：2012届高三数学一轮复习同步练习2-10（北师大版）.doc

1、第 2 章 第 10 节 一、选择题1(教材改编题)等边三角形的边长为 x，面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系式为()Ayx2By12x2Cy 32 x2Dy 34 x2答案 D解析 y12xxsin60 34 x2.2(2011 长春模拟)某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为 8m，两侧距地面 3m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为 6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到 0.1m)()A6.9m B7.0mC7.1m D6.8m答案 A解析 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为 yax2(aan 得：2(2510n)10

2、0(15%)n 利用已知条件解得 n3，所以在 2012 年时满足题意7某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的奖励公式为 f(n)k(n)(n10)，n10(其中 n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而 k(n)0，n10，100，10n15，200，15n20，300，2025.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分则乙所得奖励比甲所得奖励多()A6

3、00 元B900 元C1600 元D1700答案 D解析 k(18)200(元)，f(18)200(1810)1600(元)又k(21)300(元)，f(21)300(2110)3300(元)，f(21)f(18)330016001700(元)8(2011长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有 N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加 M 个假定挂号的速度是每个窗口每分钟 K 个人当开放 1 个窗口时，40 分钟后恰好不会出现排队现象当同时开放 2 个窗口时，15 分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求 8 分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有

4、()A4 个B5 个C6 个D7 个答案 A解析 当开放一个窗口时，N40M40K；当开放两个窗口时，N15M30K.由、得 N60M，K52M.设 8 分钟后不出现排队现象需同时开放 x 个窗口，则 N8M8xK，60M80M8x52M，即 68M20Mx.x3.8，又xN*，至少需同时开放 4 个窗口二、填空题9如图，书的一页的面积为 600cm2，设计要求书面上方空出 2cm 的边，下、左、右方都空出 1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为_答案 30cm,20cm解析 设书的长为 a，宽为 b，则 ab600，则中间文字部分的面积 S(a21)(b2)606(

5、2a3b)6062 6600486，当且仅当 2a3b，即 a30，b20 时，Smax486.10由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低13，则现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年的价格应降为_元答案 2400解析 设经过 3 个 5 年，产品价格为 y，则 y810011338100 8272400(元)11(2011南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元，又知总收入 k 是单位产品数 Q 的函数，k(Q)40Q 120Q2，则总利润 L(Q)的最大值是_万元答案 2500解析 总利

6、润 L(Q)40Q 120Q210Q2 000 120(Q300)22500.故当 Q300 时，总利润最大，为 2500 万元三、解答题12据气象中心观察和预测：发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间 t(h)的函数图像如图所示，过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l，梯形 OABC在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km)(1)当 t4 时，求 s 的值；(2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若 N 城位于 M 地正南方向，且距 M 地 650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城，如果会

7、，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城？如果不会，请说明理由分析 认真审题，准确理解题意，建立函数关系解析(1)由图像可知，当 t4 时，v3412，s1241224.(2)当 0t10 时，s12t3t32t2，当 10t20 时，s12103030(t10)30t150；当 20t35 时，s1210301030(t20)3012(t20)2(t20)t270t550.综上可知 s32t2，t0，10，30t150，t10，20，t270t550，t20，35.(3)t0,10时，smax32102150650.t(10,20时，smax3020150450650.当 t(20,35时

8、，令t270t550650.解得 t130，t240，200，即 x10，则 y(10 x)(10010 x)8(10010 x)(2x)(10010 x)10(x4)2360(0 x5 时，只能售出 5 百台，故利润函数为 L(x)R(x)C(x)5xx22 0.50.25x 0 x555522 0.50.25x x5即 L(x)4.75xx220.5 0 x5120.25x x5(2)当 0 x5 时，L(x)4.75xx220.5，当 x4.75 时，L(x)max10.78125 万元当 x5 时，L(x)5120.25x0 得，0.1x5 或 50，121 24a(14a)0，即4a

9、1220，a18，c14a12.f(x)18x212x12.(3)由分析条件知道，只要 f(x)图像(在 y 轴右侧)总在直线 ym2x14上方即可，也就是直线的斜率m2小于直线与抛物线相切时的斜率位置于是y18x212x12，ym2x14.利用相切时 0，解得 m1 22，m，1 22.另解：g(x)18x212m2 x1214在 x0，)上恒成立，即 x24(1m)x20 在 x0，)上恒成立，0，即4(1m)280，解得 1 22 m0，解得 m1 22.总之，m，1 22.二、数形结合思想在解决函数问题中的应用一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像

10、直观解决，简单明了例 2 若方程 lg(x23xm)lg(3x)在 x(0,3)内有唯一解，求实数 m 的取值范围分析 将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决解析 原方程变形为3x0，x23xm3x，即x3，x221m.设曲线 y1(x2)2，x(0,3)和直线 y21m，图像如图所示由图可知：当 1m0 时，有唯一解，m1；当 11m4 时，有唯一解，即3m0，m1 或3m(x21)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立求 x 的取值范围分析 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论然而，若变换一个角度以 m

11、为变量，即关于 m 的一次不等式(x21)m(2x1)0 在2,2上恒成立的问题即不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题设 f(m)(x21)m(2x1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在2,2内恒为负值时参数 x 应该满足的条件f20，f20.解析 问题可变成关于 m 的一次不等式：(x21)m(2x1)0 在2,2上恒成立，设 f(m)(x21)m(2x1)，则f22x212x10，f22x212x11 时，要使函数 f(x)在2,4上是增函数，则 g(x)在2,4上也是增函数则有 12a2 且 g(2)4a20，解得 a12，a1.(2)当 0a0，无解故 a1 时，函

12、数 f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是增函数五、转化与化归思想转化与化归思想是中学重要的数学思想，如把对数式与指数式进行必需的转化，把指数或对数问题通过换元转化为二次函数或二次方程的问题等，其作用就是能将复杂的问题进行分解、化归为简单易求的问题例 5 当 x1,1时，若 22x10)恒成立，试求实数 a 的取值范围分析 如果直接求解，则需要讨论 a 与 2 的大小关系，而这里 x 又是区间1,1上的变量，因此，讨论将变得复杂；如若能借助指数式与对数式之间的关系，则会将问题转化为一次函数，问题便迎刃而解解析 22x1ax1(2x1)lg2(x1)lgaxlg4alg(2a)0.设 f(

13、x)xlg 4a lg(2a)，由 x 1,1 时，f(x)0 恒 成 立，得f10，f10，即lg4alg2a0，lg4alg2a 2.故实数 a 的取值范围是(2，)六、抽象函数问题若题目中给出了抽象函数满足的关系式，在处理这类抽象函数的问题时，一般地，应将所给的关系式看作给定的运算法则，对某些变量进行适当的赋值，并且变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联对某些变量进行适当的赋值是一般向特殊转化的必要手段例 6 函数 f(x)对任意 x，yR 都有 f(xy)f(x)f(y)1，并且 x0 时，f(x)1.(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(

14、2)若不等式 f(a2a5)2 的解集为a|3a2，求 f(2012)的值分析 对于抽象函数问题，特殊值的代入是问题的突破口，利用题目中所给关系式是问题的着手点解析(1)证明：设 x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)1f(x1)函数 f(x)在 R 上是增函数(2)f(a2a5)2，设 f(m)2，f(a2a5)f(m)，f(x)在 R 上是增函数，a2a5m0，又其解集为3a0 恒成立，则 f(119)的值等于_解析 由 f(x2)f(x)1 可知 f(x4)1fx2f(x)，函数 f(x)的周期为 4，f(119)f(4301)f(1)，函数 f(

15、x)是 R 上的偶函数且 f(x)0，则 f(1)f(1)，在 f(x2)f(x)1 中，令 x1 得 f(1)f(1)f 2(1)1，f(119)答案 1四、分式递推型，即函数 f(x)满足 f(xa)1fxb1fxb(ab)由 f(xa)1fxb1fxb(ab)，则 f(xaa)1fxab1fxab(*)，f(xab)f(xb)a)1fxbb1fxbb，代入(*)式得 f(x2a)1fx2b，即 f(x2a)f(x2b)1，由上面的类型三，求出周期 T4(ba)例 4 已知函数 f(x)在(，)上满足关系式 f(x2)1fx1fx.若 f(0)2 3，则f(2012)等于_解析 由题意 f(x22)1fx21fx2(*)将 f(x2)1fx1fx 代入(*)式整理得 f(x4)1fx，所以 f(x8)1fx4f(x)，函数 f(x)的周期为 8.f(2012)f(25184)f(4)f(4)1f0 12 3 32，f(2012)32.答案 32