2021高考文科数学（北师大版）一轮复习高考大题专项（五）　直线与圆锥曲线 WORD版含解析.docx

1、高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破 1 圆锥曲线中的最值、范围问题 高考大题专项练第 12 页 1.已知椭圆 M:=1(ab0)的离心率为 ,点 P 1,在椭圆 M 上.(1)求椭圆 M 的方程;(2)经过椭圆 M 的右焦点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点,A,B 分别为椭圆 M 的左、右顶点,记ABD 与ABC 的面积分别为 S1和 S2,求|S1-S2|的取值范围.解(1)因为 e=,椭圆 M 过点 P 1,所以 c=1,a=2,所以椭圆 M 的方程为 =1.(2)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x=1,此时 C 1,-,D 1,ABD,ABC 面积相等,|S1-S2|

2、=0;当直线 l 斜率存在(显然 k0)时,设直线方程为 y=k(x-1),设 C(x1,y1),D(x2,y2).由 -消去 y 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然 0,方程有根,且 x1+x2=,x1x2=-,此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|=,因为 k0,则上式=k=时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为,所以 0|S1-S2|2.(2019 广东深圳模拟,20)在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为 的椭圆 C:=1(ab0)过点 M1,.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若直线 x+y+m=0 上存在点 G,且过点 G 的椭圆 C 的

3、两条切线相互垂直,求实数 m 的取值范围.解(1)由题意,解得 a2=3b2,又 =1,解得 所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.(2)当过点 G 的椭圆 C 的一条切线的斜率不存在时,另一条切线必垂直于 y 轴,易得G(,1).当过点 G 的椭圆 C 的切线的斜率均存在时,设 G(x0,y0),x0 切线方程为 y=k(x-x0)+y0,代入椭圆方程得(3k2+1)x2-6k(kx0-y0)x+3 -3=0,=-4(3k2+1)3 -3=0,化简得:-(3k2+1)=0,由此得(-3)k2-2x0y0k+-1=0,设过点 G 的椭圆 C 的切线的斜率分别为 k1,k2,所以 k1k2=-

4、因为两条切线相互垂直,所以 -=-1,即 =4(x0),由知 G 在圆 =4 上,又点 G 在直线 x+y+m=0 上,所以直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=4 有公共点,所以 2,所以-2 m2 综上所述,m 的取值范围为-2,2.3.椭圆 =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F2的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,若 l的倾斜角为 时,F1AB 是等边三角形.(1)求椭圆的方程;(2)若|F2A|=|F2B|,12,求ABF1中 AB 边上中线长的取值范围.解(1)由已知得 c=1,a2-b2=1,2c=所以 2a=b2,a2-2a-=0,解得

5、a=,b=椭圆的方程为 =1.(2)当直线的斜率为 0 时,显然不成立.设直线 l:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得(2m2+3)y2+4my-4=0.则 y1+y2=-,y1y2=-ABF1中 AB 边上的中线长为|=()(-)=()=令 t=2m2+3,则 2m2=t-3.所以|=-由|F2A|=|F2B|,得 y1=-y2,-=,-+2=+2=-因为 12,+-2=-0,所以 3t4,|,2,即ABF1中 AB 边上中线长的取值范围是 ,2.4.(2019 河北石家庄一模,20)已知抛物线 C:y2=2px(p0)上一点 P(x0,2)到焦点 F 的距离 =2x0

6、.(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 P 引圆 M:(x-3)2+y2=r2()的两条切线 PA、PB,切线 PA、PB 与抛物线 C 的另一交点分别为 A、B,线段 AB 中点的横坐标记为 t,求 t 的取值范围.解(1)由抛物线定义,得|PF|=x0+,由题意得:解得 所以,抛物线的方程为 y2=4x.(2)由题意知,过 P 引圆(x-3)2+y2=r2(0-2,所以 9b0)的两个焦点分别为 F1、F2,|F1F2|=2,点 Q 在椭圆上,且QF1F2的周长为 6.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若点 P 的坐标为(2,1),不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点

7、,设线段 AB 的中点为 M,点 P到直线 l 的距离为 d,且 M,O,P 三点共线,求|AB|2+d2的最大值.解(1)由题意得 2c=2,2a+2c=6,解得 a=2,c=1,b2=a2-c2=3.椭圆 C 的方程为 =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点 M 在 x 轴上,且与 O 点不重合,显然 M,O,P 三点不共线,不符合题设条件,故可设直线 l 的方程 y=kx+m(m0).由 消去 y 整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0.x1+x2=-,

8、x1x2=-点 M 的坐标为-.M,O,P 三点共线,kOM=kOP,-m0,k=-,此时方程为:3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0.m(-2,2).则 x1+x2=m,x1x2=-|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(12-m2).又 d=-,|AB|2+d2=(12-m2)+-=-当 m=-(-2,2)时,|AB|2+d2取得最大值为 6.(2019 山东淄博三模,20)已知圆 O:x2+y2=4,抛物线 C:x2=2py(p0).(1)若抛物线 C 的焦点 F 在圆 O 上,且 A 为抛物线 C 和圆 O 的一个交点,求|AF|;(2)若直线 l 与抛

9、物线 C 和圆 O 分别相切于 M,N 两点,设 M(x0,y0),当 y03,4时,求|MN|的最大值.解(1)由题意知 F(0,2),所以 p=4.所以抛物线 C 的方程为 x2=8y.将 x2=8y 与 x2+y2=4 联立得点 A 的纵坐标为yA=2(-2),结合抛物线定义得|AF|=yA+=2-2.(2)由 x2=2py 得:y=,y=,所以直线 l 的斜率为 ,故直线 l 的方程为y-y0=(x-x0).即 x0 x-py-py0=0.又由|ON|=-=2 得 p=-且 -40,所以|MN|2=|OM|2-|ON|2=-4=2py0+-4=-y0+-4=-4=-4=16+-4.令

10、t=-4,y03,4,则 t5,12,令 f(t)=16+t+,则 f(t)=1-;当 t5,8时 f(t)0,f(t)递减,当 t(8,12时 f(t)0,f(t)递增,又 f(5)=16+5+,f(12)=16+12+,所以 f(x)max=,即|MN|的最大值为 7.(2019 浙江模拟,19)如图,不垂直于坐标轴的直线 l 与抛物线 y2=2px(p0)有且只有一个公共点 M.(1)当 M 的坐标为(2,2)时,求 p 的值及直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 x2+y2=1 相切于点 N,求|MN|的最小值.解(1)点 M(2,2)在抛物线 y2=2px 上,故有 22=4p,

11、所以 p=1,从而抛物线方程为 y2=2x.设直线 l 的方程为 x=n(y-2)+2,代入 y2=2x,得 y2-2ny+4n-4=0.由 l 与抛物线相切可知,=4n2-4(4n-4)=0,解得 n=2.所以,直线 l 的方程为 x=2(y-2)+2,即 x-2y+2=0.(2)设直线 l 的方程为 x=my+t(m0),代入 y2=2px得 y2-2pmy-2pt=0.由直线 l 与抛物线相切可知,=4p2m2+8pt=0.所以 t=-又因为直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,所以 =1,即 t2=1+m2.将式代入式,得 =1+m2,所以 p2=设 M 的坐标为(x0,y0),由 y

12、2-2pmy-2pt=0 与 t=-可知:y0=pm,从而 x0=my0+t=所以,|MN|2=|OM|2-|ON|2=-1=+p2m2-1=1+m2+-1=m2+48.因此,当|m|=时,|MN|有最小值,最小值为 2 突破 2 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 高考大题专项练第 13 页 1.在ABC 中,AB=2,C=,且 SABC=,若以 A,B 为左右焦点的椭圆 M 经过点 C.(1)求 M 的标准方程;(2)设过 M 右焦点且斜率为 k 的动直线与 M 相交于 E,F 两点,探究在 x 轴上是否存在定点 D,使得 为定值?若存在,试求出定值和点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

13、解(1)在ABC 中,由余弦定理得 AB2=CA2+CB2-2CACBcos C=(CA+CB)2-3CACB=4.又因为 SABC=CACBsin C=CACB=,所以 CACB=,代入式得 CA+CB=2,即椭圆长轴长 2a=2,焦距 2c=AB=2,所以椭圆 M 的标准方程为 +y2=1.(2)存在.理由如下,设直线方程 y=k(x-1),联立 -消去 y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,=8k2+80,设交点 E(x1,y1),F(x2,y2),所以 x1+x2=,x1x2=-假设 x 轴上存在定点 D(x0,0),使得 为定值,所以 =(x1-x0,y1)(x2-x0

14、,y2)=x1x2-x0(x1+x2)+y1y2=x1x2-x0(x1+x2)+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2=-,要使 为定值,则 的值与 k 无关,所以 2 -4x0+1=2(-2),解得 x0=,此时 =-为定值,定点为 ,0.2.(2019 安徽泗县一中一模,20)已知椭圆 M:=1(ab0)的离心率为 ,且椭圆上一点 P 的坐标为 .(1)求椭圆 M 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 M 交于 A,B 两点,且以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C,求证:直线 l 恒过 x轴上一定点.解(1)由已知 e=,又 a2=b2+c

15、2,则 a=2b.椭圆方程为 =1,将 代入方程得 b=1,a=2,故椭圆的方程为 +y2=1.(2)不妨设直线 AB 的方程 x=ky+m,联立 消去 x得(k2+4)y2+2kmy+m2-4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y1+y2=-,y1y2=-,又以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C,所以 =0,由 =(x1-2,y1),=(x2-2,y2)得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,将 x1=ky1+m,x2=ky2+m 代入上式得(k2+1)y1y2+k(m-2)(y1+y2)+(m-2)2=0,将代入上式求得 m=或 m=2(舍),则直线 l 恒过点 ,

16、0.若直线斜率为 0 也符合条件,故直线恒过定点 ,0.3.(2019 江西宜春模拟,19)已知抛物线 C:y2=2px(p0),过焦点 F 作垂直于 x 轴的直线 l,l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,E 为 C 的准线上一点,且ABE 的面积为 4.(1)求抛物线 C 的标准方程.(2)设 Q(2,0),若点 P 是抛物线 C 上的任一动点,则是否存在垂直于 x 轴的定直线被以 PQ 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.解(1)SABE=2pp=4.p2=4,p0,p=2.y2=4x.(2)存在.理由如下,设存在直线 l1:x=a 满足条

17、件,P(x0,y0),则 PQ 的中点 M ,|PQ|=-,因此以 PQ 为直径的圆的半径r=|PQ|=-,M 点到直线 x=a 的距离d=-a.所以所截弦长为2 -=2 -=-=-,要使弦长与变量 x0无关,则令 1-a=0 即 a=1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x=1.故存在垂直于 x 轴的定直线 x=1,被以 PQ 为直径的圆截得的弦长为 2.4.(2019 四川绵阳质检,20)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:y2=2px(p0)的准线为 l,其焦点为 F,点B 是抛物线 C 上横坐标为 的一点,若点 B 到 l 的距离等于|BO|.(1)求抛物线 C 的方程,(2)

18、设 A 是抛物线 C 上异于顶点的一点,直线 AO 交直线 l 于点 M,抛物线 C 在点 A 处的切线 m 交直线l 于点 N,求证:以点 N 为圆心,以|MN|为半径的圆经过 x 轴上的两个定点.解(1)由题意,得|BF|=|BO|,则BOF 为等腰三角形,因为点 B 的横坐标为 ,所以线段 OF 的中点的横坐标为 ,从而点 F 的横坐标为 1,即 =1,所以 p=2,故所求抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)证明:设切线 m 的方程为 y=kx+b,由 得k2x2+2(kb-2)x+b2=0(*),由题意知=4(kb-2)2-4k2b2=0,即 b=,所以方程(*)的根为 x=,从而

19、 A .直线 OA 的方程为 y=2kx,由 -得 N-1,-k,由 -得 M(-1,-2k),所以以点 N 为圆心,以|MN|为半径的圆的方程为(x+1)2+-,令 y=0,得(x+1)2+-,解得 x=1 或 x=-3,所以圆 N 经过 x 轴上的两个定点(1,0)和(-3,0).5.(2019 贵州遵义航天中学十一模,20)已知椭圆 C:=1(ab0)的离心率 e=,左、右焦点分别为 F1,F2,抛物线 y2=4 x 的焦点 F 恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)已知圆 M:x2+y2=的切线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,那么以 AB 为直径的圆是否经过定点?如

20、果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.解(1)因为椭圆 C 的离心率 e=,所以 ,即 a=c.因为抛物线 y2=4 x 的焦点 F(,0)恰好是该椭圆的一个顶点,所以 a=,所以 b=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时.因为直线 l 与圆 M 相切,故其中的一条切线方程为 x=由 不妨设 A ,B ,-,则以 AB 为直径的圆的方程为 -+y2=(ii)当直线 l 的斜率为零时.因为直线 l 与圆 M 相切,所以其中的一条切线方程为 y=-由 -不妨设 A ,-,B-,-,则以 AB 为直径的圆的方程为 x2+显然以上两圆都经过点 O(0,0

21、).(iii)当直线 l 的斜率存在且不为零时.设直线 l 的方程为 y=kx+m.由 消去 y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,所以设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-,x1x2=-所以 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-所以 =x1x2+y1y2=-因为直线 l 和圆 M 相切,所以圆心到直线 l 的距离 d=,整理,得 m2=(1+k2),将代入,得 =0,显然以 AB 为直径的圆经过定点 O(0,0),综上可知,以 AB 为直径的圆过定点(0,0).6.(2019 湖北武汉模拟,20)如图,O 为坐标

22、原点,椭圆 C=1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M,N 为椭圆 C 的上、下顶点,且|MN|=2 (1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 P(0,1)作直线 l 交椭圆 C 于异于 M,N 的 A,B 两点,直线 AM,BN 交于点 T.求证:点 T 的纵坐标为定值 3.解(1)由题意可知 2c=a,2b=2,又 a2=b2+c2,有 b=,c=1,a=2,故椭圆 C 的方程为 =1.(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+1,设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20),联立直线方程和椭圆方程得 消去 y 得(4k2+3)x2+8kx-8=0,x1+x2=-,x1x

23、2=-,则有 x1+x2=kx1x2,又 lBN:y=x-,lAM:y=-x+,由 -得 -,故 -,整理得到-,故 y=-=-=3.故点 T 的纵坐标为 3.突破 3 圆锥曲线中的证明与探索性问题 高考大题专项练第 14 页 1.(2019 湖南永州三模,20)已知直线 l 是经过点 A(1,-2)且与抛物线 E:y2=4x 相切的直线.(1)求直线 l 的方程;(2)如图,已知点 B(1,2),M,N 是 x 轴上两个不同的动点,且满足|BM|=|BN|,直线 BM,BN 与抛物线 E 的另一个交点分别是 P,Q,求证:直线 PQ 与 l 平行.解(1)显然直线 l 的斜率存在且不为 0,

24、设直线 l 的方程为 y+2=k(x-1)与 y2=4x 联立,消去 x 整理得 y2-y-4=0,令=0,即-2-4-4=0,解得 k=-1,所以,直线 l 的方程为 y=-x-1.(2)由题意知,两直线 BM,BN 的斜率互为相反数,设直线 BM 的方程为 y-2=t(x-1),与 y2=4x 联立,消去 x 整理得 y2-y+-4=0,则 2yP=-4yP=-2,从而 P -,将 t 换成-t,得 Q -,kPQ=-=-1=kl,所以,直线 PQ 与 l 平行.2.(2019 河北廊坊三联考,20)设抛物线 E:x2=2py(p0)的焦点为 F,过 F 且倾斜角为 的直线 l 与抛物线E

25、 交于 A,B 两点,|AB|=(1)求抛物线 E 的方程;(2)已知过点 M(m,-1)作直线 n 与抛物线 E 相切于点 N,证明:FMFN.(1)解由题意可知,F 0,l 的方程为 y=x+设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 3y2-5py+p2=0,故 y1+y2=,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=+p=,所以 p=2,故抛物线 E 的方程为 x2=4y.(2)证明设点 N(x0,y0),x00,因为 y=x2,所以 y=x.切线方程为 y-y0=x0(x-x0),即 y=x0 x-令 y=-1,可解得 m=-,所以 M -,-1.所以 =-,-2,=(x

26、0,y0-1),-2y0+2=-+2=0,所以 FMFN.3.(2019 福建厦门一中模拟,20)已知椭圆 =1(ab0)经过点(0,),离心率为 ,且 F1,F2分别为椭圆的左右焦点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 M(-4,0)作斜率为 k(k0)的直线 l,交椭圆 C 于 B,D 两点,N 为 BD 中点,请说明存在实数 k,使得以 F1,F2为直径的圆经过 N 点(不要求求出实数 k).解(1)椭圆经过点(0,),离心率为 ,解得 a=2,c=1,b=椭圆 C 的方程为 =1.(2)证明:设 B(x1,y1),D(x2,y2),线段 BD 的中点 N(x0,y0).由题意可得直线

27、 l 的方程为 y=k(x+4)且 k0.联立 化为 3x2+4k2(x+4)2=12,(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,由=-4(3+4k2)(64k2-12)0,可得 k20,所以该方程存在两根 t1,t2,又 t1t2=-,存在一个正根,一个负根,不妨设 t20 有 80 +40 -3=120,t2b0)的离心率为 ,过点 E(,0)的椭圆 C1的两条切线相互垂直.(1)求椭圆 C1的方程;(2)在椭圆 C1上是否存在这样的点 P,过点 P 引抛物线 C2:x2=4y 的两条切线 l1,l2,切点分别为 B,C,且直线 BC 过点 A(1,1)?若存在,指出这样的点 P

28、 有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.解(1)由椭圆的对称性,不妨设在 x 轴上方的切点为 M,x 轴下方的切点为 N,则 kNE=1,NE 的直线方程为 y=x-,因为椭圆 C1:=1(ab0)的离心率为 ,所以椭圆 C1:=1,所以 -消去 y 得 7x2+8 x+28-12c2=0,=0,则 c=1,所以椭圆方程为 =1.(2)设点 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),由 x2=4y,即 y=x2,得 y=x,抛物线 C2在点 B 处的切线 l1的方程为 y-y1=(x-x1),即 y=x+y1-,y1=,y=x-y1.点 P(x0,y0)在切线 l1上,

29、y0=x0-y1.同理,y0=x0-y2.综合、得,点 B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 y0=x0-y.经过 B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的,直线 BC 的方程为 y0=x0-y,点 A(1,1)在直线 BC 上,y0=x0-1,点 P 的轨迹方程为 y=x-1.又点 P 在椭圆 C1上,又在直线 y=x-1 上,直线 y=x-1 经过椭圆 C1内一点(0,-1),直线 y=x-1 与椭圆 C1交于两点.满足条件的点 P 有两个.6.(2019 广东广雅中学、执信、六中、深外四校联考,20)设斜率不为 0 的直线 l 与抛物线 x2=4y 交于A,B

30、两点,与椭圆 =1 交于 C,D 两点,记直线 OA,OB,OC,OD 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4.(1)若直线 l 过(0,4),证明:OAOB;(2)求证:的值与直线 l 的斜率的大小无关.解(1)设直线 l 的方程为 y=kx+4,设 A(x1,y1),B(x2,y2),两式相乘得 =16y1y2.将直线 l 的方程代入抛物线 x2=4y,得 x2-4kx-16=0.x1x2=-16,y1y2=16,x1x2+y1y2=0,=0.OAOB.(2)设直线 l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).联立 y=kx+m 和 x2=4y,得 x2-4kx-4m=0,则 x1+x2=4k,x1x2=-4m,k1+k2=k,联立 y=kx+m 和 =1 得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,在=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-12)0(即 4+6k2m2)可不求解的情况下,x3+x4=-,x3x4=-,k3+k4=2k+=2k+=2k+-,所以 =-是一个与 k 无关的值.