重庆南开中学校2024届高三第五次质检数学试卷 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司重庆市高 2024 届高三第五次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.已知复数()izaa=+R，复数 z 的共轭复数为 z

2、 若3z z=，则a=（）A.2 B.2 2 C.2 D.8 2.函数()()sincosf xxx x=R 的图象的一条对称轴方程是（）A.4x=B.4x=C.2x=D.2x=3.已知函数()222xxf x=，则不等式()()230fxf x+的解集是（）A.(,1 B.)1,+C.(,3 D.)3,+4.已知()26(21)xxax+展开式中各项系数之和为 3，则展开式中 x 的系数为（）A.-10 B.-11 C.-13 D.-15 5.已知集合0,1,2,3,4A=，且,a b cA，用,a b c 组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其它两个数位上的数字都大”，则这样的三

3、位数的个数为（）A.14 B.17 C.20 D.23 6.已知正三棱台111ABCA B C的上下底面的边长分别为 6 和 12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60，则此三棱台的体积为（）A.27 3 B.45 3 C.63 3 D.81 3学科网（北京）股份有限公司7.已知函数()()120(0)xkxxxf xekx x+=恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（）A.)1,e B.()1,1,2e+C.1,2 e D.1,12 8.已知抛物线22(0)ypx p=的焦点为 F，点3,02Ap，点 M 在抛物线上，且满足3MAMF=，若 MAF的面积为12 3，则 p 的值为（）A.3

4、B.4 C.2 2 D.2 3二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.9.已知nS 为数列 na的前n 项和，112a=，若数列nnaS既是等差数列，又是等比数列，则（）A.na是等差数列 B.lnnan是等比数列 C.nS为递增数列 D.()1nn na最大项有两项 10.已知圆22:4O xy+=，过直线:3l yx=上一点 P 向圆O 作两切线，切点为 A B，则（）A.直线 AB 恒过定点 44,33 B.AP 最小值为 3 22 C.AB 的最小值为 43 D.

5、满足 PAPB的点 P 有且只有一个 11.某中学为了提高同学们学习数学的兴趣，激发学习数学的热情，在初一年级举办了以“智趣数学，“渝”你相约”为主题的数学文化节活动，活动设置了各种精彩纷呈的数学小游戏，其中有一个游戏就是数学知识问答比赛.比赛满分 100 分，分为初赛和附加赛，初赛不低于 75 的才有资格进入附加赛（有参赛资格且未获一等奖的同学都必须参加）.奖励规则设置如下：初赛分数在95,100 直接获一等奖，初赛分数在)85,95 获二等奖，但通过附加赛有 15的概率升为一等奖，初赛分数在)75,85 获三等奖，但通过附加赛有 13的概率升为二等奖（最多只能升一级，不降级），已知 A 同

6、学和 B 同学都参加了本次比赛，且 A 同学在初赛获得了二等奖，根据 B 同学的实力评估可知他在初赛获一二三等奖的概率分别为 1 1 1,6 4 2，已知 4，B 获奖情况相互独立.则下列说法正确的有（）A.B 同学最终获二等奖的概率为 13 B.B 同学最终获一等奖的概率大于 A 同学获一等奖的概率 学科网（北京）股份有限公司C.B 同学初赛获得二等奖且 B 最终获奖等级不低于 A 同学的概率为 21100 D.在 B 同学最终获奖等级不低于 A 同学的情况下，其初赛获三等奖的概率为 415 12.如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在侧面11AA D D

7、内运动（包括边界），Q 为棱DC 中点，则下列说法正确的有（）A.存在点 P 满足平面 PBD 平面11B D C B.当 P 为线段1DA 中点时，三棱锥111PA B D的外接球体积为2 3 C.若()1 01DPDA=，则 PQPB最小值为 32 D.若QPDBPA=，则点 P 的轨迹长为 2 9三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知角 终边上有一点()2,1P，则sin 22+=_.14.已知数列 na满足111750,1751nnaaa+=，若123nnTa aaa=，则2024T=_.15.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为()(

8、)12,0,0FcFc，过椭圆外一点()3,0Pc和上顶点M 的直线交椭圆于另一点 N，若1MF 2NF，则椭圆的离心率为_.16.平面向量,a b c 满足|2,()()1abcacb=，则a c 最大值为_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，在平面四边形 ABCD 中，ACD为钝角三角形，,ACBC P为 AC 与 BD 的交点，若,4,4 36ACDADAC=，且7tan9BAD=学科网（北京）股份有限公司（1）求ADC的大小；（2）求 PDC的面积.18.已知数列 na前 n 项和为nS，且满足_.首项*11,am n=N，均有

9、2m nnSSmn+=+*n N，均有0na 且()214nnaS=请从条件和中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列2 nana 前 n 项和nT 的表达式 19.新能源渗透率是指在一定时期内，新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在 2022 年，新能源汽车的渗透率达到了 28.2%，提前三年超过了“十四五”预定的 20%的目标.2023 年，随着技术进步，新能源车的渗透率还在继续扩大.将 2023 年 1 月视为第一个月，得到 2023 年 1-10 月，我国新能源汽车渗透率如下表：月份代码 x 1 2 3 4 5

10、6 7 8 9 10 渗透率%y 29 32 34 32 33 34 36 36 36 38（1）假设自 2023 年 1 月起的第 x 个月的新能源渗透率为%y，试求 y 关于 x 的回归直线方程，并由此预测2024 年 1 月的新能源渗透率.（2）为了鼓励大家购买新能源汽车，国家在 2024 年继续执行新能源车购置税优惠政策：在 2024 年 6 月 1 日前购买的新能源车无需支付购置税，而燃油车需按照车价10%支付购置税.2024 年 1 月小张为自己的客户代付购置税，当月他的客户购买了 3 辆车价格均为 20 万元，假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率，设小张

11、总共需要代付的购置税为 X 万元，求 X 的分布列和期望.附：一组数据()()()1122,nnx yxyxy的线性回归直线方程ybxa=+的系数公式为：1221,niiiniix ynxybaybxxnx=20.如图，斜三棱柱111ABCA B C中，底面 ABC是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB=.学科网（北京）股份有限公司（1）求证：1ABAC；（2）若11cos4A AC=，三棱柱111ABCA B C的体积为 24，求直线1AC 与平面11CBB C 所成角的正弦值.21.已知双曲线22221(0,0)xyabab=的一条浙近线方程为 yx=，且点(

12、)6,2P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线左右顶点分别为,A B，在直线1x=上取一点()()1,0Ptt，直线 AP 交双曲线右支于点C，直线 BP 交双曲线左支于点 D，直线 AD 和直线 BC 的交点为Q，求证：点Q 在定直线上.22.若函数()f x 在定义域内存在两个不同的数12,x x 同时满足()()12f xf x=且()f x 在点()()11,xf x，()()22,xf x处的切线斜率相同，则称()f x 为“切合函数”.（1）证明：()326f xxx=为“切合函数”；（2）若()21lng xx xxaxe=+为“切合函数”（其中e 为自然对数的底

13、数），并设满足条件的两个数为12,x x.求证：2124ex x；求证：212123(1)4ax xx x+，故有120nnaa=又由题可求得11a=，所以 na是首项为 1，公差为 2 的等差数列，从而有21nan=（2）由（1）可知：()21221 2nannan=，则 学科网（北京）股份有限公司()135211 23 25 221 2 nnTn=+()3572141 23 25 221 2 nnTn+=+两式相减得：()()135212131 2222221 2nnnTn+=+()()121218 1 41052221 2221 433nnnnn+=+=+所以2110252939nnnT

14、+=+19.（1）计算得5.5,34xy=，所以：122211936 10 5.5 34660.8,340.8 5.529.6385 10 5.582.5niiiniix ynxybaybxxnx=则同归直线方程为 0.829.6yx=+，代入13x=得40y=所以预测 2024 年 1 月新能源渗透率为40%；（2）由题意，每个客户购买新能源车的概率为 25，燃油车概率为 35X 所有可能取值为0,2,4,6 则()()321132823360,2512555125P XP XC=，()()2323123543274,6551255125P XCP X=所以 X 的分布列为 X 0 2 4

15、6 P8125361255412527125所以()365427450182461251251251255E X=+=（万元）.20.解：（1）证明：取 AB 中点O，连接1,AO CO，由题知1A AB为正三角形，而 ABC也是正三角形，1,AOAB COAB，又1,AOCOOAB=平面1ACO，1AC 平面11,ACOABAC学科网（北京）股份有限公司（2）111,cos4A AABACaA AC=，由余弦定理得2222111132cos2ACAAACAA ACA ACa=+=162ACa=，又132AOCOa=，222111,AOCOACAOCO+=又11,AOAB ABCOOAO=平面

16、1,ABCAO CO AB两两垂直.以O 为原点，以,CO OB OA 的方向分别为,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图.因为三棱柱111ABCA B C的体积为213324442ABCVSAOaaa=，则()()()()()110,2,0,0,2,0,2 3,0,0,0,0,2 3,2 3,0,2 3ABCAAC=()()110,2,2 3,2 3,2,0CCAACB=.设平面11CBB C 的法向最为(),nx y z=，由122 30002 320yzn CCn CBxy+=+=，可取()1,3,1n=，设向量n 与1AC的夹角为，()()1101,3,12 3,0,2 34

17、35 2 6 coscos5n AC=，直线1AC 与平面11CBB C 所成角的正弦值为 105.21.解：（1）因为渐近线方程为 yx=，所以ab=，设双曲线为222xya=，代入()6,2P得24a=，双曲线的标准力程为224xy=（2）设直线3:2AP xyt=，联立双曲线22324xytxy=得：22222291212318244,299ccttyyyyxyttttt+=；学科网（北京）股份有限公司设直线1:2BP xyt=+，联立双曲线22124xytxy=+=得：22222214412244,2;11DDDttyyyyxyttttt+=+=所以2222224121319,4422

18、19CDADBCDCttyyttkkttxtxttt=+则()()13:2,:2AD yxBC yxtt=+=设()00,Q xy，则()()00001232yxtyxt=+=，两式相除消t 得00021,123xxx=+所以Q 在直线1x=上 另证：设直线()()()2242:22222DDDDDDDDyyxxAD yxxxxxyy=+=+=+，直线()()()2242:22222CCCCCCCCyyxxBC yxxxxxyy+=，由于BPBDkk=，即2DDytx=，由于APACkk=，即23CCytx=+则()()13:2,:2AD yxBC yxtt=+=.后同前证 22.解：（1）假

19、设存在12,x x 满足题意，易知()266fxx=，由题可得：()()3322121122112226263f xf xxxxxxx xx=+=()()221212121266660fxfxxxxxxx=+=代入上式可解得()()12,3,3x x=或()3,3，故()f x 为“切合函数”（2）由题可知()2ln1xgxxae=+，因为()g x“切合函数”，故存在不同的12,x x（不妨设120 xx，即证：212122112112lnlnlnxxxxxxxxxxx x=令21xtx=，则由120 xx，要证上式，只需证：()211ln2ln2ln0(1)tttm ttttll=+，易知

20、()22(1)0tm tt=故()m t 在()1,+单调递减，所以()()10m tm成立 由上面的 2 式可得2121224eex xx x=（另解：由上面的 2 式可得2121lnln2xxxxe=，代入到 1 式的变形：()2221211122lnlnxxa xxxxxxe=+，整理后也可得到12ln2x xa=）故要证212123(1)4ax xx x+，只需证：2222332(1)(1)0ln44aaaaaeeeeaae+设()2232(1)ln4aah aeeaae=+，则即证：()0h a()()()()()22321,323212aaaaaah aeeahaeeee=+=+=+()()222lnln,320033aaaeehah ae 在2ln,3+单调递增 学科网（北京）股份有限公司()()2222lnln2ln10ln1 0333h ahhxxe=()h a在2ln,3+单调递增()2222lnlnlnln20333h ahhe=所以原不等式成立 另证：当2ln,0ae时，可用1aea+放缩代入证明不等式成立 当()0,a+时，可用2112aeaa+放缩代入证明不等式成立 综上，原不等式成立