2021高考数学（新高考版）一轮复习考点考法精练：第九章 第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系 WORD版含解析.docx

1、第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系 1.2020贵阳市高三摸底测试“m=43”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.2020湖北武汉部分学校测试已知A(-1,0),B(1,0)两点以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0),若圆C上存在点P,满足APPB=0,则r的取值范围是()A.3,6B.3,5C.4,5D.4,63.2019陕西四校联考直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定4.2019开封高三模拟已知圆(x-2)2+y

2、2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的长之和为()A.4B.6C.8D.105.2019浙江名校第四次联考设圆x2+y2-2x-3=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD,则四边形ACBD的面积是()A.83B.43C.8D.46.原创题已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若点A,B在圆C上,满足|AB|=23,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是()A.-25,25B.-5,5 C.(-5,5)D.-5,57.2019河北省衡水中学高三调考若圆x2+y2-ax+2y+1=0和圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心

3、P的轨迹方程是()A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y+1=08.已知圆C的圆心在y轴上,点M(3,0)在圆C上,且直线2x-y-1=0经过线段CM的中点,则圆C的标准方程是()A.x2+(y-3)2=18 B.x2+(y+3)2=18C.x2+(y-4)2=25 D.x2+(y+4)2=259.2019合肥高三第三次质检已知直线l:x-3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且MPN=3,则a的值为()A.2或10B.4或8 C.622 D.62310.2020湖北孝感模拟在平面直角坐

4、标系xOy中,已知点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点P,使|PA|=2|PB|,|PC|=|PD|,则实数a的取值范围是.11.2020山东省质检过直线x+y+1=0上一点P作圆C:x2+y2-4x-2y+4=0的两条切线,切点分别为A,B,若四边形PACB的面积为3,则点P的横坐标为.12.2019长春市第二次质量监测若直线l :y=33x+2与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为.13.2019江苏无锡一中模拟直线l的斜率为2,它被圆x2+y2=80截得的弦长小于103,则l在y轴上的截距的取值范围是.14.2019湖南省岳阳市

5、第一中学高三二检若函数f(x)=-1beax(a0,b0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是.15.2019河北省衡水中学高三模拟已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x-8相切于点P(4,0).(1)求圆C的方程.(2)在圆C上是否存在两个点M,N关于直线y=kx-1对称,且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在,写出直线MN的方程;若不存在,请说明理由. 16.2020江西九江模拟已知两个不相等的实数a,b满足关系式b2cos +bsin +2=0和a2cos +asin +2=0,则经过A(a2,a),B(b2,b)两点的直线l与圆x2+y2=4的位置关系

6、是()A.相交B.相离C.相切D.与的取值有关17.2020惠州市一调双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3的公共点的个数为()A.1 B.2 C.4 D.018.2019太原高三二模已知点P是圆x2+(y-2)2=1上的动点,点Q是椭圆x29+y2=1上的动点,则|PQ|的最大值为()A.362+1 B.13+1C.23+1 D.419.2019安徽合肥二模在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴的正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线y=kx(k0)关于y轴对称,则k的最小值为()A.233

7、 B.3 C.23 D.4320.2020石家庄重点高中高三摸底考试圆心在直线y=-2x上,并且经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切的圆C的方程是.21.2020合肥市调研检测设直线l :x-3y+m=0上存在一点P,使得点P到点A(3,0),O(0,0)的距离之比为2,则实数m的取值范围为.22.2019广东六校第一次联考已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T,则|PQ|+|QT|的值为.23.2019四川省宜宾市高三适应性考试若动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,记线段PQ的中点

8、为M(x0,y0),且(x0-2)2+(y0+1)25,则x02+y02的取值范围为.24.2019广东省茂名市五校联考已知圆C:x2+y2-8x-6y+F=0与圆O:x2+y2=4相外切,切点为A,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)若|AQ|=|AP|,点P与点Q不重合,求直线MN的方程及AMN的面积.25.2019湖北省部分重点中学模拟已知圆C经过点A(74,174),B(-318,338),直线x=0平分圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1相交于P,Q两点,且满足OPOQ(O为坐标原点). (1)求圆C的方程;(2)求

9、直线l的方程. 26.多选题已知圆O:x2+y2=49,直线l过点N(2,6),且交圆O于P,Q两点,点M为线段PQ的中点,则下列结论正确的是()A.点M的轨迹是圆B.|PQ|的最小值为6C.使|PQ|为整数的直线l共有9条D.使|PQ|为整数的直线l共有16条27.交汇题已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+by+c=0,若a2+b2=2c2,且圆O与直线l交于点M,N,则OMMN=.28.创新题在平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,0),若动圆C:(x-a)2+(y-1+a)2=94上总存在点P使得PA2+PB2=132,则实数a的取值范围是.29.双空题已知圆C:x2+

10、y2-2x-6y+4=0与直线l:x+y+b=0,若直线l与圆C交于A,B两点,且AOB=90(O为坐标原点),则b=,|AB|=.第二讲圆的方程及直线、圆的位置关系1.A由直线x- my+4m- 2=0与圆x2+y2=4相切,可知圆心到直线的距离等于半径,可得到|4m- 2|1+m2=2,即(2m- 1)2=1+m2,解得m=0或m=43,所以“m=43”是“直线x- my+4m- 2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件.2.D因为APPB=0,所以APPB,所以点P在以原点为圆心,AB为直径的圆上,且该圆的方程为x2+y2=1.又点P在圆C上,所以两圆有公共点.因为两圆的圆心距d=

11、32+42=5,所以|r- 1|5r+1,解得4r6.故选D.3.B将圆的方程化为标准方程得(x- a2)2+(y+b2)2=a2+b24,圆心坐标为(a2,- b2),半径r=a2+b22,圆心到直线ax- by=0的距离d=a2+b22a2+b2=a2+b22=r,则圆x2+y2- ax+by=0与直线ax- by=0的位置关系是相切.故选B.4.D圆(x- 2)2+y2=9的圆心为(2,0),半径为3,所以过点M的最长弦的长为6,最短弦的长为232- (2- 1)2+(0- 2)22=4,所以过点M的最长弦与最短弦的长之和为10,故选D.【技巧点拨】过圆内某点的最长弦为圆的直径,最短弦为

12、过该点且和该点与圆心连线垂直的弦.5.B把圆的方程x2+y2- 2x- 3=0化成标准方程为(x- 1)2+y2=4,所以该圆的圆心坐标为(1,0),半径为2,所以该圆截x轴所得的弦AB的长|AB|=4,截y轴所得的弦CD的长|CD|=24- 1=23,所以四边形ACBD的面积S=12|AB|CD|=12423=43.故选B.6.D圆C的方程可化为(x+1)2+(y- 2)2=4,易知圆心C的坐标为(- 1,2),半径r=2,连接CM,因为|AB|=23,所以|CM|=r2- (|AB|2)2=1,因此点M在以C(- 1,2)为圆心、1为半径的圆上.又点M在直线2x+y+k=0上,故直线2x+

13、y+k=0与圆(x+1)2+(y- 2)2=1有公共点,于是|- 2+2+k|51,解得- 5k5.故选D.【素养落地】本题的实质是考查直线与圆的位置关系,解题关键是对问题进行转化,体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.7.C圆x2+y2=1的圆心关于直线y=x- 1的对称点是(1,- 1),且点(1,- 1)是圆x2+y2- ax+2y+1=0的圆心,a=2,点C的坐标为(- 2,2),设点P(x,y),则有(x+2)2+(y- 2)2=|x|,即y2+4x- 4y+8=0.故选C.8.C设圆C的圆心坐标为(0,b),则线段CM的中点坐标为(32,b2),因为直线2x- y- 1=0经过线段C

14、M的中点,所以232-b2- 1=0,解得b=4,所以圆C的圆心坐标为(0,4),半径r=|CM|=(0- 3)2+(4- 0)2=5,所以圆C的标准方程是x2+(y- 4)2=25,故选C.9.B因为圆的半径r=2,圆心坐标是C(3,- 3),MPN=3,且P在圆C上,所以MCN=23,则|MN|=23.又C点到直线l的距离d=|3+3- a|1+3=|a- 6|2,(|MN|2)2+d2=r2,所以(3)2+(a- 6)24=4,则a=4或a=8.故选B.10.- 22- 1,22- 1设P(x,y),则由|PA|=2|PB|,得(x- 1)2+y2=2(x- 3)2+y2,整理得(x-

15、5)2+y2=8,即动点P在以(5,0)为圆心,22为半径的圆上运动.又由|PC|=|PD|,知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动,因而问题转化为直线y=a+1与圆(x- 5)2+y2=8有交点,所以|a+1|22,解得- 22- 1a22- 1,即实数a的取值范围是- 22- 1,22- 1.11.- 1或1圆C的方程为(x- 2)2+(y- 1)2=1,可知圆心为C(2,1),半径为1.因为四边形PACB的面积为3,所以|PA|1=3,即|PA|=3.连接PC,在RtPAC中,|PC|=|PA|2+|AC|2=32+12=10,设P(a,- a- 1),则(a- 2)2+(- a

16、- 2)2=10,整理得a2=1,解得a=- 1或a=1,即点P的横坐标为- 1或1.12.(- 32,32)解法一由题意得y=33x+2,x2+y2=4,消元得43x2+433x=0,解得x=0或x=- 3,所以A,B两点的坐标分别为(0,2),(- 3,1),所以线段AB的中点的坐标为(- 32,32).解法二由题意知,圆心C与坐标原点O重合,设线段AB的中点为D,则直线OD与直线l垂直,所以直线OD的方程为y=- 3x.联立得y=33x+2,y=- 3x,解得x=- 32,y=32,所以线段AB的中点的坐标为(- 32,32).13.(- 20,- 5)(5,20)设直线方程为y=2x+

17、b,圆心(0,0)到直线2x- y+b=0的距离d=|b|5,所以弦长为280- b25,由题意知0280- b25103,所以25b2400,解得5b20或- 20b0,b0),所以f (x)=- abeax,所以f (0)=- ab,又f(0)=- 1b,所以在x=0处的切线的方程为y+1b=- abx,即ax+by+1=0.因为切线与圆x2+y2=1相切,所以圆x2+y2=1的圆心到切线的距离d=1a2+b2=1,即a2+b2=1,因为a0,b0,所以a2+b22ab,所以2(a2+b2)(a+b)2,所以a+b2,所以a+b的最大值是2.15.(1)由已知,得圆心在经过点P(4,0)且

18、与直线y=2x- 8垂直的直线y=- 12x+2上,圆心还在线段OP的中垂线x=2上,所以求得圆心C的坐标为(2,1),半径为5.所以圆C的方程为(x- 2)2+(y- 1)2=5.(2)假设存在两点M,N关于直线y=kx- 1对称,则直线y=kx- 1通过圆心C(2,1),求得k=1,所以可设直线MN的方程为y=- x+b,代入圆的方程,消去y,得2x2- (2b+2)x+b2- 2b=0,设M(x1,- x1+b),N(x2,- x2+b),则x1+x2=b+1,x1x2=b2- 2b2,所以OMON=2x1x2- b(x1+x2)+b2=b2- 3b=0,解得b=0或b=3,这时0,符合

19、题意,所以存在符合条件的M,N,直线MN的方程为y=- x或y=- x+3.16.C由题意,点A,B的坐标都满足xcos +ysin +2=0,所以直线l的方程为xcos +ysin +2=0,由xcos+ysin+2=0,x2+y2=4可得y2+(4sin )y+4sin2=0,因为=16sin2- 44sin2=0,所以直线l和圆x2+y2=4相切.故选C.17.B双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线的方程为y=bax.由离心率e=ca=2得c2a2=4,即a2+b2a2=4,得ba=3,所以这条渐近线的方程为y=3x.由y=3x,(x- 2)2+y2=3消去y整理得4x2- 4x+1

20、=0,因为=16- 44=0,所以渐近线y=3x与圆(x- 2)2+y2=3只有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x- 2)2+y2=3的公共点的个数为2,故选B.18.A解法一设Q(x,y),设圆x2+(y- 2)2=1的圆心为点A,则A(0,2),|QA|=x2+(y- 2)2.又Q(x,y)为椭圆上一点,所以x29+y2=1,所以x2=9- 9y2,且y- 1,1,所以|QA|=x2+(y- 2)2=- 8y2- 4y+13,y- 1,1,故当y=- 14时,|QA|max=362,所以|PQ|的最大值为362+1,故选A.解法二设Q(3cos , sin ),设圆x2+(y

21、- 2)2=1的圆心为点A,则A(0,2),|QA|=9cos2+(sin- 2)2=9cos2+sin2- 4sin+4=8cos2- 4sin+5=8(1- sin2)- 4sin+5=- 8sin2- 4sin+13,所以当sin =- 14时,|QA|max=362,所以|PQ|的最大值为362+1,故选A.19.D由圆C经过点(0,1),(0,3)可知,圆心的纵坐标为1+32=2,又圆C与x轴的正半轴相切,所以圆的半径为2,则圆心的横坐标为22- (3- 12)2=3,即圆心为点(3,2),由此可得圆C的方程为(x- 3)2+(y- 2)2=4.由直线OM与直线y=kx(k0)关于y

22、轴对称知直线OM的方程为y=- kx(k0),由y=- kx,(x- 3)2+(y- 2)2=4消去y得(1+k2)x2+(4k- 23)x+3=0,则=(4k- 23)2- 4(1+k2)30,即4k2- 163k0,解得k43.故k的最小值为43.故选D.20.(x- 1)2+(y+2)2=2设所求圆的圆心坐标为(a,- 2a),由条件得(a- 2)2+(- 2a+1)2=|a- 2a- 1|2,化简得a2- 2a+1=0,a=1,圆心为(1,- 2),半径r=(1- 2)2+(- 2+1)2=2,所求圆的方程为(x- 1)2+(y+2)2=2.21.- 3,5设点P(x,y),则|PA|

23、PO|=2,即|PA|2=4|PO|2,所以(x- 3)2+y2=4(x2+y2),整理,得(x+1)2+y2=4,即点P(x,y)在圆心为(- 1,0),半径为2的圆上.由题意知直线l:x- 3y+m=0与圆(x+1)2+y2=4有公共点,所以|- 1+m|12+(- 3)2=|m- 1|22,解得- 3m5,即实数m的取值范围是- 3,5.22.43点P关于x轴的对称点为P(- 1,- 2),如图D 9- 2- 3,连接PP,PQ,易知P,Q,T三点共线,PQ=PQ,则直线PQ与圆相切于点T,|PQ|+|QT|=|PT|.圆(x- 3)2+(y- 4)2=4的圆心为A(3,4),半径r=2

24、,连接AP,AT,则|AP|2=(- 1- 3)2+(- 2- 4)2=52,|AT|=r=2,所以|PQ|+|QT|=|PT|=|AP|2- |AT|2=43.图D 9- 2- 323.165,16由题意知,直线a:x- 2y- 2=0与直线b:x- 2y- 6=0平行,因为动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与直线a,b平行,且到直线a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,则直线l的方程为x- 2y- 4=0.因为线段PQ的中点为M(x0,y0),且(x0- 2)2+(y0+1)25,所以点M(x0,y0)在圆(x- 2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上,设直线l交圆于

25、点A,B,则点M在线段AB上运动.联立直线l的方程与圆的方程,得x- 2y- 4=0,(x- 2)2+(y+1)2=5,解得x=4,y=0或x=0,y=- 2,不妨令A(4,0),B(0,- 2).因为x02+y02=|OM|2,x02+y02表示的几何意义为AB线段上的点到原点的距离的平方,所以当OMAB时,x02+y02最小,最小值为(|- 4|1+(- 2)2)2=165,当点M与点A重合时,x02+y02取得最大值,最大值为16,所以x02+y02的取值范围是165,16.24.(1)圆C的标准方程为(x- 4)2+(y- 3)2=25- F,圆心C(4,3),半径为25- F,由圆C

26、与圆O相外切知25- F+2=16+9,所以F=16.圆C:(x- 4)2+(y- 3)2=9,点P(4,1)在圆C内,弦MN过点P,Q是MN中点,则CQMN,所以点Q的轨迹是以CP为直径的圆,方程为(x- 4)2+(y- 2)2=1.(2)连接OC,线段OC与圆O的交点为A,联立y=34x与x2+y2=4,解得点A(85,65).若|AQ|=|AP|,则P,Q是以点A为圆心,AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点,由(x- 85)2+(y- 65)2=(85- 4)2+(65- 1)2与(x- 4)2+(y- 2)2=1得3x+y- 13=0,所以直线MN的方程为3x+y- 13=0.点C(4,3

27、)到直线MN的距离d=|12+3- 13|10=210,|MN|=29- d2.点A到直线MN的距离h=|245+65- 13|10=710,所以AMN的面积S=12|MN|h=71086.25.(1)依题意知圆心C在y轴上,可设圆心C(0,b),圆C的方程为x2+(y- b)2=r2(r0). 因为圆C经过A,B两点,所以(74)2+(174- b)2=(- 318)2+(338- b)2,即716+28916-172b+b2=3164+1 08964-334b+b2,解得b=4,进而可得r=22.所以圆C的方程为x2+(y- 4)2=12.(2)当直线l的斜率不存在时,由l与C相切得l的方

28、程为x=22或x=- 22,此时直线l与C1交于P,Q两点,不妨设P在Q点上方,则P(22,22),Q(22,- 22)或P(- 22,22),Q(- 22,- 22),则OPOQ=0,所以OPOQ,满足题意.当直线l的斜率存在时,易知其斜率不为0,纵截距不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(k0,m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线l的方程与圆C1的方程联立,得y=kx+m,x2+y2=1, 消去y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2- 1=0,则=4k2m2- 4(1+k2)(m2- 1)=4(k2- m2+1)0,即1+k2m2,x1+x2=- 2km1+k2,x1

29、x2=m2- 11+k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(m2- 1)1+k2-2k2m21+k2+m2=m2- k21+k2,又OPOQ,所以OPOQ=0,即x1x2+y1y2=m2- 11+k2+m2- k21+k2=0,故2m2=1+k2,满足0,符合题意.因为直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y- 4)2=12相切, 所以圆心C(0,4)到直线l的距离d=|m- 4|1+k2=22,可得m2- 8m+16=1+k22, 故m2- 8m+16=m2,得m=2,故1+k2=222,得k=7或k=- 7,故直线l的方程为y=7x+2或y

30、=- 7x+2.综上,直线l的方程为x=22或x=- 22或y=7x+2或y=- 7x+2.26.ABD因为直线l恒过点N(2,6),且点M为线段PQ的中点,所以OMMN=0,则易得点M的轨迹是圆,故A选项正确.易知圆心O到直线l的距离的最大值为|ON|=62+22=210,故|PQ|的最小值为249- 40=6,最大值为27=14,故B选项正确.由最短弦与最长弦有唯一性,长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知,使|PQ|为整数的直线l有2+2(14- 6- 1)=16(条),所以C选项错误,D选项正确.27.- 1点O到直线l的距离d=|c|a2+b2=22,由勾股定理得,|MN|2=1-

31、 12=22,所以|MN|=2,连接ON,则OMN为等腰直角三角形,OMMN=12(- 22)=- 1【素养落地】该题揭示了平面向量和平面几何之间的关系,使“数”与“形”有机结合,考查考生将平面向量知识迁移到代数情境和平面几何情境中的能力,体现逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.28.- 1,121,52设P(x,y),因为PA2+PB2=132,所以(x+1)2+y2+(x- 2)2+y2=132,化简得(x- 12)2+y2=1,设M(12,0),则点P在以M为圆心,1为半径的圆上.又点P在圆C:(x- a)2+(y- 1+a)2=94上,所以圆C与圆M有公共点,连接CM,所以12CM

32、52,即12(a- 12)2+(1- a)252,解得- 1a12或1a52.【解题关键】解答本题的关键是根据条件得到动点P的轨迹方程,将问题转化为圆与圆的位置关系问题进行处理.29.- 24由x2+y2- 2x- 6y+4=0,x+y+b=0,得2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=- b- 2,x1x2=b2+6b+42.因为AOB=90,所以OAOB,所以OAOB=x1x2+y1y2=0,即x1x2+(- x1- b)(- x2- b)=0,即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,所以b2+6b+4+b(- b- 2)+b2=0,解得b=- 2.易知圆C的圆心为(1,3),半径为6,故圆心到直线x+y- 2=0的距离为|1+3- 2|2=2,所以|AB|=26- 2=4.【方法总结】挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的问题的主要思路,如本题中利用AOB=90得到OAOB=0.