2021高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第八章 高考专题突破五 第1课时 范围与最值问题 WORD版含解析.docx

1、高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题 范围问题例1如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，所以PM垂直于y轴(2)解由(1)可知所以PM(yy)x0y3x0，|y1y2|2.所以PAB的面积SPABPM|y1y2|(y4x0).因为x1(1x0

2、b0)的离心率e，直线xy10被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且MAMB，求的取值范围解(1)因为原点到直线xy10的距离为.所以22b2(b0)，解得b1.又e21，得a2.所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率为0时，MAMB12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：xmy4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(m24)y28my120.由64m248(m24)0，得m212，所以y1y2.MAMB|y1|y2|(m21)|y1y2|12.由m212，得0，所以12.综上可得，b0)的

3、离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知c，b1，所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)把ykxm代入椭圆方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.36k2m24(3k21)(3m23)36k212m2120.x1x2，x1x2.AB2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立当k0时，AB，综上所述ABmax2.当

4、AB最大时，AOB面积取得最大值SABmax.思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练2(2020长沙雅礼中学模拟)已知抛物线C1：y24x和C2：x22py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)且F1F2OP(O为坐标原点)(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分

5、于点N，求PMN面积的最小值解(1)F1(1,0)，F2，(1，1)10，p2，抛物线C2的方程为x24y.(2)设过点O的直线MN的方程为ykx(k0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m0)在抛物线C上，且FA2，过点F作斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点(1)求抛物线C的方程；(2)求APQ面积的取值范围解(1)由抛物线的定义可得FAxA12，所以p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yk(x1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得k2x2(2k24)xk20，0恒成立，由根与系数的关系得x1x2，x1x21，因为AFx轴，则SAPQAF|x1x2|

6、x1x2|44，因为k2，令t，所以SAPQ4，所以SAPQ8，所以APQ的面积的取值范围为，8素养提升本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P，Q点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧设而不求，从而简化了运算过程1(2019全国100所名校联考)已知抛物线C：y24x，点A(m,0)在x轴正半轴上，O为坐标原点，若抛物线上存在点P，使得OPA90，则m的取值范围是()A(0,4) B(4，)C(0,2) D(2，)答案B解析设点P，由OPA90，得0，0.即m4，m4.2(2019绵阳诊断)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.

7、 B6 C8 D12答案B解析由题意得F(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)(x1，y)x2xy2，又点P在椭圆上，故1，所以x2x3x2x2x3(x2)22，又2x2，所以当x2时，取得最大值，即的最大值为6.3过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则FA的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有AFx1AFcos ，AF(1cos )，AF.由得1cos ，22(1cos )4，b0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，OF为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案

8、A解析由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足cb，则c2b2a2c2，所以2c2a2，所以e0，b0)的左、右焦点，双曲线左支上存在一点P使PF8aPF1(a为实半轴长)成立，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是双曲线左支上一点及双曲线的定义，得PF22aPF1，所以PF14a8a，所以PF12a，PF24a，因为PF1PF2F1F2，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以11)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则AF2BF2的最大值等

9、于_答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得AF2BF2AB4a8，即AF2BF28AB，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，AB取最小值21，因此AF2BF2的最大值等于817.9(2019呼和浩特模拟)已知抛物线y22mx(m0)的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为x2y22x2tyt2150，则m_.答案6解析由题意可知圆的方程为x2y22x2tyt2150，即(x1)2(yt)216，可得弦AB的中点的横坐标为1，圆的半径为4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22，所以x1x2m8，可得m6.10若抛物线yax21(a0

10、)上恒有关于直线xy0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是_答案解析设抛物线上的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yxb，代入抛物线方程yax21，得ax2x(b1)0，设直线AB的中点为M(x0，y0)，则x0，y0x0bb.由于M(x0，y0)在直线xy0上，故x0y00，由此解得b，此时ax2x(b1)0可变形为ax2x0，由14a0，解得a.11(2019全国)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值

11、范围解(1)连结PF1(图略)由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，PF2c，PF1c，于是2aPF1PF2(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|2c16，1，即c|y|16，x2y2c2，又1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)12(2020西南大学附中月考)已知椭圆C：1(ab0)的左顶点为M(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点N(1,0)的直

12、线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求MAB的面积解(1)由题意可知a2，得c，则b2a2c22.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(2,0)，B(2,0)，此时0，当直线l与x轴不重合，设直线l的方程为xty1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(t22)y22ty30，显然0，y1y2，y1y2，所以(x12)(x22)y1y2(ty13)(ty23)y1y2(t21)y1y23t(y1y2)9(t21)3t999.当t0时，取最大值.不妨取A，B，所以AB.又MN3，所以此时，MAB的面积S3.13(2020全国100所学校冲刺卷)已知抛物线C：y

13、22px(p0)的焦点坐标为F，O为坐标原点，若P为抛物线C上任意一点且OPPF，则的最大值为()A. B. C. D.答案A解析依题意得，则p，所以抛物线C：y2x，设P(x0，y0)，则.令tx0，t，则.14已知抛物线C：y2x上一点M(1，1)，点A，B是抛物线C上的两动点，且0，则点M到直线AB的距离的最大值是_答案解析设直线AB的方程为xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得即y2myn，即y2myn0，所以y1y2n，y1y2m，m24n0，因为0，所以(x11)(x21)(y11)(y21)0，即(y1)(y1)(y11)(y21)0，(y11)(y21)(y11)

14、(y21)10，解得(y11)(y21)0或(y11)(y21)10，化简可得nm10或nm20，当(y11)(y21)0时，易知，M与A，B中一点重合，M到AB的距离为0.所以nm20，即n2m.所以直线AB的方程为xmy2m，即x2m(y1)，故直线AB过定点C(2,1)，当MC垂直于直线AB时，点M到直线AB的距离取得最大值，最大值为.15(2019济宁模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为4，渐近线方程为yx，点M满足MF1MF24，点N在圆C：x2y24y0上，则MNMF1的最小值为()A2 B5 C6 D7答案B解析由题意可得2a4，即a2.渐近

15、线方程为yx，即有，即b1，可得双曲线的方程为y21，焦点为F1(，0)，F2(，0)，由圆x2y24y0可得圆心C(0,2)，半径r2，由MF1MF24可得点M为双曲线右支上一点，得MNMF14MNMF2F2N4，问题转化为求点F2到圆C上点的最小距离，F2N的最小值为CF221，则MNMF1的最小值为415.16(2019衡水质检)设椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，已知直线AB的斜率为，AB.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：xmy1与椭圆C交于不同的两点M，N，且点O在以MN为直径的圆外(其中O为坐标原点)，求m的取值范围解(1)由已知得A(a,0)，B(0，b)，可得a24，b21，则椭圆C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(m24)y22my30.故y1y2，y1y2，(2m)212(4m2)16m2480.由题意得MON为锐角，即0，x1x2y1y20，又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1.x1x2y1y2(1m2)y1y2m(y1y2)1(1m2)10，m2，解得m.m的取值范围为.