高考数学椭圆选填题中常考的8个神奇结论(PDF).pdf

1、数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 1 高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来 8 条出题率最高的结论，一定要记住哦;【典例剖析】例题 1.椭圆1 上存在 n 个不同的点 P1，P2，Pn，椭圆的右焦点为 F数列|PnF|是公差大于的等差数列，则 n 的最大值是（）A16 B15 C14 D13 神奇结论 1：椭圆上的点与焦点距离的最大值为 ac，最小值为ac；推导：首先，我们需要了解一下椭圆的第二定

2、义：平面上的一点到定点的距离与到相应定直线的距离之比为常数；这里面涉及到几个特殊的概念，定点：椭圆的焦点；定直线：椭圆的准线，方程为2axc；常数：离心率；由两点间距离公式，可知 221|()PFxcy（1）从椭圆方程22221xyab 解出22222()byaxa（2）代（2）于（1）并化简，得 1|()cPFaxaxaa 所以，由上面的焦半径公式可知，当 P 点在左端点的时候值最小为ac；当 P 点在右端点的时候值最大为ac；数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 2【分析】（|PnF|）min|ac|，（|PnF|）maxa+c3，|PnF|P1F

3、|+（n1）d再由数列|PnF|是公差大于的等差数列，可求出 n 的最大值【解答】解：（|PnF|）min|ac|，（|PnF|）maxa+c3，|PnF|P1F|+（n1）d 数列|PnF|是公差 d 大于的等差数列，d，解得 n10+1，则 n 的最大值为 15 故选：B 【典例剖析】神奇结论 2：直线l 与椭圆22221xyab 相交于,A B 两点，M 为 AB 的中点，则22ABOMbkka；推导：我们利用“点差法”进行推导；记1122(,),(,)A x yB xy，00(,)M xy，将这两点带入椭圆中可得 2211222222221(1)1(2)xyabxyab（1）（2）可得

4、：1212121222()()()()0 xxxxyyyyab；012012222()2()0 x xxyyyab 所以，20122120yyybxxxa 所以，22ABOMbkka 成立；数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 3 例题 2.已知椭圆 E：的右焦点为 F（3，0），过点 F 的直线交椭圆 E 于A、B 两点若 AB 的中点坐标为（1，1），则 E 的方程为（）A B C D 解法一：基本解题法【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得 x1+x22，y1+y22，利用斜率计算公

5、式可得于是得到，化为 a22b2，再利用 c3，即可解得 a2，b2进而得到椭圆的方程【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 4 x1+x22，y1+y22，化为 a22b2，又 c3，解得 a218，b29 椭圆 E 的方程为 故选：D 解法二：结论解题法 【典例剖析】例题 3.椭圆 C：1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）A B C D 神奇结论 3：在椭圆22221xyab 中，若

6、 MN 是过中心的一条弦，P 是椭圆上异于,M N 的一点，则有22PMPNbkka；推导：令11(,)M x y，11N(,)xy，00(,)P xy；所以2201010122010101PMPNyyyyyykkxxxxxx；又因为2222002()byaxa，2222112()byaxa代入中；整理可得22PMPNbkka；数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 5【分析】由题意求 A1、A2的坐标，设出点 P 的坐标，代入求斜率，进而求 PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为 A1（2，0）、A2（2，0），设点 P（

7、a，b）（a2），则 1，；则，将式代入得，2，1，故选：D 解法二：结论解题法 神奇结论 4：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为12,F F 设焦点三角形12PF F 中12,F PF则2tan221bSPFF.已知双曲线方程为12222byax，两焦点分别为,21 FF设焦点三角形21FPF中,21 PFF则2cot221bSPFF 推导：cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1(2)(21221PFPFPFPF cos12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF 2tancos1sin21222121

8、bbPFPFSPFF 双曲线证明也同样道理.数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 6【典例剖析】例题 4.已知 P 是椭圆+1 上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若，则F1PF2的面积为（）A3 B2 C D【分析】先根据椭圆的方程求得 c，进而求得|F1F2|，设 F1Pm，F2Pn，再根据条件求出F1PF260，然后利用余弦定理可求得 mn 的值，je 利用三角形面积公式求解【解答】解：由题意可得：a5，b3，所以 c4，即 F1F22c8 设 F1Pm，F2Pn，所以由椭圆的定义可得：m+n10 因为，所以由数量积的公式可得：cos，所以

9、 在F1PF2中F1PF260，所以由余弦定理可得：64m2+n22mncos60，由可得：mn12，所以 故选：A解法二：结论解题法 数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 7 【典例剖析】例题 5.已知椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，若椭圆上存在点 P 使得F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A B C D【分析】当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角F1PF2渐渐增大，当且仅当 P 点位于短轴端点 P0处时，张角F1PF2达到最大值，由此可得结论【解答】解：如图，当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向

10、短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角F1PF2渐渐增大，当且仅当 P 点位于短轴端点 P0处时，张角F1PF2达到最大值由此可得：椭圆上存在点 P 使得F1PF2是钝角，P0F1F2中，F1P0F290，RtP0OF2中，OP0F245，所以 P0OOF2，即 bc，神奇结论 5：若 F1，F2为椭圆22221xyab（ab0）的左右焦点，P 是椭圆上的动点，则F1PF2=，则椭圆离心率 e 的取值范围为 sin2 e1.推导：设|PF|=m，|PF|=n，则 m+n=2a.于是 cos=mncnm24222=mnmncnm224)(22=122mnb1)2(222 nmb=1222ab，我们

11、得到了 cos1222ab，所以，cos1)(2222aca=1-2e2e22cos-1，然后根据二倍角公式就可以得到上面的结论；sin2 e1；数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 8 a2c2c2，可得 a22c2，e，0e1，e1 故选：B 解法二：结论解题法 【典例剖析】例题 6.已知圆的方程为 x2+y21，则经过圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0 x+y0y1，类比上述性质，可以得到椭圆 x2+4y28 上经过点的切线方程为；神奇结论 6：点00(,)P xy在椭圆22221xyab（ab0）上，则过点 P 的切线方程为00221

12、x xy yab；推导：两侧同时求导可得：2222220 xyyb xyaba y，则200020()b xyyxxa y；故222222220000a y yb x xa yb xa b，所以，切线方程为00221x xy yab；数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 9【分析】已知圆的方程为 x2+y21，则经过圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0 x+y0y1，类比上述性质，可以得到：椭圆 mx2+ny2c（m，n，c 同号，且 mn）经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为：【解答】解：已知圆的方程为 x2+y21，则经过圆上一点 M

13、（x0，y0）的切线方程为 x0 x+y0y1，类比上述性质，可以得到：椭圆 mx2+ny2c（m，n，c 同号，且 mn）经过椭圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为：故椭圆 x2+4y28 上经过点的切线方程为：2x4y8，即；，故答案为：解法二：结论解题法 【典例剖析】例题 7.已知两定点 A（1，0），B（1，0），若直线 l 上存在点 M，使得|MA|+|MB|3，则称直线 l 为“M 型直线”，给出下列直线：x2；yx+3；y2x1；y1；y2x+3其中是“M 型直线”的条数为（）神奇结论 7：椭圆22221(0,0)xyabab与直线0(0)AxByCA B相切的充要条件是222

14、22A aB bC；双曲线22221(0,0)xyabab与直线0(0)AxByCA B相切的充要条件是22222A aB bC；推导：给大家推导一下关于椭圆的结论，双曲线的推导雷同，直线变形可得ACAxCyxyBBB ，带入椭圆方程，化简可得22222222222()20B bA axa ACxa Ca b B，由于只有一个交点，故42222222222244()()0a A CB ba Aa Ca b B，整理可得，22222A aB bC；数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 10 A1 B2 C3 D4【分析】点 M 的轨迹方程是，把，分别和联

15、立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M 型直线”【解答】解：由题意可知，点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，其方程是，把 x2 代入，无解，x2 不是“M 型直线”；把 yx+3 代入，无解，yx+3 不是“M 型直线”；把 y2x1 代入，有解，y2x1 是“M 型直线”；把 y1 代入，有解，y1 是“M 型直线”；y2x+3 代入，有解，y2x+3 是“M 型直线”故选：C 解法二：结论解题法 数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】数学思想|高中数学 11 【典例剖析】例题 8.过点(0,2)P的直线l 交椭圆22:142xyE 于,M N 两点，且OM

16、ON，则直线l 的方程为 ；220 xy或220 xy 神奇结论 8：直线l 与椭圆22221(0,0)xyabab相交于,A B，坐标原点为O，O到直线l 的距离为 d，则有OAOB，22abdab；推导：（1）当 OP，OQ 在坐标轴上时，显然22221111baOQOP成立.（2）当 OP，OQ 不在坐标轴上时，设直线 OP：y=kx，直线 OQ：y=xk1.联系整理可得222222)(baxbak，解得222222bakbax p，2222222bakbaky p，则2222222)1(|1bakbakOP；同理2222222)1(|1bakabkOQ.所以22221111baOQOP.利用等面积法可得：2211|22OPOQOPOQd 所以，22|OPOQdOPOQ，又22222222OPOQababOPOQ，22abdab；