2022-2023学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷.docx

1、2022-2023 学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，+1 等于（）A1 B1 C D 2（5 分）已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则 BC边上的中线长为（）A2 B3 C4 D5 3（5 分）直线 x+y0 的倾斜角为（）A45 B60 C90 D135 4（5 分）过点（3，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A2x+y0 Bx+y+30 Cxy+30 Dx

2、+y+30 或 2x+y0 5（5 分）双曲线 3x2y29 的焦距为（）A6 B26 C23 D43 6（5 分）抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 23=1 的渐近线的距离是（）A12 B32 C1 D3 7（5 分）在等差数列an中，若 a2+a34，a4+a56，则 a9+a10（）A9 B10 C11 D12 8（5 分）设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，a11 且 a1a2a38，则52等于（）A11 B8 C5 D11 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对

3、的得 2 分.（多选）9（5 分）若直线 l 的方向向量为=（1，0，2），平面 的法向量为=（2，0，4），则（）Al Bl Cl Dl 与 相交 10（5 分）把圆 x2+y2+2x4ya220 的半径减小一个单位长度正好与直线 3x4y40 相切，则正实数 a 的值为（）A3 B3 C0 D1（多选）11（5 分）已知方程 mx2+ny21（m，nR），则（）A当 mn0 时，方程表示椭圆 B当 mn0 时，方程表示双曲线 C当 m0 时，方程表示两条直线 D方程表示的曲线不可能为抛物线（多选）12（5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an1，数列2+1的

4、前n 项和为 Tn，nN*，则下列选项正确的为（）A数列an1是等比数列 B数列an是等比数列 C数列an的通项公式为 an2n1+1 DTn2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 14（5 分）已知直线 l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为 3，则直线 l 的方程为 15（5 分）以 双 曲 线24 212=1 的 焦 点 为 顶 点，顶 点 为 焦 点 的 椭 圆 方 程是 16（5 分）已知数列 an=1，为奇数，

5、为偶数，其前 n 项和为 Sn，则 S100 四、解答题：本题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）如图，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB、AD 的夹角都是 60，N 是 CM 的中点，设=，=，=A，试以，为基向量表示出向量，并求 BN 的长 18（12 分）已知正方形的中心为直线 xy+10 和 2x+y+20 的交点，正方形一条边所在直线的方程为 x+3y20，求正方形其他三边所在直线的方程 19（12 分）已知 P 是直线 l：3x+4y+80 上的动点，PA，PB

6、是圆 C：x2+y22x2y+10的两条切线，A、B 是切点（1）求四边形 PACB 面积的最小值；（2）直线 l 上是否存在点 P，使BPA60？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由 20（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 4，A1BC 的面积为22（1）求 A 到平面 A1BC 的距离；（2）设 D 为 A1C 的中点，AA1AB，平面 A1BC平面 ABB1A1，求二面角 ABDC的正弦值 21（12 分）已知公差不为零的等差数列an满足 S535，且 a2，a7，a22 成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若 bn=4(1)(+3)，且数列bn的前

7、n 项和为 Tn，求证：Tn 34 22（12 分）设椭圆：22+22=1(0)，1，2为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2 的面积为3（）求椭圆 C 的方程（）设动直线 l：ykx+m 椭圆 C 有且仅有一个公共点 M，且与直线 x4 相交于点 N试探究：在坐标平面内是否存在定点 P，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P？若存在求出点 P的坐标，若不存在请说明理由 2022-2023 学年山东省泰安市宁阳四中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

8、目要求的.1（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，+1 等于（）A1 B1 C D【解答】解：+1=+1=1，故选：B 2（5 分）已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则 BC边上的中线长为（）A2 B3 C4 D5【解答】解：B（4，3，7），C（0，5，1），则 BC 的中点 D 的坐标为（2，1，4）则 AD 即为ABC 中 BC 边上的中线|AD|=(3 2)2+(3 1)2+(2 4)2=3 故选：B 3（5 分）直线 x+y0 的倾斜角为（）A45 B60 C90 D135【解答】解：直线 x+y0 的斜率为1，设直线 x+y

9、0 的倾斜角为，又 0180，135 故选：D 4（5 分）过点（3，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A2x+y0 Bx+y+30 Cxy+30 Dx+y+30 或 2x+y0【解答】解：当直线过原点时，方程为 y2x，即 2x+y0 当直线不过原点时，设直线的方程为 x+yk，把点（3，6）代入直线的方程可得 k3，故直线方程是 x+y+30 综上，所求的直线方程为 x+y+30 或 2x+y0，故选：D 5（5 分）双曲线 3x2y29 的焦距为（）A6 B26 C23 D43【解答】解：双曲线 3x2y29 的实半轴 a=3，虚半轴 b3，则 c=9+3=23 双曲线 x2

10、3y29 的焦距为：43 故选：D 6（5 分）抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x2 23=1 的渐近线的距离是（）A12 B32 C1 D3【解答】解：抛物线方程为 y24x 2p4，可得2=1，抛物线的焦点 F（1，0）又双曲线的方程为2 23=1 a21 且 b23，可得 a1 且 b=3，双曲线的渐近线方程为 y，即 y3x，化成一般式得：3 =0 因此，抛物线 y24x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d=|310|3+1=32 故选：B 7（5 分）在等差数列an中，若 a2+a34，a4+a56，则 a9+a10（）A9 B10 C11 D12【解答】解：设等差数列an的公差为

11、d，a2+a3（a1+d）+（a1+2d）2a1+3d4，a4+a5（a1+3d）+（a1+4d）2a1+7d6，得：4d2，解得：d=12，把 d=12代入，解得：a1=54，则 a9+a10（a1+8d）+（a1+9d）2a1+17d2 54+17 12=11 故选：C 8（5 分）设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，a11 且 a1a2a38，则52等于（）A11 B8 C5 D11【解答】解：因为等比数列an中，a11 且 a1a2a3=23=8，所以 a22，q2，则52=1512=1+3214=11 故选：A 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题

12、给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.（多选）9（5 分）若直线 l 的方向向量为=（1，0，2），平面 的法向量为=（2，0，4），则（）Al Bl Cl Dl 与 相交【解答】解：由于直线 l 的方向向量为=（1，0，2），平面 的法向量为=（2，0，4），所以=2；故 ，即 la 由于直线 n 是平面 的法向量，所以 n，由于 nl，所以 l，所以 l 与平面 相交 故选：BD 10（5 分）把圆 x2+y2+2x4ya220 的半径减小一个单位长度正好与直线 3x4y40 相切，则正实数 a 的值为（）A3 B3 C0 D1【

13、解答】解：圆 x2+y2+2x4ya220 的圆心（1，2），半径 r=12 4+16+42+8=7+2，圆心（1，2）到直线 3x4y40 距离为：d=|384|9+16=3，圆 x2+y2+2x4ya220 的半径减小一个单位则正好与直线 3x4y40 相切，7+2 13，解得 a3，又 a0，a3 故选：B（多选）11（5 分）已知方程 mx2+ny21（m，nR），则（）A当 mn0 时，方程表示椭圆 B当 mn0 时，方程表示双曲线 C当 m0 时，方程表示两条直线 D方程表示的曲线不可能为抛物线【解答】解：对于 A，mn0 时，若 m0 且 n0，则方程 mx2+ny21 表示圆或

14、椭圆；若 m0 且 n0，则方程 mx2+ny21 不表示任何图形；所以 A 错误 对于 B，mn0 时，若 m0 且 n0，则方程 mx2+ny21 表示焦点在 x 轴上的双曲线；若 m0 且 n0，则方程 mx2+ny21 表示焦点在 y 轴上的双曲线；所以 B 正确 对于 C，m0 时，若 n0，则方程 mx2+ny21 表示两条曲线；若 n0，则方程 mx2+ny21 不表示任何图形；所以 C 错误 对于 D，无论 m、n 取何值时，方程 mx2+ny21 都不可能为 x 或 y 的一次解析式，所以方程 mx2+ny21 不可能表示抛物线；所以 D 正确 故选：BD（多选）12（5 分

15、）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn+1Sn+2an1，数列2+1的前n 项和为 Tn，nN*，则下列选项正确的为（）A数列an1是等比数列 B数列an是等比数列 C数列an的通项公式为 an2n1+1 DTn2【解答】解：因为 Sn+1Sn+2an1，所以当 n1 时，S2S1+2a11，所以 a21，Sn+1Sn2an1，即 an+12an1，即 an+112（an1），因为 a11，所以 a110，所以 an1，所以数列an是等比数列也是等差数列，所以数列an1是等差数列，故 A 不正确，B 正确，C 不正确；于是2+1=2，所以=2(12)12=2+1 2 2，故 D 正

16、确 故选：BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 55 【解答】解：不妨令 CB1，则 CACC12 可得 O（0，0，0），B（0，0，1），C1（0，2，0），A（2，0，0），B1（0，2，1），1=（0，2，1），1=（2，2，1），cos1，1=|11|1|1|=4159=15=55 0 1与1的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角，直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为55 14（5 分）已知直线 l 的

17、斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为 3，则直线 l 的方程为 x6y+60 或 x6y60 【解答】解：根据题意，设直线 l 的方程为+=1，所以12|ab|3，且 =16，解得=6=1 或=6=1，所以直线 l 的方程为6+y1 或6 y1，即 x6y+60 或 x6y60 故答案为：x6y+60 或 x6y60 15（5 分）以双曲线24 212=1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是 216+212=1 【解答】解：双曲线24 212=1的顶点为（2，0）和（2，0），焦点为（4，0）和（4，0）椭圆的焦点坐标是（2，0）和（2，0），顶点为（4，0）和（4，0）椭圆方程为21

18、6+212=1 故答案为：216+212=1 16（5 分）已知数列 an=1，为奇数，为偶数，其前 n 项和为 Sn，则 S100 5000 【解答】解：因为 an=1，为奇数，为偶数，所以 S100a1+a2+a3+a99+a100（a1+a3+a99）+（a2+a4+a98+a100）（0+2+4+98）+（2+4+6+100）5000 故答案为：5000 四、解答题：本题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10 分）如图，在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB、AD 的夹角都是 6

19、0，N 是 CM 的中点，设=，=，=A，试以，为基向量表示出向量，并求 BN 的长 【解答】解：N 是 CM 的中点，设=，=，=A，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，=12(+)=12(+)=12 +12+12 在四棱锥 MABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的长为 3，且 AM 和 AB、AD 的夹角都是 60，|2，|3，=0，=23cos603，=23cos603，2=（12 +12+12）2 1+1+94 12 3+12 3=174，|=172，即 BN 的长为172 18（12 分）已知正方形的中心为直线 xy+10 和 2x+y+20 的交点

20、，正方形一条边所在直线的方程为 x+3y20，求正方形其他三边所在直线的方程【解答】解：联立 +1=02+2=0，解得=1=0，可得正方形的中心为 M（1，0）设正方形相邻两边的方程为：x+3y+m0（m2），3xy+n0，由正方形的性质可得：|1+|10=|12|10=|3+|10，解得 m4，n0 或 6 正方形其他三边所在直线的方程为：x+3y+40，3xy0，3xy+60 19（12 分）已知 P 是直线 l：3x+4y+80 上的动点，PA，PB 是圆 C：x2+y22x2y+10的两条切线，A、B 是切点（1）求四边形 PACB 面积的最小值；（2）直线 l 上是否存在点 P，使B

21、PA60？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由 【解答】解：圆 C：x2+y22x2y+10，即（x1）2+（y1）21，表示以 C（1，1）为圆心，以 1 为半径的圆 由于四边形 PACB 面积等于 2 12PAACPA，而 PA=2 1，故当 PC 最小时，四边形 PACB 面积最小 又 PC 的最小值等于圆心 C 到直线 l：3x+4y+80 的距离 d，而 d=|3+4+8|9+16=3，故四边形 PACB 面积的最小的最小值为9 1=22；（2）假设存在一点使BPA60，此时CPA30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上 P（x，y）点距离为半径 2 倍，也就是 2，可见

22、它小于圆心到直线的最短距离 3，因此该点不存在 20（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 4，A1BC 的面积为22（1）求 A 到平面 A1BC 的距离；（2）设 D 为 A1C 的中点，AA1AB，平面 A1BC平面 ABB1A1，求二面角 ABDC的正弦值 【解答】解：（1）由直三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 4，可得1=13 111=43，设 A 到平面 A1BC 的距离为 d，由1=1，13 1d=43，13 22d=43，解得 d=2（2）连接 AB1 交 A1B 于点 E，AA1AB，四边形 ABB1A1 为正方形，AB1A1B，又平面 A1BC平面 A

23、BB1A1，平面 A1BC平面 ABB1A1A1B，AB1平面 A1BC，AB1BC，由直三棱柱 ABCA1B1C1 知 BB1平面 ABC，BB1BC，又 AB1BB1B1，BC平面 ABB1A1，BCAB，以 B 为坐标原点，BC，BA，BB1 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，AA1AB，BC 2AB 12=22，又12ABBCAA14，解得 ABBCAA12，则 B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），则=（0，2，0），=（1，1，1），=（2，0，0），设平面 ABD 的一个法向量为=（x，y，z），则 =2=0 =+

24、=0，令 x1，则 y0，z1，平面 ABD 的一个法向量为=（1，0，1），设平面 BCD 的一个法向量为=（a，b，c），=2=0 =+=0，令 b1，则 a0，c1，平面 BCD 的一个法向量为=（0，1，1），cos，=122=12，二面角 ABDC 的正弦值为1 (12)2=32 21（12 分）已知公差不为零的等差数列an满足 S535，且 a2，a7，a22 成等比数列（）求数列an的通项公式；（）若 bn=4(1)(+3)，且数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn 34【解答】解：（）设等差数列an的公差为 d（d0）由题意得5=3572=2 22，则51+542 =35(

25、1+6)2=(1+)(1+21)，解得 a13，d2，所以 an3+2（n1）2n+1（）证明：bn=4(1)(+3)=42(2+4)=1(+2)=12(1 1+2)，所以=12(1 13+12 14+11 1+1+1 1+2)，=12(1+12 1+1 1+2)=34 12(1+1+1+2)34 22（12 分）设椭圆：22+22=1(0)，1，2为左、右焦点，B 为短轴端点，长轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2 的面积为3（）求椭圆 C 的方程（）设动直线 l：ykx+m 椭圆 C 有且仅有一个公共点 M，且与直线 x4 相交于点 N试探究：在坐标平面内是否存在定点 P，使得以

26、 MN 为直径的圆恒过点 P？若存在求出点 P的坐标，若不存在请说明理由【解答】解：（）椭圆：22+22=1(0)，1，2为左右焦点，B 为短轴端点，长轴长为 4，焦距为 2c，且 bc，BF1F2 的面积为3 由题意知2=412 2 =32=2+2，解得：=2=3=1 故椭圆 C 的方程是24+23=14 分（）由=+24+23=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m21206 分 动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M（x0，y0），m0 且0，即 64k2m24（4k2+3）（4m212）0，化简得 4k2m2+30（*）此时 x0=442+3=4，y0kx0+m=3，M（4，3）由=4=+，得 N（4，4k+m）8 分 假设平面内存在定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上 设 P（x1，0），则=0对满足（*）式的 m、k 恒成立=（4 x1，3），=（4x1，4k+m），由=0，10 分 得 16+414x1+12+12+30，整理，得（4x14）+x124x1+30（*）11 分 由于（*）式对满足（*）式的 m，k 恒成立，41 4=012 41+3=0，解得 x11 故存在定点 P（1，0），使得以 MN 为直径的圆恒过点 M12 分