全国大联考2020届高三数学4月联考试题 理（PDF）答案.pdf

1、理科数学试卷 第 1 页（共 4 页）20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:0017:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 理科数学试卷注意事项：1考试前，请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。2考试时间 120 分钟，满分 150 分。3本次考试为在线联考，为了自己及他人，请独立完成此试卷，切勿翻阅或查找资料。4考试结束后，本次考试原卷及参考答案将在网上公布。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.不等式成立的充分不必要条件是A.B.C.或D.2.复数 z

2、=1+2i 的共轭复数是，则 z=A.3 B.3 C.5 D.53.已知随机变量),2(2NX，若36.0)31=XP（，则=)3XP（A0.64 B0.32 C0.36 D0.724.设 m,n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，由下列四个命题，其中正确的是A.若 m，mn，则 nB.若 m，n，则 mnC.若，m，则 m D.若 m，m ，则 5.已知，则A.B.C.D.-6.如图是某高校用于计算 500 名学生某学科（满分为 100 分）期末考试及格率 q 的程序框图，图中空白框内应填入A.MNq=B.NMq=C.NMNq+=D.NMMq+=7.右图是某几何体的三视图，该几何体的体积为

3、011 x1x1x1x10 x11x 3sin 322=cos 3+=32321212理科数学试卷 第 2 页（共 4 页）20LK4QG A.112 B.16 C.13 D.128.设不等式组02201xyxyx+表示的平面区域为 m，则A.m 的面积为 92B.m 内的点到 x 轴的距离有最大值C.点 A(x,y)在 m 内时，xx+22 D.若点 p(x0,y0)m，则 x0+y029.已知2133311,log34abc=，则cba,的大小关系为A.cba B.bca C.bac D.abc10.函数 y=f(x)的定义域为 R，且(x)-f(x)-f(x+a)，对任意 a0，(x)在

4、 R 上是增函数，则函数 y=f(x)的图象可以是A B C D11.双曲线的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作一条直线与两条渐近线分别相交于 A，B 两点，若，则该双曲线的离心率为AB C2D312.已知函数 f(x)=alnx+(a-1)x2+1(a0)，在函数 f(x)图象上任取两点 A，B，若直线 AB 的斜率的绝对值都不小于 5，则实数 a 的取值范围是A.（-，0）B.（-，2-364）C.（-，-2-364）D.（2-364，0）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知(3x-1)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，则 a1+a3+a5=

5、14.已知 P 是抛物线xy42=上的动点，）（15,2A，若点 P 到 y 轴的距离为1d，点 P 到点 A 的距离为2d，则21dd+的最小值是_.()0,01:2222=babyaxEAFBF112=OBFF221=23理科数学试卷 第 3 页（共 4 页）20LK4QG 15.已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=0，且 f(x)的导函数 f(x)满足 f(x)+10，则不等式 f(lnx)+lnx1 的解集为_.（结果用区间表示）16.如图,点 P 是正方形 ABCD-A1B1C1D1 外的一点,过点 P 作直线 l,记直线 l 与直线 AC1，BC 的夹角分别为，

6、若，则满足条件的直线 l 有 条。三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（共 60 分）17.（12 分）在ABC中,角,A B C 的对边分别为,a b c,且 sin3 coscAaC=.（1）求角 C 的值;（2）若2 3ABCS=,6ab+=,求 c 的值.18.（12 分）现有甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于 82 分的为合格品,否则为次品.现随机抽取两种产品各 100 件进行检测,其结果如下:测试指标分数70,

7、76)76，82)82,88)88,94)94,100)甲产品81240328乙产品71840296（1）根据以上数据,完成右边的 22 列联表,并判断是否有 95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异？（2）已知生产 1 件甲产品,若为合格品,则可盈利 40 元,若为次品,则亏损 5 元;生产 1 件乙产品,若为合格品,则可盈利 50 元,若为次品,则亏损 10 元.记 X 为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望（将产品的合格率作为抽检一件这种产品为合格品的概率）参考公式：()()()()22()n adbcKabcdacbd=+P(K2k0)0

8、.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.7022.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12 分）如图所示的多面体中，底面 ABCD 为正方形，GAD 为等边三角形，BF平面 ABCD，GDC90，点 E 是线段 GC 上除两端点外的一点（1）若点 P 为线段 GD 的中点，证明：AP平面 GCD；（2）若二面角 BDEC 的余弦值为77，试通过计算说明点 E 的位置121sin(50)21cos(140)=2=甲产品乙产品合计合格品次品理科数学试卷 第 4 页（共 4 页）20LK4QG 20.（12 分）设12,F F 分别是椭圆2

9、22:14xyEb+=的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,12PF PF的最大值为1.（1）求椭圆 E 的方程;（2）设直线:1l xky=与椭圆交于不同的两点,?A B,且AOB为锐角(其中O 为坐标原点),求 k 的取值范围.21.（12 分）已知函数()()28lnRf xxxax a=+（1）当1x=时,()f x取得极值,求a 的值并判断1?x=是极大值点还是极小值点（2）当函数()f x有两个极值点()1212,x xxx,且11x 时,总有()21111ln431axtxxx+成立,求t 的取值范围.（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果

10、多做，则按所做的第一题记分。22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为12312xtyt=(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2sinp=（1）判断直线l 与圆C 的交点个数（2）若圆C 与直线l 交于,A B 两点,求线段 AB 的长度 23.【选修 4-5:不等式选讲】（12 分）已知函数()53f xxx=+.（1）解不等式()1f xx+;（2）记函数f()x 的最大值为m,若0,0,ab44abab meee=,求ab 的最小值.理科数学参考答案 第 1 页（共 7 页）20

11、LK4QG 秘密考试结束前 考试时间：2020 年 4 月 2 日 15:0017:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 理科数学参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.题号 123456789101112答案 ACBCCDDCDACB12.【解析】f(x)=2(a-1)x2+ax0，f(x)在（0,+）单调递减.A(x1,y1),B(x2,y2)，|f(x1)-f(x2)x1-x2|5.设 x1x20，则 f(x1)f(x2)+5x2，设 g(x)=f(x)+5x，则 g(x)在(0,+)上单调递减，则 g(x)=2(a-1)x2+5x+ax0 对

12、x(0,+)恒成立.则 2(a-1)x2+5x+a 对 x(0,+)恒成立，则0，即 8a2-8a-250,解得 a2-364 或 a2+364.又 a0，所以 a2-364.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13528 143 15(0,e)164 三、解答题：共 70 分17.（12 分）解：（1）在ABC中,sin3 coscAaC=,结合正弦定理得sinsin3sincosCAAC=,0A,sin0A,sin3cosCC=,又sin0C,tan3C=,3C=.（2）2 3ABCS=,3C=,理科数学参考答案 第 2 页（共 7 页）20LK4QG 1sin2

13、32 abC=,8ab=,又6ab+=,2222coscababC=+()222cosabababC=+36 16 812=.2 3c=.18.（12 分）解：（1）列联表如下:甲产品乙产品合计合格品8075155次品202545合计100100200()2220080 2575 200.7173.841100 100 155 45K=没有95%的有把握认为两种产品的质量有明显差异（2）依题意,生产一件甲,乙产品为合格品的概率分别为 4 3,5 4,随机变量 X 可能取值 90,45,30,-15()133455420P X=()41130545P X=()111155420P X=X 的分布

14、列为:X904530-15P3532015120()33119045301566520520E X=+=理科数学参考答案 第 3 页（共 7 页）20LK4QG 19.（12 分）解：（1）因为GAD 是等边三角形，点 P 为线段 GD 的中点，故 APGD，因为 ADCD，GDCD，且 ADGDD，故 CD平面 GAD，又 AP平面 GAD，故 CDAP，又 CDGDD，故 AP平面 GCD.（2）取 AD 的中点 O，以 OA 所在直线为 x 轴，过 O 点作平行于 AB 的直线为 y 轴，OG 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD2，则 G(0,0，3)，C(1,2

15、,0)，故GC(1,2，3)，设GE GC(，2，3)(01)，故 E(，2，3 3).又 B(1,2,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，故DE(1，2，3 3)，BD(2，2,0)，设 m(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，则mDE 0，mBD 0，故(1)x2y(3 3)z0，xy0，令 x1，故 y1，z 313 3，故 m1，1，313 3 为平面 BDE 的一个法向量.由()可知，AP32，0，32为平面 DEC 的一个法向量，故|cosm，AP|77，即 32(31)2(1)32(31)23(1)2 77，令311 t，则 32t232t23 17，t214t130，t

16、1 或 13，解得 12或78，经检验知 12，此时点 E 为线段 GC 的中点.20.（12 分）解：（1）由题易知=2,24cb=,24b,所以()214,0Fb,()224,0Fb,理科数学参考答案 第 4 页（共 7 页）20LK4QG 设(),P x y,则()2124,PF PFbxy=()2222222222224,4412444b xbbxyxybxbbxb=+=+=+,因为2,2x,故当2x,即点 P 为椭圆长轴端点时,12PF PF有最大值1,即22114244bb=+,解得21b=,故所求的椭圆方程为2214xy+=。（2）设()11,A x y,()22,B xy,由1

17、113xe,得12224kyyk+=+,12234yyk=+,()()222212 416480kkk=+=+,因为AOB为锐角,所以 cos0AOB,所以12120OA OBx xy y=+,又()()21212121211x xy yky yk yy+=+()2222321144kkkk=+222233244kkkk+=+221404kk=+,所以214k,解得1122k,所以 k 的取值范围是1 1,2 2。21.（12 分）解：（1）()()()2280,10 xxafxxfx+=,则6a=从而()()()()2130 xxfxxx=,所以()0,1x时,()0fx,()f x为增函数

18、;()1,3x时,()0fx,()f x为减函数,所以 x=1 为极大值点.（2）函数()f x的定义域为(0,+),有两个极值点()1212,x xxx,理科数学参考答案 第 5 页（共 7 页）20LK4QG 则()2280t xxxa=+=在(0,+)上有两个不等的正实根,所以08a,由12121242xxax xxx+=可得()1110224xaxx=从而问题转化为在102x,且11x 时()21111ln431axtxxx+成立.即证()()111211124ln431xxxtxxx+成立.即证()11112ln11xxt xx+即证()11112ln101xxt xx+亦即证()2

19、1111112ln01t xxxxx+.令()()()212ln02t xh xxxx=+则()()22202txxth xxx+=(i)当0t 时,()0h x,则()h x 在()0,2 上为增函数且()10h=,式在()1,2 上不成立.(ii)当0t 时,244t=若0,即1t 时,()0hx,所以()h x 在()0,2 上为减函数且()10h=,111xx、()211112lnt xxx+在区间()0,1 及()1,2 上同号,故式成立.若0,即 10t 时,22ytxxt=+的对称轴11xt=,令1min,2at=,则1xa时,()0h x,不合题意.综上可知:1t 满足题意.（

20、二）选考题（10 分）22.（12 分）理科数学参考答案 第 6 页（共 7 页）20LK4QG 解:（1）直线l 的参数方程为12312xtyt=(t 为参数).消去参数t 得直线l 的普通方程为 310 xy+=,圆C 的极坐标方程为2sinp=,即22 sinpp=,由222,sinpxypy=+=,得圆C 的直角坐标方程为2220 xyy+=.圆心()0,1 在直线l 上,直线l 与圆C 的交点个数为2 （2）由（1）知圆心()0,1 在直线l 上,AB 为圆C 的直径,圆C 的直角坐标方程为2220 xyy+=.圆C 的半径1412r=,圆C 的直径为2,2AB=23.（12 分）解:（1）当3x 时,由531xxx+,得7x,所以3x ;当 35x 时,由531xxx +,得13x,所以133x;当5x 时,由531xxx +,得9x ,无解.综上可知,13x,即不等式()1f xx+的解集为1,3.（2）因为53538xxxx+=,所以函数()f x 的最大值8m=.应为448ababeee=,所以448abab+=+.理科数学参考答案 第 7 页（共 7 页）20LK4QG 又0,0ab,所以42 44ababab+=,所以有20abab,又0ab,所以2ab,4ab,即ab 的最小值为 4