湘豫名校联考2023届高三数学（理）上学期12月期末摸底考试试卷（PDF版含解析）.pdf

1、书数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 湘豫名校联考年 月 高 三 上 学 期 期 末 摸 底 考 试数 学 理 科 参 考 答 案题 号答 案一 选 择 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 解 析 因 为 集 合 所 以 所 以 故 选 解 析 由 得 代 入 得 即 则解 得所 以 所 以 复 数 在 复 平 面上 对 应 的 点 为 位 于 第 二 象 限 故 选 解 析 由 题 意 知 万 元 万 元 由 公 式 得 整 理 得 等 式 两 边 取 对 数 得 故 选 解

2、 析 因 为 其 中 展 开 式 的 通 项 为 所 以 原 式 的 展 开 式 中 含 的 项 为 所 以 的 系数 为 故 选 解 析 由 程 序 框 图 可 知 初 始 值 第 一 次 循 环 第 二 次 循 环 第 三 次 循 环 第 四 次 循 环 第 五 次 循 环 第 六 次 循 环 第 七 次 循 环 此 时 满 足 循 环 条 件 所 以 输 出 故 选 解 析 设 因 为 直 线 的 方 程 为 代 入 圆 的 方 程 得 所 以 所以 因 为 所 以 解 得 故 选 解 析 方 法 一 由 知 分 别 为 的 中 点 如图 设 与 的 交 点 为 易 得 所 以 所 以

3、因 为 点 是 的 中 点 所 以 由 三点 共 线 知 存 在 满 足 由 三 点 共 线 知 存 在满 足 所 以 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 又 因 为 为 不 共 线 的 非 零 向 量 所 以 解 得 所 以 故 选 方 法 二 两 次 利 用 三 点 共 线 的 性 质 由 知 分 别 为 的 中 点 因 为 三点 共 线 所 以 存 在 实 数 使 得 又 三 点 共 线 所 以 解 得 故 故 选 方 法 三 由 知 分 别 为 的 中 点 由 三 点 共 线 得 存 在 满 足 由 三 点 共 线 得 存 在 满 足 则 解 得 所 以 则 故 选 方 法

4、 四 如 图 延 长 交 的 延 长 线 于 点由 知 分 别 为 的 中 点 所 以 所 以 点 为 的 中 点 易 得 所 以 所 以 故选 解 析 方 法 一 由 题 图 易 知 点 为 五 点 作 图 法 中 的 第 一 个 零 点 所 以 由 在 处 取 得 最 小 值 得 联 立 消 去 得 因 为 所 以 所 以 所 以 所 以 当 即 时 函 数 单 调 递 减 因 为 所 以 函数 在 上 的 单 调 递 减 区 间 为 故 选 方 法 二 由 题 可 得 为 函 数 的 一 个 对 称 中 心 时 取 得 最 小 值 即 直 线 为 函 数 的 一 条 对 称 轴 所 以

5、即 得 因 为 即 所 以 又 所 以 所 以 将 代 入 得 因 为 所 以 所 以 所 以 当 即 时 函 数 单 调 递 减 因 为 所 以 函 数 在 上 的 单 调 递 减 区 间 为 故 选 解 析 方 法 一 如 图 取 的 中 点 连 接 因 为 为 的 中 点 所 以 又 由 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 得 所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形 故 所 以 异 面 直 线 与 所 成 的 角 为或 其 补 角 因 为 平 面 所 以 又 即 且 所 以 平 面 所 以 所 以 槡槡 因 为 在 中 为 的 中 点 所 以 所 以且 两 角 均 为 锐

6、 角 所 以 槡 故 选 方 法 二 过 点 作 垂 直 于 的 射 线 为 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系 因 为 平 面 所 以 所 以 槡 槡所 以 槡因 为 为 的 中点 所 以 槡所 以 槡 槡所以 槡 槡 故 异 面 直 线 与 所 成 角 的 余 弦值 为槡 故 选 解 析 方 法 一 设 则 由 长 方 体 的 体 积 公 式 得解 得 所 以 由 题 可 知 四 边 形 为 正 方 形 所 以 所 以 外 接 圆 的 圆 心 为 的 中点 记 为 点 又 是 直 角 三 角 形 同 理 外 接 圆 的 圆 心 为 的中 点 记 为 点 过 点 分 别

7、 作 平 面 与 平 面 的 垂 线 两 条 垂线 的 交 点 为 的 中 点 所 以 三 棱 锥 的 外 接 球 的 球 心 是 的 中 点 又 槡所 以 外 接 球半 径 槡 所 以 外 接 球 的 表 面 积 为 故 选 方 法 二 设 则 由 长 方 体 的 体 积 公 式 得 解 得 所 以 槡由 题 意 得 四 边 形 为 正 方 形 所 以如 图 将 三 棱 锥 补 充 为 正 四 棱 柱 则 三 棱 锥 的 外 接 球 即 为 正 四 棱 柱 的 外接 球 为 外 接 球 的 直 径 所 以 外 接 球 的 半 径 槡 所 以 外 接 球的 表 面 积 为 故 选 解 析 方

8、法 一 设 则 由 题 意 知 所 以 四 边 形 为 矩 形 所 以 所 以 由 得 则 由 双 曲 线 的 定 义 得 由 勾 股 定 理 得 式 平 方 与 式 相 减 可 得 由 得 令 令 则 易 知该 函 数 在 上 单 调 递 增 所 以 即 所 以 解 得 即 槡 槡满 足 故 选 方 法 二 如 图 由 对 称 性 可 知 四 边 形 为 平 行 四 边 形 因 为 所 以 所 以 平数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 行 四 边 形 为 矩 形 因 为 所 以 所 以 设 则所 以 所 以 槡 因 为 所 以 所 以 所 以 槡 关 于 单 调 递 增 且 为

9、正 则 关 于 单 调 递 减 当 时 槡 槡 槡 槡槡 当 时 槡 槡 槡 槡 槡 所 以槡 槡 满 足 故 选 解 析 方 法 一 因 为 槡 所 以 槡 所 以 槡 槡 槡 槡 所 以 槡 槡 槡 所 以 故 函 数 的 一 个 周 期 为 所 以 错 误 因 为 所 以 由 函 数 的图 象 关 于 轴 对 称 知 为 偶 函 数 所 以 即 即将 替 换 为 得 即 又 是 偶函 数 所 以 则 所 以 函 数 的 一 个 周 期 为 所 以 错误 因 为 函 数 为 偶 函 数 且 周 期 为 所 以 的 图 象 关 于 直 线 对 称 若 函 数 的 图 象 关 于 直线 对 称

10、 则 所 以 与 函 数 不恒 为 零 矛 盾 所 以 错 误 因 为 所 以 又 由 令 得 所 以 故选 方 法 二 因 为 槡 所 以 槡 所 以 槡 槡 槡 槡 所 以 槡 槡 槡 若 正 确 则 所 以 与 不 恒 为 零矛 盾 所 以 错 误 因 为 所 以 由 函 数 的 图 象 关 于 轴 对 称 知 为 偶 函 数 所 以 即 即 将 替 换 为 得 即 知 为 图 象 的 对 称 中心 又 直 线 为 图 象 的 对 称 轴 所 以 得 为 最 小 正 周 期 因 为 所 以 不 是 的 周 期 所 以 错 误 若 正 确 则 直 线 均 为 的 对 称 轴 所 以 所 以

11、 即 因 为 为 奇 数 为 偶 数 两 者 矛 盾 所 以 错 误 因 为 所 以 又 由 令 得 又 所 以 的 一 个 周 期 为 当 时 所 以 的 一 个 周 期 为 所 以 故 选 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 二 填 空 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 解 析 小 明 的 外 婆 从 种 新 鲜 瓜 类 蔬 菜 中 任 意 购 买 种 共 有 种 情 况 其 中 购 买 了 苦 瓜 的 情 况共 有 种 故 小 明 的 外 婆 购 买 的 瓜 类 蔬 菜 中 含 苦 瓜 的 概 率 为 解 析 因 为 曲 线 的 方 程 为 槡 即 则 由 题

12、意 及 抛 物 线 的 对 称 性 知 点 在 抛 物线 上 且 在 轴 的 下 方 直 线 过 此 抛 物 线 的 焦 点 设 联 立得 则 所 以 由 抛 物 线 的 焦 点 弦 长 公 式 得 解 析 当 时 由 得 故 当 时 又 所 以 所 以 数 列 的 最 小 项 当 时 由得 故 当 时 又 所 以 所 以的 最 大 项 所 以 解 析 设 切 点 为 因 为 所 以 所 以 切 线 方 程 为 即 所 以 所 以 设 则 令 可 得 当 时 在 上 单 调 递 增 当 时 在 上 单 调 递 减 所 以 因 为 当 时 当 时 所 以 的 值 域 为所 以 的 取 值 范 围

13、 为三 解 答 题 共 分 解 答 时 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 解 析 由得 所 以 当 时 分 由 得 因 为 数 列 为 各 项 均 为 正 数 的 数 列 所 以 分 又 由 得 负 值 舍 去 分 所 以 所 以 故 数 列 是 首 项 为 公 差 为 的 等 差 数 列 所 以 分 由 得 分 所 以 数 列 的 前 项 和 所 以 两 式 作 差 可 得 分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 所 以 分 因 为 所 以 故 分 解 析 因 为 所 以 由 正 弦 定 理 得 分 所 以 解 得 或 分 因 为 所 以

14、 或 分 因 为 为 斜 三 角 形 所 以 分 由 可 知 当 时 由 正 弦 定 理 得 槡槡分 所 以 槡槡分 槡槡 分 槡 槡 分 因 为 所 以 分 所 以 分 解 析 由 条 形 统 计 图 得 分 分 所 以 分 分 所 以 槡 槡槡槡槡 分 因 为 相 关 系 数 所 以 与 具 有 很 强 的 线 性 相 关 关 系 且 为 正 相 关 分 分 所 以 分 所 以 分 由 题 意 知 年 对 应 的 年 份 代 码 当 时 分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 故 预 测 年 该 公 司 的 研 发 人 数 约 为 人 分 解 析 方 法 一 如 图 取 的 中

15、 点 连 接 图 因 为 侧 面 是 正 方 形 所 以 分 因 为 点 分 别 是 的 中 点 所 以 所 以 且 分 所 以 四 边 形 是 平 行 四 边 形 所 以 分 又 因 为 平 面 平 面 分 图 所 以 平 面 分 方 法 二 如 图 连 接 因 为 点 分 别 为 棱 的 中 点 所 以因 为 平 面 平 面 所 以 平 面 分 因 为 正 方 形 中 点 分 别 为 的 中 点 所 以 且所 以 四 边 形 为 矩 形 所 以 分 因 为 平 面 平 面 所 以 平 面 分 因 为 平 面 平 面 所 以 平 面 平 面 分 因 为 平 面 所 以 平 面 分 方 法 三

16、 因 为 在 直 三 棱 柱 中 所 以 可 以 为 原 点 所 在 直 线 分 别 为 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 分 又 侧 面 为 正 方 形 则 设 所 以 所 以 分 因 为 且 所 以 平 面 即 为 平 面 的 一 个 法 向 量 分 因 为 所 以 即 分 又 平 面 所 以 平 面 分 因 为 在 直 三 棱 柱 中 所 以 可 以 为 原 点 所在 直 线 分 别 为 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 分 图 设 则 所 以 易 知 平 面 的 一 个 法 向 量 为 分 设 平 面 的 法 向 量 为 则即令 得

17、所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 为 因 为 二 面 角 的 余 弦 值 为 槡 分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 所 以 槡 槡 解 得 负 值 舍 去 所 以 分 易 知 为 三 棱 锥 的 高 所 以 又 分 所 以 多 面 体 的 体 积 多 面 体 分 解 析 方 法 一 设 则 槡 当 直 线 经 过 点 时 由 的 面 积 为 槡 到 的 距 离 为 槡得 槡槡 分 同 时 得 槡 即 槡 分 联 立 结 合 解 得 槡 或 槡 因 为 为 钝 角 三 角 形 所 以 所 以 槡 分 故 椭 圆 的 标 准 方 程 为 分 方 法 二 设 则 经 过 两

18、点 时 直 线 的 方 程 为 即 分 因 为 点 到 直 线 的 距 离 为 槡所 以槡槡 槡 分 因 为 为 钝 角 三 角 形 所 以 为 钝 角 所 以 所 以 即 联 立 式 及 得 槡 分 故 椭 圆 的 标 准 方 程 为 分 方 法 一 由 题 意 设 直 线 的 方 程 为 联 立 消 元 得 分 当 即 时 满 足 题 意 设 则 分 若 为 定 值 则 上 式 与 无 关 故 得 分 此 时 槡 槡 槡槡槡 槡 又 点 到 直 线 的 距 离 槡 槡分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 所 以 槡 当 且 仅 当 槡 即 时 等 号 成 立 经 检 验 此

19、时 成 立 分 所 以 面 积 的 最 大 值 为 分 方 法 二 由 题 意 设 直 线 的 方 程 为 联 立 消 元 得 分 当 即 时 满 足 题 意 设 则 分 所 以 所 以 因 为 上 式 为 定 值 所 以 上 式 与 无 关 所 以 得 分 此 时 槡 槡 槡槡槡 槡 又 点 到 直 线 的 距 离 槡 槡分 所 以 槡 当 且 仅 当 槡 即 时 等 号 成 立 经 检 验 此 时 成 立 分 所 以 面 积 的 最 大 值 为 分 解 析 由 题 可 得 函 数 的 定 义 域 为 分 当 时 函 数 在 上 单 调 递 增 无 极 值 分 当 时 由 得 函 数 在 上

20、 单 调 递 增 由 得 函 数 在 上 单 调 递 减 所 以 极 小 值 即 分 数 学 理 科 参 考 答 案 第 页 共 页 令 则 易 知 函 数 在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增 所 以 分 所 以 有 唯 一 零 点 则 方 程 有 唯 一 解 故 实 数 的 值 为 分 方 法 一 易 知 所 以 所 求 问 题 等 价 于 函 数 在 区 间 上 没 有 零 点 分 因 为 所 以 由 得 由 得 所 以 在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增 分 当 即 时 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 所 以 此 时 函 数 在 区 间 上 没 有 零 点

21、 满 足 题 意 分 当 即 时 在 区 间 上 单 调 递 减 在 区 间 上 单 调 递 增 分 要 使 在 上 没 有 零 点 只 需 即 解 得 所 以分当 即 时 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 所 以 在 区 间 上 满 足 此 时 函 数 在 区 间 上 没 有 零 点 满 足 题 意 分 综 上 所 述 实 数 的 取 值 范 围 是 或 分 方 法 二 函 数 在 区 间 上 有 且 只 有 一 个 零 点 等 价 于 函 数 在 区 间 上 有 且 只 有 一 个 零 点 因 为 所 以 分 当 时 所 以 在 上 单 调 递 增 易 知 符 合 题 意 分 当 时 令 则 当 时 当 时 所 以 在 上单 调 递 减 在 上 单 调 递 增 分 当 时 在 上 单 调 递 增 符 合 题 意 当 时 在 上 单 调 递 减 符 合 题 意 当 时 在 上 单 调 递 减 在 上 单 调 递 增 分 要 使 在 上 有 且 只 有 一 个 零 点 只 需 即 得 所 以分 综 上 所 述 实 数 的 取 值 范 围 是 或 分