2021高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第八章 8-7 双曲线 WORD版含解析.docx

1、8.7双曲线1双曲线的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c2a，其中a，c为常数且a0，c0.2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

2、B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2y2(0)，离心率e ，渐近线方程为yx.4双曲线的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e1)的点的轨迹是双曲线定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率双曲线1(a0，b0)的准线方程为x，双曲线1(a0，b0)的准线方程为y.概念方法微思考1平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定当2aF1F2时，动点的轨迹

3、是两条射线；当2aF1F2时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线2与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0,0ab0时，1e0时，e(亦称等轴双曲线)；当0a.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()题组二教材改编2若双曲线1(a0，b0)

4、的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5 C. D2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0答案A解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.4经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(4

5、,1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠5(多选)(2020辽宁六校协作体月考)若方程1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是()A若C为椭圆，则1t3或t1C曲线C可能是圆D若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1t3，则方程可变形为1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t1，则方程可变形为1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2t3，则03tt1，故方程1表示焦点在y轴上的椭圆；若1t2，则0t13t，故方程1表示焦点在x轴上的椭圆；若t2，方程1即为x2y21，它表示圆，综上，选AD.6已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为_答案1或1解析由题意知a4，e2，

6、c8，b2c2a2641648.双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1.7P是双曲线1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且PF19，则PF2_.答案17解析由题意知a4，b9，c，由于PF190时，2m4，m2；当m0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.3过双曲线C：1(ab0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O

7、为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析因为渐近线yx与直线xa交于点A(a，b)，c4且4，解得a24，b212，因此双曲线的标准方程为1.4经过点P(3,2)和点Q(6，7)的双曲线方程为_答案1解析设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，解得双曲线方程为1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为

8、(0)，再根据条件求的值注意双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2ny21(mn0)，其中当m0，n0，且mn时表示椭圆；当mn0)；(iii)已知渐近线为0的双曲线方程可设为(0) 双曲线的几何性质命题点1渐近线例2(1)已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于()A1 B2 C3 D4答案D解析由已知，取顶点，渐近线3ymx0，则顶点到渐近线的距离为，解得m4.(2)(2019江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_答案yx解析因为双曲线x21(b0)经过点(3,4)，所以91，得b，所以该双曲线的

9、渐近线方程是yx.命题点2离心率例3(1)(2019浙江)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是()A. B1 C. D2答案C解析因为双曲线的渐近线方程为xy0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足ab，所以ca，所以双曲线的离心率e.(2)(2019唐山模拟)设双曲线C：1(ab0)的两条渐近线的夹角为，且cos ，则C的离心率为()A. B. C. D2答案B解析ab0，渐近线yx的斜率小于1，两条渐近线的夹角为，cos .cos2，sin2，tan2，e2，e.(3)(2019全国)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B

10、2cos 40C. D.答案D解析由题意可得tan 130，所以e.(4)(2019全国)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若PQOF，则C的离心率为()A. B. C2 D.答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2y2，将x2y2a2，得x，则以OF为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦所在直线的方程为x，所以PQ2.由PQOF，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选A.思维升华求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的等式(

11、或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k.跟踪训练2(1)(2019汉中模拟)若双曲线x21(m0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是()A2 B. C1 D4答案D解析双曲线x21(m0)的焦点设为(c,0)，当双曲线方程为1时，渐近线方程设为bxay0，可得焦点到渐近线的距离db，故由题意可得bm4.(2)(2019安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线1(a0，b0)上一点，则其离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案C解析已知点(1,2)是双曲线1(a0，b0)上一点，得1，即b24，所以e，所以e.(3)(2019天津)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB4OF可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.