2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二（上）期末数学试卷.docx

1、2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1（5分）若直线l的一个方向向量为（1，3），则它的倾斜角为（）A30B60C120D1502（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A150，15B150，20C200，15D200，203（5分）如图所示，平行六面体

2、ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60，则AC1的长为（）A1B3C22D64（5分）设空间两个单位向量OA=（m，n，0），OB=（0，n，p）与向量OC=（1，1，1）的夹角的余弦值为63，则OA，OB（）A6B4C3D25（5分）已知双曲线x2a2y2b2=1，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足FP=PQ，则双曲线的离心率为（）A5B3C2D26（5分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2，该函数在x1时有极值0，则a+b（）A4B7C11D4或117（5分）已知双曲线x2a2y2b2=1经过点A(6，22)，且与椭圆

3、x225+y29=1有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（）Ax214y22=1Bx213y23=1Cx210y26=1Dx212y24=18（5分）已知函数对于任意x（0，+）时，不等式xeax+lnx+ax1恒成立，则实数a的取值范围是（）A(，1e2)B(，1e)C（，e）D（，1）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。（多选）9（5分）下列结论正确的是（）A若动点P（x，y）到两定点F1（4，0），F2（4，0）的距离之和为10，则

4、动点P的轨迹方程为x225+y29=1B若动点P（x，y）到两定点F1（5，0），F2（5，0）的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为x216y29=1C若P（x，y）到定点F（5，0）的距离和P（x，y）到定直线l：x5的距离相等，则动点P的轨迹方程为y220xD已知A（2，0），B（2，0），若动点P（x，y）满足|PA|=12|AB|，则P（x，y）的轨迹方程是x0（多选）10（5分）在矩形ABCD中AB2AD2，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折到A1DE的位置，A1平面ABCD，M为A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A恒有BM平面A1DEBB与M两点间距离恒为定值C三

5、棱锥A1DEM的体积的最大值为26D存在某个位置，使得平面A1DE平面A1CD（多选）11（5分）已知曲线C：x29+y2m=1，F1，F2分别是曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有（）A若m3，则曲线C的两条渐近线所成的夹角为23B若曲线C的离心率e2，则m27C若m6，则曲线C上不存在点P使得F1PF2=2D若m4，P为曲线C上一个动点，则F1PF2面积的最大值为35（多选）12（5分）设函数f（x）xlnx，g(x)=12x2，给定下列命题，其中正确的是（）A若方程f（x）k有两个不同的实数根，则k(1e，0)B若方程kf（x）x2恰好只有一个实数根，则k0C若x1x20，总有mg（

6、x1）g（x2）f（x1）f（x2）恒成立，则m1D若函数F（x）f（x）2ag（x）有两个极值点，则实数a(0，12)三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13（5分）甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 14（5分）已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，Q点的坐标 15（5分）已知直线l1：2x+3mym+

7、20，l2：mx+6y40，若l1l2，则l1与l2之间的距离为 16（5分）已知m，n为实数，f（x）exmx+n1，若f（x）0对xR恒成立，则nmm的最小值为 四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40，50），50，60），60，

8、70），90，100），得到如下的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中m的值，利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率18已知直线l：（m1）x+2my5m+30，mR和圆C：（x2）2+（y1）24（1）证明：圆C与直线l恒相交；（2）求出直线l被圆C截得的弦长

9、的最小值19已知函数f（x）x392x2+6xa（1）对任意实数x，f（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若函数f（x）恰有一个零点，求a的取值范围20如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2AD2CD2，将ADC沿AC折起，使得ADBC，如图（1）求直线BD与平面ADC所成的角；（2）在线段BD上是否存在点E，使得二面角EACD的平面角的大小为4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由21已知F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点点M为椭圆上一点，当F1MF2取最大值3时，(MF1+MF2)MF1=6（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线x4上一点（且P不

10、在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B，连接AB交x轴于点G设AF2G，BF2G的面积分别为S1，S2，求|S1S2|的最大值22设f（x）aex（x+1），g（x）x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在处有相同的切线（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）求f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（3）若对x2，kf（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确

11、的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1（5分）若直线l的一个方向向量为（1，3），则它的倾斜角为（）A30B60C120D150【解答】解：由题意知，直线l的斜率为k=3，由ktan=3知，倾斜角120故选：C2（5分）已知某地A、B、C三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C村贫困户的户数分别是（）A150，15B150，20C200，15D200，20【解答】解：由图1得样本容量为（350+200+450）15%100015%150，抽取贫困户的户数为20015%

12、30户，则抽取C村贫困户的户数为300.515户故选：A3（5分）如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60，则AC1的长为（）A1B3C22D6【解答】解：AC12=（AB+BC+CC1）2=AB2+BC2+CC12+2ABBC+2ABCC1+2BCCC1 1+1+1+211cos60+211cos60+211cos606|AC1|=6故选：D4（5分）设空间两个单位向量OA=（m，n，0），OB=（0，n，p）与向量OC=（1，1，1）的夹角的余弦值为63，则OA，OB（）A6B4C3D2【解答】解：由题意可得m2+n2=1n2+p2=

13、1cosOA，OC=m+n3=63cosOB，OC=n+p3=63，则m2+n2=1n2+p2=1m+n=2n+p=2，即n=m=p=22，又cosOA，OB=n2，即cosOA，OB=12，且OA，OB0，所以OA，OB=3故选：C5（5分）已知双曲线x2a2y2b2=1，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足FP=PQ，则双曲线的离心率为（）A5B3C2D2【解答】解：设P在渐近线y=bax上，直线FP的方程为y=ab(x+c)，由y=baxy=ab(x+c)，得x=a2cy=abc，即P(a2c，abc)，由FP=PQ，得P为FQ的中点，又因为F（c，0），所以

14、Q(c2a2c，2abc)，因为Q在双曲线上，所以(c22a2)2a2c24a2c2=1，化简得：c25a2，所以e=ca=5故选：A6（5分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2，该函数在x1时有极值0，则a+b（）A4B7C11D4或11【解答】解：由f（x）x3+3ax2+bx+a2，得f（x）3x2+6ax+b，函数f（x）x3+3ax2+bx+a2在x1处取得极值0，f（1）0，f（1）0，36a+b=03ab+a21=0，解得a=1b=3或a=2b=9，当a1，b3时，f（x）3（x+1）20，在x1处不存在极值，舍去；当a2，b9时，f（x）3x2+12x+93（x+1）（x+

15、3），x（3，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，适合x1处取得极值0，则a2，b9，则a+b11，故选：C7（5分）已知双曲线x2a2y2b2=1经过点A(6，22)，且与椭圆x225+y29=1有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（）Ax214y22=1Bx213y23=1Cx210y26=1Dx212y24=1【解答】解：椭圆x225+y29=1焦点为（4，0），双曲线焦点为（4，0），且c4，将A(6，22)代入双曲线x2a2y2b2=1，得36a28b2=1，又c2a2+b216，解得a212，b24，故双曲线的方程为x212y24=1，故选：D8（5分）已知函数对于任意x

16、（0，+）时，不等式xeax+lnx+ax1恒成立，则实数a的取值范围是（）A(，1e2)B(，1e)C（，e）D（，1）【解答】解：由题设xeax+lnx+lneax1，即xeax+lnxeax1，令f（x）x+lnx且x（0，+），上述不等式等价于f（xeax）f（1）1，而f(x)=1+1x0，故f（x）在（0，+）上递增，则有xeax1在（0，+）上恒成立，所以a1xln1x在（0，+）上恒成立，记t=1x（0，+），令g（t）tlnt，则g（t）1+lnt，当0t1e时，g（t）0，则g（t）单调递减，当t1e时，g（t）0，则g（t）单调递增，所以y=1xln1x在（0，e）上递减

17、，在（e，+）上递增，则ymin=y|x=e=1e，故a1e故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。（多选）9（5分）下列结论正确的是（）A若动点P（x，y）到两定点F1（4，0），F2（4，0）的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为x225+y29=1B若动点P（x，y）到两定点F1（5，0），F2（5，0）的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为x216y29=1C若P（x，y）到定点F（5，0）的距离和P（x，y）到定直线l：x5

18、的距离相等，则动点P的轨迹方程为y220xD已知A（2，0），B（2，0），若动点P（x，y）满足|PA|=12|AB|，则P（x，y）的轨迹方程是x0【解答】解：选项A：由椭圆定义可知，2a10，a5，c4，焦点在x轴上，b29，所以动点P的轨迹方程为x225+y29=1，A对；选项B：由双曲线定义可知，|PF1|PF2|2a8，所以a4，c5，b29，所以动点P的轨迹方程为x216y29=1，（x0），B错；选项C：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，p2=5，所以动点P的轨迹方程为y220x，C对；选项D：因为|PA|=12|AB|=2，由圆的定义可知，圆心A（2，0），半径r2，所以动

19、点P的轨迹方程为（x+2）2+y24，D错；故选：AC（多选）10（5分）在矩形ABCD中AB2AD2，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折到A1DE的位置，A1平面ABCD，M为A1C的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A恒有BM平面A1DEBB与M两点间距离恒为定值C三棱锥A1DEM的体积的最大值为26D存在某个位置，使得平面A1DE平面A1CD【解答】解：对选项A：取A1D的中点N，连接MN，EN，可得MNBE且MNBE，所以四边形BMNE是平行四边形，所以BMEN，又BM平面A1DE，EN平面A1DE，所以BM平面A1DE，故选项A结论正确；（也可以延长DE，CB交于H，所以H

20、BBC，所以MBA1H，又BM平面A1DE，A1H平面A1DE，从而BM平面A1DE）对选项B：因为DN=12，DE=2，A1DEADE45，根据余弦定理得EN2=14+2221222=54，得EN=52，因为ENBM，故BM=52，故选项B结论正确；对选项C：因为M为A1C的中点，所以三棱锥CA1DE的体积是三棱锥MA1DE的体积的两倍，故三棱锥CA1DE的体积VCA1DE=VA1DEC=13SCDE，其中h表示A1到底面ABCD的距离，当平面A1DE平面ABCD时，h达到最大值，此时=22，此时VA1DEC=13SCDE=13122122=26，所以三棱锥A1DEM体积的最大值为212，故

21、选项C结论错误；对选项D：假设平面A1DE平面A1CD，平面A1DE平面A1CDA1D，A1EA1D，A1E平面A1DE，故A1E平面A1CD，又A1C平面A1CD，所以A1EA1C，则在A1CE中，EA1C90，A1E=1，EC=2，所以A1C1又因为A1D1，CD2，所以A1D+A1CCD，故A1，C，D三点共线，所以A1CD，得A1平面ABCD，与题干条件A1平面ABCD矛盾，故选项D结论错误；故选：CD（多选）11（5分）已知曲线C：x29+y2m=1，F1，F2分别是曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有（）A若m3，则曲线C的两条渐近线所成的夹角为23B若曲线C的离心率e2，则m

22、27C若m6，则曲线C上不存在点P使得F1PF2=2D若m4，P为曲线C上一个动点，则F1PF2面积的最大值为35【解答】解：对于A选项，当m3时，曲线C：x29y23=1表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为y=33x，故渐近线的倾斜角分别为6，56，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为3，故A选项错误；对于B选项，离心率e2，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，a3，e2，故c6，所以mc2a236927，所以m27，故B选项正确；对于C选项，若m6，则曲线C：x29+y26=1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a29，b26，c23，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0，6)，则cosF1MF2=a

23、2+a24c22a2=618=130，故F1MF2为锐角，所以曲线C上不存在点P，使得F1PF2=2，故C选项正确；对于D选项，若m4，则曲线C：x29+y24=1表示焦点在x轴上的椭圆，此时a29，b24，c25，P为C上一个动点，则PF1F2面积的最大值为Smax=122cb=12252=25，故D选项错误故选：BC（多选）12（5分）设函数f（x）xlnx，g(x)=12x2，给定下列命题，其中正确的是（）A若方程f（x）k有两个不同的实数根，则k(1e，0)B若方程kf（x）x2恰好只有一个实数根，则k0C若x1x20，总有mg（x1）g（x2）f（x1）f（x2）恒成立，则m1D若函

24、数F（x）f（x）2ag（x）有两个极值点，则实数a(0，12)【解答】解：因为f（x）xlnx，所以f（x）的定义域为（0，+），则f（x）lnx+1，令f（x）0，解得x1e，可知f（x）在(0，1e)上单调递减，在(1e，+)上单调递增，所以f(x)min=f(x)极小值=f(1e)=1e，当x0时，f（x）0，又f（1）0，从而要使得方程f（x）k有两个不同的实根，即yf（x）与yk的图象有两个不同的交点，所以k(1e，0)，故选项A正确；因为x1不是方程kf（x）x2的根，当x1时，f（x）0，方程kf（x）x2有且只有一个实数根，等价于yk与y=xlnx只有一个交点，y=lnx1(

25、lnx)2，又x0且x1，令y0，即lnx1，有xe，知y=xlnx在（0，1）和（1，e）单调递减，在（e，+）上单调递增，x1是一条渐近线，极小值为e由y=xlnx大致图象可知k0或ke，故选项B错误；当x1x20时，mg（x1）g（x2）f（x1）f（x2）恒成立等价于mg（x1）f（x1）mg（x2）f（x2）恒成立，即函数ymg（x）f（x）在（0，+）上为增函数，即ymg（x）f（x）mxlnx10恒成立，即mlnx+1x在（0，+）上恒成立，令r(x)=lnx+1x，则r(x)=lnxx2，令r（x）0得lnx0，解得0x1，从而r（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调

26、递减，则r（x）maxr（1）1，所以m1，故选项C正确；函数F（x）f（x）2ag（x）有两个极值点，等价于F（x）lnx+12ax0有两个不同的正根，即方程2a=lnx+1x有两个不同的正根，由选项C可知，02a1，即0a12，故选项D正确故选：ACD三、填空题，本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13（5分）甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 815【解答】解：分两种情况讨论如下：

27、甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为1325=215；甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为2335=25；综上，所求概率为215+25=815故答案为：81514（5分）已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，Q点的坐标(43，43，83)【解答】解：设Q（x，y，z）A（1，2，3），（2，1，2），P（1，1，2），则由点Q在直线OP上可得存在实数使得 OQ=OP=（，2）则Q（，2） QA=（1，2，32），QB=（2，1，22）QAQB=（

28、1）（2）+（2）（1）+（32）（22）2（328+5）根据二次函数的性质可得当=43时，取得最小值23此时Q点的坐标为：（43，43，83 ）故答案为：（43，43，83 ）15（5分）已知直线l1：2x+3mym+20，l2：mx+6y40，若l1l2，则l1与l2之间的距离为 105【解答】解：l1l2，则3m212=06(m+2)+12m0，m2，直线l1，l2的方程分别为x+3y0，x+3y20，l1与l2之间的距离为|20|10=105故答案为：10516（5分）已知m，n为实数，f（x）exmx+n1，若f（x）0对xR恒成立，则nmm的最小值为 1【解答】解：因为f（x）ex

29、mx+n1，所以f（x）exm，若m0，则f（x）0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，且当x时，f（x），不符合题意，所以m0，令f（x）0，解得xlnm，当xlnm时，f（x）0，当xlnm时，f（x）0，所以f（x）在（，lnm）上单调递减，在（lnm，+）上单调递增，所以f（x）minf（lnm）mmlnm+n10，所以nmlnmm+1，则nmmlnm2m+1，则nmmlnm2+1m，令g（x）lnx+1x2，x（0，+），则g（x）=1x1x2=x1x2，所以当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，即g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以g（x）ming（

30、1）1，所以nmm1，即nmm的最小值为1故答案为：1四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40，50），50，60），60，70），90，100），得到如下的频率分布直方图（1）求出频率分布直方图中m的值，利用样本估计总体的思想估计该企

31、业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率【解答】解：（1）10（0.005+0.010+0.015+0.015+0.025+m）1，解得m0.030，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为（450.010+550.015+650.015+750.030+850.025+950.005）107

32、1，因为70，80）的频率为0.030100.3，频率最大，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的众数为70+802=75，因为100.0100.10.5，10（0.010+0.015）0.250.5，10（0.010+0.015+0.015）0.40.5，10（0.010+0.015+0.015+0.030）0.70.5，故该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数落在70，80）内，设估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为x，则（x70）0.0300.50.4，解得x73.33，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为73.33；（2）由频率分布直方图得，质量指标值小于70的口罩为

33、二等品的频率为10（0.010+0.015+0.015）0.4，故一等品的频率为10.40.6，故一等品和二等品频率之比为0.6：0.43：2，故采用分层抽样可得从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩中，一等品个数为1033+2=6个，二等品个数为4个，所以从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为C61C42C103=31018已知直线l：（m1）x+2my5m+30，mR和圆C：（x2）2+（y1）24（1）证明：圆C与直线l恒相交；（2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值【解答】解：（1）l：（m1）x+2my5m+30变形为m（x+2y5）x

34、+30，令x+2y5=0x+3=0，解得x=3y=1，故直线l过定点A（3，1），圆C：（x2）2+（y1）24，则圆心C（2，1），半径r2，因为（32）2+（11）214，故A（3，1）在圆C内，故圆C与直线l恒相交；（2）解：因为直线l过定点A（3，1），且A（3，1）在圆C内，故当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，其中|CA|=(32)2+0=1，圆C：（x2）2+（y1）24的半径为2，故弦长最小值为22212=2319已知函数f（x）x392x2+6xa（1）对任意实数x，f（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若函数f（x）恰有一个零点，求a的取值范围【解答】解：（1

35、）函数f（x）x392x2+6xa可得f（x）3x29x+63（x32）23434，对任意实数x，f（x）m恒成立，故m34，m的最大值为：34（2）f（x）3x29x+63（x2）（x1），f（x）0可得x2或x1，f（x）0可得1x2，f（x）在（，1）和（2，+）是增函数，在（1，2）上是减函数，f（x）的极大值为：f（1）=52a，极小为f（2）2a，函数f（x）恰有一个零点，可得52a0或2a0，所以a的取值范围（，2）或（52，+）20如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2AD2CD2，将ADC沿AC折起，使得ADBC，如图（1）求直线BD与平面ADC所成的角；（2）在线段B

36、D上是否存在点E，使得二面角EACD的平面角的大小为4？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2AD2CD2，由平面几何知识易得B=3，AC2=22+12221cos3=3，AB2BC2+AC2，ACCB，又ADBC，ADACA，BC平面ADC，直线BD与平面ADC所成的角为BDC（或其补角），tanBDC=BCDC=1，BDC=4直线BD与平面ADC所成的角为4（2）在线段BD上存在点E，使得二面角EACD的平面角的大小为4，理由如下：由（1）知ACCB，以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为

37、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：BC平面ADC，又BC平面ABC，平面ADC平面ABC，ADC是顶角为23的等腰三角形，知z轴与ADC底边上的中线平行，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，D(32，0，12)，CA=(3，0，0)，BD=(32，1，12)，令BE=tBD(0t1)，则E(3t2，1t，t2)，CE=(3t2，1t，t2)，设平面ACE的法向量m=(x，y，z)，则CAm=3x=0CEm=2(1t)y+tz=0，令yt，则平面ACE的法向量m=(0，t，2t2)，平面ADC的一个法向量为n=(0，1，0)，要使二面角EACD的平面角的大小为4，则cos4

38、=|mn|m|n|=tt2+4(t1)2=22，解得t=23或t2（舍去）所以在线段BD上存在点E，使得二面角EACD的平面角的大小为4，此时E在线段BD上靠近D的三等分点处21已知F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点点M为椭圆上一点，当F1MF2取最大值3时，(MF1+MF2)MF1=6（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线x4上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B，连接AB交x轴于点G设AF2G，BF2G的面积分别为S1，S2，求|S1S2|的最大值【解答】解：（1）当M为椭圆短轴端点时F1MF2

39、最大，依题意，F1MF2=3，则F1MF2为正三角形，则a2c，又(MF1+MF2)MF1=2MOMF1=2bacos6=3ba=6，ba=23，又a2b2+c2，a2，b=3，c1，椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（4，t）（t0），若y10，则在A处的切线的斜率必定存在，设该切线的方程为yk（xx1）+y1kx+y1kx1，由y=kx+y1kx13x2+4y2=12，消去y并整理得(3+4k2)x2+8k(y1kx1)x+4(y1kx1)212=0，则=64k2(y1kx1)24(3+4k2)4(y1kx1)212=0，即k2+3x12y1k

40、+9x1216y12=0，故k=3x14y1，所以切线方程为y=3x14y1x+y1+3x124y1=3x14y1x+124y1，故直线PA的方程为x1x4+y1y3=1，若y10，则切线方程为xx1，综上，PA的方程为x1x4+y1y3=1，同理可得直线PB的方程为x2x4+y2y3=1，又PA，PB都过点P（4，t），则x1+y1t3=1，x2+y2t3=1，所以AB方程为x+yt3=1，即AB过定点（1，0）故设AB方程为xmy+1，m0，联立x=my+13x2+4y2=12，消去x并整理可得，（3m2+4）y2+6my90，y1+y2=6m3m2+4，y1y2=93m2+4，又B（x2

41、，y2），则直线AB方程为yy1=y2y1x2x1(xx1)，令y0，得xG=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+1)y2+(my2+1)y1y1+y2=2my1y2+y1+y2y1+y2=2my1y2y1+y2+1=2m93m2+46m3m2+4+1=4，G（4，0），|S1S2|=12|F2G|y1|y2|=32|y1+y2|=326|m|3m2+4=9|m|3m2+4=93|m|+4|m|923|m|4|m|=943=334，当且仅当3|m|=4|m|，即m=233时取等号，故|S1S2|最大值为33422设f（x）aex（x+1），g（x）x2+bx+2，已知f（x）和g（x）在处

42、有相同的切线（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）求f（x）在t，t+1（t3）上的最小值；（3）若对x2，kf（x）g（x）恒成立，求实数k的取值范围【解答】解：（1）f（x）aex（x+2），g（x）2x+b，依题意f(0)=g(0)f(0)=g(0)，即a=22a=b，a=2b=4，f（x）2ex（x+1），g（x）x2+4x+2（2）f（x）2ex（x+2），f（x）在（，2）上递减，在（2，+）递增，t3，t+12，当3t2时，f（x）在t，2递减，在2，t+1递增，f(x)min=f(2)=2e2当t2时，f（x）在t，t+1递增，f(x)min=f(t)=2ex(t+1)f(x)min=2e2，3t22ex(t+1)，t2（3）令F（x）kf（x）g（x）2kex（x+1）x24x2，由题意x2时，F（x）0恒成立，F（0）2k20，k1，F（x）2（x+2）（kex1），x2，F（x）在2，+）上只可能有一个极值点ln1k，当ln1k2，即ke2时F（x）在2，+）递增，F(x)min=F(2)=2e2(e2k)0不合题意当ln1k=2，即ke2时，F（x）minF（2）0符合当ln1k2，即1ke2时，F（x）在2，ln1k上递减，在ln1k，+)递增，F(x)min=F(ln1k)=lnk(2lnk)0符合，综上所述k的取值范围是1，e2