高考数学压轴题微专题-解析版.pdf

1、1 集中兵力、攻城略地当前数学教育改革和高考改革在不断深入、文理合卷、全国大多数省市统一命题的运作已经开启，教材在不断变化，并且还将迎来新的变革，新的内容在逐渐增加，老的内容有些是减弱了，在理念、内容、思想方法上都有了较大的变化，从而也使得原有课程的知识板块发生了改变，如平面向量已引入许多年，且与三角函数、解析几何知识的交汇与综合一直在加强之中，大量删减了立体几何的许多定理，强调了空间向量在研究空间图形中的作用，而旋转体知识又完整地出现在教材之中，导数的综合应用在加强.随着高考数学命题的不断改革以及数学核心素养作为数学教育的标杆，考纲必然也会随之调整，而且调整幅度会加大，这也是统一命题和文理合

2、卷的大变动所决定的.考题的阅读量会增加，题型也会变化并朝探究型、创新型方向发展，这些都要引起足够的重视但有一点是肯定的，不管高考数学命题如何改革，高中数学中的重要板块如函数与导数板块、数列板块、解析几何板块仍然是命题的重点所在，不管是全国卷还是省市卷，作为压轴题必定出现在这些板块中，教材体系就是如此，谁也改变不了，这些板块之间，这些板块与其他数学知识之间的交汇、交叉、结合在较长一段时间内仍然是高考命题的热点.回顾近年来出现的那些最具冲击力的“创新”试题，往往在我们的意料之外，却又在情理之中，脱离不了这些重要板块综上所述，在高考复习过程中，特别在冲刺压轴题的战斗中，不应平分力量，而应在这些重要板

3、块上多花点工夫，集中兵力、“攻城略地”！典型例题1 已知 a=2sin x+4,sin x+4,b=sinx,msin x-4.(1)若 m=0,试研究函数 f x=a b x 8,34在区间上的单调性；(2)若 tanx=2,Ba b,试求 m 的值.【分析】本例以向量为载体,注重三角恒等变形、三角函数图像与性质的研究,是向量与三角综合问题中的基本模型之一,也是高考中常见的基本问题.第(1)问,先把函数化简为 y=Asin x+B 的形式,再结合区间上的单调性分类讨论;第(2)问,由 a b,且通过变形得 m 与 tanx 的关系,而 tanx=2已知,则 m 的值即可求得.【解析】1当 m

4、=0 时,f x=2sin x+4sinx=sinx sinx+cosx=1-cos2x2+sin2x2=22 sin 2x-4+12.由 x 8,34,得 2x-4 0,54.当 2x-4 0,2,即 x 8,38时，函数 f x单调性递增;当 2x-4 2,54,即 x 38,34,时，函数 f x单调性递减,2(2)由 a b 可得2msin x+4sin x-4=sinxsin x+4.由 tanx=2,可得 sin x+4 0 若 sin x+4=0,则 x=k-4 k Z,此时 tanx=-1 与条件矛 盾).从 而 有2 msin x-4=sinx,即 m sinx-cosx=s

5、inx,两 边 同 除 以 cosx,可 得m tanx-1=tanx=2,m=2.2 如图 1-25 所示,已知动圆与直线 y=-3 相切,并与定圆 x2+y2=1 相内切.(1)求动圆圆心 P 的轨迹 C 的方程;(2)过原点作斜率为 1 的直线交曲线 C 于 P1 P1为第一象限点),又过 P1 作斜率为 12 的直线交曲线 C 于P2,再过 P2作泘率为 14 的直线交曲线 C 于 P3,.如此继续,过 Pn作斜率为 12n 的直线交曲线 C 于 Pn+1,设 Pn xn,yn.(1)令 bn=x2n+1-x2n-1,求证:数列 bn是等比数列;2 数列 bn的前 n 项和为 Sn,试

6、比较 34 Sn+1 与13n+10 的大小.【分析】本例以解析几何为载体，重点突出数学归纳法的应用，感知“观察一归纳一猜想一证明”的思考与解决的过程，体验其中所呈现的数学美.【解析】1由题意知,P 点到原点的臤离等于 P 点到直线 y=-2 的挋离.由抛物线定义知，P 点轨迹是以原点为焦点,直线 y=-2 为准线的抛物线,其轨迹方程为 x2=4 y+1(2)设 Pn xn,yn,Pn+1 xn+1,yn+1,则 x2n=4 yn+1,x2n+1=4 yn+1+1.又因为直线 PnPn+1的斜率为 12n,有 yn+1-ynxn+1-xn=12n.14 x2n+1-x2nxn+1-xn=12n

7、,即 xn+1+xn=12n-2.bn=x2n+1-x2n-1=x2n+1+x2n-x2n+x2n-1=122n-2-122n-3=-122n-2=-14n-1,数列 bn是以 14 为公比的等比数列.由知,bn=-122n-2,Sn=-1+122+124+122n-2=-43 1-14n,34 Sn+1=14n,下面只要比较 4n与 3n+10 的大小.3当 n=1 时,4 13,有 4n13n+10;当 n=2n=2 时,16=16,有 4n=3n+10,即 34 Sn+1=13n+10;当 n=3 时,64 19,有 4n 3n+10,即 34 Sn+1 3n+10.【证法 1】用数学归

8、纳法怎么当 n 3,n N 时,4n 3n+10.(i)当 n=3 时,已成立;(ii)假设当 n=k k 3,k N时,4k 3k+10.则当 n=k+1 时,4k+1=4 4k 4 3k+10=3 k+10+10+9k 3 k+1+10,即 n=k+1 时,4n 3n+10 也成立.由(i)(ii)知,4n 3n+10 对 n 3,n N 都成立.故此时,34 Sn+113n+10.利用二项式定理,得4n=(1+3)n=1+C1n3+C2n32+Cnn3n 1+3n+n n-12 32 1+3n+9=3n+10 n 33 已知 f x在-1,1上有定义,f12=-1,且满足 x,y -1,

9、1时,有 f x+f y=fx+y1+xy(1)证明:f x在-1,1上为奇函数;(2)数列 xn满足 x1=12,xn+1=2xn1+x2n,设 an=f xn,求 an的通项公式;(3)求证:1f x1+1f x2+1f xn-2n+5n+2;(4)证明等式 1+f15+f111+f1n2+3n+1+f1n+2=0,n N*.【分析】本例将函数、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题核心素养的范例，在求解过程中，化归为数列模型以及运用数学归纳法证明数列不等式是常用的解题方法.【解析】(1)f x+f-x=f 0,f x+f 0=f x,故 f 0=0,得 f x+f-x=

10、0,故为奇函数.(2)an+1=f xn+1=f2xn1+x2n=2f xn=2an,又 a1=f12=-1,故 an=-2n-1.(3)1f x1+1f x2+1f xn=-1+12+122+12n-1=-1-12n1-12=-2-12n-1=-2+12n-1-2 而-2n+5n+2=-2+1n+2=-2-1n+2-2n+5n+2.(4)【证法 1】(数学归纳法)(i)当 n=1 时,左边=1+f15+f13=1+f12=1-1=0=右边4()假设 n=k 有 1+f15+f111+f1k2+3k+1+f1k+2=0,则 n=k+1 时,左边=1+f15+f1k2+3k+1+f1(k+1)2

11、+3k+4+f1k+3=-f1k+2+f1k2+5k+5+f1k+3=-f1k2+5k+5+f1k2+5k+5=0 成立.由(i)(ii)可知,对一切 n N*,所证不等式成立.【证法 2】由条件f x+f y=fx+y1+xy得f1n2+3n+1=f1n+1+-1n+21+1n+1 -1n+2=f1n+1-f1n+2代人所证等式的左边即可.强化训练1 随机将 1,2,2n n N*,n 2这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数,A 组最小数为 a1,最大数为 a2,B 组最小数为 b1,最大数为 b2,记 =a2-a1,=b2-b1,(1)当 n=3 时,求 的分布列和数学

12、期望;(2)令 C 表示事件“和 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P C;(3)对(2)中的事件 C,C 表示 C 的对立事件,判断 P C和 P C的大小关系,并说明理由.【解析】(1)当 n=3 时,的所有可能取值为 2、3、4、5.将 6 个正整数 1、2、3、4、5、6 平均分成两组,不同的分组方法共有 C36=20(种),P =2=420=15,P =3=620=310,P =4=620=310,P =5=420=15,所以 的分布列为2345P1531031015E=2 15+3 310+4 310+5 15=72.(2)和 的取值恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n

13、+1,2n-2.又由于当 和 的取值佮好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种 和 的取值恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种;和 的取值恰好相等且等于 n+k k=1,2,3,n-2时,不同的分组方法有 2Ck2k种所以当 n=2 时,P C=46=23;当 n 3 时,P C=2-2k=1Ctt+2C22x.(3)由(2)知当 n=2 时,P C=13,因此 P C P C.5而当 n 3 时,P C P C,理由：P C P C等价于 4n-2k=1Ck2k+2 Cn2n.用数学归纳证明:(1)当 n=3 时,(1)式左边=4 C12+2=4 2+2=16,(D 式

14、右边=C36=20,所以(1)式成立.(2)假设 n=m m 3时,式成立,即 4m-2k=1Ck2k+2 Cm2m成立,则当 n=m+1 时,左边=4m+1-2k=1Ck2k+2=4m-2k=1Ck2k+2+4Cm-12 m-1 4Cm2m+4Cm-12 m-1=2m!m!m!+4 2m-2!m-1!m-1!=(m+1)2 2m2n-2!4m-1m+1!m+1!(m+1)2 2n2n-2!4mm+1!m+1!=Cm+12 m+12 m+1m2m+12m-1 Cm+12 m+1=右边.即当 n=m+1 时(1)式也成立.综合(1)(2)可知,对于 n 3 的所有正数,都有 P C P C成立.

15、2 已知二次曲线 Ck的方程:x29-k+y24-k=1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;(2)若双曲线 Ck与直线 y=x+1 有公共点且实轴最长,求双曲线方程;(3)m,n 为正整数,且 m 0,4-k 0,即 k 4 时,方程表示椭圆;当且仅当 9-k4-k 0,即 4 k 9 时,方程表示双曲线.(2)【解法一】由y=x+1x29-k+y24-k=1,化简得 13-2kx2+2 9-kx+9-kk-3=0,根据 0,得 k 6 或 k 4(舍),由双曲线实轴最长,得 k 取最小值 6 时,9-k 最大,即双曲线实轴最长,此时双曲线方程为 x23-y22=1.【解法二】若 Ck

16、表示双曲线,则 k 4,9,不妨设双曲线方程为 x2a2-y25-a2=1,联立y=x+1,x2a2-y25-a2=1.得 5-2a2x2-2a2x-6a2+a4=0.由 Ck与直线 y=x+1 有公共点,得 =4a4-4 5-2a2a4-6a2 0.即 a4-8a2+15 0,解得 a2 3 或 a2 5(舍去),则实轴最长的双曲线方程为 x23-y22=1.【解法三】不妨先求得 F1-5,0关于直线 y=x+1 的对称点 F-1,1-5,设直线与双曲线左支交点为 m,则 2a=MF2-MF1=MF1-MF FF2=(-1-5)2+(1-5)2=2 3,则 a 3,故实轴最长的双曲线6方为

17、x23-y22=1.【解法四】设双曲线与直线公共点为 asec,5-a2tan,则 asec+1=5-a2tan 有解，即5-a2sin-cos=a 有解,则 sin +=a5-a2 1,故 a2 3.所以实轴最长的双曲线方程为 x23-y22=1.(3)由(1)知 C1,C2,C3是椭圆,C5,C6,C7,CB是双曲线,结合图像的几何性质,任意两椭圆之间无公共点,任意两双曲线之间也无公共点(这里不要求用代数方法严格证明).设 PF1=d1,PF2=d2,m 1,2,3,n 5,6,7,8则根据椭圆、双曲线定义及 PF1 PF2=0(即 PF1 PF2,应有d1+d2=2 9-md1-d2=2 9-n,d21+d22=20所以 m+n=8.所以这样的 Cm,Cn存在,且 m=1,n=7,或 m=2,n=6,或 m=3,n=5.