,解得 an=n2n,由错位相减法得 S n=2 n+22n,于是S 10=2 1

693、2210=2 328=509256.64.给式 an+1=2an+4 3n1 两边同除以 3n+1,得 an+13n+1=23 an3n+432.令 bn=an3n,得bn+1=23bn+49(11.10)设bn+1+=23(bn+)bn+1=23bn 13(11.11)由式(11.10),(11.11)可得 =43,因此数列bn 43为首项等于 1,公比为 23 的等比数列,于是 bn 43=(1)23n1 bn=43 23n1,所以 an=3n43 23n1=4 3n1 3 2n1.65.(1)证 3an+1=an+13n,3n+1an+1=3nan+1,又因为 a1=1,所以 3a1=3

694、,数列 3n an 是以 3 为首项,1 为公差的等差数列.(2)由(1)知 3n an=3+n 1=n+2,an=n+23n,S n=3 13+4 132+5 133+(n+1)13n1+(n+2)13n,13S n=3 132+4 133+5 134+(n+1)13n+(n+2)13n+1,23S n=1+132+133+134+13n(n+2)13n+1=23+121 13n(n+2)13n+1,S n=74 n2+74 13n=74 2n+74 3n.穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 353 页66.设 2(an+xn+y)=an1+x(n 1)+y,和原式比较可解得 x=6,y=9

695、,所以数列 an 6n+9 是首项为 92,公比为 12 的等比数列,于是an 6n+9=92 12n1 an=9 12n+6n 9.67.设 an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b),和原式比较可解得 k=2,b=1,所以数列 an+2n+1 是首项为 5,公比为 2 的等比数列,于是an+2n+1=5 2n1 an=5 2n1 2n 1.68.给式 an+1=an3an+1 取倒数,1an+1=3an+1an=1an+3,令 bn=1an,则 bn+1=bn+3,得数列 bn 为首项等于 1,公差为 3 的等差数列,于是 bn=3n 2,所以1anan+1=1(3n 2)(3n+1

696、).答案为 C.69.给式 an+1=anan+3 取倒数,1an+1=an+3an=3an+1,令 bn=1an,则 bn+1=3bn+1,设 bn+1+=3(bn+)bn+1=3bn+2,由以上两式可得 =12,因此数列bn+12为首项等于 12+12=1,公比为 3 的等比数列,于是bn+12=1 3n1 bn=3n1 12,所以 an=22 3n1 1.70.给式 an+1=an2an+1 取倒数,1an+1=2an+1an=1an+2,令 bn=1an,则 bn+1=bn+2,因此数列 bn为首项等于 1,公差为 2 的等差数列,于是 bn=2n 1,所以 an=12n 1.71.由

697、阶差法可得 an+1 an1=2，分奇偶可得a2k1=2k 1a2k=2k，故 an=n.72.依题意，当 n=2k 1(k N)时，a2k+1=1+cos2(2k 1)2a2k1+sin2(2k 1)2=a2k1+1所以数列 a2k1 以 1 为首项，1 为公差的等差数列，因此 a2k1=k；当 n=2k(k N)时，a2k+2=1+cos2(2k)2a2k+sin2(2k)2=2a2k所以数列 a2k 以 2 为首项，2 为公比的等比数列，因此 a2k=2k.故 an=n+12(n为奇数)2n2(n为偶数).第 354 页73.S n S n2=3 12n1(n 3)，所以 an+an1=

698、3 12n1，已经是类型 3 了.74.观察题目,我们可得 an+2 an=，假设结论成立，通过前 3 项可得 =4，由类型 1 可得an=2n 1.76.(1)依题意 a2+a3=2a1 q2+q 2=0 q=2.(2)记 bn=nan,由(1)知数列 bn 的通项公式为 n(2)n1,于是 b1=1,a=1,p=2,故A=app 1=23,B=b1 App 1=79,故 S n=23n 79(2)n+79.78.(1)当 n=k N 时,S=12n2+kn 取得最大值,即 8=S k=12k2+k2 k=4,从而 an=S n S n1=92 n(n 2),又 a1=S 1=72,所以 a

699、n=92 n;(2)9 2an2n=n2n1,Tn=1+22+322+n 12n2+n2n1，2Tn=2+2+32+n 12n3+n2n2,所以2Tn Tn=2+1+12+12n2 n2n1=4 12n2 n2n1=4 n+22n1 Tn=4 n+22n179.(1)依题意当 n=1 时,a1+22=a1 2 a1=2,当 n 2 时,an+22=S n 2,两边平方整理得a2n+4an+4=8S n(11.12)a2n+1+4an+1+4=8S n+1(11.13)式(11.13)(11.12)得 a2n+1 a2n+4(an+1 an)=8an+1,整理得(an+1+an)(an+1 an

700、 4)=0 an+1 an=4(11.14)an 是首项为 2,公差为 4 的等差数列,通项公式为 an=4n 2;(2)读书破万卷，下笔如有神。杜甫第 355 页证 由(1)知 bn=8anan+1=2(2n 1)(2n+1)12n 1 12n+1,则Tn=b1+b2+b3+bn=1 13+13 15+12n 1 12n+1=1 12n+1 n N,0 12n+1 13,23 1 12n+1 1.于是 23 Tn 1.80.(2+2d)2=2 (2+6d),所以 d=1,故 an=n+1,则1(n+1)(n+2)分母 n+1 的 n 移到分子=n(1+1)(n+2).当 n=2019 时,选

701、 B.81.(1)an=n+5;(2)由(1)知 cn=1(2an 11)(2an 9)=1212n 1 12n+1,所以数列 cn 的前 n 项和Tn=121 12n+1=n2n+1,又不等式 Tn n2n+1.根据本书第 271 页“11”型函数性质知k2018 12,因此 k 1009.82.(1)由式 4S n=a2n+2an 得 4S n+1=a2n+1+2an+1,两式做差得 4an+1=a2n+1 a2n+2an+1 2an,即(an+1+an)(an+1 an 2)=0,所以 an+1 an=2,又 a1=2 符合上式,故 an 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,因此 an

702、=2n;(2)证 由(1)知 bn=1(2n+1)2=14n2+4n+1 14n(n+1)=141n 1n+1,Tn 141 12+1412 13+141n 1n+1=141 1n+1 1,且b4+b5+b6=56，b5=16，b4+b6=40,又 b4b6=b25=162，q 1,解得 b4=8，b6=32，q=2，bn=2n1;(2)bn+1a2n 1=2n1+1(2n)2 1=2n1+1212n 1 12n+1,Tn=(20+21+2n1)+121 13+13 15+12n 1 12n+1=2n 1+n2n+1.84.(1)令 n=1,得 a1b1=3+(2 3)2=1,所以 b1=1,

703、令 n=2,得 a1b1+a2b2=7,所以 a2=2,故数列 an 的公比为 a2a1=2,所以 an=2n1；第 356 页(2)当 n 2 时,a1b1+a2b2+anbn=3+(2n 3)2n,于是a1b1+a2b2+an1bn1=3+(2n 5)2n1.两式做差得anbn=3+(2n 3)2n 3+(2n 5)2n1=(2n 1)2n1,得 bn=2n 1,n=1 时也成立.所以 bn=2n 1,故1bnbn+1=1(2n 1)(2n+1)=1212n 1 12n+1,于是 Tn=121 13+13 15+12n 1 12n+1=121 12n+1=n2n+1.85.(1)因为点(S

704、 n,an+1)在直线 y=x+1 上,所以 an+1=S n+1,于是 an=S n1+1(n 2),两式相减得 an+1 an=an,即 an+1an=2(n 2),经验证 a2a1=2 合适,所以数列 an 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,于是 an=2n1;(2)由(1)知 bn=1n(n+2)=121n 1n+2,所以Tn=121 13+12 14+1n 1n+2=34 121n+1+1n+2=34 2n+32(n+1)(n+2).86.(1)由阶差法得 an=2n+1;(2)由(1)知 bn=2n+32n+1+2n+12n+3=22n+1 22n+3+2,所以 Tn=b1+b

705、2+bn=23 25+2+25 27+2+22n+1 22n+3+2=23 22n+3+2n=4n6n+9+2n.87.(1)当 n 2 时,(n 1)an=n(an1+2n 2)两边同除以 n(n 1),得 ann=an1+2n 2n 1,即ann an1n 1=2,所以数列ann是以 a11=4 为首项,2 为公差的等差数列;(2)由(1)得 ann=2n+2 an=2n(n+1),所以 bn=2n+1a2n=14 1n2 1(n+1)2,于是S n=141 122+122 132+1n2 1(n+1)2=141 1(n+1)2=n2+2n4(n+1)2.88.(1)由 a2a7=3a24

706、 a21q7=3a21q6 q=3,3,S 4,9a3 成等差数列,2S 4=9a3 3,从而有2a1(1 34)1 3=9a1 32 3 a1=3,an=3n;(2)bn=(1)nan+1n(n+1)=(3)n+1n 1n+1,所以Tn=(3)1+(3)2+(3)n+1 12+12 13+1n 1n+1=31 (3)n4+1 1n+1=3(3)n 14+nn+1.君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 357 页89.依题意数列a2n是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以 a2n=2n 1,于是 an=2n 1,故1an+an+1=12n 1+2n+1=12 2n+1 2n 1,所以数列

707、1an+an+1的前 n 项和S n=12 2n+1 1,故 S 60=12 121 1=5.90.(1)由 S 9=54 可得 9a5=54 a5=6,所以 d=6 26 3=2,故 an=2n 4;(2)1an+3=12n 122n 1+2n+1=2n+1 2n 1,1a1+3+1a2+3+1a100+3 (3 1)+(5 3)+(201 199)=201 1 14 1=13.91.(1)阶差法:当 n 2 时,S n=2an a1S n1=2an1 a1,两式做差得 an=2an1,因为 bn=S n+1an+4,所以 6=a1+1a1+4,解得 a1=1,所以数列 an 是公比为 2,

708、首项为 1 的等比数列,于是 an=2n1.(2)证 由(1)知 S n=2an a1=2n 1,于是 bn=2n+12n1+3,即 1bn=2n1(2n+1)2n1+1=12n1+1 12n+1,所以Tn=120+1 121+1+121+1 122+1+12n1+1 12n+1=12 12n+1 12.92.(1)设数列 an 的公比为 q,依题意得 S 1 S 3=2S 2,所以(a2+a3)=2(a1+a2),得a1(q+q2)=2a1(1+q),且 a1 0,所以 q2+3q+2=0,解得 q=1 或 q=2,因为 S n 0,所以q=2,又因为 a1a2=a3,则 a1=q,于是 a

709、n=(2)n;(2)由(1)得 bn=3(2)n(2)n+1(2)n+1+1=(2)n+1 (2)n(2)n+1(2)n+1+1=1(2)n+1 1(2)n+1+1,于是Tn=1(2)1+1 1(2)2+1+1(2)2+1 1(2)3+1+1(2)n+1 1(2)n+1+1=1 1(2)n+1+1=(2)n+1+2(2)n+1+193.(1)依题意 an+1 2an+2=0 an+1 2=2(an 2),所以数列 an 2 是以 6 为首项,2 为公比的等比数列;第 358 页(2)由(1)知 an 2=6 2n1,即 an=3 2n+2,所以bn=(1)nan(2n+1)(2n+1+1)=(

710、1)n12n+1+12n+1+11当 n 为偶数时,Tn=12+1 122+1+122+1+123+1+12n1+1 12n+1+12n+1+12n+1+1=13+12n+1+1此时 Tn 递减,于是当 n=2 时 Tn 取得最大值 29,则 m 29;2当 n 为奇数时,Tn=Tn1+bn=13+12n+1 12n+1+12n+1+1=13 12n+1+1.此时 Tn 递增,于是 Tn 0,13 11+2n+1 13,Tn 13.三更灯火五更鸡，正是男儿读书时。颜真卿第 359 页95.(1)阶差法:当 n 2 时,2S n=(n+1)an2S n1=nan1,两式做差并整理得 anan1=

711、nn 1,由第 12 页累乘法可知 an=2n,所以 S n=n(n+1);(2)由(1)知 bn=an+1S n+1S n=2n(n+1)(n+2)=1n+11n 1n+2=1n(n+1)1(n+1)(n+2),所以Tn=b1+b2+bn=12 16+16 112+1n(n+1)1(n+1)(n+2)=12 1(n+1)(n+2)12100.如图 11.1,由杠杆原理可知 2BM=3ME,#AM=25#AB+35#AE=25#AB+25#AC,图 11.1 xy=25 25=425,选 B.101.依题意#EF=#EB+#BF=12#AB+23#AD,m=12,n=23,于是 m+n=76.

712、故选 B.102.依题意若#CE=4#ED,则#CE=45#CD,#BE=#BC+#CE=#AD+45#CD=45#AB+#AD.故选 A.103.设#AE=#AC+#BF,因为#AC=#AD+#DC,#AE=12#AC+#AB=12#AD+32#DC,#BF=#BA+#AD+#DF=#AD 32#DC,所以 12#AD+32#DC=#AD+#DC+#AD 32#DC,所以+=12 32=32解得=910=25故选 A.104.由式#MA+#MB+#MC=0 可知点 M 为 ABC 的重心,故答案为 3.第 360 页105.由定理 2.3 可知 1x+1y=3,于是 3x+y=13(3x+y

713、)1x+1y=133+3xy+yx+1 4+233,当且仅当 3xy=yx 时等号成立.106.解法一 在#OC=#OA+#OB 中,两边分别平方即可.选 A.解法二 设#OA=(1,0),#OB=(0,1)#OC=(,).因此#OC=1 2+2=1.107.根据题意.#AD=12#AB+#AC=12#AE+12#AF.又 D，E，F 三点共线,可知12+12=1 2=1+1 21 1.109.特殊化,令点 M 和点 B 重合,可知答案为 C.110.特殊值法：取这条直线为 BC,则 m=n=1.答案为 2.111.由第 44 页定理 2.3 易知#AG=13#AB+#AC=13x#AM+13

714、y#AN.令m=13xn=13ym+n=13x+y=1m+13n由权方和不等式可得 1m+13n 1+132=43+233.112.依题意可知 a3+a98=1 a1+a100=1,S 100=50,选 D.113.取 AC 中点 D,式子#AO=x#AB+y#AC=x#AB+2y#AC2,所以 B，O，D 三点共线,且BDA=90,设 AD=CD=m,于是 BD=12 m2,所以SABC=12AC BD=m 12 m2=m2(12 m2)m2+12 m222=6.114.见第 49 页推论 2.1115.如图 11.2,依题意,设#AP=(+)#AE=#AB+#AD,易知 B,E,D 三点共

715、线,故当直线 l/BD图 11.2图 11.3图 11.4人生的价值，并不是用时间，而是用深度量去衡量的。第 361 页且与 C 相切时（切点为 P）+有最大值,此时|#AP|#AE|=|#AM|#AN|=3rr=3.116.如图 11.3,(+)max=|AP|AG|=|AE|AD|=2.120.#BE=12#BA+12#BD=12#BA+12 23#BC=12#AB+13#AC 13#AB=13#AC 56#AB,故选 D.121.如图 11.5,由重心质量法易知 CM=3ME,所以图 11.5#CM=34#CE对面的女孩看过来=3423#CA+13#CB=12#AC+14#CA+14#C

716、B=14#AB 34#AC.故选 D.122.由极化恒等式可知#PA#PB=#PC2 12,而#PC 的最小值即为圆心到直线的距离d=|1 0+1|2=2,故选 A.123.如图 11.6,取 DE 中点 M,连接 AM,则#AD#AE=#AM2#MD2=#AM2 19,而#AM2min=1,图 11.6图 11.7图 11.8所以#AD#AE 89，排除 B，D，而当 B，D 两点重合(或 C，E 两点)时#AM 最大,如图 11.7，在ABM 中运用余弦定理可知#AM2max=139，所以#AD#AE 139 19=43，故选 A.第 362 页124.如图 11.8 所示,取 AB，BC

717、 的中点 E，D，由极化恒等式,有#PB#PC=|PD|2|BD|2#P0B#P0C=|P0D|2|BD|2|PD|2|P0D|2因此，DP0EB DE=DB CA=CB.故选 D.125.如图 11.9 所示,过 MB 中点 N 作 NGCB,由极化恒等式,有图 11.9图 11.10#CM#CB=|CN|2|BN|2=|CG|2+|GN|2 (|GN|2+|GB|2)=|CG|2|BG|2=4 1=3，故选 B.126.如图 11.10 所示,取 AB 中点 N,由极化恒等式,有#MA#MB=|MN|2|AN|2=|MN|2 1.易知|MN|2 的最大值为|MN|2=|DA|2+|AN|2

718、=5,最小值为 0,故选 D.127.如图 11.11 所示,取 AB 中点 D，CD 中点 E，连接 PD，PE，图 11.11图 11.12图 11.13#PC#PA+#PB=2#PC#PD=2|PE|2|ED|2=2|PE|2 34，再利用圆上动点最值理论知答案为 A.128.如图 11.12 所示,取 MN 的中点 P.由极化恒等式#CM#CN=|CP|2|MP|2=|CP|2 12,所以当 P 为 AB 的中点时,#CM#CN 的取值最小 4;当 M 为 A 时,#CM#CN 的取值最大 6,故选 B.人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！第 363 页129.如图

719、 11.13 所示,取 CD 中点 E,则#OC#OD=OE2 ED2=OE2 1，取 AB 中点 F,连接FE，FO，我们易知 FO+FE=1+2=3,并且当 O，F，E 三点共线时 OE 有最大值 3，所以#OC#OD=OE2 ED2=OE2 1 9 1=8.故选 D.130.仿照第 54 页例题 2.18 的做法.选 D.131.仿照第 54 页例题 2.18 的做法.选 C.132.如图 11.14 所示，取 BC 中点 D，AD 中点 E，则#PA#PB+#PC=2#PA#PD=2|PE|2|ED|2=2|PE|2 34，又|PE|2 的最小值为 0，故选 B.133.依题易知正三角

720、形 ABC 的边长为 23,由极化恒等式,有#PA#PB=|PD|2|AD|2=|PD|2 3.因此,P 在 C 点时|PD|最大,P 在 CO 的延长线与圆的交点处|PD|最小,故选 B.134.取 AB 中点 M,连接 EM,则#AE#BE=#EM2#AM2=#EM2 14#EM2 14=2116,故选 A.图 11.14图 11.15图 11.16135.解法一根据极化恒等式以及向量夹角公式可知#AB#AC=#AD2#BD2=9 94=274#AB#AC=#AB#AC cos 60=12#AB#AC以上两式可知 bc=272.所以 SABC=12bc sin 60=2738.图 11.1

721、7图 11.18第 364 页解法二 如图 11.18,采用倍长中线法,则 ACE=120,分别对 ACE，ABC 利用余弦定理可得36=b2+c2+bc9=b2+c2 bc以上两式可知 bc=272.所以 SABC=12bc sin 60=2738.解法三 利用 ADB+ADC=180,分别对 ADB，ADC 利用余弦定理可得答案.136.依题意,2#AP#AB 8,得#AP 2#AB 4,即点 P 到 AB 所在的直线的距离大于等于 4,取图 11.19AB 的中点 M,由极化恒等式可知#PA#PB=#PM2#AB24=#PM2 25 16 25=9,选 C.137.依题意及矩形大法得#O

722、P2+#OC2=#OA2+#OB2=8#OC=7,图 11.20#OC#OP=1 7 cos#OC,#OP 7,7.138.设 a=32,12,b=32,12 为符合题意的两个向量,则 a+b=(3,0),即 C(3,0),而|m a b|=1,则 m 的终点在以 C 为圆心,1 为半径的圆上,从而当 m 的终点在点 D(3+1,0)处时,|m|最大,且|m|max=3+1.故选 B.139.依题意可知,#PA+#PB+#PC=#AP+#PB#PC=2#AP#RA+#RB+#RC=#CA#QA=2#BQ#RA+#RB+#RC=#CA#RB=2#CR,谁要游戏人生，他就一事无成。第 365 页即

723、点 P,Q,R 为各边的三等分点,再特殊化令 ABC 为边长为 3 的等边三角形可知 SPQRSABC=13.故选 B.140.如图 11.21,设#a=#OA,#b=#OB,#c=#OC,依题意,C 在以 O 为圆心,半径为 1 的圆上,又图 11.21#a#b#a+#b 2#c=0#BA#CA+#CB=0,取 AB 中点 M,则 ABCM,又因为|#a#c|=3,#CA=#CB=3,即 A,B 在以 C 为圆心,半径为 3 的圆上,构造矩形 OADB,由平面向量矩形性质可知#CD2=#CA2+#CB2#CO2=9+9 1=17,再由平面几何矩形对角线等长以及圆的“一箭穿心”原理可知|#AB

724、|max=|#OD|max=|#CD|+1=17+1.141.依题意,对任意 x R,x#AC+#AB#AD#AB 恒成立,我们可得 BDAC,在 RtABD 中,设 AD=2t,则 AB=4t,在 ABC 中,由余弦定理可得 BC=13,再由余弦定理可得cos ABC=51326,故答案为 51326.142.根据题意#AP=#AB+#AC#AP#BC=#AB+#AC#BC=0.又因为#BC=#AC#AB,所以#AB+#AC#AC#AB=0,整理得(1)#AB#AC#AB2+#AC2=0 7=12 =712143.延长 F2Q 交 PF1 于点 A,如图 11.22 所示,由 1 知 QF2

725、 F2PF1 的平分线,由 2 知 QP图 11.22第 366 页和 F2PF1 的平分线共线,由此我们可以得到 APF2 是以 P 为顶点的等腰三角形,由双曲线的定义得|PF1|PF2|=2,所以|PF1|AP|=|AF1|=2,连接 OQ,由中位线可知|OQ|=1,所以点Q 的轨迹方程为 x2+y2=1(y 0).144.根据题意,以 OA 为 x 轴,以 OB 为 y 轴建立直角坐标系,则#OA=(1,0),#OB=(0,3),#OC=(m,3n),因此 tan 30=3nm=33 mn=3.145.根据题意#EA#EB+#EC=2#EA#ED=2#EA#ED=2#EA2#EA 2.1

726、46.根据题意,建立如图 11.23 所示的坐标系,设 N(x,y),则图 11.23M(2,3),C(5,3)#AM#AN=2x+3y,按照线性规划,当直线 z=2x+3y 过点 C5,3时有最大值 13.147.图 11.24图 11.25图 11.26如图 11.24 所示,以向量 b 的模长为弦做圆,使得张角为 60,根据图形我们知,当 a 为直径时,|a|最大.所以|a|的取值范围是0,233.148.如图 11.25 所示,令 a=(1,0),b=(0,1),易知|c a b|=1|c (a+b)|=1,即 c 是以(1,1)为圆心,以 1 为半径的圆.答案为2+1.149.如图

727、11.26 所示.答案为 0,1.150.以|a|为弦画张角为 6 的圆.答案为 4.为真理而斗争是人生最大的乐趣。布鲁诺第 367 页152.建立如图 11.27 所示坐标系,设#a=#OA，#b=#OB，#c=#OC，由式(#a#c)#b#c=0 可知点 C 在以 AB 中点 D1,32 为圆心，半径为 r=#AB2=32 的圆上，由平面几何圆的“一箭穿心”原理可知|#c|OD|r,|OD|+r=7 32,7+32.图 11.27图 11.28图 11.29153.设 a=(1,0)，b=(0,1)，如图 11.28，则 c=(1,0)在以12,12为圆心，半径为22 的圆上运动，故|c|

728、的最大值为2.154.易知 a=(1,0),b=(0,1),c=(cos,sin),于是(a c)(b c)=1 (cos +sin)1 2.155.如图 11.29 所示,易知 a,b=120,画出一个圆.故|c|的最大值为圆的直径,选 A.156.依题意 b2 4b e+3=0 (b e)(b 3e)=0,所以向量 b 是以向量 e，3e 的终点连线为直径的一个圆,如图 11.30 所示.此时|a b|的最小值是3 1.选 A.157.依题意(a c)(b c)=0 可知向量 c 在以向量 a，b 终点为直径的圆上.如图 11.31 所示.答案为7 32.158.依题意|#a|=|#b|=

729、#a#b=2，可知#a,#b =3，令#a=#OA，#b=#OB，#c=#OC，则图 11.30图 11.31图 11.32第 368 页AOB=3，|#OA|=|#OB|=2,所以(#a#c)#b 2#c(#a#c)12#b#c=12(11.15)如图 11.32,取 AB 中点 B,则式(11.15)为#CA#CB=12,取 AB 中点 P,由极化恒等式#CA#CB=|CP|2|AP|2=12|CP|=52(11.16)式(11.16)说明点 C 在以 P 为圆心,52 为半径的圆上,由图可知,当 C 位于直线 PB 与 P 的交点时,|#b#c|=|#CB|取最小值,|#CB|min=|

730、BP|r=7 52.161.如图 11.33 所示,取 BC 中点 D,连接 PB,PC,根据题意图 11.33#AP=k#AB+#AC=2k#AD ADAP=12k(11.17)所以 A,P,D 三点共线.因为 P 是 ABC 的外心,故 BPC=2DPC=2BAC.可知25=cos BAC=cos DPC=PDPC=PDPA ADAP=75(11.18)由式(11.17),(11.18)知 k=514.162.对式#OA+#OB=2#OC 两边平方,可知#OA 和#OB 垂直,圆周角等于圆心角的一半,所以选B.163.根据题意 3#OA+4#OB=5#OC 9+16+24#OA#OB=25

731、#OA#OB SOAB=12.由奔驰定理,SOABSABC=53+4+5.于是 512=12SABC SABC=65,选 C.好脾气是一个人在社交中所能穿着的最佳服饰。都德第 369 页164.取 BC 中点 D,因为 O 是 ABC 的外心,#AO=13#AB+#AC=23#AD,外心重心重合,故BAC=60.选 C.165.依题意设圆心为 O,则#AD#BC=2#AO#AC#AB=#AC2#AB2(11.19)又由#AB#BC=32 可得32=#AB#BC cos B#AB cos B=34(11.20)在 ABC 中由余弦定理可得#AC2#AB2=4 4#AB cos B(11.21)把

732、式(11.19),(11.20)代入式(11.21),可得#AD#BC=4 3=1.故选 A.166.给式子#AO=x#AB+y#AC 两边同时点乘#AB,#AC 得12#AB2=x#AB2+y#AB#AC 2=4x+3y(11.22)12#AC2=x#AB#AC+y#AC2 92=3x+9y(11.23)解得 x=16,y=49,2x+3y=53.选 B.167.依题意#AO#BC=#AO#AC#AB=#AC2#AB22=10,选 C.168.依题意,给式子#AO=m#AB+n#AC 两边分别点乘向量#AB,#AC 得#AB22=m#AB2+n#AB#AC=m#AB2+n#AB#AC cos

733、 60#AC22=m#AB#AC+n#AC2=m#AB#AC cos 60+n|#AC|2m=2145n=545 m+n=2645.169.由式#OA=#OB=#OC 可知点 O 是 ABC 的外心,给式子#AO=m#AB+n#AC 两边分别点乘#AB，#AC,得12#AB2=100m+30n12#AC2=30m+36nm=715n=19 m+3n=45.第 370 页172.依题意 d=2，d=1,若圆 C 上至多有一个点到直线 x 3y+3=0 的距离为 1,则d r+d 0 r 1,若圆 C 上有两个点到直线 x 3y+3=0 的距离为 1,则 1 r 3,所以q:0 r 3,故选 C.

734、175.易知 a=1,且 M(1,0),所以#MP#MF2=2 1.选 C.176.e=sin 90sin 30 sin 60=3+1.178.SMF1F2=b2tan 2=2,所以点 M 到点 x 轴的距离为 d=2SMF1F22c=23=233.180.如图 11.34 所示,以 F1，F2 为直径做圆,当 F1PF2 为钝角时,点 P 一定在圆内,此时,有图 11.34x204+y20=1x20+y20 3 x20 83.181.特殊化,令 PFA=2PAF=90,此时b2a=a+c c2 2a2 ac=0 e2 e 2=0 e=2.182.由本书第 71 页定义 3.1 可得点 Pc2

735、,3c2,所以|OP|=c=12|F1F1|,于是 PF1F2 是顶角F1PF2 为直角,底角分别为 30 和 60 的直角三角形,于是 e=sin 90sin 60 sin 30=3+1.184.tan tan =e2 1=34，所求=1+tan tan 1 tan tan =17.186.由式(3.4.3)得|PF1|+|PF2|=4,|PF1|PF2|=4|PF1|=|PF2|=2所以点 P 为短轴顶点,故选 D.无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。第 371 页187.由定理的证明方法可知 1e21+3e22=4.换元,m=1e21n=3e22e21=1me22=3nm

736、+n=4由权方和不等式知e21+2e22=1m+6n (1+6)24=7+267188.由两曲线的中心对称性以及定理 3.5 可知 1e21+3e22=4.再由基本不等式可得4=1e21+3e226e21e22当且仅当 1e21=3e22=2 时等号成立.此时 e22=32 ba=22,故选 C.196.根据向量的定义可知 A 在双曲线的左支,B 在双曲线的右支,设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则#AF=3#BF c x1=3(c x2)2c=3x2 x1(11.24)又根据双曲线图象易知x1 ax2 a 3x2 3a 3x2 x1 4a(11.25)由式(11.24)(11.25)可

737、知 2c 4a e 2.197.根据第 96 页定理 3.6 可知 e cos =13 a=3c cos,又因为|AB|=|BF1|且根据椭圆定义知|BF1|+|BF2|=2a,所以|AF2|=a,又由焦半径公式【第 93页定义 3.8】知b2a c cos =a 2a2=3b2,依题意 c=1 a2=3,故选 B.202.设 A(x1,y1)，B(x2,y2),易知#OA#OB=x1x2+y1y2=p24 p2=3p24=12 p=4203.由|AB|=2psin2,知焦点弦的倾斜角为 4,于是 SAMB=12 2 8 sin 4=42.故选 B.第 372 页204.(1)设 A(x1,y

738、1)，B(x2,y2),则x216+y212=1(11.26)x226+y222=1(11.27)(11.26)-(11.27)得x21 x226=y22 y212(x1+x2)(x1 x2)6=(y2+y1)(y2 y1)2 2(x1 x2)6=(y2 y1)2即 kAB=23,所以直线 l 的方程为 4x+6y 7=0.(2)定值为66.205.kPA kPB=b2a2=94,离心率 e=1+b2a2=132,故选 A C.206.依题意易知(1)C:x24+y23=1;(2)由椭圆中点弦定理(点差法)可知 kAB=34 1t=34t,因此 kl=4t3.又因为直线 l 过 P(1,t)点

739、,由点斜式方程可得:y=4t3(x 1)+t,整理得 y=43 x 13t,故直线 l 恒过点14,0.207.设 A(x1,y1)，B(x2,y2)关于直线 l 对称,N(x0,y0)为 AB 的中点,由本书第 112 页定理 3.8 以及直线 l 方程x0y0=13y0=4x0+m m=x0(11.28)再由 N 在椭圆内,可得x204+y203|AB|=2,由椭圆定义可知顶点 C 的轨迹为中心在原点,以 A、B 为焦点的椭圆(不包括与 x 轴交点).2a=4，2c=2 b2=a2 c2=3,轨迹方程为 x24+y23=1(x 2).(2)可知 k=3x02,所以线段 MN 的垂直平分线方

740、程为y=23x0(x x0)32=23x0 x+36(11.29)所以过定点0,36.211.依题意(1)设 a=2t(t 0)，c=3t,则 b2=t2,此时椭圆方程为 x24t2+y2t2=1,代入点1,32,得t2=1,故随圆 C 的方程为 x24+y2=1;(2)设 l:y=kx+2,平行四边形 OAMB 的对角线交点 C(x0,y0),则 M(2x0,2y0),由点差法以及 M点在椭圆上可知k=14 x0y0(11.30)y0=kx0+2(11.31)(2x0)24+(2y0)2=1(11.32)解得 k=152,所以直线 l 的方程为 y=152x+2.第 374 页212.由抛物

741、线定义可知 B 点横坐标为 1,所以 B(1,4),又 F(4,0),所以平行四边形的对角线交点为M52,2,又对角线 AC 过 M,排除 A C 选项,又由中点弦公式可知 kAC=4,选 B.215.(I)12;(II)利用本书第 140 页定理 3.13 可知答案为3.218.(1)证 依题意 b=c=1,所以 a=2,于是 C:x22+y2=1,由点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OAOB 知 OA 的斜率肯定存在.1当 OA 的斜率为 0 时,|OA|=2，|OB|=2,于是|AB|=2，O 到 AB 的距离为 1,所以直线 AB 与圆:x2+y2=1 相切;2当

742、 OA 的斜率不为 0 时,设 OA 的方程为 y=kx,与椭圆联立x22+y2=1y=kx得(1+2k2)x2=2,所以x2A=21+2k2y2A=2k21+2k2从而|OA|2=2+2k21+2k2,由 OAOB 知 OB 的方程为 y=kx,而点 B 在直线 y=2 上,所以 x=2k,从而|OB|2=2+2k2,于是1|OA|2+1|OB|2=1,由等面积法可知 O 到 AB 的距离为 1,所以直线 AB 与圆:x2+y2=1 相切.综上所述,直线 AB 与圆:x2+y2=1 相切.(2)由(1)知 AOB 的面积为S=12|OA|OB|=2+2k221+2k2=1+(1+2k2)21

743、+2k2=1211+2k2+1+2k2 1当且仅当 k=0 时等号成立.此时 A(2,0)，B(0,2),不妨设 A(2,0)，B(0,2),则直线 AB:y=x+2,代入椭圆C 方程解得 yD=223,即x2D=29y2D=89从而|OD|=103.219.(1)设 a=2t，c=t，b2=a2 c2=3t2,此时椭圆方程为 x24t2+y23t2=1,代入点1,32,解得t2=1,所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1.人生有两出悲剧。一是万念俱灰；另一是踌躇满志。第 375 页(2)1当直线 MN 的斜率不存在时,由对称性,设 M(x0,x0)，N(x0,x0),因为 M，N 在椭圆

744、上,所以x204+x203=1 x20=127.O 到直线 MN 的距离 d=|x0|=2217，x2+y2=127.2当直线 MN 的斜率存在时,设 MN:y=kx+m,联立y=kx+mx24+y23=1得(3+4k2)x2+8kmx+4m2 12=0,设 M(x1,y1)，N(x2,y2),则 x1+x2=8km3+4k2，x1x2=4m2 123+4k2,OM ON，x1x2+y1y2=0,x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(k2+1)4m2 123+4k2 8k2m23+4k2+m2=0,即 7m2=12(k2+1),O 到直线

745、 MN 的距离 d=|m|k2+1=127=2217.故存在定圆 x2+y2=127 与直线 MN 总相切.220.设|OP|=m，|OQ|=n,因为#OP#OQ=0,所以 RtOPQ 斜边上的高1h2=1|OP|2+1|OQ|2=16+13=12(11.33)由等面积法知|PQ|=mnh=mn2,易知 RtOPQ 的内切圆半径 r=|OP|+|OQ|PQ|2=m+n mn22,由式(11.34)知2m2+2n2=1(11.34)引入参数方程,令2m=cos 2n=sin m=2cos n=2sin 第 376 页所以2r=m+n mn2=2cos +2sin 2sin cos=2(sin +

746、cos)2sin cos 22sin cos 2sin cos 当且仅当 sin =cos 时等号成立,即 sin =cos =22,此时 2r 4 22,所以 r 2 2.选 B.221.(1)x24+y23=1；(2)动直线 3x+ty 3=0，t 为 P 点纵坐标；定点(1,0).226.注 过点 A0,p2作抛物线 x2=2py 的切线,切点为 P,则直线 AP 的斜率为 1.图 11.35过点 P 作 PP 抛物线的准线,垂足为 P,于是 PFPA=PPPA=sin PAP,要使 sin PAP 最小,只需 tan PAP 最小,即直线 AP 的斜率最小,故 AP 为抛物线的切线,所

747、以 kAP=1,此时|PF|PA|=22.228.圆 x2+y2 6y+5=0 的标准方程为 x2+(y 3)2=4,又知直线 AB 恒过定点(0,3),此即圆心,故所得弦长为直径 4.故选 C.229.设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 P 3 (x1+x2),3 (y1+y2)，由阿基米德三角形性质可知 P x1+x22,x1x22，因此秦九韶（约 12021261），字道古，四川安岳人。第 377 页3 (x1+x2)=x1+x223 (y1+y2)=x1x22y1+y2=x21+x222=(x1+x2)2 2x1x22x1+x2=2x1x2=2 P(1,1)m=1，所以抛物线

748、D:y2=x，故选 A.230.直线 AB 过抛物线 C 的焦点0,12.231.由本书第 96 页定理 3.6 易知直线 AB 的斜率 kAB=3，由阿基米德三角形性质知MFAB M1,233.232.解法一 设 P(x,y),则|PF|PA|=(x 1)2+y2(x+1)2+y2=x2+2x+1x2+6x+1=1 4xx2+6x+1 22解法二 设 P 为点 P 在抛物线准线上的投影,由抛物线的定义,则|PF|PA|=|PP|PA|,要使|PP|PA|最小,则直线 AP 的斜率应最大.即直线 AP 与抛物线相切,根据阿基米德三角形推论 3.36 知 PFAF,此时 P 点坐标为 P(1,2

749、),|PF|PA|=24+4=22237.由#MA#MB=0 知此题为特殊化的阿基米德三角形.所以 k kMF=1 k=2.238.由推论 3.36 知 MN 连线过抛物线焦点(1,0)并垂直于 x 轴.计算可得 M 点坐标为(1,2),又因为四边形 PMAN 为平行四边形,所以椭圆中 a=3,设椭圆方程为 x29+y2b2=1,代入 M 点坐标,可知答案为 B.240.易知抛物线方程为 x2=2y.由阿基米德三角形性质知线段 PQ 过焦点且 N 点的纵坐标为yP+yQ2,由本书第 133 页抛物线几何平均性质知 yPyQ=14.再由基本不等式知yP+yQ2 yPyQ=12.答案为 D.第 3

750、78 页241.设点 P 坐标为 P(x0,1),易知 AB 所在直线方程为 x0 x=2(y 1),所以直线 AB 恒过焦点(0,1),设 A(x1,y1)，B(x2,y2),由抛物线几何平均值可知 y1y2=1,A 点到准线的距离与 B 点到准线的距离之和 y1+y2+2 2 y1y2+2=2+2=4,当且仅当 y1=y2=1 时等号成立.242.易知 AF1F2 为等腰直角三角形,由双曲线定义可得2a=AF2 AF1=2p p(11.35)2c=p(11.36)式(11.36)(11.35)得 e=2+1.故选 C.243.椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的蒙日圆为 x2+

751、y2=a2+b2，a+2+a=4 a=1,故选 A.注 也可以特殊化,把椭圆的右顶点和上顶点作为切点.244.依题意,若 APB 恒为锐角,则蒙日圆 x2+y2=a2+1 与直线 3x+4y 10=0 相离,即d=105 a2+1 a2+1 4 1 a2 3从而离心率 e=1 1a2 0,63.答案为0,63.245.易知直线 l 的斜率存在且不为 0,设方程为 x=ty+2,令#NC=#CF,设 C 点坐标为 C(x,y)，N 点坐标为 N0,2t,由定比分点公式可得x=21+y=2t1+,因为 C 点在椭圆上,所以 21+29+2t1+25=1 25t22+90t2 36+45t2=0(1

752、1.37)根据题意我们可知 m 和 n 是方程(11.37)的两个根.由韦达定理可知 m+n=185.246.(1)x2 y23=1;不到最后绝不轻言放弃，一旦放弃了，比赛也就结束了。第 379 页(2)易知直线 l 的斜率存在且不为 0,设方程为 y=kx+4,根据题意#PQ=1#QA=2#QB,可化为#PA=(1 1)#AQ#PB=(2 1)#BQ(1 1)+(2 1)=23(11.38)令#PD=#DQ,设 D 点坐标为 D(x,y)，Q 点坐标为 Q4k,0,由定比分点公式可得x=4k1+y=41+,因为 D 点在双曲线上,代入并化简可得48k2 32 6 19=0(11.39)根据题

753、意我们可知(1 1)和(2 1)是方程(11.39)的两个根.因此648k2 3=23 k2=4252.PMN 的外接圆方程为 x2+y2 4x 8y+7=0.255.依题意3=h2+2a24 h2+2a2=12 2a2=12 h2 V=SABC h=12a2h=14h(12 h2).V(h)=34h2+3=31+12h 1 12h,于是 V(h)max=V(2)=6 2=4.选 C.256.易知 CB 平面 ABP,R2=44+33=2,所以三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 8,选 A.257.易知 R2=124+12=55，S=4R2=5.选 D.258.依题可知 PMPA，PMPD

754、，MP 平面 PAD,R2=MP24+r2=1+r2,其中 R,r 分别为三棱锥 M PAD 的外接球半径和 PAD 的外接圆半径,而在 PAD 中,由正弦定理得 2r=4sin 150=8 r=4,R2=1+r2=17,于是 S 球=4R2=68.答案为 68.第 380 页261.记正三角形 ABC 的边长为 a,则 PC=4 a,则三棱锥 P ABC 外接球半径满足R2=(4 a)24+a23=712a2 2a+4=712a 1272+167 167(11.40)选 D.263.辅助线如图 11.36,取 AC 中点 D,连接 DB,DS,则 S DB 就是二面角 S AC B 的平面角

755、,图 11.36图 11.37在 S DB 中由余弦定理可求得 S B2=12,由勾股定理逆定理可知 SCB=S AB=90,S B即为三棱锥 S ABC 的外接球直径,于是外接球表面积是 4R2=4 3=12,故选 C.注 SCB=S AB=90,三棱锥 S ABC 为弹三角板模型,如图 11.37,过 A 作AH S B 于 H,连接 HC,易知 AHC 为以 AC 为底的等腰三角形.且 S BAHC,于是三棱锥 S ABC 的体积 VS ABC=13SAHC S B.264.三棱锥 P BCD 为典型的弹三角板模型,如图 11.38,过点 C 作 CE BD,垂足为 E,连接EP,则四面

756、体体积 VPBCD=13 SPCE BD.过点 E 作 EF PC,垂足为 F,则 SPCE=EF=PE2 1,于是四面体体积VPBCD=83 PE2 1,故只需 PE 最大便可得到四面体体积 VPBCD 最大.在 PBD 中,由 PB+PD=10,BD=8,我们想到了椭圆的定义:以 B,C 两点为椭圆的左右焦点,构造椭圆:x225+y29=1,易知 PE 的最大值为椭圆的短半轴 3,所以四面体体积 VPBCD=83 22=1623.第 381 页故选 C.图 11.38267.依题意点 P 在平面 ABC 内的投影 D 恰好落在 AB 上,所以平面 PAB 垂直于平面 CAB,易知ABC 的

757、外接圆半径的平方为 134,ABP 的外接圆半径的平方为 52,于是R2=134+52 94=72 S 球=4R2=14.选 D.273.依题意 cos2 2=sin 2=2 tan 1+tan2 =45,选 D.274.依题意 tan+4=3 tan =2,所以 sin 2=2 tan 1+tan2 =2 21+22=45.选 A.275.依题意由万能公式2 tan 21+tan2 2+1 tan2 21+tan2 2=75 tan 2=13 或 12,选 C.276.依题意得 tan =3,cos2 +12 sin 2=110+12 2 31+32=25,选 D.277.由万能公式可得 1

758、 tan2 1+tan2 =4 tan 1+tan2 1,解得 tan =12,所以 sin =55,选 C.279.令 X=4 ,Y=2,则 2X+Y=2,于是sin 2=sin Y=sin2 2X=cos 2X=2 cos2 X 1=2 452 1=725.选 D.280.令 X=+12,Y=2+23,则 Y 2X=2,于是sin2+23=sin Y=sin2+2X=cos 2X=2 cos2 X 1=1625 1=725.第 382 页281.令 X=3,Y=2 6,则 Y 2X=2,于是sin2 6=sin Y=sin2+2X=cos 2X=1 2 sin2 X=1 225=2325.

759、284.稍作变化 y=2 cos 2x=2 cos(2x ),y=3 sin 2x cos 2x=2 sin2x 6,令两个三角函数都等于 1.sin2x 6=1cos(2x )=1x=3 x=23 2 相当于向右平移 6 个单位长度.故选 D.286.依题意令 sin2x+6=1 x=6,令 cos 2x=1 x=0,故选 D.289.充分性显然成立,若 cosC 0 b,故 B=6;(2)由边上中线等于边长度的一半可知三角形 ABC 为直角三角形,故 SABC=32.293.解法一 由正弦定理知asin A=csinC=bsin B=2.所以2a+c=4 sin A+2 sinC=2 si

760、nC+4 sin23 C=4 sinC+23 cosC=27 sin(C+)27,所以最大值为 27.解法二 由余弦定理知 a2+c2 ac=3.设 2a+c=t c=t 2a,代入 a2+c2 ac=3,得7a2 5at+t2 3=0.于是 0 t2 28 2a+c 27.295.(1)由射影定理 a=b cosC+c cos B 可知3a=3b cosC c sin B 3c cos B=c sin B B=23;(2)易知 ABC 的外接圆半径 R=3sin 23=2,所以当点 B 在边 AC 的中垂线上时 ABC 的面积取得最大值.此时 ABC 是顶角为 23 的等腰三角形,对 ABD

761、 运用余弦定理可得AD=7.阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。培根第 383 页296.依题意,由 23 cos2 A2=sin A A=23,又由正弦定理可知 2R=asin A a=23,辅助线如图 11.39,延长 CA 到 D,使得 AB=AD,此时 ABC 周长变为 23+CD,作出 BCD 的外接圆,易知其半径 r 满足 2r=asin 3,解得 2r=4，CD 的最大值为 4,再利用两边之和大于第三边知 a+b+c 2a=43,故选 C.图 11.39图 11.40297.(1)由二倍角及正弦定理得 ab=a2+b2 c2 C=3,(2)如图 11.40,延长中线 CD

762、到 E,使 DE=DC,连接 EB,在 CBE 中,CBE=23,设CD=x,由余弦定理得4x2=a2+b2+ab 3ab(11.41)当且仅当 a=b 时等号成立.又 ABC 的面积为 2,所以2=12ac sin 3 ab=833(11.42)将式(11.42)代入式(11.41),CD2 23(11.43)第 384 页298.延长 AM 至 D,使得 MD=2AM,则 ABMDCM.在 ACD 中,CDA=120，AD=3，CD=2AB,以下从略.299.根据题意 B=2A 2 cos A=ba.又因为三角形为锐角三角形,所以A+B=3A 90 A 30B=2A 90 A 45 30

763、A 45 2 2 cos A 3故选 A.300.根据题意可知 a=2 cosC.又因为正弦定理,所以b=c sin BsinC=sin(A+C)sinC=sin 3CsinC=4 cos2 C 1所以a+b+c=4 cos2 C+2 cosC(11.44)又因为0 A 2 0 2C 20 B 2 0 C 2C 20 C 2 6 C 4 2 2 cosC 3(11.45)利用二次函数的性质可知 a+b+c 的取值范围为2+2,3+3.故选 C.301.根据题意可知 cos B=1 2 sin2 A=cos 2A,所以 B=2A,因此 b2=a(a+c),于是cb a=b+aa=ba+1,又由

764、B=2A 可得 ba=2 cos A,所以cb a=2 cos A+1,又0 B=2A 0 C=3A 0 A 3 12 cos A 0 时单调递增,所以函数 f(x)为开口向上的轴对称图形,自变量离对称轴越远函数值就越大.因此|x|2x 1|13 x 1.324.函数 f(x)=ex1+e1x 的图象是开口向上的轴对称图形,且对称轴为 x=1,所以f(x 1)e+e1|x 1 1|1 0|x 2或x f(x)1 2x x x 3x2+2x 1 转化为2x2 12 x2 x+12 3x2 2x+1 0整理得 3x2+2x 1 0,解得 1 x 13.所以答案为1,13.334.f(x)=x2+2

765、x m cos(x+1)+m2+3m 7=(x+1)2 m cos(x+1)+m2+3m 8,可以看成是偶函数 g(x)=x2 m cos x+m2+3m 8 向左平移了一个单位,因为函数 f(x)有且仅有一个零点,所以 g(0)=0 m=2.338.解法一 对式子 f(x+y)=f(x)+f(y)+2018 两边同时加上 2018,令 h(x)=f(x)+2018,则h(x+y)=h(x)+h(y),易知 h(x)为奇函数.故 g(x)=h(x)+2018x2019 2018.此为典型的奇函数加常数模型,故答案为 4036.解法二 令 f(x)=2018.339.易知函数 f(x)的定义域为

766、(1,1)且单调递增,所以1 a 11 a+1 1 1 a 2 f(a+1)f(a)a 12,综上选 C.347.根据题意,函数 f(x)的图象是以 x=1 为对称轴的轴对称图形,并且开口朝上,则f(x)f(2x+1)|x 1|2x+1 1|x2 2x+1 4x2.因此选 C.348.由三次函数的对称性可知 f(x)的对称中心为12,14.所以 f(x)+f(1 x)=12.因此2016k=1fk2017=f12017+f22017+f20152017+f20162017第 388 页=f12017+f20162017+f22017+f20152017+f10082017+f10092017=

767、12 1008=504.选 B.349.由“11”型函数的对称性可知 f(x)的对称中心为12,1.所以 f(x)+f(1 x)=2.因此2017n=1fn2017=f12017+f22017+f20152017+f20162017+f(1)=f12017+f20162017+f22017+f20152017+f10082017+f10092017+0=(2)1008=2016350.易知 f(x)的对称中心为(1,0),由三次函数性质知 g(x)的对称中心为(1,0).令 n=2,则x1+x2+y1+y2=2+0=2,故选 A.351.易知 f(x)的对称中心为(a,b),h(x)的对称中心

768、为(a,b).所以2mi=1(xi+yi)=2m(a+b)=4m a+b=2由轮换对称知最小值为 1+1=2.352.易知函数 f(x)的对称中心为12,12,所以 f(x)+f(1 x)=1,故选 B.353.易知函数 g(x)=x+42x 1 是以12,12为对称中心的中心对称函数,和函数 f(x)的图象如图11.42 所示,故选 A.图 11.42业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。韩愈第 389 页355.因为 f(x)的周期为 4,所以 f(x+3)=f(x 1).358.易知 f(x)的最小正周期为 8,因为 55 8=6 7,而 7=8 1,所以f(1)+f(2)+f(55)=0

769、.361.0 即可,(,3)(6,+).362.易知过 f(x)的中心点的切线方程为 y=x,且点(1,b)在 A 区域,所以 1 b 2 a 324.364.(1)f(x)=x3 3x；(2)根据题意,易知|f(x1)f(x2)|f(x)max f(x)min|=4 c 4；(3)6 m 0),令 f(x)=0 得2a=1+ln xx(11.53)记 Q(x)=1+ln xx,则 Q(x)=ln xx2,Q(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,于是 Q(x)max=Q(1)=1,又易知 Q1e=0,并且当 x 1e 时,Q(x)0.当 0 2a 1 即 0 a 12 时,方程

770、(11.53)有两解.综上所述,当 0 a 0),令 g(x)=0 得 2a=ln xx,记 h(x)=ln xx,则 h(x)=1 ln xx2,h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,于是h(x)max=h(e)=1e,所以当 0 a 12e 时,g(x)有两个极值点 x1，x2,由ln x1=2ax1(11.54)ln x2=2ax2(11.55)由式(11.54),(11.55)得 ln(x1x2)=ln x1+ln x2=2a(x1+x2),2a=ln(x1x2)x1+x2,不妨设 x1 x2,则 1 x1 e x2 e,又 h(x)在(e,+)上是减函数,ln(x1

771、+x2)x1+x2 ln(x2)x2=2a=ln(x1x2)x1+x2,ln(x1+x2)ln(x1x2)，x1+x2 0,则 x=x0 为函数 f(x)的极小值点;2若 f(x0)0,则 x=x0 为函数 f(x)的极大值点.若 x0 为函数 f(x)的极小值点,且 f(x1)=f(x2),x1 0 在区间(m,n)恒成立,则极小值点右偏,所以 x1+x2 2x0;(2)若 f(x)2x0.依题意 f(x)=2x2+1x=x 2x2(x 0),所以 f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+)单调递增,于是x=2 是 f(x)的极小值点.故 A;由于 y=f(x)1=2x2+1x 1=x2+x

772、 2x2 0),所以 f(x)在(0,+)单调递减,且f(1)1=2+ln 1 1=1 0，f(2)2=1+ln 2 2=ln 2 1 kx k 0),则 g(x)=4+x x ln xx3,令 h(x)=4+x x ln x(x 0),则 h(x)=ln x,敏而好学，不耻下问。孔子第 391 页 h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+)单调递减,h(x)h(1)0,g(x)maxx1,x2 4;2 当 x 6 时,f(x)2 2=4.所以 D.答案为 B,D.58.依题意(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x+(2a 1)x 2a=(2a 1)x2 2ax+1x=(x 1)(

773、2a 1)x 1x,1当 a 12 时,令f(x)0 x 0得 0 x 1,令f(x)0得 x 1;2当 12 a 0,令f(x)0 x 0得 0 x 12a 1,令f(x)0得 1 x 1 时,则 0 12a 1 1,令f(x)0得12a 1 x 1.综上所述,当 a 12 时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减;当 12 a 1 时,f(x)在0,12a 1上单调递增,在12a 1,1上单调递减,在(1,+)上单调递增.第 392 页(2)证 由(1)可知 a=1,此时 f(x)=ln x+12 x2 2x,设 x1 x2,又因为 f(x1)+f(x2)=3=2f(1)

774、,则 0 x1 1 0(11.56)对任意 x (0,1)成立,所以 g(x)在(0,1)上是增函数,于是 (0,1),有 g(x)g(1)=2f(1)+3=0,即 (0,1),有 f(2 x)+f(x)+3 0,因为 0 x1 1,所以有 f(2 x1)+f(x1)+3 f(2 x1),又 f(x)在(0,+)单调递增,所以 x2 2 x1,即 x1+x2 2.64.C28 10=18.65.选一个空盒的方法为 C14 种，再按照 m=5、n=3 的满射分配求出 5 个小球放入 3 个小盒的方法：数列 an 满足 a1=1，a2=30，a3=150，所以一共有 C14A3=150 种，恰有一

775、个空盒的概率为C14A345=75128.海纳百川有容乃大；壁立千仞无欲则刚。林则徐第 393 页第十二章变式训练答案速递1.D2.C3.D4.D5.C6.A7.4.8.A9.492.10.BCD11.312.D13.A14.an=(n 1)215.2019202116.D17.B18.A19.(1)an=2n 4;20.B21.C22.(1)an=3n1;(2)m=6.23.(1)an=2n;(2)S n=21.24.25425.926.1427.B28.S 2020=32020 1229.C30.B31.63.32.D33.B34.(1)S n=n2+n;(2)数列an+bn 是以 3 为

776、首项,3 为公比的等比数列;数列 an bn是以 1 为首项,1 为公比的等比数列.35.A36.an=2n2 或 an=22n.37.A,B38.D39.(1)an=4n;(2)121 1n+1.40.B41.2142.D43.21.44.C45.346.402747.B48.D49.14,5439450.551.2n1n,12.52.C53.D54.an=3n+n 1.55.(1)bn=n2 2n+2;(2)数列bnan的最大项为第 4 项 54.56.an=n(n+1).57.an=1n.58.BD59.an=3 3 23n.60.2.61.(1)bn 为以 3 为首项,32 为公比的等

777、比数列;an=3 32n1 2;(2)m 1.62.(1)bn=2n 1;(2)3016.63.C64.an=4 3n1 3 2n1.65.(1)略;(2)74 2n+74 3n.66.an=9 12n+6n 9.67.an=5 2n1 2n 1.68.C69.an=22 3n1 1.70.an=12n 1.71.an=n72.an=n+12(n为奇数)2n2(n为偶数).73.an=4 3 12n1(n为奇数)4+3 12n1(n为偶数).74.=4.75.=4.76.(1)q=2;(2)S n=23n 79(2)n+79.77.(1)a2=3a1 4=5,a3=3a2 8=7,an=2n+

778、1;(2)S n=(2n 1)2n+1+2.78.(1)k=4，an=92 n;(2)Tn=4 n+22n1.79.(1)an=4n 2;80.B81.(1)an=n+5;(2)k 1009.82.(1)an=2n83.(1)an=2n;bn=2n1;(2)Tn=2n 1+n2n+1.84.(1)an=2n1;(2)Tn=n2n+1.85.(1)选条件 2,an=2n1;(2)Tn=34 2n+32(n+1)(n+2).86.(1)an=2n+1;(2)Tn=4n6n+9+2n.87.(1)数列ann是以 4 为首项,2 为公差的等差数列;(2)S n=n2+2n4(n+1)2.88.(1)a

779、n=3n;(2)Tn=3(3)n 14+nn+1.89.5.90.(1)an=2n 4.91.(1)an=2n1;(2)略.92.(1)an=(2)n;(2)Tn=(2)n+1+2(2)n+1+1.94.(1)an=2,n=12n1,n 295.(1)S n=n(n+1);(2)见详解.96.Tn=1+(1)nn+1.穷则独善其身，达则兼济天下。孟子第 395 页97.|a1|+|a2|+|a3|+|an|=12n2+212 n,n 1112n2 212 n+110,n 1198.|a1|+|a2|+|a3|+|an|=3n2+103n2,n 173n2 103n2+884,n 1799.41

780、00.B101.B102.A103.A104.3105.4+233106.A107.A108.19109.C110.2111.D112.D113.6114.2115.A116.B117.233118.B119.C120.D121.D122.A123.A124.D125.B126.D127.A128.B129.D130.D131.C132.B133.B134.A135.2738136.C137.7,7138.B139.B140.17+1141.51326.142.712.143.x2+y2=1(y 0)144.C145.A146.A147.0,233148.2+1149.0,1150.4151.

781、13+1152.B153.2.154.1 2.155.A156.A157.7 32158.A159.2第 396 页160.C161.k=514162.B163.C164.C165.A166.B167.C168.2645169.45170.(13,13)171.B172.C173.4174.A175.C176.e=3+1177.B178.C179.B181.C182.3+1183.C184.17185.C186.D187.7+267188.C189.C190.D191.2192.3193.D194.13195.y=52(x 1)198.2199.A200.C201.B202.C203.B205

782、.A C212.B214.直线 x=32.216.1217.(1)e=5；(2)E:x24 y216=1.220.B222.(1)最大值 2；(2)定值 1223.(1)x24+y2=1；(2)4.224.(16,0)225.切点弦方程为：y0y=2(x 1).226.22227.55228.C229.A233.y=x+1234.(I)y2=4x：(II)x2+y2=5.235.2 1236.B237.D238.B239.k=2240.D241.4242.C读书破万卷，下笔如有神。杜甫第 397 页243.A244.0,63247.C248.10249.(I)椭圆 C:x210+y26=1;(

783、II)1=3，2=13.250.(I)椭圆 C:x23+y2=1;(II)(1,0).251.B253.ABD254.4255.C256.A257.D258.68259.D260.B261.D262.36263.C264.C265.53266.B267.D268.S=2269.A270.A271.B272.210273.D274.A275.C276.D277.C278.D279.D280.725281.D282.34283.A284.D285.C286.D287.2288.289.B290.C291.(1)B=6;(2)SABC=32.292.(1)A=3;(2)(SABC)max=33.29

784、3.27294.D295.(1)B=23;(2)AD=7.296.C297.(1)C=3;(2)CD2 23298.23299.A300.C301.(2,3)302.(2)cos B=2+64303.B305.9306.BC=322;BO=147第 398 页307.(1)sin A=154;(2)b=3308.6215309.12.311.1312.B313.12314.C315.6 3316.a=2317.A318.A319.C320.A321.A322.13 x 1323.A324.x (1,3)325.B326.D327.C328.x 1329.C330.1,12331.12332.A333.1,13334.m=2335.f(x)=x2.336.2337.2338.4036339.C340.C341.C342.A343.B344.4345.B346.D347.C348.B349.2016350.A351.2352.B353.A354.特殊化，令f(x)=cos 2(x 2)，可知答案为 B.355.D356.78357.B358.0359.3360.C361.(,3)(6,+).59.B60.B61.D62.B63.156464.18.65.7512866.C67.A君子之交淡若水，小人之交甘若醴。庄子第 399 页