全国各地2022年中考数学试卷分类汇编 二次函数.docx

1、二次函数一、选择题1（2022江苏苏州，6，3分）已知二次函数yx23xm（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x23xm0的两实数根是（ ） Ax11，x21 Bx11，x22 Cx11，x20 Dx11，x23【答案】B【解析】二次函数yx23xm的图象与x轴的一个交点为（1，0），0123m，解得m2，二次函数为yx23x2设y0，则x23x20解得x21，x22，这就是一元二次方程x23xm0的两实数根所以应选B【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x轴交点的关系当b24ac0时，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标是一元二

2、次方程ax2+bx+c0的两个根【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选2（2022江苏扬州，8，3分）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】首先根据题意推断方程x32x1=0的实根是函数y=x23与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x32x1=0的实根x0所在范围解：依题意得方程x32x1=0的实根是函数y=x22与的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限当x=时，y

3、=x22=2，=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x22=2，=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x22=2，=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，y=x22=3，=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方所以方程的实根所在的范围是所以应选C【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错3. （2022重庆市(A)，12，4分）一次函数yaxb（a0）、二次函数yax2bx和反比例函数y(k0)在同一直角坐标系中

4、的图象如图所示，A点的坐标为(2，0)则下列结论中，正确的是（ ）Ab2ak Babk Cab0 Dak0【答案】D【解析】一次函数与二次函数的图象交点A的坐标为（2，0），2ab0，b2a又抛物线开口向上，a0，则b0而反比例函数图象经过第一、三象限，k02ak2a，即b2ak故A选项错误假设B选项正确，则将b2a代入abk，得a2ak，ak又a0，k0，即k0，这与k0相矛盾，abk不成立故B选项错误再由a0，b2a，知a，b两数均是正数，且ab，ba0故C选项错误这样，就只有D选项正确【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题解决这类问题的关键是熟练掌握

5、这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号上面解法运用的是排除法，至于D为何正确，可由二次函数yax2bx与反比例函数y(k0)的图象，知当x1时，yka，即ka又因为a0，k0，所以ak0【易错警示】二次函数a、b、c的符号的确定与函数图象的关系混淆不清4. （2022湖南益阳，7，4分）抛物线的顶点坐标是（ ）A(3，1) B(3，1) C(3，1) D(3，1) 【答案】：A【解析】抛物线的顶点是（h，k）【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式求顶点坐标。5（2022山东滨州，12，3分）如图，二次函数y=ax2

6、+bx+c(a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(1，0)则下面的四个结论：2a+b=0；4a2b+c0；ac0；当y0时，x1或x2其中正确的个数是 A1 B2 C3 D4【答案】：B【解析】由，得，从而可判断是正确的；当时，从而可判断是正确的；有图象可得a0，c0，从而可判断是错误的；根据二次函数对称性可得：当y0时，x1或x3，从而可判断是错误的. 故选B【方法指导】本题考查了二次函数的图象与性质，属于难题6. (2022山东烟台，11,3分)如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点（3,0），下列说法：若是抛物线上两点，则，其中说法正确的

7、是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置以及与外轴的交点位置来确定a、b、c的符号，开口向上a0；抛物线与y轴交于负半轴c0=10，abc0，故此选项错误.把所给两点利用二次函数的对称轴转化为对称轴同侧图象上的点，即利用对称轴可以求出（5，y1）的对称点的坐标是（3，0），在对称轴的右侧图象上y随x的增大而增大，故此选项正确.故选项C正确.【方法指导】本题考查了二次函数的图象及性质.对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x轴，y轴交点的位置，注意二次函数值y随自变量x的变化要以对称轴为分界点. 对于二次函数

8、y=ax2+bx+c(a0)的图象：（1） 开口向上a0;开口向下a0图象与y轴的正半轴有交点；c=0图象过坐标原点；c0图象与y轴的负半轴有交点；（3） 根据对称轴和a符号确定b的符号以及a、b之间的数量关系.（4） 根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号；根据x=1时y的值来确定ab+c的符号；x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号；根据x=1时y的值来确定4a2b+c的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性即可比较大小.7. （2022四川雅安，9，3分） 将抛物线y (x 1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位

9、后所得抛物线的解析式为（）Ay (x 2)2By (x 2)2 +6Cyx2 +6 Dyx2【答案】D【解析】抛物线y (x 1)2 +3的顶点为（1，3），向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得顶点（0，0），所以平移后所得抛物线的解析式为yx2故选D【方法指导】抛物线的平移变换是本题的考查重点，解决此类问题的关键是抓住抛物线顶点坐标的变化8. (湖南株洲,8,3分)二次函数的图象如图所示，则的值是（ ）A.8 B.8 C. D.6 6【答案】：C【解析】:由图可知，抛物线与x轴只有一个交点,所以=0，解得m=8.又对称轴，m0，m的值为8【方法指导】：本题考查了二次函数图象与x轴的交点问

10、题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数.9（2022江西南昌，12，3分）若二次涵数y=ax+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x10Bb24ac0Cx1x0x2Da(x0x1)( x0x2)0,a0且有，则的值为负；在图2中，a0时，y随x的增大而增大的是 A、y=x+1 B、y=x21 C、y= D、y=x2+1【答案】B【解析】A、函数y=x+1 ，当x0时，y随x的增大而减小；B、函数y=x21 ，当x0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而增大；C、函数y= ，当x0（第象限）时，双曲线一分支y随x的增大而减小； D、抛物线y=x2+

11、1，当x0（对称轴y轴右侧）时，y随x的增大而减小.【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象与性质.解答本题需要了解各函数图象的增减性特点，解题时不妨画个示意图进行直观判断.11（2022山东德州，11，3分）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以上结论：b24c0b+c+1=03b+c+6=0当1x3时，x2+(b1)x+c0。其中正确的个数是A、1 B、2 C、3 D、4【答案】B【解析】抛物线与x轴没有交点，b24c0，于是错误；当x=1时，抛物线与直线交点坐标为（1，1）满足函数y=x2+bx+c，即b+c+1=1，错误；（3，3）在函数y=x2+bx+c图象

12、上，3b+c+9=3，即3b+c+6=0，所以正确；观察图象可知，当1xx2+bx+c，即x2+(b1)x+c0.因此以上说法正确的有、.故选B.【方法指导】本题考察了二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.【易错警示】把握知识点不到位，出现多选或漏选.122022山东菏泽，8，3分已知，二次函数的图象为下列四个图象之一.试根据图象分析，的值应等于（）xyO11xyOxyOxyO11A2B1C1D2（题目不清楚）！【答案】C【解析】【方法指导】【答案】：C13（2022山东日照，1

13、2，4分）如图,已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.下列判断： 当x2时，M=y2； 当x0时，x值越大，M值越大；使得M大于4的x值不存在；若M=2，则x= 1 .其中正确的有 A1个 B2个 C 3个 D4个【答案】B【解析】当x2时，M=y1，所以错误。当x0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以正确。当x0时，M=y1使得M0；当0x2，M=y2，使得M4，x2时，M=y1使得M4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以正确。当M=2时，有两种

14、情况，即，0x2，M=y2即得2x=2,解得x=1.x2时，M=y1即得所以错误。【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)14（2022江西，6，3分）若二次涵数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x10Bb24ac0Cx1x0x2Da(x0x1)( x0x2)0,a0且有，则的值为负；在图2中，a3，当在对称轴的两侧时，点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得-（-5）3-,解得，综上所得：，故选B23.（2022四川巴中，10，3分）已知二次函

15、数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aac0B当x1时，y随x的增大而减小Cb2a=0Dx=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质245761 分析：由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，得到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；由抛物线与x轴的交点为（1，0）及对称轴为x

16、=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（3，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，选项D正确解答：解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a0，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c0，ac0，选项A错误；由函数图象可得：当x1时，y随x的增大而减小；当x1时，y随x的增大而增大，选项B错误；对称轴为直线x=1，=1，即2a+b=0，选项C错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（1，0），又对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项D正确故选D点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，

17、以及抛物线与x轴的交点，难度适中二次函数y=ax2+bx+c=0（a0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标32（2022四川内江，9，3分）若抛物线y=x22x+c与y轴的交点为（0，3），则下列说法不正确的是（）A抛物线开口向上B抛物线的对称轴是x=1C当x=1时，y的

18、最大值为4D抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0）考点：二次函数的性质分析：A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向B利用x=可以求出抛物线的对称轴C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标解答：解：抛物线过点（0，3），抛物线的解析式为：y=x22x3A、抛物线的二次项系数为10，抛物线的开口向上，正确B、根据抛物线的对称轴x=1，正确C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为4，而不是最大值故本选项错误D、当y=0时，有x22x3=0，解得：x1=1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（1，0

19、），（3，0）正确故选C点评：本题考查的是二次函数的性质，根据a的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标33（2022贵州省黔东南州，8，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0，b24ac0Ba0，b0，c0，b24ac0Ca0，b0，c0，b24ac0Da0，b0，c0，b24ac0考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据

20、抛物线与x轴交点的个数判断b24ac与0的关系解答：解：抛物线的开口向下，a0，对称轴在y轴右边，a，b异号即b0，抛物线与y轴的交点在正半轴，c0，抛物线与x轴有2个交点，b24ac0故选D点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a0；否则a0（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c0；否则c0（4）b24ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b24ac0；1个交点，b24ac=0；没有交点，b24ac0 34（2022贵州省黔西南州，10，4分）如图所示，二

21、次函数y=ax2+bx+c的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b24ac0；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0，其中错误的有（）A1个B2个C3个D4个考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：（1）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b24ac0，正确；（2）图象与y轴的交点在1的下方，所以c1，错误；（3）对称轴在1的右边，1，又a0，2ab0，正确；（4）当x=1时，y=a+b+c0，正确；故错误的有1个故选：A点评

22、：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用35.（2022河南省，8，3分）在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）【解析】二次函数的开口向下，所以在对称轴的左侧随的增大而增大，二次函数的对称轴是，所以，【答案】A36（2022黑龙江省哈尔滨市，5）把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2考点：抛物线的平移分析：根据平移概

23、念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（-1，0）（0，2）.解答：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选D37（2022湖北省鄂州市，9，3分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab0；a+b+c0；b+2c0；a2b+4c0；你认为其中正确信息的个数有（）A2个B3个C4个D5个考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：如图，抛

24、物线开口方向向下，a0对称轴x=，b=a0，ab0故正确；如图，当x=1时，y0，即a+b+c0故正确；如图，当x=1时，y=ab+c0，2a2b+2c0，即3b2b+2c0，b+2c0故正确；如图，当x=1时，y0，即ab+c0抛物线与y轴交于正半轴，则c0b0，cb0，（ab+c）+（cb）+2c0，即a2b+4c0故正确；如图，对称轴x=，则故正确综上所述，正确的结论是，共5个故选D点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定38（2022湖北省十堰市，1，3分）如图，二次函数y=ax2

25、+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0）下列结论：ab0，b24a，0a+b+c2，0b1，当x1时，y0，其中正确结论的个数是（）A5个B4个C3个D2个考点：二次函数图象与系数的关系分析：由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定正确；由抛物线与x轴有两个交点得到b24ac0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定正确；由抛物线过点（1，0），得出ab+c=0，即a=b1，由a0得出b1；由a0，及ab0，得出b0，由此判定正确；由ab+c=0，及b0得出a+b+c=2b0；由b1，c=1，a0，得出a+b+ca+1+12，由此判定正确；由

26、图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y0，由此判定错误解答：解：二次函数y=ax2+bx+c（a0）过点（0，1）和（1，0），c=1，ab+c=0抛物线的对称轴在y轴右侧，x=0，a与b异号，ab0，正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，b24ac0，c=1，b24a0，b24a，正确；抛物线开口向下，a0，ab0，b0ab+c=0，c=1，a=b1，a0，b10，b1，0b1，正确；ab+c=0，a+c=b，a+b+c=2b0b1，c=1，a0，a+b+c=a+b+1a+1+1=a+20+2=2，0a+b+c2，正确；抛物线y=ax2+bx+

27、c与x轴的一个交点为（1，0），设另一个交点为（x，0），则x00，由图可知，当x0x1时，y0，错误；综上所述，正确的结论有故选B点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中二次函数y=ax2+bx+c（a0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b24ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换二、填空题1(2022湖北荆门，17，3分)若抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m6，n)，则n_【答案】9【解析】抛物线yx2bxc与x轴只

28、有一个交点，原抛物线的顶点在x轴上将原抛物线的顶点平移至原点，则所得抛物线的解析式为yx2，且它经过点A(3，n)，B(3，n)当x3时，n(3)29【方法指导】此题另一解法如下：依题意，得m2bmcn，(m6)2b(m6)cn，得12m366b0即b2(m3)抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，b24c0即cnm2bmcm22(m3)m4(m3)292（2022广东湛江，14，4分）抛物线的最小值是 【答案】1.【解析】的顶点坐标为（0，1）由于抛物线的开口向上，所以它的有最小值1.【方法指导】求二次函数的最小值的步骤：1.把配成顶点式：2.如果，当时，y有最小值如果，当时，y有最大值3.

29、如果自变量有一定的限制，还得根据图象的性质，确定端点的函数值是否为最3(2022四川成都，24，4分)在平面直角坐标系xoy中，直线ykx(k为常数)与抛物线yx22交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为(0，4)，连接PA，PB有以下说法：PO2PAPB；当k0时，(PAAO)(PBBO)的值随k的增大而增大；当k时，BP2BOBA；PAB面积的最小值为4其中正确的是_(写出所有正确说法的序号)【答案】、【解析】由方程组消去y得，x22kx即x23kx60()设点A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，其中x1x2，则由()方程得x1x23k，x1x26由勾股定理得PA点A(x1，k

30、x1)在抛物线yx22上，kx1x122即kx12x12PAx1同理PBx2PAPBx1x2(k2)6(k2)622PAPB16而PO216，PAPBPO2说法是错误的由勾股定理得OAx1同理，OBx2(PAAO)(PBBO)x1()x2()x1x2()2()2616xyOPAB图4可见当k增大时，(PAAO)(PBBO)的值保持不变，说法是错误的当k时，如图4，()方程变为x2x60解得x1，x22于是y11，y22即点A(2，2)，B(，1)于是求得PB2，BO2，OA4，BA6PB2(2)21226，BP2BOBA说法是正确的SPAB(x2x1)PO2当k0时(此时直线ykx是横轴)，S

31、PAB有最小值，最小值24说法是正确的【方法指导】此题难度较大判断说法、时，可先估计它们是错误的，然后分别列举反例进行说明4（2022兰州，20，4分）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 考点：二次函数的性质分析：根据AOB=45求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可解答：解：由图可知，AOB=45，直线OA的解析式为

32、y=x，联立消掉y得，x22x+2k=0，=（2）2412k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，点B的坐标为（2，0），OA=2，点A的坐标为（，），交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，4+k=0，解得k=2，要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是2k故答案为：2k点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键5. 2022衢州4分）某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子设果

33、园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多【思路分析】根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=时，y最大【解析】假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，这时平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结（6005x）个橙子果园橙子的总产量为y，则y=（x+100）（6005x）=5x2+100x+60000，当x=10（棵）时，橘子总个数最多【方法指导】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键6.（2022山

34、西，18，3分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_m. 【答案】48【解析】以C为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B（18，9），设抛物线方程为：，将B点坐标代入，得a，所以，抛物线方程为：，E点纵坐标为y16，代入抛物线方程，16，解得：x24，所以，DE的长为48m。7.（2022四川绵阳，18，4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：2a+b0；bac；若-1mn1，则m+n；3|a|+

35、|c|2|b|。其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）.解析抛物线开口向下，a 0, 2a1,-b0 ，正确； -b-2a0a ,令抛物线的解析式为y=- x2 +bx- ,此时，a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为 和2，则（+2）/2=-b/(- ),b= , 抛物线y=- x2 + x- 符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c（其实ac,ac,a=c都有可能），错误；-1mn1，-2m+n1，2，m+n0,2a+b0,3a+2b+c0,3a+c-2b, -3a-c2b , a0 , c0 , 3|a|+|c|=

36、-3a-c2b=2|b|,正确。三、解答题1（2022重庆市(A)，25，12分）如图，对称轴为直线x1的抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3，0）（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点若点P在抛物线上，且SPOC4SBOC，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值【答案】（1）点A（3，0）与点B关于直线x1对称， 点B的坐标为（1，0）（2）a1，yx2bxc抛物线过点（3，0），且对称轴为直线x1，b2，c3，yx22x3，且点C的坐标（3，0） 设点P的坐标为（x，y），由题意得S

37、BOC13，SPOC6当x0时，有3x6，x4，y4224321当x0时，有3(x)6，x4，y(4)22(4)35点P的坐标为（4，21）或（4，5）直线yxb过A、C两点，设点Q的坐标为（x，y），3x0，则有QDx3(x22x3)x23x=30， 当x时，QD有最大值线段QD长度的最大值为【解析】（1）由抛物线的轴对称性容易求解（2）先求出BOC的面积，然后以OC为底边，点P到OC的距离，即点P的横坐标的绝对值为高，表示POC的面积，进而求出点P的横坐标，再将其代入抛物线的解析式求得点P的纵坐标解决问题构建线段OD长关于点Q的横坐标的二次函数模型，利用二次函数的性质求解【方法指导】本题考

38、查轴对称，求二次函数的解析式，平面直角坐标系中的图形面积，二次函数的最值第（2）问中在表示POC的面积时，启示我们在坐标系中求三角形的面积时，一般是将坐标轴上的边作为底边，而将该边所对的顶点的横（纵）坐标的绝对值作为高通过第（3）问可总结出表示平行于y轴的直线上两点的距离时，需用上面点的纵坐标减下面点的纵坐标来求，简称“上纵下纵”同理，表示平行于x轴的直线上两点的距离时，需用右边点的横坐标减左边点的横坐标来求，简称“右横左横”2.（2022湖北黄冈，23，12分）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产

39、品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：（1） 用x的代数式表示t为：t ；当0x4时，y2与x的函数关系为y2 ；当x 时，y2100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【答案】解：（1）t6x；当0x4时，y25(6x)1105x80当4x6时，y2100（2）当0x2时，w(15x90)x(5x80)(6x)10x240x480；当2x4

40、时，w(5x130)x(5x80)(6x)10x280x480；当4x6时，w(5x130)x100(6x)5x230x600；（3）当0x2时，w10x240x48010(x2)2440此时x2时，w最大600当2x4时，w10x280x48010(x4)2640x4时，w最大640当4x6时，w5x230x6005(x3)26454x6时，w640x4时，w最大640国内4千件，国外2千件，最大利润为64万元（或640千元）【解析】（1）根据“每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件”，知xt6，据此易解第（1）问（2）w等于国内销售总利润与国外销售总利润的和，即wy1xy

41、2(6x)根据第（1）问可得，结合，可知w与x之间属于分段函数关系，自变量x的取值范围分别是0x2，2x4，4x6然后将不同取值范围下的解析式代入wy1xy2(6x)中得解（3）对（2）中w与x之间的各段二次函数关系配方，得出各最大值情况，再把它们进行对比，获得最后的最大值【方法指导】本题考查构建二次函数模型求最大值，涉及列函数解析式，配方，二次函数的增减性、极值这类分段函数问题涉及数量众多，关系错综复杂，求解关键是抓住主要相等关系（如本例中“总利润w国内销售总利润国外销售总利润y1xy2(6x)”），然后理清各段情况下自变量的取值范围并求出相应函数关系式，这是关键中的关键，最后将它们整体代入

42、主要相等关系式中分类讨论获解3（2022江苏苏州，29，10分）如图，已知抛物线yx2bxc（b，c是常数，且c0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(1，0)(1)b ，点B的横坐标为 （上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AEBC，与抛物线yx2bxc交于点E点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得PBC的面积为S 求S的取值范围；若PBC的面积S为整数，则这样的PBC共有 个【思路分析】（1

43、）由A(1，0)在抛物线yx2bxc上可以解决（2）先求直线AE的解析式，再求直线CD的解析式，最后求抛物线的解析式（3）先求直线CB的解析式，再分类讨论点P的不同位置S的取值范围【解】（1）c，2c；【方法指导】抛物线与x轴的交点的横坐标是令y为0的一元二次方程的两根；结合点的坐标特征将几何线段的长用坐标表示是勾通代数与几何的关键；用解析式联立方程组可以求两个图象的交点；本题第3问，是动点探索型问题，要能灵活运用所学的知识，注意思想方法的运用【易错警示】不注意点的坐标的符号特征，错误表达几何线段的长；推导不仔细出错没有考虑分类讨论4. （2022江苏扬州，26，10分）如图，抛物线交轴于点A

44、，交轴正半轴于点B.（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于轴；在点A、B之间平行移动；直尺两边长所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ.设M点的横坐标为；且.试比较线段MN与PQ的大小.【思路分析】（1）只要求出抛物线与x轴、y轴的交点A、B的坐标即可求出直线AB对应的函数关系式；（2）用含的代数式表示出M、N、P、Q的坐标，分别求出MN、PQ的长即可解决问题【解】（1）令=0，得，.令x=0,得y=8.，.设直线AB对应的函数关系式为，则解得，.直线AB对应的函数关系式为；（2）因为直尺的宽度为1，M、N横坐标均为，P、Q的横坐标均为+1，据题意得，M、N纵

45、坐标分别为28、，可得MN=；同理可得PQ=.，当时，；当=1.5时，MN=PQ；当时， .【方法指导】已知点在图象上，则点的坐标适应解析式【易错警示】对于（2）没有分类讨论，漏掉其中一种或两种情况5.（2022贵州安顺，26，14分）如图，已知抛物线于x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。【思路分析】（1）由于

46、A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答【解】（1）抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a0），根据题意，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）存在。由y=x2+2x+3，得D点坐标为（1,4），对称轴为x=1。若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，

47、y）,根据勾股定理，得x2+(3y)2=（x1）2+(4y)2,即y=4x。又点P（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即x23x+1=0。解得x=。1，应舍去，x=。y=4x=。即点P的坐标为（，）。若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时P点坐标为（2，3）。符合条件的点P的坐标为（，）或（2，3）。（3）由B(3,0)，C（0,3）,D（1,4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=。CB2+CD2=BD2=20. BCD=90，设对称轴交x轴于点E，过C做CMDE，交抛物线于点M，垂足为F。在RtDCF中，CF=DF=

48、1，CDF=45，由抛物线的对称性知，CDM=245=90，点M坐标为（2,3）DMBC。四边形BCDM为直角梯形。由BCD=90及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况：以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）【方法指导】此题是一道 “存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性6（2022山东临沂，26，13分）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC的值最

49、小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由yxOABC【答案】：解：（1）设抛物线的解析式为yax2bxc，根据题意，得 解得抛物线的解析式为：（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求设直线BC的解析式为ykxb，由题意，得 解得直线BC的解析式为抛物线的对称轴是x2，当x2时，点P的坐标是（2，）（3）存在（）当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x2对称C点的

50、坐标为（0，），点N的坐标为（4，）（）当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作NHx轴于点H，四边形ACMN是平行四边形，ACMN，NMHCAO，RtCAORtNMH，NHOC点C的坐标为（0，），NH，即N点的纵坐标为，解得x1，x2点N的坐标为（，）和（，）综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为（4，），（，），（，）yxOABCPNMNMH【方法指导】利用待定系数法求出解析式；本题考查了对称、特殊的四边形、二次函数的图象多个知识点。7（2022山东滨州，23，9分）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长体方形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm请通过计算说明，当底面

51、的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)【答案】：解：根据题意，得y = 20x(x)，整 理， 得y =20x2 + 1800x y =20x2 + 1800x =20(x290x+2025) + 40500 =20(x45)2 + 40500，a=200，当x = 45时，函数y有最大值，y最大值= 40500，答：当底面的宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大为40500cm3【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值【方法指导】本题考查利用二次函数解决实际问题求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方

52、法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=x22x+5，y=3x26x+1等用配方法求解比较简单8. （2022四川宜宾，23，10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，

53、请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?【思路分析】（1）每月的销售利润=每件的利润每月卖的件数；由进价为每件40元，每件售价不能高于65元可求出自变量x的取值范围.（2）把问号（1）的结论配方即可求出答案.（3）令y=2200可求出第一个问号，第二个问号可根据图象得出.【解】(1)(2)a=101）的顶点为D，两抛物线相交于点C，（1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由；（2）设交点C的横坐标为m交点C的纵坐标可以表示为： 或 ，由此请进一步探究m关于h的函数关系式；如图2，若ACD=90，求m的值MNECDABD0xyABC0xy第23题【思路分析】（1）由与y轴

54、交于点A，易得A（0,2），又由抛物线经过点A（0,2），可以将A点横、纵坐标代入二次函数解析式，可求出k的值，从而确定顶点B的坐标；由于D点是的顶点，易得D（h，2h），如要判断点D在直线l上，需要将D点的坐标，代入直线解析式中验证。（2）由于点C是两抛物线的交点，可将C点的横坐标m分别代入两个抛物线解析式，从而求出两种不同表示的C点纵坐标；欲探究m关于h的函数关系式，需找到m和h的等量关系，由于两种不同表示方法表示的都是C点纵坐标，二者相等列等式，再变形为函数关系式。有ACD=90这一特殊条件，再作x轴、y轴的垂线，从而构造相似三角形，利用相似三角形的对应边的比相等，列出关于m的方程，从而

55、求出m的值。【解】（1）由题意可知A（0，2），又因为抛物线经过点A，所以有，解得，所以抛物线解析式为，从而得出点B的坐标为（1，1）；因为点D是抛物线（h1）的顶点，所以点D的坐标为（h，2h），将（h，2h）代入中，左右两边相等，所以点D在直线l上（2）交点C的纵坐标可以表示为：或由题意知：= ，整理得：，解得，或，h1过点C作CMy轴，垂足为点M，过点D作DEy轴，垂足为点E，过点C作CNDE，垂足为点N，则四边形CMEN是矩形，MCN=90，又ACD=90MCA=DCNACMDCN由题意可知CM=m，AM=，CN=，DN=从而有，由得，解得，又点C在第一象限内，【方法指导】本题考查待定

56、系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识点，本题对学生的综合解题能力要求偏高。对于二次函数，我们需要了解顶点式和一般式两种常见形式，能够熟练的说出它的开口方向、顶点、对称轴等常用知识点。2(2022浙江湖州,19,8分)已知抛物线经过点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标【思路分析】（1）根据抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），再整理即可，（2）根据抛物线的解析式为y=x2+2x+3=（x1）2+4，即可得出答案【解】（1）解法一：抛

57、物线经过点A（3，0），B（1，0），解得 抛物线的解析式为解法二：抛物线的解析式为（2）抛物线的顶点坐标为（1，4）【方法指导】此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式15（2022重庆，25，12分）如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形

58、CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，ABN的面积为，且，求点P的坐标（第25题图）yxOCAB【思路分析】（1）根据图象上的点的坐标用待定系数法解答；（2）设M，N两点的横坐标为一个未知数，结合M，N两点所在函数的图形和解析式，把其纵坐标用该未知数表示，然后根据MNx轴，MN的长度等于两点纵坐标的差，得到一个MN的长是所设未知数的函数，求出该函数的最大值即可；（3）首先可以结合图形求出的值，再求出的值，求出平行四边形CBPQ的BC边上的高，求出直线PQ的解析式，最后求出直线PQ与抛物线的交点，即得点P的坐标【解】（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入，得 解得 直线B

59、C的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入，得 解得 抛物线的解析式为（2）如图，设点M的坐标为（x，），则N的坐标为（x，），MN=，当时，MN最大值为MyxOCABN图（3）如图，当时，解得，故A（1，0），B（5，0），AB=4把代入，得，点N的坐标为（，），由B（5，0），C（0，5）可得OB=OC=5，BC=，过点C作CDPQ于D，可得平行四边形CBPQ的BC边上的高CD=图MPyxOCABNEQD设直线PQ交y轴于点E，由OB=OC，可得BCO=45，DCE=45，CE=6，点E的坐标为（0，1），直线PQ的解析式为y=x1点P同时在抛物线和直线PQ上，由，解得，P点坐标为P1（

60、2，3），P2（3，4）【方法指导】本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，建立数学模型求二次函数的最大值问题，考查了二次函数与几何图形的综合应用用待定系数法求函数解析式，一般来说，有几个待定系数就需要找出几个点的坐标；求线段、周长、面积等的最大值或最小值问题，首先需考虑建立怎样的数学模型，使问题转化为求函数的极值问题；解答二次函数与几何问题的综合问题时，需要用到解答几何证明问题的一些思考方法，比如“两头凑”就是思考和解决数学问题的重要而常见的方法16（2022江西南昌，25，12分）已知抛物线抛物线y n=(xan)2+an（n为正整数，且0a1a20

61、，a1=1， 即y1=(x1)2+1方法一：令y1=0代入得：(x1)2+1=0，x1=0，x2=2，y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）b1=2， 方法二：y1=(xa1)2+a1与x轴交于点A0（0，0）， (b11)2+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去），b1=2， 又抛物线y2=(xa2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），(2a2)2+ a2=0，a2=1或4，a2 a1，a2=1（舍去），取a2=4，抛物线y2=(x4)2+4 （2）（9，9）； （n2，n2） y=x 详解如下：抛物线y2=(x4)2+4令y2=0代入得：(x4)2+4=0，x1=2，x2=6，y2与

62、x轴交于点A1（2，0），A2（6，0），又抛物线y3=(xa3)2+a3与x轴交于A2（6，0），(6a3)2+a3=0a3=4或9，a3 a3，a3=4（舍去），只取a3=9，招物线y3的顶点坐标为（9，9），由y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），抛物线y3的的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；A0（0，0），A1（2，0），A0 A1=2， 又yn=(xn2)2+n2，令yn=0，(xn2)2+n2=0，即x1=n2+n，x2=n2n，A n1(n2n，0)，A

63、n(n2+n，0)，即A n1 A n=( n2+n)( n2n)=2 n 存在， 是平行于y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x2【方法指导】本题考查了二次函数的一般知识，求字母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界17. （2022江苏泰州，26，14分） 已知：关于x的二欠函数，点，都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.(1)若，请说明a必

64、为奇数，(2)设a=11，求使成立的所有n的值;(3)对于给定的正实数a，是否存在n，使ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在，求n的值(用含a的代数式表示)；如果不存在，请说明理由.【思路分析】（1）根据推出；（2）当a=11时，有，根据增减性，求出n的取值范围；（3）假设存在,则AB=BC，进一步分析，得.【解】(1) )若，则即：a必为奇数. (2) 当a=11时，化简得：解得：n为正整数.1、2、3、4.关于x的二欠函数，点，都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数.(3)假设存在,则AB=BC即：两边平方得：化简得: 【方法指导】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式、代数式、等

65、腰三角形等知识综合运用.18（2022广东广州，25，14分）已知抛物线（a0,ac）过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。 （1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线经过点B，且与该抛物线交于另一点C(),求当x1时的取值范围。【思路分析】对于（1），把点A（1,0）代入函数式，变形，即可得到；对于（2），有多种思路可以判断点在哪个象限，思路一：根据题意画图，由条件可知图像不经过第三象限就可以推出开口向上，即，由可以判断出与轴有两个交点，所以其顶点在第四象限；思路二：直接用公式法（或十字相乘法）算出，抛物线与x轴有两个不同的交点的横坐标，分别为，所

66、以确定抛物线顶点在第四象限；对于（3），题目问时，的取值范围，只要把图像画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与轴的另一个交点。因为抛物线与x轴有两个不同的交点的横坐标是，由这里可以发现，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点；看图像可以得到，时，大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道，算出即可，即是要再找出一个与有关的式子，即可解方程组求出；直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去，整理即可得到，联立，解得，此时【解】（1）把点A（1,0）代入函数即可得到（2）若a0，则抛物线开口向下，抛物线必过第三象限，所以，a0不成立。当时，抛物线开口向上

67、，B在第四象限。理由如下由题意，可变形为解得所以抛物线与轴有两个交点又因为抛物线不经过第三象限所以，且顶点在第四象限（3）在抛物线上，把B、C两点代入直线解析式，得解得抛物线的对称轴为当时，的最小值为顶点纵坐标，且无最大值，即【方法指导】二次函数的问题通常都是其解析式、求对称轴、求顶点坐标、求最值以及与其他知识的综合等，本题基本上综合了上述各种问题，解题的方法就是牢牢抓住二次函数的对称轴的求法，顶点坐标的求法，以及最值的求法19（2022山东德州,24,12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转900，得到DOC。抛

68、物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F。求出当CEF与COD相似时点P的坐标；是否存在一点P，使PCD的面积最大？若存在，求出PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由。【思路分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）求动点P坐标，需要进行探究，分类讨论存在情况，结合相似、列一元二次方程解题；要探究使PCD的面积最大，寻求PN=PMNM，SPCDPCN+PND列出二次函数模型来解决.【解】（1）在RtAOB中，OA1，tanBAO=3tanBAO=OBOA

69、tanBAO3DOC是由AOB绕原点O逆时针旋转900而得到的。OCOB3，ODOA1A、B、C三点的坐标分别为（1，0），（0，3），（3，0）代放抛物线解析式得， a+b+c=0 c=3 9a3b+c=0解之得，a=1,b=2,c=3抛物线的解析式为：y=x22x+3（2）抛物线y=x22x+3的对称轴l为：x= 1E点坐标为（1，4）（）当CEF900时，CEFCOD,此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点。坐标为（1，4）（）当CFE900时，CFECOD。过点P做PMCA于点M，则EFCEMP。于是，,MP=3EM.即：t22t+3=3(1t)。整理得：t2t6=0解之得：t1=2

70、,t2=3（不合题意，舍去）。所以此时点P的坐标为（2，3）所以当CEF与COD相似时点P的坐标分别为：（1，4）或（2，3）。设直线CD的解析式为：y=kx+m则得： ，解之得：k=,m=1所以直线CD的解析式为：y=x+1设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t, t+1）.PN=PMNM=t22t+3（t+1）t2t+2则SPCDPCN+PNDPNCM+PNOM=PN(CM+OM)=PNOC（t2t+2）（t+）2+当t时，SPCD的最大值为。【方法指导】本题主要考查二次函数、一次函数与相似三角形、旋转等结合，具有较强探究性、同时融合方程思想、分类讨论思想、函数建摸等.20（2022山

71、东菏泽，21，10分）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形. (1)试求b，c的值、并写出该二次函数表达式； (2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问: 当P运动到何处时，有PQAC?当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?xyOBADC【思路分析】（1）可以求出点A、B坐标，联系等腰三角形、平行四边形在平面直角坐标系中求解B、D坐标，根据代定系数法确定二次函数表达式；（2）运用相似、图形

72、面积计算、二次函数最大（小）值的计算等解决动态型问题.【解】（1）由令，得点A（0,3）令，得点C（4,0）三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形点B（4,0）又四边形ABCD能构成平行四边形 点D的坐标为（8,3）将B（4,0）、D（8,3）代入二次函数得：，故：该二次函数表达式将B（4,0）、D（8,3）代入二次函数得：，故：该二次函数表达式为 3分.（2）PxyOBADCQ设点P运动到t秒时，有PQAC，此时AP=t, CQ=t, AQ=，PQAC，则有APQCAO,，解得即：当点P运动到距A点个单位处，有PQAC. 6分.,且当APQ面积最大时，四边形PDCQ的面积最小.当动点P运动t

73、秒时AP=t,CQ=t,AQ=设APQ底边AP上的高为h作QHAD于H，由AQHCAO可得：（也可由HAQ=OCA得sin HAQ=sin OCA得到），当时，达到最大值，此时，故当点P运动到距A点个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为10分.为 3分.（2）设点P运动到t秒时，有PQAC，此时AP=t, CQ=t, AQ=，PQAC，则有APQCAO,，解得即：当点P运动到距A点个单位处，有PQAC. 6分.,且当APQ面积最大时，四边形PDCQ的面积最小.当动点P运动t秒时AP=t,CQ=t,AQ=设APQ底边AP上的高为h作QHAD于H，由AQHCAO可得：（也可由HAQ=OCA得

74、sin HAQ=sin OCA得到），当时，达到最大值，此时，故当点P运动到距A点个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为10分.【方法指导】本题考查了二次函数、一次函数与三角形、四边形等知识的综合.第（1）问相对容易解决；（2）问从题型看呈现动态探究型问题解决，相对考虑的知识点较多，这与平时把握的知识技能、数学思考等解题质量联系密切突现试题的选拔功能.21（2022四川凉山州，23，8分）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）。解：在抛物线图象上任取两点（0，3）、（1，4），由题意知：

75、点向左平移1个单位得到（，3），再向下平移2个单位得到（，1）；点向左平移1个单位得到（0，4），再向下平移2个单位得到（0，2）。设平移后的抛物线的解析式为。则点（，1），（0，2）在抛物线上。可得：，解得：。所以平移后的抛物线的解析式为：。根据以上信息解答下列问题：将直线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式。【思路分析】要根据题中所给的信息去解决这个问题.先通过平移后的点的坐标,进而用代入法求出函数解析式.【解】在直线y=2x3上任取两点A(0,3),B(1,1).由题意知:点A向右平移3个单位得A(3,3),再向上平移1个单位得到A(3,2). 点B向右平移3个单

76、位得B(4,1),再向上平移1个单位得到B(4,0).设平移后的直线的解析式为y=kx+b(k0),则A(3,2), B(4,0)在直线上,可得所以平移后的直线的解析式为y=2x8.【方法指导】信息题就是利用所给的信息或是新的解题方法去解决相应的问题，一般是要解决的问题就是按照信息所给的解题方法去解决。22（2022江西，24，12分）已知抛物线抛物线y n=-(x-an)2+an（n为正整数，且0a1a20，a1=1， 即y1=(x1)2+1方法一：令y1=0代入得：(x1)2+1=0，x1=0，x2=2，y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）b1=2， 方法二：y1=(xa1)2+a

77、1与x轴交于点A0（0，0）， (b11)2+1=0，b1=2或0，b1=0（舍去），b1=2， 又抛物线y2=(xa2)2+a2与x轴交于点A1（2，0），(2a2)2+ a2=0，a2=1或4，a2 a1，a2=1（舍去），取a2=4，抛物线y2=(x4)2+4 （2）（9，9）； （n2，n2） y=x 详解如下：抛物线y2=(x4)2+4令y2=0代入得：(x4)2+4=0，x1=2，x2=6，y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0），又抛物线y3=(xa3)2+a3与x轴交于A2（6，0），(6a3)2+a3=0a3=4或9，a3 a3，a3=4（舍去），只取a3=9，招物线y

78、3的顶点坐标为（9，9），由y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），抛物线y3的的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；A0（0，0），A1（2，0），A0 A1=2， 又yn=(xn2)2+n2，令yn=0，(xn2)2+n2=0，即x1=n2+n，x2=n2n，A n1(n2n，0)，A n(n2+n，0)，即A n1 A n=( n2+n)( n2n)=2 n 存在， 是平行于y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x2【方法指导】本题考查了二次函数的一般知识，求字

79、母系数、解析式、顶点坐标；字母表示数（符号意识），数形结合思想，规律探究，合情推理，解题方法的灵活性等等，更重要的是一种胆识和魄力，敢不敢动手，会不会从简单，从特殊值入手去探究一般规律，画一画图帮助思考，所有这些都是做学问所必需的品质和素养，也是新课程改革所倡导的精神和最高境界23（2022白银，28，12分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出

80、点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OBOP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标求POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出BOP的面积解答：解：函数的图象与x轴相交

81、于O，0=k+1，k=1，y=x23x，假设存在点B，过点B做BDx轴于点D，AOB的面积等于6，AOBD=6，当0=x23x，x（x3）=0，解得：x=0或3，AO=3，BD=4 即4=x23x， 解得：x=4或x=1（舍去）又顶点坐标为：（ 1.5，2.25）2.254，x轴下方不存在B点，点B的坐标为：（4，4）；点B的坐标为：（4，4），BOD=45，BO=4，当POB=90，POD=45，设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x，即x=x23x，解得x=2 或x=0，在抛物线上仅存在一点P （2，2）OP=2，使POB=90，POB的面积为： POBO=42=8点评：本题考查了二次函

82、数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键24（2022兰州，28，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值考点：二次

83、函数综合题分析：（1）将y=mx22mx3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQy轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC面积的最大值；（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：DM2+BD2=MB2时；DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值解答：解：（1）y=mx22mx3m=m（x3）（x+1），m0，当y=0时，x1=1，x2=3，A（1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2x如图：过点P作P

84、Qy轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x，设P（x，x2x），则Q（x，x），PQ=x（x2x）=x2+x，SPBC=PQOB=（x2+x）3=（x）2+，当x=时，SPBC有最大值，Smax=，（）2=，P（，）；（3）y=mx22mx3m=m（x1）24m，顶点M坐标（1，4m），当x=0时，y=3m，D（0，3m），B（3，0），DM2=（01）2+（3m+4m）2=m2+1，MB2=（31）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（30）2+（0+3m）2=9m2+9，当BDM为Rt时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2DM2+BD2=MB2时有

85、：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=1（m0，m=1舍去）；DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，解得m=（m=舍去）综上，m=1或时，BDM为直角三角形点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度25（2022年佛山市，24，10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶

86、点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2；（3）如图，抛物线的顶点坐标为（2，1），PP

87、=1，阴影部分的面积等于平行四边形AAPP的面积，平行四边形AAPP的面积=12=2，阴影部分的面积=2点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键26（2022广东珠海，22，9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（1，1m）（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把OAD沿直线OD折叠后点A落在点A处，连接OA并延长与线段BC的延长线交于点E

88、，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标考点：二次函数综合题3481324分析：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（2）设AD与x轴交于点M，过点A作ANx轴于点N根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则AM=2mx，OA=m，在RtOAM中运用勾股定理求出x，得出A点坐标，运用待定系数法得到直线OA的解析式，确定E点坐标（4m，3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m

89、的取值范围，即可求解解答：解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，m），D（2m，m），M（1，1m）三点的坐标代入，得，解得，所以抛物线l的解析式为y=x2+2mx+m；（2）设AD与x轴交于点M，过点A作ANx轴于点N把OAD沿直线OD折叠后点A落在点A处，OADOAD，OA=OA=m，AD=AD=2m，OAD=OAD=90，ADO=ADO，矩形OABC中，ADOC，ADO=DOM，ADO=DOM，DM=OM设DM=OM=x，则AM=2mx，在RtOAM中，OA2+AM2=OM2，m2+（2mx）2=x2，解得x=mSOAM=OMAN=OAAM，AN=m，ON=m，A

90、点坐标为（m，m），易求直线OA的解析式为y=x，当x=4m时，y=4m=3m，E点坐标为（4m，3m）当x=4m时，x2+2mx+m=（4m）2+2m4m+m=8m2+m，即抛物线l与直线CE的交点为（4m，8m2+m），抛物线l与线段CE相交，3m8m2+m0，m0，38m+10，解得m；（3）y=x2+2mx+m=（xm）2+m2+m，m，当x=m时，y有最大值m2+m，又m2+m=（m+）2，当m时，m2+m随m的增大而增大，当m=时，顶点P到达最高位置，m2+m=（）2+=，故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函

91、数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度（2）中求出A点的坐标是解题的关键27（2022广西钦州，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA（1）求点A的坐标和AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C连接OC和AC，把AOC沿OA翻折得到四边形ACOC试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；（4）若点P为x轴

92、上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：探究型分析：（1）由y=x2+2x得，y=（x2）22，故可得出抛物线的顶点A的坐标，令x2+2x=0得出点B的坐标过点A作ADx轴，垂足为D，由ADO=90可知点D的坐标，故可得出OD=AD，由此即可得出结论；（2）由题意可知抛物线m的二次项系数为，由此可得抛物线m的解析式过点C作CEx轴，垂足为E；过点A作AFCE，垂足为F，与y轴交与点H，根据勾股定理可求出OC的长，同理可得AC的长，OC=AC

93、，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，由此即可得出结论；（3）过点C作CGx轴，垂足为G，由于OC和OC关于OA对称，AOB=AOH=45，故可得出COH=COG，再根据CEOH可知OCE=COG，根据全等三角形的判定定理可知CEOCGO，故可得出点C的坐标把x=4代入抛物线y=x2+2x进行检验即可得出结论；（4）由于点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，故设Q（a，（a2）24），由于OC为该四边形的一条边，故OP为对角线，由于点P在x轴上，根据中点坐标的定义即可得出a的值，故可得出结论解答：解：（1）由y=x2+2x得，y=（x2）22，抛物线的顶点A的坐标为（2，2），

94、令x2+2x=0，解得x1=0，x2=4，点B的坐标为（4，0），过点A作ADx轴，垂足为D，ADO=90，点A的坐标为（2，2），点D的坐标为（2，0），OD=AD=2，AOB=45；（2）四边形ACOC为菱形由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是（2，4），抛物线的解析式为：y=（x2）24，即y=x22x2，过点C作CEx轴，垂足为E；过点A作AFCE，垂足为F，与y轴交与点H，OE=2，CE=4，AF=4，CF=CEEF=2，OC=2，同理，AC=2，OC=AC，由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC，故四边形ACOC为菱形（3）如图1，点C不在抛物线y=x2+2

95、x上理由如下：过点C作CGx轴，垂足为G，OC和OC关于OA对称，AOB=AOH=45，COH=COG，CEOH，OCE=COG，又CEO=CGO=90，OC=OC，CEOCGO，OG=4，CG=2，点C的坐标为（4，2），把x=4代入抛物线y=x2+2x得y=0，点C不在抛物线y=x2+2x上；（4）存在符合条件的点Q点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，设Q（a，（a2）24），OC为该四边形的一条边，OP为对角线，=0，解得x1=6，x2=4，P（6，4）或（2，4）（舍去），点Q的坐标为（6，4）点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的性

96、质等知识，难度适中28（2022贵州安顺，26，10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）由于A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论运用两点间距离公式

97、建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答解答：解：（1）抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a0），根据题意，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）存在由y=x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即y=4x又P点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即x23x+1=0，解得x1=

98、，x2=1，应舍去，x=，y=4x=，即点P坐标为若以CD为一腰，点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）符合条件的点P坐标为或（2，3）（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，CB2+CD2=BD2=20，BCD=90，设对称轴交x轴于点E，过C作CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在RtDCF中，CF=DF=1，CDF=45，由抛物线对称性可知，CDM=245=90，点坐标M为（2，3），DMBC，四边形BCDM为直角梯形，由BCD=90及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上

99、的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）点评：此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、等腰梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性29（2022贵州毕节，27，16分）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BDCA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点

100、E，使以B、P、E为顶点的三角形与CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；（3）本问为存在型问题可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论解答：解：（1）点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，解得：a=1，b=1，抛物线的解析式为：y=x2+1，抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于

101、y轴对称，B（1，0）（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：，解得k=1，b=1，y=x+1BDCA，可设直线BD的解析式为y=x+n，点B（1，0）在直线BD上，0=1+n，得n=1，直线BD的解析式为：y=x1将y=x1代入抛物线的解析式，得：x1=x2+1，解得：x1=2，x2=1，B点横坐标为1，则D点横坐标为2，D点纵坐标为y=21=3，D点坐标为（2，3）如答图所示，过点D作DNx轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，在RtBDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在RtADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=O

102、C=1，OCAB，由勾股定理得：AC=BC=；四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=+=+（3）假设存在这样的点P，则BPE与CBD相似有两种情形：（I）若BPEBDC，如答图所示，则有，即，PE=3BE设OE=m（m0），则E（m，0），BE=1m，PE=3BE=33m，点P的坐标为（m，33m）点P在抛物线y=x2+1上，33m=（m）2+1，解得m=1或m=2，当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去因此，此种情况不存在；（II）若EBPBDC，如答图所示，则有，即，BE=3PE设OE=m（m0），则E（m，0），BE=

103、1+m，PE=BE=（1+m）=+m，点P的坐标为（m， +m）点P在抛物线y=x2+1上，+m=（m）2+1，解得m=1或m=，m0，故m=1舍去，m=，点P的纵坐标为： +m=+=，点P的坐标为（，）综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与CBD相似，点P的坐标为（，）点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点第（2）问的解题要点是求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论30（2022湖北孝感，22，10分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单

104、价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？考点：二次函数的应用；一次函数的应用分析：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（3x+108）（x2

105、0），转换为P=3（x28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格解答：解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b 由题意可得：解得故y与x的函数关系式为：y=3x+108 （2）每天获得的利润为：P=（3x+108）（x20）=3x2+168x2160=3（x28）2+192 故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大点评：本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大31（2022湖北孝感，25，12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若AEF=90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F（1

106、）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）AE=EF是否总成立？请给出证明；在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=x2+x+1上，求此时点F的坐标考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到AGE与ECF全等；（2）在AB上截取AM=EC，证得AMEECF即可证得AE=EF；过点F作FHx轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a1，然后表示出点F的坐标，根据点F恰好

107、落在抛物线y=x2+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标；解答：（1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG AGE与ECF全等 （2）若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立证明：如图2，在AB上截取AM=ECAB=BC，BM=BE，MBE是等腰直角三角形，AME=18045=135，又CF平分正方形的外角，ECF=135，AME=ECF 而BAE+AEB=CEF+AEB=90，BAE=CEF，AMEECFAE=EF 过点F作FHx轴于H，由知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a1，点F的坐标为F（a，a1）点F恰好落在抛物线y=x2+x+1上，a1=a2+a+1，a2=2

108、，（负值不合题意，舍去），点F的坐标为点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题32（2022湖北宜昌，22，12分）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（xt）（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A（t，4），k=（k0）；（2）随着三角板的滑动，当a=时：请你验证：抛物线y1=ax（xt）的顶点在函数y=的图象上；当三角板滑至点E为AB的

109、中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当txt+4，|y2y1|的值随x的增大而减小，当xt+4时，|y2y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围考点：二次函数综合题分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；（2）求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=，若该点满足函数解析式y=，即表示该顶点在函数y=图象上；反之，该顶点不在函数y=图象上；如图1，过点E作EKx轴于点K则EK是ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=

110、x（xt）即可求得t=2；（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是+4则t+4=+4，由此可以求得a与t的关系式解答：解：（1）点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，点A的坐标是（t，4）又直线OA：y2=kx（k为常数，k0），4=kt，则k=（k0）（2）当a=时，y1=x（xt），其顶点坐标为（，）对于y=来说，当x=时，y=，即点（，）在抛物线y=上故当a=时，抛物线y1=ax（xt）的顶点在函数y=的图象上；如图1，过点E作EKx轴于点KACx轴，ACEK点E是线段AB的中点，K为BC的中点，EK是ACB的中位线，EK=AC=2，CK=BC=2，E（t+2，2）点E在

111、抛物线y1=x（xt）上，（t+2）（t+2t）=2，解得t=2（3）如图2，则x=ax（xt），解得x=+4，或x=0（不合题意，舍去）故点D的横坐标是+t当x=+t时，|y2y1|=0，由题意得t+4=+t，解得a=（t0）点评：本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点解题时，注意“数形结合”数学思想的应用332022湖南邵阳，25，8分如图(二)所示，已知抛物线y = -2x2 -4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到抛物线F. (1)求抛物线F所表示的解析式； (2)设抛物线F和x轴相交于点O、点B(点B位于点O的右侧)，顶点为C.点

112、A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴距离的2倍，求AB所在直线的解析式.知识考点：二次函数图象的平移，二次函数与一次函数结合. 审题要津：（1）将二次函数解析式变换为顶点式，在根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；（2）利用待定系数法求一次函数解析式. 满分解答：解：(1)y=-2x2 -4x = -2(x2+2x) =-2(x +1)2 +2. 将抛物线y =-2x2 -4x向右平移两个单位后的解析式为y =-2(x +1-2)2 +2，即y=-2x2 +4x. (2)解方程-2x2 +4x =0，得x1=0，x2=4. O(0,0),B(4,0). y=-2(x

113、-1)2 +2， C(1,2)，所以点C到x轴的距离为2. 点A到x轴的距离为4， 点A在y轴的负半轴上， A(0，-4). 设直线AB的解析式为y=kx+c， 有，解得. 直线AB的解析式为y= -x +4.名师点评：本题考查了二次函数图象的平移，一次函数解析式的确定，解题的关键是求出F图象的解析式.34（2022湖南郴州，25，10分）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、

114、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形分析：（1）根据等边对等角可得A=C，然后根据两直线平行，同位角相等求出CPE=A，从而得到CPE=C，即可得证；（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH；（3）分别求出EM、FN、BH，然后根据SPCE，SAPF，SABC，再根据S=SABCSPCESAPF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答解答：（1）证明

115、：AB=BC，A=C，PEAB，CPE=A，CPE=C，PCE是等腰三角形；（2）解：PCE是等腰三角形，EMCP，CM=CP=，tanC=tanA=k，EM=CMtanC=k=，同理：FN=ANtanA=k=4k，由于BH=AHtanA=8k=4k，而EM+FN=+4k=4k，EM+FN=BH；（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=162x，BH=16，所以，SPCE=x2x=x2，SAPF=（8x）（162x）=（8x）2，SABC=816=64，S=SABCSPCESAPF，=64x2（8x）2，=2x2+16x，配方得，S=2（x4）2+32，所以，当x=4时，S有最大值32点评：本

116、题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点35 （2022湖南娄底，24，10分）（2022娄底）已知：一元二次方程x2+kx+k=0（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k0，当二次函数y=x2+kx+k的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与ABC的外接圆有公共点？考点：二次函数综合题分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式=b24ac的符号来判定已知方

117、程的根的情况；（2）利用根与系数的关系（|xAxB|=4）列出关于k的方程，通过解方程来求k的值；（3）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围解答：（1）证明：=k24（k）=k22k+1=（k1）20，关于x的一元二次方程x2+kx+k=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x2+kx+k=0xA+xB=2k，xAxB=2k1，|xAxB|=2|k1|=4，即|k1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=1此二次函数的解析式是y=x2x；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x2x易求A（1，0），B（3，0），C（1，2），AB=4，AC=2，BC=2显然

118、AC2+BC2=AB2，得ABC是等腰直角三角形AB为斜边，外接圆的直径为AB=4，2m2点评：本题综合考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大36. （2022江苏南京，26，9分） 已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m) (a、m为常数，且a0)。 (1) 求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点； (2) 设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。 当ABC的面积等于1时，求a的值： 当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。解析： (1) 证明：y=

119、a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。 因为当a0时，-(2am+a)2-4a(am2+am)=a20。 所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。 所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分) (2) 解：j y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ， 所以，点C的坐标为(,- )。 当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。 当ABC的面积等于1时，1| - |=1。 所以1( -)=1，或1=1。 所以a= -8，或a=8。 k 当x=0时，y=a

120、m2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。 当ABC的面积与ABD的面积相等时， 1| - |= 1| am2+am |。 所以1( -)= 1(am2+am)，或1 = 1(am2+am)。 所以m= - ，或m= ，或m= 。 (9分)37（2022湖南张家界，25，12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点

121、F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明CEQ与CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即PCF周长的最小

122、值解答：解：（1）C（0，1），OD=OC，D点坐标为（1，0）设直线CD的解析式为y=kx+b（k0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=1，直线CD的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a（2）2+3，解得a=y=（x2）2+3=x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且OCOD，OCD为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，点E的坐标为（4，1）如答图所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），ME=CM=QM=2

123、，QME与QMC均为等腰直角三角形，QEC=QCE=45又OCD为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO（4）存在如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F，在线段QE上取异于点P的任一点P，连接FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而FC+FP+PC是点C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可知：FC+FP+PCC

124、C，即PCF的周长大于PCE的周长）如答图所示，连接CE，C，C关于直线QE对称，QCE为等腰直角三角形，QCE为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点C的坐标为（4，5）；C，C关于x轴对称，点C的坐标为（1，0）过点C作CNy轴于点N，则NC=4，NC=4+1+1=6，在RtCNC中，由勾股定理得：CC=综上所述，在P点和F点移动过程中，PCF的周长存在最小值，最小值为点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定PCF周长

125、最小时的几何图形，是解答本题的关键38（2022聊城，25，?分）已知ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20（1）写出ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；（2）当BC多长时，ABC的面积最大？最大面积是多少？（3）当ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明考点：二次函数综合题分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y48时代入解析式就可以求出其值；（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值（3）由（2）可知ABC的面积最大

126、时，BC10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B，连接BC 交直线L于点A，再连接AB，AB，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值解答：解：（1）由题意，得yx210x，当y48时，x210x48，解得：x112，x28，面积为48时BC的长为12或8；（2）yx210x，y（x10）250，当x10时，y最大50；（3）ABC面积最大时，ABC的周长存在最小的情形理由如下：由（2）可知ABC的面积最大时，BC10，BC边上的高也为10，过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B，连接BC 交直线L于点A，再连接AB，AB则由

127、对称性得：ABAB，ABAB，ABACABACBC，当点A不在线段BC上时，则由三角形三边关系可得：ABC的周长ABACBCABACBCBCBC，当点A在线段BC上时，即点A与A重合，这时ABC的周长ABACBCABACBCBCBC，因此当点A与A重合时，ABC的周长最小；这时由作法可知：BB20，BC10，ABC的周长1010，因此当ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为1010点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键39（2022泰安，29，?分）如图，抛物线

128、yx2bxc与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点C（0，4），B（2，0）分别代入yx2bxc中，得，解得该抛物线的解析式为yx2x4（2）令y0，即x2x40

129、，解得x14，x22，A（4，0），SABCABOC12设P点坐标为（x，0），则PB2xPEAC，BPEBAC，BEPBCA，PBEABC，即，化简得：SPBE（2x）2SPCESPCBSPBEPBOCSPBE（2x）4（2x）2x2x（x1）23当x1时，SPCE的最大值为3（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DMDO时，如答图所示DODMDA2，OACAMD45，ADM90，M点的坐标为（2，2）；（II）当MDMO时，如答图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DNON1，ANADDN3，又AMN为等腰直角三角形，MNAN3，M点的坐标为（1，3）；（III）当

130、ODOM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为4，即AC上的点与点O之间的最小距离为2，ODOM的情况不存在综上所述，点M的坐标为（2，2）或（1，3）点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏40（2022鞍山，26，10分）如图，已知一次函数y0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数yax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数yax2+bx

131、+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2（1）求二次函数yax2+bx+c的解析式；（2）设一次函数y0.5x+2的图象与二次函数yax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）根据y0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2得出可设二次函数yax2+bx+ca（x2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可解答：解：（1）y0.5x+2交x轴

132、于点A，00.5x+2，x4，与y轴交于点B，x0，y2B点坐标为：（0，2），A（4，0），B（0，2），二次函数yax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2把B（0，2）代入得：a0.5二次函数的解析式：y0.5x22x+2；（2）（）当B为直角顶点时，过B作BP1AD交x轴于P1点由RtAOBRtBOP1，得：OP11，P1（1，0），（）作P2DBD，连接BP2，将y0.5x+2与y0.5x22x+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，4.5），则AD，当D为直角顶点时DAP2BAO，BOAADP2，ABOAP2D，解得：AP211.25，则OP211.2547.25

133、，故P2点坐标为（7.25，0）；（）当P为直角顶点时，过点D作DEx轴于点E，设P3（a，0）则由RtOBP3RtEP3D得：，方程无解，点P3不存在，点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解41（2022徐州，26，8分）如图，在RtABC中，C90，翻折C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若CEF与ABC相似当ACBC2时，AD的长为；当AC3，BC4时，AD的长为18或25；（2）当点D是AB的中点

134、时，CEF与ABC相似吗？请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）分析：（1）若CEF与ABC相似当ACBC2时，ABC为等腰直角三角形；当AC3，BC4时，分两种情况：（I）若CE：CF3：4，如答图2所示，此时EFAB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE3：4，如答图3所示由相似三角形角之间的关系，可以推出AECD与BFCD，从而得到CDADBD，即D点为AB的中点；（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似可以推出CFEA，CC，从而可以证明两个三角形相似解答：解：（1）若CEF与ABC相似当ACBC2时，ABC为等腰直角三角形，如答图1所示此时D为AB边中

135、点，ADAC当AC3，BC4时，有两种情况：（I）若CE：CF3：4，如答图2所示CE：CFAC：BC，EFBC由折叠性质可知，CDEF，CDAB，即此时CD为AB边上的高在RtABC中，AC3，BC4，BC5，cosAADACcosA318；（II）若CF：CE3：4，如答图3所示CEFCAB，CEFB由折叠性质可知，CEFECD90，又AB90，AECD，ADCD同理可得：BFCD，CDBD，此时ADAB525综上所述，当AC3，BC4时，AD的长为18或25（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似理由如下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点QCD是RtABC的中线，CDDBAB，

136、DCBB由折叠性质可知，CQFDQF90，DCBCFE90，BA90，CFEA，又CC，CEFCBA点评：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质第（1）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意42（2022徐州，27，10分）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价（元/m3）不超出75m3的部分25超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a025（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费150元；（2）若调价后每月支出的燃气费

137、为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？考点：一次函数的应用分析：（1）根据单价数量总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据）根据单价数量总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0x75，75x125和x125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175x）m3，分3种情况：x125，175x75时，75x125，175x7

138、5时，当75x125，75175x125时分别建立方程求出其解就可以解答：解：（1）由题意，得6025150（元）；（2）由题意，得a（3257525）（12575），a275，a0253，设OA的解析式为y1k1x，则有257575k1，k125，线段OA的解析式为y125x（0x75）；设线段AB的解析式为y2k2xb，由图象，得，解得：，线段AB的解析式为：y2275x1875（75x125）；（385325）320，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3k3xb1，由图象，得，解得：，射线BC的解析式为y33x50（x125）（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（17

139、5x）m3，当x125，175x75时，3x5025（175x）455，解得：x135，17513540，符合题意；当75x125，175x75时，275x187525（175x）455，解得：x145，不符合题意，舍去；当75x125，75175x125时，275x1875275（175x）455，此方程无解乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价数量总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键43（2022徐州，28，10分）如图，二次函数yx2bx的图象与

140、x轴交于点A（3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标：（3，4）；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；（2）PAt，OEl，利用DAPPOE得到比例式

141、，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积解答：解：（1）（3，4）；（2）设PAt，OEl，由DAPPOEDPE90得DAPPOE，l（t）2当t时，l有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（4，0）由PADOEG得OEPA1，OPOAPA4。ADGOEG，AG：GOAD：OE4：1AG重叠部分的面积当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为点评：本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大44（2022鞍山，18，2分）某商场购

142、进一批单价为4元的日用品若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润（售价成本）售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值解答：解：（1）由题意，可设ykx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y10000x+800

143、00；（2）设利润为W，则W（x4）（10000x+80000）10000（x4）（x8）10000（x212x+32）10000（x6）2410000（x6）2+40000所以当x6时，W取得最大值，最大值为40000元答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力要先根据题意列出函数关系式，再代数求值解题关键是要分析题意根据实际意义求解注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识45（2022东营，24，12分）已知抛物线y=ax2+bx+c的

144、顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，1）AO（第24题图）xyB(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，BCN的面积最大，并求出最大值分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解（2）设C点坐标为（x，y），由题意可知过点C作轴于点D，连接AB，AC易证，根据对应线段成比例得出的关系式，再根据点C在抛物线上得，联立两个关系式组成方程组，求出的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P

145、为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线可得，故点H的坐标为（5，0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。（3）根据，得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M，N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标，从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。解：(1) 抛物线的顶点是A(2，0)，设抛物线的解析式为由抛物线过B(0，1) 得，2分抛物线的解析式为即3分 (2)设C的坐标为(x，y)A（第24(2)答案图）xOyCBPHDA在以BC为直径的圆上BAC=90作CDx轴于D ，连接AB、AC， AOBCDA4

146、分 OBCD=OAAD即1=2(x2)=2x4点C在第四象限5分由解得 点C在对称轴右侧的抛物线上点C的坐标为 (10，16)6分P为圆心，P为BC中点取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线PH=(OB+CD)=7分D(10，0)H (5，0)P (5， ) 故点P坐标为(5，)8分(3)设点N的坐标为，直线x=t（0t10）与直线BC交于点M，AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）所以 9分设直线BC的解析式为，直线BC经过B(0，1)、C (10，16)所以成立，解得：10分所以直线BC的解析式为，则点M的坐标为MN=11分 =所以，当t=5时，有最大值，最大值是12分点

147、拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h，k）一般可设其解析式为(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解46（2022济宁，23，?分）如图，直线y=x4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形P

148、EFQ的面积S最大？并求出最大值考点：一次函数综合题分析：（1）根据直线y=x4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EPBO，得出=，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可解答：解：（1）直线y=x4与坐标轴分别交于点A、B，x=0时，y=4，y=0时，x=8，=，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，=，AP=2t，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ

149、=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，83t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=82t，QP=t（82t）=3t8，t=3t8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，S矩形PEFQ=QPQF=（83t）t=8t3t2，当t=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，OQ=t，PA=2t，QP=t（82t）=3t8，S矩形PEFQ=QPQE=（3t8）t=3t28t，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，

150、0t4，当t=时，S矩形PEFQ的最小，t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：34284=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键47 （2022新疆12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC

151、的下方，试求ACE的最大面积及E点的坐标【思路分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式=0时，ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解【解析】（1）抛物线y=ax2+bx

152、+3经过点A（1，0），点C（4，3），解得，所以，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）点A、B关于对称轴对称，点D为AC与对称轴的交点时BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x1，y=x24x+3=（x2）21，抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=21=1，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x25x+3m=0，=（5）241（3m）=0，即m=时，点E到AC的距离最大，ACE的面积最大，此时x=，y=，点E的坐标为（，），设过点E

153、的直线与x轴交点为F，则F（，0），AF=1=，直线AC的解析式为y=x1，CAB=45，点F到AC的距离为=，又AC=3，ACE的最大面积=3=，此时E点坐标为（，）【方法指导】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题48(. 2022杭州10分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小

154、时，求自变量x的取值范围【思路分析】根据OC的长度确定出n的值为8或8，然后分n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围；n=8时求出点A的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围【解析】根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或8分类讨论：n=8时，易得A（6，0）如图1，抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，抛物线开口向下，则a0，AB=16，且A（6，0），B（10，0），而A、B关于对称轴对称，对称轴直

155、线x=2，要使y1随着x的增大而减小，则a0，x2；（2）n=8时，易得A（6，0），如图2，抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，抛物线开口向上，则a0，AB=16，且A（6，0），B（10，0），而A、B关于对称轴对称，对称轴直线x=2，要使y1随着x的增大而减小，且a0，x2【方法指导】本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难点在于要分情况讨论49. （2022嘉兴14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（xm）2m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结B

156、D作AEx轴，DEy轴（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？【思路分析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出AFCAED，进而证出ABFDAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=m2+m+4，将m=代入y=m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；作PQDE于点Q，则DPQBAF，然后分（如

157、图1）和（图2）两种情况解答【解析】（1）当m=2时，y=（x2）2+1，把x=0代入y=（x2）2+1，得：y=2，点B的坐标为（0，2）（2）延长EA，交y轴于点F，AD=AC，AFC=AED=90，CAF=DAE，AFCAED，AF=AE，点A（m， m2+m），点B（0，m），AF=AE=|m|，BF=m（m2+m）=m2，ABF=90BAF=DAE，AFB=DEA=90，ABFDAE，=，即：=，DE=4（3）点A的坐标为（m， m2+m），点D的坐标为（2m， m2+m+4），x=2m，y=m2+m+4，y=+4，所求函数的解析式为：y=x2+x+4，作PQDE于点Q，则DPQBA

158、F，（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（ m2+m+4）（m2）=m2+m+4，把P（3m， m2+m+4）的坐标代入y=x2+x+4得：m2+m+4=（3m）2+（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8（）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（ m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=x2+x+4得：m+4=m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8，综上所述：m的值为8或8【方法指导】：本题是二次函数综合题，涉及

159、四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论50. （2022浙江丽水10分）如图，已知抛物线与直线交于点O（0，0），A（，12），点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作轴、轴的平行线与直线OA交于点C，E。（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（，），求出，之间的关系式。51. 2022浙江丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，

160、点D点A关于直线CF的对称点，连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为（1）当时，求CF的长；（2）当为何值时，点C落在线段BD上？设BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，CDF沿轴左右平移得到CD F，再将A，B，C，D为顶点的四边形沿CF剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的点C的坐标。52. （2022宁波9分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=

161、x上，并写出平移后抛物线的解析式【思路分析】（1）利用交点式得出y=a（x1）（x3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=x2，进而得出答案【解析】（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x1）（x3），把C（0，3）代入得：3a=3，解得：a=1，故抛物线解析式为y=（x1）（x3），即y=x2+4x3，y=x2+4x3=（x2）2+1，顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=x上【方法指导】此题主

162、要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键53. （2022宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P，D，B三点作Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连结EF，BF （1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时求证：BDE=ADP；设DE=x，DF=y请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为

163、顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由【思路分析】（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；（2）先证出BODCOD，得出BOD=CDO，再根据CDO=ADP，即可得出BDE=ADP，先连结PE，根据ADP=DEP+DPE，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，得出DPE=OAB，再证出DFE=DPE=45，最后根据DEF=90，得出DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；（3）当=2时，过点F作FHOB于点H，则DBO=BFH，再证出BODFHB，=2，得出FH=2，OD=2B

164、H，再根据FHO=EOH=OEF=90，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可；当=时，连结EB，先证出DEF是等腰直角三角形，过点F作FGOB于点G，同理可得BODFGB，=，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据即可求出点P的坐标【解析】1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=1，则直线AB的函数解析式为y=x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90，又OD

165、=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，连结PE，ADP是DPE的一个外角，ADP=DEP+DPE，BDE是ABD的一个外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45，DF是Q的直径，DEF=90，DEF是等腰直角三角形，DF=DE，即y=x；（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FHOB于点H，DBO+OBF=90，OBF+BFH=90，DBO=BFH，又DOB=BHF=90，BODFHB，=2，FH=2，OD=2BH，FHO=EOH=OEF=90，四边

166、形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，点D的坐标为（0，），直线CD的解析式为y=x+，由得：，则点P的坐标为（2，2）；当=时，连结EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF是等腰直角三角形，过点F作FGOB于点G，同理可得：BODFGB，=，FG=8，OD=BG，FGO=GOE=OEF=90，四边形OEFG是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8OD=4+2OD，OD=，点D的坐标为（0，），直线CD的解析式为：y=x，由

167、得：，点P的坐标为（8，4），综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，4）【方法指导】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组54. 2022衢州12分）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，AOC的平分线交AB于点D点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动设移动时间为t秒（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=（

168、xt）2+t（t0）问是否存在某一时刻t，将PQB绕某点旋转180后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【思路分析】（1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；（2）要使PQB为直角三角形，显然只有PQB=90或PBQ=90，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6t）2+（2t）2，QB2=（62t）2+22，PQ2=（2tt）2+t2=2t2，再分别就PQB=90和PBQ=90讨论，求出符合题意的t值即可；（3）存在这样的t值，若将PQB绕某点旋转180，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB为平行四边形

169、，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值【解析】（1）四边形OABC是矩形，AOC=OAB=90，OD平分AOC，AOD=DOQ=45，在RtAOD中，ADO=45，AO=AD=2，OD=2，t=2；（2）要使PQB为直角三角形，显然只有PQB=90或PBQ=90如图1，作PGOC于点G，在RtPOG中，POQ=45，OPG=45，OP=t，OG=PG=t，点P（t，t）又Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得：PB2=（6t）2+（2t）2，QB2=（62t）2+22，PQ2=（2tt）2+t2=2t2，若PQB=90，则有PQ2+BQ2=PB2，即：2t2+（62t）2+22=（

170、6t）2+（2t）2，整理得：4t28t=0，解得：t1=0（舍去），t2=2，t=2，若PBQ=90，则有PB2+QB2=PQ2，（6t）2+（2t）2+（62t）2+22=2t2，整理得：t210t+20=0，解得：t=5当t=2或t=5+或t=5时，PQB为直角三角形解法2：如图2，当PQB=90时，易知OPQ=90，BQODBQC=POQ=45可得QC=BC=2，OQ=4，2t=4，t=2，如图3，当PBQ=90时，若点Q在OC上，作PNx轴于点N，交AB于点M，则易证PBM=CBQ，PMBQCB=，CBPM=QCMB，2（t2）=（2t6）（t6），化简得t210t+20=0，解得：

171、t=5，t=5； 如图3，当PBQ=90时，若点Q在OC的延长线上，作PNx轴于点N，交AB延长线于点M，则易证BPM=MBQ=BQC，PMBQCB，=，CBPM=QCMB，2（t2）=（2t6）（t6），化简得t210t+20=0，解得：t=5，t=5+； （3）存在这样的t值，理由如下：将PQB绕某点旋转180，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB为平行四边形PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t），点B坐标为（6，2），点B的坐标为（3t6，t2），代入y=（xt）2+t，得：2t213t+18=0，解得：t1=，

172、t2=2【方法指导】本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度较大55. （2022绍兴14分）抛物线y=（x3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点（1）求点B及点D的坐标（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E若线段BD上一点P，使DCP=BDE，求点P的坐标若抛物线上一点M，作MNCD，交直线CD于点N，使CMN=BDE，求点M的坐标【思路分析】（1）解方程（x3）（x+1）

173、=0，求出x=3或1，根据抛物线y=（x3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y=（x3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x22x3=（x1）24，即可确定顶点D的坐标；（2）根据抛物线y=（x3）（x+1），得到点C、点E的坐标连接BC，过点C作CHDE于H，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明BCD为直角三角形分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R根据两角对应相等的两三角形相似证明BCDQOC，则=，得出Q的坐标（9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y=x56，直线BD的解析式为y=2x6，解方程组，即可求出点P的坐标；分两种情况进

174、行讨论：（）当点M在对称轴右侧时若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点G，先证明MCNDBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN设CN=a，再证明CNF，MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（）当点M在对称轴左侧时由于BDE45，得到CMN45，根据直角三角形两锐角互余得出MCN45，而抛物线左侧任意一点K，都有KCN45，所以点M不存在【解析】（1）抛物线y=（x3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），当y

175、=0时，（x3）（x+1）=0，解得x=3或1，点B的坐标为（3，0）y=（x3）（x+1）=x22x3=（x1）24，顶点D的坐标为（1，4）；（2）如右图抛物线y=（x3）（x+1）=x22x3与与y轴交于点C，C点坐标为（0，3）对称轴为直线x=1，点E的坐标为（1，0）连接BC，过点C作CHDE于H，则H点坐标为（1，3），CH=DH=1，CDH=BCO=BCH=45，CD=，CB=3，BCD为直角三角形分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，RBDE=DCP=QCR，CDB=CDE+BDE=45+DCP，QCO=RCO+QCR=45+DCP，CDB=QCO，BCDQOC，=，OQ=3O

176、C=9，即Q（9，0）直线CQ的解析式为y=x3，直线BD的解析式为y=2x6由方程组，解得点P的坐标为（，）；（）当点M在对称轴右侧时若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点GCMN=BDE，CNM=BED=90，MCNDBE，=，MN=2CN设CN=a，则MN=2aCDE=DCF=45，CNF，MGF均为等腰直角三角形，NF=CN=a，CF=a，MF=MN+NF=3a，MG=FG=a，CG=FGFC=a，M（a，3+a）代入抛物线y=（x3）（x+1），解得a=，M（，）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MGy轴于点GCMN=BD

177、E，CNM=BED=90，MCNDBE，=，MN=2CN设CN=a，则MN=2aCDE=45，CNF，MGF均为等腰直角三角形，NF=CN=a，CF=a，MF=MNNF=a，MG=FG=a，CG=FG+FC=a，M（a，3+a）代入抛物线y=（x3）（x+1），解得a=5，M（5，12）；（）当点M在对称轴左侧时CMN=BDE45，MCN45，而抛物线左侧任意一点K，都有KCN45，点M不存在综上可知，点M坐标为（，）或（5，12）【方法指导】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角

178、三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度（2）中第问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键57.（2022上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，= 2，（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结，求的大小；（3）如果点在轴上，且与相似，求点的坐标（第24题图）y-1Ox2-11123-2358.（2022陕西，24，10分）在平面直角坐标系中，一个二次函灵敏的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点（1）写出这个二次函数的对称轴； （2）设这个二次函数的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AD、DE和DB，当

179、AOC与DEB相似时，求这个二次函数的表达式。提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A，那么它的表达式可表示为：考点：此题在陕西的中考中也较固定，第（1）问主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，抛物线的对称性等简单问题。第二问主要考查二次函数综合应用之点的存在性问题；包括最短距离与面积的最值等（等腰三角形，平行四边形，正方形，相似三角形，相似，全等等问题。考查问题的综合能力要求较高，基本上都是转化为求点的坐标的过程。解析：本题中（1）由抛物线的轴对称性可知，与x轴的两个交点关于对称轴对称，易求出对称轴；（2）由提示中可以设出函数的解析式，将顶点D与E的坐标表示出

180、来，从而将两个三角形的边长表示出来，而相似的确定过程中充分考虑到分类即可解决此题； 解：（1）对称轴为直线：x=2。（2）A（1，0）、B（3，0），所以设即当x=0时，y=3a，当x=2时，y=C（0，3a），D(2,-a) OC=|3a|,A（1，0）、E（2，0），OA=1,EB=1,DE=-a|=|a|在AOC与DEB中，AOC=DEB=90当时，AOCDEB时，解得或当时，AOCBED时，此方程无解，综上所得：所求二次函数的表达式为：或59.（2022四川内江，28，12分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2）两点，与y轴

181、交于点C，x1，x2是方程x2+4x5=0的两根（1）若抛物线的顶点为D，求SABC：SACD的值；（2）若ADC=90，求二次函数的解析式考点：二次函数综合题分析：（1）首先解一元二次方程，求出点A、点B的坐标，得到含有字母a的抛物线的交点式；然后分别用含字母a的代数式表示出ABC与ACD的面积，最后得出结论；（2）在RtACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数a，得出抛物线的解析式解答：解：（1）解方程x2+4x5=0，得x=5或x=1，由于x1x2，则有x1=5，x2=1，A（5，0），B（1，0）抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x1）（a0），对称轴为直线x=2，顶点

182、D的坐标为（2，9a），令x=0，得y=5a，C点的坐标为（0，5a）依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DEy轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OEOC=4aSACD=S梯形ADEOSCDESAOC=（DE+OA）OEDECEOAOC=（2+5）9a24a55a=15a，而SABC=ABOC=65a=15a，SABC：SACD=15a：15a=1；（2）如解答图所示，在RtDCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在RtAOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3

183、，在RtADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2ADC=90，ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，a0，a=，抛物线的解析式为：y=（x+5）（x1）=x2+x点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，避免出错注意第（1）问中求ACD面积的方法60.（2022四川遂宁，25，12分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）直线y=kx过点

184、A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DEy轴于点E探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PNAD于点N，设PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值考点：二次函数综合题分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点

185、坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据PMNCDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可解答：解：（1）y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）由此得 ，解得抛物线的解析式是y=x2x+，直线y=kx经过点A（2，0）2k=0，解得：k=，直线的解析式是 y=x，（2）设P的坐标是（x，x2x+），则M的坐标是（x， x）PM=（x2x+）（x）=x2x+4，解方程 得：，点D在第三象限，则点D的坐标是（8，7），由y=x得点C的坐标是（0，），CE=（7）=6，

186、由于PMy轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即x2x+=6解这个方程得：x1=2，x2=4，符合8x2，当x=2时，y=（2）2（2）+=3，当x=4时，y=（4）2（4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（2，3）和（4，）；（3）在RtCDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=CDE的周长是24，PMy轴，PMN=DCE，PNM=DEC，PMNCDE，=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=x2x+，l=x2x+=（x+3）2+15，0，l有最大值，当x=3时，l的最大值是15点评：此题主要考查了二

187、次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键61（2022贵州省黔东南州，24，14分）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2（1）求抛物线的解析式；（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1y2的x的取值范围；（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当SPAB6时，求点P的横坐标x的取值范围考点：二次函数

188、综合题分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象由图象可以直观地看出使得y1y2的x的取值范围；（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设PAB中，AB边上的高为h，则由SPAB6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围解答：解：（1）抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2，交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）设抛物线的解析式为y1=a（x1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：3=a（21）2+4，解得a=1，抛物线解析式为：y1=（x1）2+4=x2

189、+2x+3（2）令y1=0，即x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=1，抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（1，0）在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：根据图象，可知使得y1y2的x的取值范围为1x2（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）令x=3，则y2=x+1=3+1=4，B（3，4），即AB=4设PAB中，AB边上的高为h，则h=|xPxA|=|xP3|，SPAB=ABh=4|xP3|=2|xP3|已知SPAB6，2|xP3|6，化简得：|xP3|3，去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：3xP33，解此不等式组，得：0xP6，当SPAB6时，点P的横坐标x的取值范围为0xP6点评

190、：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏62（2022河北省，25，12分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比试行中得到了表中的数据（1）用含x和n的式子表示Q；（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；（4）

191、设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由参考公式：抛物线yax2+bx+c(a0)的顶点坐标是（，） 次数n21速度x4060指数Q420100解析：（1）设， 由表中数据，得，解得4分（2）由题意，得n=2 6分（3）当n=3时，由可知，要使Q最大，=909分（4）由题意，得10分即，解得，或=0（舍去）m=5012分63（2022湖北省鄂州市，23，10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出

192、10件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）100010x销售玩具获得利润w（元）10x2+1300x30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600（x40）x

193、=1000x，利润=（1000x）（x30）=10x2+1300x30000；（2）令10x2+1300x30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=10x2+1300x30000转化成y=10（x65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润解答：解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）100010x销售玩具获得利润w（元）10x2+1300x30000（2）10x2+1300x30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44x46 w=10x2+1300x

194、30000=10（x65）2+12250 a=100，对称轴x=65当44x46时，y随x增大而增大当x=46时，W最大值=8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大64（2022湖北省咸宁市，1，9分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量

195、y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=10x+500（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？考点：二次函数的应用分析：（1）把x=20代入y=10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价成本价，得w=（x10）（10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数

196、的性质求出最大利润；（3）令10x2+600x5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值解答：解：（1）当x=20时，y=10x+500=1020+500=300，300（1210）=3002=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元（2）依题意得，w=（x10）（10x+500）=10x2+600x5000=10（x30）2+4000a=100，当x=30时，w有最大值4000即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000（3）由题意得：10x2+600x5000=3000，解得：x1=20，x2=40a=100，抛物线开口向下，结合图象可知：当20x40时，w3000又x25，当20x25时，w3000设政府每个月为他承担的总差价为p元，p=（1210）（10x+500）=20x+1000k=200p随x的增大而减小，当x=25时，p有最小值500即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大129