2021版高考数学一轮复习浙江专用精练：6-2　等差数列（试题部分） WORD版含解析.docx

1、6.2等差数列探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等差数列的有关概念及运算1.理解等差数列的有关概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.掌握等差数列的前n项和公式.4.了解等差数列与一次函数之间的关系.2016浙江,6,5分等差数列的有关概念三角形面积2015浙江,3,5分等差数列的通项公式、前n项和等比数列等差数列的性质及应用能利用等差数列的性质解决有关问题.2017浙江,6,4分等差数列的前n项和充分条件与必要条件的判定分析解读1.等差数列知识属于常考内容.2.考查等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式等知识.3.灵活运用通项公式、前n项和公式处理最

2、值问题、存在性问题是高考的热点.4.以数列为背景,考查学生归纳、类比的能力.5.预计2021年高考试题中,等差数列的有关概念、性质、通项公式、前n项和公式的考查必不可少.复习时要足够重视.破考点 练考向【考点集训】考点一等差数列的有关概念及运算1.(2020届浙江镇海中学期中,3)已知Sn是等差数列an的前n项和,且S2=4,S4=18,则S6等于() A.50B.42C.38D.36答案B2.(2019浙江台州期末,3)已知公差不为零的等差数列an满足a32=a1a4,Sn为数列an的前n项和,则S3S1的值为() A.94B.-94C.32D.-32答案A3.(2019浙江宁波期末,15)

3、设等差数列an的前14项和a1+a2+a14=77,已知a1,a11均为正整数,则公差d=.答案-1考点二等差数列的性质及应用1.(2019浙江宁波北仑中学模拟(一),2)设等差数列an的前n项和为Sn,且a3+a5+a7=15,则S9=()A.60B.45C.36D.18答案B2.(2018浙江温州质量检查,5)已知数列an满足5an+1=255an,且a2+a4+a6=9,则log13(a5+a7+a9)=() A.-3B.3C.-13D.13答案A3.(2020届浙江慈溪期中,11)设等差数列an的前n项和为Sn(nN*),若a1=3,a5=-11,则a3=,S5=.答案-4;-20炼技

4、法 提能力【方法集训】方法1等差数列中“基本量法”解题的方法1.(2019浙江学军中学期中,2)在等差数列an中,如果a1=2,a2=5,那么a11等于 () A.34B.32C.30D.28答案B2.(2020届浙江师大附中11月模拟,15)设an是公差不为0的等差数列,a42+a52=a62+a72,则an的前10项和为.答案03.(2020届浙江绍兴一中期中,11)现有一根7节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则公差为,这7节竹子中最小容积为.答案16;12 升4.(2019浙江高考数学仿真卷(一),11)孙子算经是我国古代的数学名著,书中

5、有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得橘子的个数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子?”这个问题中,得到橘子最多的人所得的橘子个数是,得到橘子最少的人所得的橘子个数是.答案18;6方法2等差数列的判定方法1.(2018浙江金丽衢十二校联考,22)有一列数a0,a1,a2,a3,对任意的m,nN,mn,满足2am+2an-2n=am+n+am-n,且已知a1=2.(1)求a0,a2,a3 ;(2)证明:对一切nN*,数列an+1-an为等差数列;(3)若对一切nN*,1a1+1a2+1an恒成立,求的最小值.解析(

6、1)令m=n=0,得a0=0,令m=n=1,得a2=6,令m=2,n=1,得a3=12.(2)证明:令n=1,得2am+4-2=am+1+am-1,即(am+1-am)-(am-am-1)=2.所以数列an+1-an是公差为2的等差数列.(3)因为an+1-an=(a1-a0)+n2=2(n+1),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a1-a0)+a0=2n+2(n-1)+2+0=n(n+1).所以1a1+1a2+1an=112+123+1n(n+1)=1-1n+1,要使1-1n+1恒成立,的最小值为1.2.(2019浙江金丽衢联考,20)已知数列an,a1=2,a2=6,

7、且满足an+1+an-1an+1=2(n2且nN*).(1)求证:an+1-an为等差数列;(2)令bn=10(n+1)an-12,设数列bn的前n项和为Sn,求S2n-Sn的最大值.解析(1)证明:由an+1+an-1an+1=2得an+1+an-1=2an+2,则(an+1-an)-(an-an-1)=2.又a2-a1=4,所以an+1-an是首项为4,公差为2的等差数列. ( 5分)(2)当n2时,由(1)知an=(an-an-1)+(a2-a1)+a1=2n+4+2=2n(n+1)2=n(n+1).当n=1时,a1=2满足an=n(n+1),故an=n(n+1).(8分)bn=10(n

8、+1)n(n+1)-12=10n-12.Sn=101+12+1n-n2,S2n=101+12+1n+1n+1+1n+2+12n-2n2.设Mn=S2n-Sn=101n+1+1n+2+12n-n2,(11分)Mn+1=101n+2+1n+3+12n+12n+1+12n+2-n+12,Mn+1-Mn=1012n+1+12n+2-1n+1-12=1012n+1-12n+2-12=10(2n+1)(2n+2)-12.当n=1时,Mn+1-Mn=1034-120,即M1M2;当n2时,Mn+1-MnM3M4,Mn的最大值为M2,M2=1013+14-1=296,即S2n-Sn的最大值为S4-S2=296

9、.(15分)方法3等差数列的前n项和最值的求法1.(2019浙江高考信息优化卷(五),13)已知等差数列an的前n项和为Sn,Sn=8n-n2,则a10=,数列Sn中第项最大.答案-11;42.(2019浙江金华十校期末,13)记等差数列an的前n项和为Sn,若a10,a2+a2 017=0,则S2 018=;当Sn取得最大值时,n=.答案0;1 009【五年高考】A组自主命题浙江卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn

10、Bn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则() A.Sn是等差数列B.Sn2是等差数列C.dn是等差数列D.dn2是等差数列答案A2.(2015浙江,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案B考点二等差数列的性质及应用(2017浙江,6,4分)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案CB组统一命

11、题、省(区、市)卷题组考点一等差数列的有关概念及运算1.(2019课标全国理,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则() A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=12n2-2n答案A2.(2018课标全国理,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.-12B.-10C.10D.12答案B3.(2017课标全国理,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C4.(2017课标全国理,9,5分)等差数列an的首项

12、为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案A5.(2016课标全国,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案C6.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.答案1007.(2019北京理,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.答案0;-108.(2019课标全国理,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则S10S5=

13、.答案49.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.答案1610.(2018北京理,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.答案an=6n-311.(2017课标全国理,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则k=1n1Sk=.答案2nn+112.(2019课标全国文,18,12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.解析本题考查等差数列的通项公式与前

14、n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和应用能力,主要考查数学运算的核心素养.(1)设an的公差为d.由S9=-a5得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=n(n-9)d2.由a10知d0,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1a1a3D.若a10答案C2.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案B3.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a

15、7=25,则a2+a8=.答案104.(2019北京文,16,13分)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解析本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算,考查的学科素养为数学抽象与数学运算.(1)设an的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以an=a1+(

16、n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,an=2n-12.所以,当n7时,an0;当n6时,an0.所以,Sn的最小值为S6=-30.C组教师专用题组1.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a22=-3,S5=10,则a9的值是.答案202.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=.答案63.(2015安徽,13,5分)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于.答案274.(2018北京文,15,13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5l

17、n 2.(1)求an的通项公式;(2)求ea1+ea2+ean.解析(1)设an的公差为d.因为a2+a3=5ln 2,所以2a1+3d=5ln 2.又a1=ln 2,所以d=ln 2.所以an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)因为ea1=eln 2=2,eanean-1=ean-an-1=eln 2=2,所以ean是首项为2,公比为2的等比数列.所以ea1+ea2+ean=21-2n1-2=2(2n-1).5.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解

18、析本题考查等差、等比数列.(1)设an的公比为q,由题设可得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.方法总结等差、等比数列的常用公式:(1)等差数列:递推关系式:an+1-an=d,常用于等差数列的证明.通项公式:an=a1+(n-1)d.前n项和公式:Sn=(a1+an)n2=na1+n(n-1)2d.(2

19、)等比数列:递推关系式:an+1an=q(q0),常用于等比数列的证明.通项公式:an=a1qn-1.前n项和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q(q1).(3)在证明a,b,c成等差或等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b或等比中项:ac=b2来证明.6.(2016山东,18,12分)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n,求数列cn的前n项和Tn.解析(1)由题意知,当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5.当n=1时,a1=S1=11,所以an=6n

20、+5.设数列bn的公差为d.由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.(2)由(1)知cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)2n+1.又由Tn=c1+c2+cn,得Tn=3222+323+(n+1)2n+1,2Tn=3223+324+(n+1)2n+2,两式作差,得-Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=34+4(1-2n)1-2-(n+1)2n+2=-3n2n+2.所以Tn=3n2n+2.方法总结若某数列的通项是等差数列与等比数列的通项的积或商,则该数列的前n项和可以采用错位相减

21、法求解,注意相减后的项数容易出错.7.(2015福建,17,12分)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an-2+n,求b1+b2+b3+b10的值.解析(1)设等差数列an的公差为d.由已知得a1+d=4,(a1+3d)+(a1+6d)=15,解得a1=3,d=1.所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n.所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=2(1-210)1-2+(1+10)102=(211-2)+55=21

22、1+53=2 101.评析本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分) 1.(命题标准样题,4)记Sn为等差数列an的前n项和.若S5=2S4,a1=2,则a6=()A.-15B.-13C.13D.15答案B2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,5)已知等差数列an,Sn表示前n项的和,a5+a110,a6+a90,则满足Sn0,a50,数列的前n项和为Sn,则S5S4的取值范围是.答案56,15.(2020届浙江名校协作体开学联考,15)已知数列an为等差数列,公差为d(d0),且满足a3a4+2a4a6+a5a12=2

23、 019d,则1a5-1a6=.答案42 019三、解答题(共60分)6.(2020届浙江之江教育联盟联考,20)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且4Sn=an2+2an.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)求证:n2+n2S1+S2+S3+Snn2+2n2.解析本题考查等差数列的有关概念、数列的前n项和以及不等式的证明;考查学生推理论证的能力;考查数学运算和逻辑推理的核心素养.(1)当n=1时,由4a1=a12+2a1得a1=2,当n2时,由4an=4Sn-4Sn-1=(an2-an-12)+2(an-an-1),得an-an-1=2.所以数列an是以2为首项,2为公差的等差数

24、列,故an=2n,所以Sn=n(n+1).(2)证法一:由(1)知Sn=n(n+1),又nn(n+1)n+12,所以1+2+3+nS1+S2+S3+Sn1+2+3+n+12n,故n2+n2S1+S2+S3+Sn12+12=1, f(1)12+212=32,不等式成立.假设当n=k(k2,kN*)时不等式成立,即k2+k2f(k)k2+2k2成立,那么当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+(k+1)(k+2)k2+2k2+(k+1)(k+2)k2+k2+(k+1)(k+2)k2+k2+k+1=(k+1)2+(k+1)2,即当n=k+1时,不等式也成立.由可得对任意的正整数n,不等式都成立.7.

25、(2019浙江宁波期末,20)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.某同学模仿先贤用石子摆出了如图3所示的图形,图3中的2,5,7,9,这些数能够表示成梯形,将其称为梯形数.(1)请写出梯形数的通项公式an(不要求证明),并求数列an的前n项和Sn;(2)若bn=1Sn,数列bn的前n项和记为Tn,求证:Tn1.解析(1)根据观察可归纳得an=2(n=1),2n+1(n2).n2时,Sn=2+5+7+2n+1=2+(n-1)(5+2n+1)

26、2=n2+2n-1.又S1=a1=2符合上式,Sn=n2+2n-1.(2)证明:由(1)知bn=1n2+2n-1.bn=1n2+2n-11n2+n=1n-1n+1,则Tn1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=1-1n+11,即Tnm32(mZ)对nN*恒成立,求m的最大值.解析本题考查等差数列的概念;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2n2+2n-(n-1)an-1-2(n-1)2+2(n-1),化简得(n-1)(an-an-1-4)=0,即an-an-1=4,所以数列an是等差数列,其首项为1,公差为4,所以an=4n-

27、3,Sn=n(1+4n-3)2=2n2-n.(2)由(1)知Snn=2n-1,所以S1+S22+Snn=1+3+2n-1=n2,令f(n)=n2+2n,可知f(n)单调递增, f(10)=102+210=1 124,故存在唯一的自然数n=10符合要求.(3)由(1)知cn=2n(4n+4)=121n-1n+1,所以Tn=121-12+12-13+1n-1n+1=121-1n+1,注意到Tn=121-1n+1单调递增,所以TnT1=14,所以m3214,解得m8(mZ).所以m的最大值为7.9.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,20)已知正项数列an的前n项和为Sn,且对一切nN*,a1

28、3+a23+an3=Sn2.求证:(1)对一切nN*,an+12-an+1=2Sn;(2)数列an是等差数列;(3)对一切nN*,1a12+2a22+3a32+nan20,所以an+12=Sn+1+Sn=2Sn+an+1,所以对一切nN*,都有an+12-an+1=2Sn.(2)由(1)可得an2-an=2Sn-1(n2),两式相减得an+12-an2-an+1+an=2an(n2),即an+12-an2=an+1+an(n2),因为an0,所以an+1-an=1(n2),n=1时,a1=1;n=2时,1+a23=(1+a2)2,解得a2=2,满足an+1-an=1,故对一切nN*,都有an+

29、1-an=1,即an是首项为1,公差为1的等差数列.(3)证法一:由(2)知,an=n,当n2时,nan2=1(n)31nn-1n+1=1nn-1-1nn+11n+1-n-1=1nn-1-1nn+1n+1+n-12=1n-1-1n+1n+1+n-12n1n-1-1n+1,所以当n2时,1a12+2a22+3a32+nan21+11-13+12-14+1n-1-1n+1=2+22-1n-1n+13,又当n=1时,1a12+2a22+3a32+nan23显然成立,所以对一切nN*,1a12+2a22+3a32+nan2n(n-1)+(n-1)(n-1),所以12n1n-1(n+n-1)=n-n-1n-112nnn-n-1n(n-1)=1n-1-1n,从而当n2时,1+123+133+1n31+21-12+12-13+1n-1-1n=3-2n3.又当n=1时,不等式也成立,所以对一切nN*,1a12+2a22+3a32+nan23.