2021高考数学理科（全国版）一轮复习教师用书：第二章第五讲　对数与对数函数 WORD版含解析.docx

1、第五讲对数与对数函数1.下列说法正确的是()若MN0,则loga(MN)=logaM+logaN.对数函数y=logax(a0且a1)在(0,+)上是增函数.函数y=ln 1+x1-x与y=ln(1+x) - ln(1 - x)的定义域相同.对数函数y=logax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(1a, - 1),函数图象只在第一、四象限.A. B. C. D.2.2019浙江,6,5分在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=loga(x+12)(a0,且a1)的图象可能是()3.2019全国卷,3,5分理已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.

2、abc B.acbC.cab D.bca4.2020湖北省部分重点中学高三测试已知x1=ln12,x2=e-12,x3满足e-x3=ln x3,则()A.x1x2x3B.x1x3x2C.x2x1x3D.x3x1x25.2019全国卷,14,5分理已知f (x)是奇函数,且当xb1.若logab+logba=52,ab=ba,则a=,b=.考法1 对数式的运算1(1)2018全国卷,12,5分理设a=log0.20.3,b=log20.3,则A.a+bab0 B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b(2)2018全国卷,13,5分已知函数f (x)=log2(x2+a).若f (3)=1

3、,则a=.(3)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2=.(4)(log32+log92)(log43+log83)=.(1)由a=log0.20.3得1a=log0.30.2,由b=log20.3得1b=log0.32,所以1a+1b=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,所以01a+1b1,即0a+bab0,b0,所以ab0,所以aba+b1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y= - x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0a1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的

4、曲线,此时函数y= - x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0a1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.A3当x(1,2)时,不等式(x - 1)2logax恒成立,则a的取值范围是A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2D.(0,12)将不等式恒成立转化为判断两个函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置关系来求解.设f 1(x)=(x - 1)2,f 2(x)=logax,要使当x(1,2)时,不等式(x - 1)2logax恒成立,只需在区间(1,2)上,f 1(x)=(x - 1)2的图象在f 2(x)=logax的图象的下方即可.当0a1时,如图2 - 5 - 3所示,

5、要使在区间(1,2)上,f 1(x)=(x - 1)2的图象在f 2(x)=logax的图象的下方,只需f 1(2)f 2(2),即(2 - 1)2loga2,所以loga21,解得1bc B.ba c C.cba D.cab解法一因为a=log2e1,b=ln2(0,1),c=log1213=log23log2e1,所以cab,故选D.解法二log1213=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图象,如图2 - 5 - 4,由图可知cab.D命题角度2解对数不等式52020福建调研已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f (x)单调递减,则不等式f

6、 (log13(2x - 5)f (log38)的解集为A.x|52x132C.x|52x132D.x|x52或4116xf (log38)化为|log13(2x - 5)|log38|,即log3(2x - 5)log38或log3(2x - 5)8或02x - 5132或52x0,0x2,得0x1,由f (x)0,0x2,得1x0且a1,若函数f (x)=loga(ax2 - x)在3,4上单调递增,则a的取值范围是.给什么想什么f (x)为函数y=logat与t=ax2 - x复合而成的函数.要使f (x)在3,4上单调递增,显然需要考虑内、外层函数的单调性.要研究外层函数y=logat

7、的单调性,则需要分“a1”和“0a1,则y=logat为增函数,因此要使f (x)在3,4上单调递增,则需t=ax2 - x在3,4上也单调递增,且f (x)有意义,即t=ax2 - x在3,4上恒大于0,注意到要使t=ax2 - x满足条件,只需当x=3时t=ax2 - x0即可.(ii)类比(i)可得到0a1时,要使f (x)=loga(ax2 - x)在3,4上单调递增,则t=ax2 - x在3,4上单调递增,且t=ax2 - x0恒成立,即a1,12a3,9a-30,解得a1.当0a0恒成立,即0a0,此时无解.综上可知,a的取值范围是(1,+).2.(1)2019天津,6,5分已知a

8、=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.acb B.abcC.bca D.ca0,log12(-x),xf ( - a),则实数a的取值范围是()A.( - 1,0)(0,1)B.( - , - 1)(1,+)C.( - 1,0)(1,+)D.( - , - 1)(0,1)考法4指数函数、对数函数的综合问题8设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为A.1 - ln 2 B.2(1 - ln 2)C.1+ln 2 D.2(1+ln 2)根据函数y=12ex和函数y=ln(2x)的图象(如图2 - 5 - 5)可

9、知两函数的图象关于直线y=x对称,(y=12ex与y=ln(2x)互为反函数)故求|PQ|的最小值可转化为求与直线y=x平行且分别与两曲线相切的两条直线间的距离,设与直线y=x平行且与曲线y=12ex相切的直线与曲线y=12ex的切点为A(m,n),则点A到直线y=x的距离的2倍即所求最小值.因为y =(12ex) =12ex,则12em=1,所以m=ln2,所以切点A的坐标为(ln2,1),切点到直线y=x的距离为d=|ln2-1|2=1-ln22,所以2d=2(1 - ln2).B9已知x(0,13),8xlogax+1恒成立,则实数a的取值范围是A.(0,23)B.(0,12C.13,1

10、)D.12,1) x(0,13),8xlogax+1恒成立,则当0x13时,y=logax+1的图象不在y=8x的图象的下方,在同一平面直角坐标系中,分别画出两函数的图象,由此列不等式组求出实数a的取值范围.令f (x)=8x,g(x)=logax+1,由当x(0,13)时,f (x)g(x)恒成立知,当x(0,13)时,g(x)的图象一定不在f (x)的图象的下方,结合题意作出函数y=f (x)和y=g(x)的大致图象,如图2 - 5 - 6所示.由图可知0a1,loga13+1813,解得13a1.C数学应用对数函数的实际应用10 2019北京,6,5分理在天文学中,天体的明暗程度可以用星

11、等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2 - m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是 - 26.7,天狼星的星等是 - 1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1B.10.1 C.lg 10.1 D.10 - 10.1由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2,天狼星的星等为m1,天狼星的亮度为E1,则由m2 - m1=52lgE1E2,得 - 26.7+1.45=52lgE1E2,52lgE1E2= - 25.25,lgE1E2= - 10.1,lgE2E1=10.1,E2E1=1010.1.A素养探源核心素养考查途径素养水平数

12、学建模由实际问题建立函数模型.一数学运算对数式的运算.一备考指导本题以天体的明暗程度为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度不大,具有良好的导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用.3.里氏震级M的计算公式为M=lg A - lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.数学探究指数、对数比较大小的策略1.利用指数、对数函数的图象与性质比

13、较数(式)的大小11 若a=(15) - 0.3,b=log52,c=e-12,则A.abc B.cabC.bca D.cb1.结合对数函数y=log5x在(0,+)上单调递增可知b=log52log55=12.又c=e-12=1e(12,1),所以bca.C易错警示本题的易错点是不会借助中间桥梁比较log52与e-12的大小.由于log52与e-12均在区间(0,1)内,故需要寻找一个新的中间桥梁“12”,以顺利获解.2.涉及三元变量的比较大小问题若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.12 2017全国卷,1

14、1,5分理设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x1,则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.因为k1,所以lgk0,所以2x - 3y=2lgklg2-3lgklg3=lgk(2lg3-3lg2)lg2lg3=lgklg98lg2lg30,故2x3y,2x - 5z=2lgklg2-5lgklg5=lgk(2lg5-5lg2)lg2lg5=lgklg2532lg2lg50,故2x5z.所以3y2x1.则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.所以2x3y=23lg3lg2=lg9lg81,即2x3y,

15、5z2x=52lg2lg5=lg25lg521,即5z2x.所以5z2x3y.解法三(中间值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k1,则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.所以3y=lgklg33,2x=lgklg2,5z=lgklg55.因为33=6968=2,2=10321025=55,所以lg33lg2lg550.又k1,所以lgk0,所以3y2x1,则x=lnkln2,y=lnkln3,z=lnkln5.设函数f (t)=tlnklnt(t0,t1),则f (2)=2lnkln2=2x,f (3)=3lnkln3=3y,f (5)=5lnkln5=5z.

16、f (t)=lnklnt-1ttlnk(lnt)2=(lnt-1)lnk(lnt)2,易得当t(e,+)时,f (t)0,函数f (t)单调递增.因为e345,所以f (3)f (4)f (5).又f (2)=2lnkln2=22lnk2ln2=4lnkln4=f (4),所以f (3)f (2)f (5),即3y2x0,t1),将数值的大小比较问题转化为函数单调性问题求解,显然将f (2)转化为f (4)是该解法的关键,否则仍需利用作差法、作商法或借助中间值比较大小.当然,解题时也可直接取一个固定的k值,如在解法一、二、三中可令k=10,在解法四中可令k=e,解题过程将更简单.4.(1)20

17、19沈阳市第三次质量监测设a=log2 0182019,b=log2 0192018,c=2 01812019,则a,b,c的大小关系是()A.abc B.acbC.cab D.cba(2)设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z0,则x2,y3,z5的大小关系不可能是()A.x2y3z5 B.y3x2z5C.x2=y3=z5 D.z5y3x21.C对于,当M0,N0时不成立;对于,当0a1时,y=logax在(0,+)上是减函数,故不成立;对于,函数y=ln 1+x1 - x与y=ln(1+x) - ln(1 - x)的定义域均为( - 1,1),故正确;对于,由对数函数的

18、图象与性质可知正确.故说法正确的是,选C.2.D解法一若0a1,则y=1ax是减函数,而y=loga(x+12)是增函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.解法二分别取a=12和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.3.Ba=log20.21,c=0.20.3(0,1),ac0,所以ln x30,所以x31.又ln12ln 1=0,0e - 12e0=1,所以x1x20时, - x0时,f (x)= - f ( - x)=e - ax,所以f (ln 2)=e - aln 2=(12)a=8,所以a= - 3.6. - 2解法一由f

19、 (a)=ln(1+a2 - a)+1=4,得ln(1+a2 - a)=3,所以f ( - a)=ln(1+a2+a)+1= - ln11+a2+a+1= - ln(1+a2 - a)+1= - 3+1= - 2.解法二因为f (x)=ln(1+x2 - x)+1,所以f (x)+f ( - x)=ln(1+x2 - x)+ln(1+x2+x)+2=2.故f (a)+f ( - a)=2,所以f ( - a)=2 - 4= - 2.7.42因为ab1,所以logab(0,1).因为logab+logba=52,即logab+1logab=52,所以logab=12或logab=2(舍去),所以

20、a12=b,即a=b2.所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.1.C函数y=2log4(1 - x)的定义域为( - ,1),排除A,B;易知函数y=2log4(1 - x)在定义域上单调递减,排除D.选C.2.(1)A因为a=log520.51=12,故alog0.50.25=2,c=0.50.20.50=1,故cb.所以ac0,所以x2 - 4x - 50,解得 - 1x5,所以函数f (x)的定义域为( - 1,5).设u= - x2+4x+5( - 1x5),则u= - (x - 2)2+9( - 1x5),因为

21、y=log12u在定义域内单调递减,u= - (x - 2)2+9( - 1x5)的单调递减区间为2,5),所以f (x)=log12( - x2+4x+5)的单调递增区间为2,5),因为函数f (x)在区间(3m - 2,m+2)内单调递增,所以(3m - 2,m+2)2,5),所以3m - 22,m+25,3m - 2m+2,解得43m0,log2a - log2a或alog2( - a),解得a1或 - 1a12log2 0182 018=12,b=log2 0192018=12log2 0192 018b,又a=12log2 0182 0192 0180=1,所以cab,故选C.(2)

22、B解法一取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知x2=y3=z5,此时选项C成立.取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知x2y3z5,此时选项A成立.取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知z5y30,接下来对k与1的大小关系加以讨论.若k=1,则x2=1,y3=1,z5=1,所以x2=y3=z5,所以选项C有可能成立.若0k3k - 15k - 1,所以z5y31,则根据函数f (t)=tk - 1在(0,+)上单调递增可得2k - 13k - 15k - 1,所以x2y30,则f (x)单调递增;若a=0,则f (x)为常数函数;若a0,则f (x)单调递减.