高考数学冲刺押题卷03（2024新题型）（解析版）.pdf

1、 2024 年高考数学模拟卷 03（新题型）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）第 I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1样本数据12,13,10,9,14,12,19,10,19,18 的中位数为（）A12 B12.5 C13 D13.5【答案】B【解析】样本数据从小到大排列为9、10、10、12、12、13、14、18、19、19，所以样本数据的中位数为12 1312.52+=.故选：B 2椭圆221259xy+=与椭圆()2219259xykkk+=的（）A长轴长相等 B短轴长相

2、等 C离心率相等 D焦距相等【答案】D【解析】椭圆221259xy+=的长轴长为5 210=，短轴长为236=，焦距为 2 2598=，离心率为 45，椭圆()2219259xykkk+=时，441OM ONkk=+，此时1122kkkk，所以24OM ON.当0k 时，441OM ONkk=+，此时11122kkkkkk+=+=，所以4462OM ON=，故46OM ON.综上所述：26OM ON，故OM ON 的最大值为6.故选：D.7若 为锐角，且()sin3tan5011=，则=（）A10 B20 C70 D80【答案】C【解析】由11cos50sin3tan5013sin503sin

3、50cos501cos50=cos50312 sin50cos5022=()cos50sin402sin 20 cos20cos202sin 50302sin202sin20=，又 为锐角，70=故选：C 8已知双曲线2222:1xyC ab=的左，右焦点分别为12,F F，过点1F 与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 交C于 M，且21F MF M=，当2,4 时，双曲线C 离心率的最大值为（）A 5 B213 C2 D3 【答案】A【解析】如下图所示：不妨取渐近线方程为byxa=，又易知()1,0Fc，则直线l 的方程为()byxca=+，联立直线l 与双曲线()22221xyabbyx

4、ca=+，可得223,22acbMcac+，所以2222223232462212222222acbbba bbb cbF Mccaccacacaca+=+=+=；且21F MF M=，由双曲线定义可得()21112F MF MF Ma=，当2,4 时，可得22222244411,31aabcae =，所以241,43e ，解得2153e；因此双曲线C 离心率的最大值为 5.故选：A 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9已知函数()()cos 202f xx=+的图

5、象经过点10,2P，则下列结论正确的是（）A函数()f x 的最小正周期为 B3=C函数()f x 的图象关于点5,06中心对称 D函数()f x 在区间 ,6 2单调递减【答案】ABD【解析】对选项 A，依题意函数()f x 的周期为22T=，所以选项 A 正确；对选项 B，因为()102f=，即1cos2=，又02，所以3=，所以选项 B 正确；对选项 C，因为()cos 23f xx=，又()55cos 2cos21663f=，所以点5,06不是()f x 的中心对称，所以选项 C 错误；对选项 D，因为 62x，所以20233x，得原方程组有两组解，即 AB中有2 个元素.13如图，表

6、面积为100 的球面上有四点S，A，B，C，ABC是等边三角形，球心O 到平面 ABC 的距离为 3，若平面 SAB 平面 ABC，则三棱锥CSAB体积的最大值为 【答案】()1273+【解析】球的表面积为100，球的半径为5R=，设 ABC的中心为O，则3OO=，且OO 平面 ABC，ABC的外接圆半径224rCOROO=，连接CO 并延长交 AB 于 D，则 D 为 AB 的中点，且122O Dr=，显然CDAB，而平面 SAB 平面 ABC，平面 SAB 平面 ABCAB=，CD 平面 ABC，则CD 平面 SAB，令SAB的外接圆圆心为 E，则OE 平面 SAB，有/OE O D，又O

7、O 平面 ABC，AB 平面 ABC，OOAB，CDOOO=，,CD OO 平面OO DE，则 AB 平面OO DE，ED 平面OO DE，ABED，而平面 SAB 平面 ABC，平面 SAB 平面 ABCAB=，ED 平面 SAB，则 ED 平面 ABC，有/ED OO，因此四边形OO DE为平行四边形，则3EDOO=，2OEO D=，SAB的外接圆半径2221rROE=，SAB的外接圆上点S到直线 AB 距离的最大值为213rED+=+，而点S在平面 ABC 上的射影落在直线 AB 上，于是S到平面 ABC 的距离最大值213h=+，ABC是等边三角形，外接圆半径为 4，由正弦定理 ABC

8、的边长为 4 3，ABC的面积为12 3，棱锥CSAB体积的最大值为()()11 12 3321127333C SABSABCABCVVSh=+=+.14定义12min,na aa表示1a、2a、na 中的最小值，12max,na aa表示1a、2a、na 中的最大值，设02mnp，已知3nm或23mn+，则min max,2nm pnp的值为 【答案】37 【解析】设nmx=，pny=，2pz=，且02mnp，0y，0z，所以，22nyzmxyz=，若3nm，则()23 2yzxyz ，故3224xyz+，设max,Mx y z=，因此，332222MxMyMz，故73224Mxyz+，即4

9、7M，若23mn+，则()22 23xyzyz+，即333xyz+，则 3333MxMyMz，故7333Mxyz+，当且仅当3337xyz=时，等号成立，综上所述，min max,2nm pnp的最小值为 37.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）设函数()()2ln 23f xxx=+（1）求曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求()f x 在区间31,44上的最大值和最小值【答案】（1）1y=；（2）()min1ln 24f x=+，()max1ln1625f x=+【解析】（1）因为()()2ln 23f

10、 xxx=+，所以()()()211ln231f=+=+，又()2223fxxx=+，所以()()1021223f=+=+，所以曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程为1y=；（2）()()2ln 23f xxx=+，函数的定义域为3,2+，()22(21)(1)22323xxfxxxx+=+=+，令 0fx，解得312x，令()0fx，解得112x，所以125e3，即1251lnln e32=，所以 193lnln1621625+，故函数()f x 在区间31,44上的()min1ln 24f x=+，()max1ln1625f x=+.16（15 分）袋中装着标有数字 1，2，

11、3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 2 个小球，每个小球被取出的可能性都相等.（1）求取出的 2 个小球上的数字互不相同的概率；（2）用 X 表示取出的 2 个小球上所标的最大数字，求随机变量 X 的分布列和数学期望.【答案】（1）89；（2）分布列见解析，17245EX=.【解析】（1）设一次取出的 2 个小球上的数字互不相同的事件记为 A，则 A 为一次取出的 2 个小球数字相同，所以()21051C9P A=，所以()18199P A=.（2）由题意 X 所有可能的取值为：2，3，4，5.1122210CC4(2)C45P X=；112242210CCC91(3)C455P X+=

12、；112262210CCC13(4)C45P X+=；112282210CCC17(5)C45P X+=所以随机变量 X 的分布列为 X2345P4451513451745随机变量 X 的均值为 4113171722345455454545EX=+=17（15 分）如图，在三棱台 ABCDEF中，H 在 AC 边上，平面 ACFD 平面 ABC，60ACD=，2CH=，4CD=，3BC=，BHBC （1）证明：EFBD；（2）若2ACDF=且 ABC的面积为 3 34，求CF 与平面 ABD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）6 349【解析】（1）在 ADH中，60ACD=，2C

13、H=，4CD=，由余弦定理得222222142cos222 4 2CDCHDHDHACDCD CH+=，解得2 3DH=，又()222422 3=+，即222CDCHDH=+，得 ACDH，又因为平面 ACFD 平面 ABC，平面 ACFD 平面 ABCAC=，DH 平面 ACFD，所以 DH 平面 ABC，而 BC 平面 ABC，则 DHBC，又 BHBC，BHDHH=，BH 平面 BDH，DH 平面 BDH，所以 BC 平面 BDH，而 DB 平面 BDH，则 BCDB，因为 BCEF，所以 EFBD；（2）在BCHRt中，2CH=，3BC=，BHBC，所以222231BHCHBC=，3c

14、os2BCACBCH=，所以30ACB=，又3 3111sin3034222ACBSACCBAC=，所以3AC=，则31ACAHHCAH=+=，由（1）知，DH 平面 ABC，所以可以 H 为原点，HC为 y 轴，HD 为 z 轴，建系如图所示()()()3 130,1,0,0,0,0,2 3,0,2,0,0,2 3,222ABDCF()3 31,0,0,1,2 3,0,2 3222ABADCF=，设平面 ABD 法向量为(),nx y z=，则00n ABn AD=，即330222 30 xyyz+=+=，取2 3y=，则6,1xz=，得平面的一个法向量为()6,2 3,1n=，设 CF 与

15、平面 ABD 所成角为，则()()()2222212 32 323 36 3sincos,749172 362 3122CF nCF nCFn+=+，所以CF 与平面 ABD 所成角的正弦值 6 349 18（17 分）已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点 F 到双曲线2213xy=的渐近线的距离为 12.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 1l，2l 分别交曲线C 于点 A，B 和 M，N.设线段 AB，MN 的中点分别为 P，Q，求证：直线 PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24yx=；（2）证明见解析【解析】（1）因为抛物线的焦点 F 为02p，双

16、曲线的渐近线方程为：33yx=，即30 xy=，则221221(3)p=+，解得2p=，故抛物线的方程为：24yx=.（2）设 A，B 两点坐标分别为11()xy，22()xy，则点 P 的坐标为121222xxyy+，.由题意可设直线 1l 的方程为(1)(0)yk xk=，由()241yxyk x=，得2222(24)0k xkxk+=，2242(24)416160kkk=+=+，因为直线 1l 与曲线 C 交于 A，B 两点，所以12242xxk+=+，12124(2)yyk xxk+=+=，所以点 P 的坐标为2221kk+，.由题知，直线 2l 的斜率为1k，同理可得点 Q 的坐标为

17、2(122)kk+，.当1k 时，有222112kk+，此时直线 PQ 的斜率2222221112PQkkkkkkk+=+，所以直线 PQ 的方程为222(1 2)1kykxkk+=，整理得2(3)0ykxky+=，于是直线 PQ 恒过定点(3 0)E，.当1k=时，直线 PQ 的方程为3x=，也过定点(3 0)E，.综上，直线 PQ 恒过定点(3 0)E，.19（17 分）已知数列 na与数列 nb满足下列条件：1,0,1na ，*Nn；0nb，*Nn；11(|11)|2nnnnnbaab+=，*Nn，记数列 nb的前n 项积为nT.（1）若111ab=，20a=，31a=，41a=，求4T

18、；（2）是否存在1a，2a，3a，4a，使得1b，2b，3b，4b 成等比数列？若存在，请写出一组1a，2a，3a，4a；若不存在，请说明理由；（3）若11b=，求100T的最大值.【答案】（1）438T=；（2）不存在，理由见解析；（3）49503()2.【解析】（1）由2121|1|12baab=，得21b=，由323211|22|baab=，得312b=，由43431|3|22baab=，得434b=，所以4123438Tb bb b=.（2）不存在.假设存在，设1234,b b b b 公比为q，若10b，则2340,0,0bbb，公比32120,0bbqqbb=，矛盾，若10b，公比

19、32120,0bbqqbb=，矛盾，因此假设不成立，所以不存在.（3）依题意，110b=，且43424140,0,0,0kkkkbbbb，*43424140,Nkkkkbbbbk，设1|1|2nnnqaa+=，则1|130,1,22|nnnnbqqb+=，得1|nnnbqb+=，于是21|nnnnbqqb+=，显然1nnqq+的值从大到小依次为 9 31,1,4 22，若194nnqq+=，则32nq=且132nq+=，当数列 na为1,1,1,1,或 1,1,1,1,，可以取得，显然当194nnqq+=时，|nT最大，此时2|9|4|nnbb+，则11211|9|9()|)4|(4nnnbb=，11122199339()|()|()4422|4nnnnbbb=，从而10012310013599246100|Tb bbbb b bbbbbb=2495024999939991()()()1()()4442444502(1 2 349)4950393()()()242+=，又1000T，所以4950100max3()()2T=.