【教案】28.4 垂径定理.docx

1、 垂径定理 教学目标：(1) 知识与技能理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；(2) 过程与方法来源:Z|xx|k.Com进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；(3)情感态度与价值观通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱教学重点、难点：重点：垂径定理及应用；从感性到理性的学习能力难点：垂径定理的证明教学学习活动设计：（一）实验活动，提出问题：1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.通过“演示实验观察感性理性”引

2、出垂径定理（二）垂径定理及证明：已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E求证：AE=EB证明：连结OA、OB，则OA=OB又CDAB，直线CD是等腰OAB的对称轴，又是O的对称轴所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE从而得到圆的一条重要性质垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为O的直径，CDABAE=EB.为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

3、（三）应用和训练例1、已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径分析：要求O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OEAB于E，而AEEBAB=4cm此时解RtAOE即可解：连结OA，作OEAB于E则AE=EBAB=8cm，AE=4cm又OE=3cm，O的半径为5cm说明：学生独立完成，老师指导解题步骤；应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2例2、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点求证AC=BD（证明略）说明：此

4、题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成练习1：教材练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流指导学生归纳：构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距.（四）小节与反思(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧（五）作业课时作业设计一、选择题1

5、如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DE B CBAC=BAD DACAD来源:1ZXXK (1) (2) (3)2如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD来源:1二、填空题1如图4，AB为O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_ (4) (5)2P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为

6、_3如图5，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）来源:学_科_网三、综合提高题1如图24-11，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由2如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长3（开放题）AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数来源:学+科+网Z+X+X+K答案:一、1D 2D 3D二、18 28 10 3AB=CD三、1AN=BM 理由：过点O作OECD于点E，则CE=DE，且CNOEDM ON=OM，OA-ON=OB-OM，AN=BM2过O作OFCD于F，如右图所示AE=2，EB=6，OE=2，EF=，OF=1，连结OD，在RtODF中，42=12+DF2，DF=，CD=23（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示: AB=16，AC=8，AD=8， AC=（AB），CAB=60， 同理可得DAB=30， DAC=30 （2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：DAC=60+30=90