福州三中2025届高三4月第14次质检数学试卷 答案.pdf

1、福州三中 2024-2025 学年第二学期高三第十四次质量检测 数 学 试 卷 命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组注意事项：1答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答若在试题卷上作答，答案无效第卷一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知11,2A=，10Bx ax=+=，若 ABB=，则实数a 的取值构成的集合是()A 1,2B 2,1C 2

2、,0,1D 1,0,22设，是两个平面，m，n 是两条直线，若m，n ，则“”是“/m，/n ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知向量,a b 的夹角为 3，且1a=，3b=，若与向量b 垂直的非零向量c 满足cab=+（其中,)R，则 =()A13B1C6D164已知数列 nb满足12b=，()122nnbbn n=，设数列1nb的前 n 项和为nT，则10T=()A 910B1011C 1112D12135已知239290129(1)(1)(1)xxxaa xa xa x+=+，则2a 的值为()A60B80C84D1206已知()2sin 23+

3、=，()1cos cos2+=，则()tantan+=()A 32B 23C 34D 437如图，正方形1111DCBA的边长为 1，取正方形各边的四等分点2222,A B CD，得到第 2 个正方形2222A B C D，再取正方形2222A B C D 各边的四等分点3333,A B C D，得到第 3 个正方形3333A B C D，依此方法一直进行下去，若从第k 个正方形开始它的面积小于第 1 个正方形面积的 150，则 k=()（参考数据：lg20.3）A8B9C10D11#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#PD

4、F Shaper Professional8若函数()f x 满足对任意*nN，恒有()2f nn，且()()()4f xyf xfyxy+=+，则()81if i=的最小值是()A408B400C204D200二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分 9已知Rab，关于 x 的方程20 xaxb+=的一个根是 112iz=，另一个根是2z，其中i 是虚数单位，则下面四个选项正确的有()A复数1z 对应的点在第四象限B10ab=C12zz=D12zz10已知函数()()tanf xx

5、=+在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是()A6=，()23kkZ=+B()f x 的单调区间为：()65,61,kkkZ+C()()2g xf x=在区间4,4上有且仅有 2 个零点D()f x 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移 1 个单位后是奇函数11我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”22222590Cxx yy+=：，则()A曲线C 关于直线 yx=对称B曲线C 有 4 个顶点C曲线C 与直线3yx=+有 4 个交点D曲线C 上动点 P 到原点距离的最小值为 2 75第卷

6、三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答题卡相应横线上12一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为a，b，在已知8ab+的条件下，ab的概率为_13已知()5sinf xxx=+，则满足()()240f af+的实数a 的取值范围是 14双曲线C 的两个焦点为1F，2F，以C 的实轴为直径的圆记为 D，过1F 作 D 的切线与C 的左右两支分别交于 M,N 两点，且123cos5F NF=，则C 的离心率为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）已知函数322()1f xxaxa

7、x=+.（1）当2a=时，求曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#16（本小题满分 15 分）已知单调递增的等比数列 na满足23428aaa+=，且32a+是24,a a 的等差中项（1）求数列 na的通项公式；（2）设2lognnnbaa=，其前 n 项和为nS，若对于2n,且*nN，2(1)(1)nnm Sn恒成立，求实数m 的取值范围17（本小题满分 15 分）如图，在等腰梯形 ABCD中，BCAD，24ADBC=，2 3AC=，E 为

8、AD 边的中点将 CDE 沿CE 翻折，使点 D 到达点S 的位置，得到四棱锥 SABCE，如图（1）证明：在翻折过程中，始终满足 SBCE；（2）当 SEBC时，求平面 SAB 与平面 SBC 夹角的正弦值18（本小题满分 17 分）在直角坐标平面内，设 P 是圆224xy+=上的动点，PQx轴，垂足为点Q，点 M 在QP 的延长线上，且23QPQM=，点 M 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程；（2）设l 是过点()4,0N的动直线当直线l 的斜率为 2 时，曲线C 上是否存在一点 D，使得点 D 到直线l 的距离最小？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；若直线l 与曲线C

9、 相交于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为 E，直线 AE 与 x 轴的交点为 F，求ABF面积的最大值#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#19（本小题满分 17 分）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地

10、位若随机变量 X 服从参数为()0 的泊松分布（记作()X），则其概率分布为()e!kP Xkk=,k N，其中 e为自然对数的底数（1）当20时，泊松分布可以用正态分布来近似；当50 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为(),XN 若()100X，求()110120PX的值（保留三位小数）；（2）某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以 X 记产品中的次品数若(),XB n p，求在1000个产品中至少有 2 个次品的概率；若(),Xnp=，求在1000个产品中至少有 2 个次品的概率通过比较计算结果，你发现了什么规律?（3）若()X，且()10.01P X

11、，求 的最大值（保留一位小数）参考数据：若()2,XN ，则一有()0.6827PX+，()220.9545PX+，()330.9973PX+；10000.9990.3676，9990.9990.3680，10.3678e#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#福州三中 2024-2025 学年第二学期高三第十四次质量检测 数 学 试 卷 第卷一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知11,2A=，10Bx ax=+=，若 ABB=，则实数a 的取值构成的集合是(

12、)A 1,2B 2,1C 2,0,1D 1,0,2【解析】由 ABB=得 BA当0a=时，B=，满足 BA；当0a 时1Ba=，因为 BA，所以11a=或112a=，解得1a=或2a=故选：C2设，是两个平面，m，n 是两条直线，若m，n ，则“”是“/m，/n ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若/m，/n ，则,可能平行，也可能相交，故不一定成立，若，则/m，/n ，故是/m，/n 的充分不必要条件故选：A3已知向量,a b 的夹角为 3，且1a=，3b=，若与向量b 垂直的非零向量c 满足cab=+（其中,)R，则 =()A13B1C6D16

13、【解析】由cab=+，bc，得()20b cbaba bb=+=+=又3cos 32a bab=，29b=，所以 3902+=，整理，得16=故选：D4已知数列 nb满足12b=，()122nnbbn n=，设数列1nb的前 n 项和为nT，则10T=()A 910B1011C 1112D1213【解析】因为()122nnbbn n=，且12b=，所以当2n 时，()()12132nbbbbbb=+()()212224622nnnnbbnnn+=+=+因为12b=也满足2nbnn=+，所以2nbnn=+因为()111111nbn nnn=+，所以1111111122311nTnnn=+=+所以

14、1011011111T=故选：B5已知239290129(1)(1)(1)xxxaa xa xa x+=+，则2a 的值为()A60B80C84D120【解析】由题知222222349CCCC136 10 15212836120a=+=+=故选：D#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#6已知()2sin 23+=，()1cos cos2+=，则()tantan+=()A 32B 23C 34D 43【解析】因为()()21sin 2,cos cos32+=+=，所以()()()()()()sinsincoscossinsin

15、tantancoscoscoscos+=+=+()()()()2sinsin 2431coscoscoscos32+=+故选：D7如图，正方形1111DCBA的边长为 1，取正方形各边的四等分点2222,A B CD，得到第 2 个正方形2222A B C D，再取正方形2222A B C D 各边的四等分点3333,A B C D，得到第 3 个正方形3333A B C D，依此方法一直进行下去，若从第k 个正方形开始它的面积小于第 1 个正方形面积的 150，则 k=()（参考数据：lg20.3）A8B9C10D11【解析】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为2231104

16、44+=，所以其公比为 104设第n 个正方形的面积为na，则()21105248nnana=，当1n=时，11a=，所以158nna=，由1150naa，得151850n，所以()511 lglg850n，即()1 lg21lg50lg5 1lg220.3218.5lg5lg8lg53lg21 lg23lg21 4lg21 4 0.3n=，所以9.5n，所以10k=故选：C8若函数()f x 满足对任意*nN，恒有()2f nn，且()()()4f xyf xfyxy+=+，则()81if i=的最小值是()A408B400C204D200【解析】因为()()()4f xyf xfyxy+=

17、+，所以()()()2222()22f xyxyf xxfyy+=+.设()()22g xf xx=，那么()()()g xyg xg y+=+，因此()()()()()()()()11211221g ng ngg nggg ng=+=+=+()()()()()221112gngngn f=+=，因此()()22122f nnfnn=+，取1n=，得到()12f，所以8888221111()2(1)22408iiiif iifii=+=，所以81()if i=的最小值是 408故选：A#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#二

18、、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分 9已知Rab，关于 x 的方程20 xaxb+=的一个根是 112iz=，另一个根是2z，其中i 是虚数单位，则下面四个选项正确的有()A复数1z 对应的点在第四象限B10ab=C12zz=D12zz【解析】复数112iz=，复数1z 对应的点为()1,2，所以，复数1z 对应的点在第四象限，故 A 正确；已知Rab，关于 x 的方程20 xaxb+=的一个根是 112iz=，则()()21 2i1 2i0ab+=，整理得()()324 i0a

19、ba+=，所以30240aba+=+=；解得：25ab=，所以，10ab=，故 B 正确；由25ab=，得方程2250 xx+=，又知道一个根是112iz=，所以，结合韦达定理，可得另一个根是212iz=+，所以，12zz=，故 C 正确；两个虚数不能比较大小，故 D 错误故选：ABC10已知函数()()tanf xx=+在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是A6=，()23kkZ=+B()f x 的单调区间为：()65,61,kkkZ+C()()2g xf x=在区间4,4上有且仅有 2 个零点D()f x 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移 1 个单位后是奇函数

20、【解析】对于 A，()03f=，故11tan3,3kkZ=+，()f x 上两点()()0,32,3、有对称中心()1,0，故()f x 有渐近线1x=，所以221223kkk+=，由于1k 不影响()f x 的取值，不妨令其为0，而303T=，所以21k=，6=，A 错误；对于 B，不妨设()tan 63f xx=+，()65,61,Z2632kxkxkkk+，B 正确；对于 C，x 轴以下的图象翻折上去，作出()f x 的图像，与直线2y=有 2 个交点，C 正确；对于 D，变换后：()5tan 1212h xx=+不是奇函数，D 错误故选：BC11我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“

21、优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”22222590Cxx yy+=：，则()A曲线C 关于直线 yx=对称B曲线C 有 4 个顶点C曲线C 与直线3yx=+有 4 个交点D曲线C 上动点 P 到原点距离的最小值为 2 75【解析】对于 A，将,x y 交换方程依然成立，所以曲线关于 yx=对称，A 正确；对于 B，易得曲线有四条对称轴 x 轴，y 轴，直线 yx=，直线 yx=，共有 8 个顶点，B 错误；#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#对于 C，由222225903xx

22、yyyx+=+得()()2222253390 xxxx+=，即()()22253230 xxx x+=，可得()()23257520 x xxx+=，对于方程2257520 xx+=，2(75)4 25 20=，则方程2257520 xx+=有两不等实根，且方程的根不为 0 和 3，所以方程()()23257520 x xxx+=有 4 个不等实根，从而曲线 C 与直线3yx=+有 4 个交点，C 正确；对于 D，由22222590 xx yy+=得2229251xyx=+，()222222292512262251252525 251xxxyxxx+=+=+()2225122622 22622

23、2525252525 251xx+=+，当且仅当()222512262525 251xx+=+，即2226125x=时取等号，则22xy+的最小值为 2 22622525，曲线 C 上动点 P 到原点距离的最小值2 22622525，D 错误故选：AC第卷三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把答案填在答题卡相应横线上12一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为a，b，在已知8ab+的条件下，ab的概率为_【解析】设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为a，b，则样本空间(,),1,2,3,4,5,6a ba b=，其包含的样本点有 36 个.记事件 A=“8

24、ab+”，则事件 A 包含的样本点为(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 10 个.记事件 B=“ab”，则事件 AB=“8ab+且ab”，其包含的样本点有 4 个，为(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6).所以由条件概率公式知()42()()105P ABP B AP A=.故答案为：2513已知()5sinf xxx=+，则满足()()240f af+的实数a 的取值范围是【解析】因为()5sinf xxx=+，该函数的定义域为R，()()()5sin5sinfxxxxxf x=+=，故函数()f

25、 x 为奇函数，因为()cos50fxx=对任意的 xR 恒成立，所以函数()f x 在R 上为减函数，由()()240f af+可得()()()244f aff=，所以24a，解得 22a，即实数 a 的取值范围是()2,2故答案为：()2,214双曲线C 的两个焦点为1F，2F，以C 的实轴为直径的圆记为 D，过1F 作 D 的切线与C 的左右两支分别交于 M,N 两点，且123cos5F NF=，则C 的离心率为【解析】不妨设双曲线C 的标准方程为()222210,0 xyabab=，则()1,0Fc，()2,0F c，122F Fc=，设过1F 的直线与圆 D 相切于点 P，则在1Rt

26、 F PD 中，PDa=，1F Dc=，11sinPDaPF DF Dc=，#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#123cos5F NF=，124sin5F NF=且点 N 位于双曲线的右支，如图所示，在12F NF中，由正弦定理得2121212sinsinNFF FNF FF NF=，12122122sin54sin25acF FNF FcNFaF NF=，122NFNFa=，192NFa=，在12F NF中，222121212122cosF FNFNFNFNFF NF=+，即222959534222225caaaa=+，

27、化简得22413ca=，即132cea=故答案为：132 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）已知函数322()1f xxaxa x=+.（1）当2a=时，求曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性解：（1）当2a=时，32()241f xxxx=+，则()2344xxfx=，1 分从而(1)4f=，(1)5f=，3 分故所求切线方程为45(1)yx+=，即51yx=+（或510 xy+=）；5 分（2）由题意可得()f x 的定义域为 R，22()32(3)()fxxaxaxa

28、xa=+，7 分当3aa，即0a 时，由()0fx，得 xa或3ax ，由()0fx，得3aax，则()f x 在(,)a和,3a+上单调递增，在,3aa 上单调递减；9 分当3aa=，即0a=时，()0fx 恒成立，则()f x 在R 上单调递增；10 分当3aa，即0a 时，由()0fx，得3ax 或 xa，由()0fx，得3axa，则()f x 在,3a 和(,)a+上单调递增，在,3a a 上单调递减 12 分综上，当0a 时，()f x 在(,)a和,3a+上单调递增，在,3aa 上单调递减；当0a=时，()f x 在 R 上单调递增；当0a 时，()f x 在,3a 和(,)a+上

29、单调递增，在,3a a 上单调递减 13 分#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#16（本小题满分 15 分）已知单调递增的等比数列 na满足23428aaa+=，且32a+是24,a a 的等差中项（1）求数列 na的通项公式；（2）设2lognnnbaa=，其前 n 项和为nS，若对于2n,且*nN，2(1)(1)nnm Sn恒成立，求实数m 的取值范围解：（1）设等比数列的首项为1a，公比为q，由题意可知：3242(2)aaa+=+，1 分又因为23428aaa+=，所以3248,20aaa=+=2 分31121208

30、a qa qa q+=，解得122aq=或13212aq=（舍），4 分2nna=；5 分（2）由（1）知，2nnbn=，6 分231 22 23 2.2nnSn=+，234121 22 23 2.2nnSn+=+，7 分-得23122222nnnSn+=+，8 分11122(2)(1)221 2nnnnSnn+=+，10 分若2(1)(1)nnm Sn对于2n 恒成立，则21(1)(1)221nnmnn+，21(1)(1)(21)nnm n+，1121nnm+，11 分令11()21nnf n+=，则max()mf n，12 分因为121211(2)21(1)()2121(21)(21)nn

31、nnnnnnf nf n+=，当2n 时，(1)()0f nf n+，即(1)()f nf n+，所以当2n 时，()f n 单调递减，则()f n 的最大值为 17，14 分故实数m 的取值范围为 1,7+15 分#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#17（本小题满分 15 分）如图，在等腰梯形 ABCD中，BCAD，24ADBC=，2 3AC=，E 为 AD 边的中点将 CDE 沿CE 翻折，使点 D 到达点S 的位置，得到四棱锥 SABCE，如图（1）证明：在翻折过程中，始终满足 SBCE；（2）当 SEBC时，求平面

32、 SAB 与平面 SBC 夹角的正弦值解：（1）证明：因为 E 为 AD 的中点，且2ADBC=，所以/,AE BC AEBC=，所以四边形 ABCE 为平行四边形，所以 ABCE=，所以CECD=1 分取 DE 的中点 P，连接CP，如图，则CPDE在 Rt ACP中，2 3,3ACAP=，所以223CPACAP=在 Rt CPD中，1PD=，所以222CDCPPD=+=，所以2CDBC=连接 BE，则四边形 BEDC 为菱形 3 分连接 BD，交CE 于点 F，则CEBD 在四棱锥 SABCE中，设CE 的中点为 F，连接 BF，SF，如图，则,BFCE SFCE 因为,BFSFF BF

33、SF=平面 SBF，所以CE 平面 SBF 5 分又 SB 平面 SBF，因此在翻折过程中，始终满足 SBCE 6 分（2）设 BC 的中点为G，连接,EG SG，则 EGBC因为,SEBC SEEGE SE EG=平面 SEG，所以BC平面 SEG 又 SG 平面 SEG，所以 BCSG，因此 SBSC=，所以四面体 SBCE是棱长为 2 的正四面体设,BF EG 交于点 I，连接 IS，则 IS 平面 ABCE，且得2 63IS=8 分设 AC 与 BE 交于点O，由（1）知四边形 ABCE 是菱形，故 ACBE，且3,1OAOCOB=以O为坐标原点，,OA OE 分别为 x 轴，y 轴的

34、正方向，过点O 与 IS 同向为 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()32 63,0,0,0,1,0,3,0,0,0,33ABCS，9 分所以()()4 32 632 63,1,0,0,3,1,0,1,3333ABASBCBS=设平面 SAB 的法向量为()111,mx y z=，则0,0,m ABm AS=即111130,4 32 60.33xyxz+=+=令11x=，得113,2yz=，所以平面 SAB 的一个法向量为()1,3,2m=11 分#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#设平面 SBC 的法向量为

35、()222,nx y z=，则0,0,n BCn BS=即2222230,32 60.33xyxyz+=+=令21z=，得222,6xy=，所以平面 SBC 的一个法向量为()2,6,1n=12 分设平面 SAB 与平面 SBC 的夹角为，则23 223coscos,363m nm nm n+=，14 分所以平面 SAB 与平面 SBC 夹角的正弦值为63 15 分18（本小题满分 17 分）在直角坐标平面内，设 P 是圆224xy+=上的动点，PQx轴，垂足为点Q，点 M 在QP 的延长线上，且23QPQM=，点 M 的轨迹为曲线C（1）求曲线C 的方程；（2）设l 是过点()4,0N的动直

36、线当直线l 的斜率为 2 时，曲线C 上是否存在一点 D，使得点 D 到直线l 的距离最小？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；若直线l 与曲线C 相交于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为 E，直线 AE 与 x 轴的交点为 F，求ABF面积的最大值解：（1）设(),M x y，()00,P x y，则22001xy+=，因为23QPQM=，所以0023yyxx=，整理得0023yyxx=，2 分代入22001xy+=中，得22449yx+=，整理得22149xy+=，所以曲线C 的方程为22149xy+=；4 分（2）l 的直线方程为()24yx=，整理得280 x

37、y+=，如图，1ll，1l 与椭圆相切于点 D，当 D 在如图所示的位置时，点 D 到直线l 的距离最小，5 分设 1l：2yxb=+，联立222149yxbxy=+=得2225164360 xbxb+=，6 分()()22164 25 4360bb=，解得5b=或-5（舍去），则22580640 xx+=，解得85x=，则892555y=+=，所以存在点 D 到直线l 的距离最小，坐标为 8 95 5，；8 分设l 的方程为4xmy=+，()11,A x y，()22,B xy，则()22,E xy，#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAw

38、RFABAA=#联立221494xyxmy+=+得()2294721080mymy+=，9 分()()22724 94 1080mm=+，解得2 33m 或2 33m ，则1227294myym+=+，12210894y ym=+，10 分()22121214ABmyyy y=+222272108149494mmmm=+22212 912194mmm=+，12 分直线 AE 的方程为()121112yyyyxxxx+=，令0y=得()2212122112121221087224247294941727294mmmy yyyx yx ymmmxmyyyymm+=+，13 分所以()1,0F，则点

39、 F 到直线 AB 的距离221 4311dmm=+，14 分222221112 912318 91212294941ABFmmSAB dmmmm=+=+，15 分令29120mt=，则21818189161642 166ABFtStt=+，当且仅当16tt=，即4t=，2 73m=时等号成立，所以ABF面积的最大值为 94 17 分#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#19（本小题满分 17 分）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一

40、定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位若随机变量 X 服从参数为()0 的泊松分布（记作()X），则其概率分布为()e!kP Xkk=,k N，其中 e为自然对数的底数（1）当20时，泊松分布可以用正态分布来近似；当50 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为(),XN 若()100X，求()110120PX的值（保留三位小数）；（2）某公司制造微型芯片，次品率为0.1%，各芯片是否为次品相互独立，以 X

41、记产品中的次品数若(),XB n p，求在1000个产品中至少有 2 个次品的概率；若(),Xnp=，求在1000个产品中至少有 2 个次品的概率通过比较计算结果，你发现了什么规律?（3）若()X，且()10.01P X，求 的最大值（保留一位小数）参考数据：若()2,XN ，则一有()0.6827PX+，()220.9545PX+，()330.9973PX+；10000.9990.3676，9990.9990.3680，10.3678e 解：（1）因为当()X ，且100=时，可近似地认为(),XN ，即()100,100XN，1 分这里100=，10010=，2 分所以()()()1101

42、20100 10100202PXPXPX=+=+()()10.95450.6827220.13590.13622PXPX=+=；4 分（2）若()1000,0.001XB，5 分()3676.0)001.01(01000=XP；()3680.0001.0999.0199911000=CXP，7 分则()()()10001999100021011 0.999C0.9990.0010.2644P XP XP X=；8 分若()X，其中1np=，9 分则()()()11210110.2644eeP XP XP X=.11 分比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的

43、，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布.12 分（3）由于()X，所以()()()1101P XP XP X=，由泊松分布的概率公式可得()0eP X=，()1eP X=，所以()()11 ee11eP X=+，13 分因为()10.01P X，即()1e0.99+，14 分构造函数()()10exxg xx+=，则()0exxgx=，所以函数()g x 在()0,+上单调递减，由于()2210.80.99e2.5g=，()01g=，所以，01x，又因为()0.11 0.10.1eg+=，需要比较0.11 0.1e+与0.99 的大小，而20.991 0.1=，所以，相当于比较0.

44、1e 与1 0.1的大小，15 分#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#构造函数()()e10.20 xh xxx=，所以()e10 xh x=对任意的()0.2,0 x 恒成立，所以函数()h x 在()0.2,0上单调递减，且()00h=，所以()()0,10.1e0.1 100hh=+=，所以0.1e1 0.1，即0.11 0.11.1 0.90.99e+=，且()0.21 0.20.2eg+=，需要比较0.21 0.2e+与0.99 的大小关系，而20.991 0.1=，所以相当于比较()0.210.2e 与20.212 的大小，构造函数()()211e14xm xxx=，其中 0.50 x，且()00m=，()11e22xxm xxxx=+=，当()0.5,0 x 时，()0m x，所以，函数()m x 在()0.5,0上单调递增，即()()0.200mm=，即()20.20.210.2e12 ，即0.21 0.20.99e+，因此，的最大值为0.1 17 分#QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=#