分式方程及应用压轴（解析版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司1 分式方程及应用压轴 考点一：解分式方程 考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值 考点三：分式方程的特殊解问题 考点四：分式方程的无解（增根）问题 考点五：分式方程的应用问题 【考点一：解分式方程】【典例 1】（2023 春万源市校级期末）解方程：（1）1 （2）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x225x5x25x，解得：x，经检验 x是分式方程的解；（2）去分母得：3x+32x+21，解得：x4，经检验 x4 是分式方程的解【变式 1-1】（2023青秀区校级模拟）解方程：+【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x5x，

2、去括号得：2x+2+2x5x，解得：x2，经检验 x2 是分式方程的解 学科网（北京）股份有限公司2【变式 1-2】（2023 秋高邮市期末）解方程：（1）（2）1【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x52x5，移项合并得：x0，经检验 x0 是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）24x21，去括号得：x2+2x+14x21，解得：x1，经检验 x1 是增根，分式方程无解【变式 1-3】（2023 秋石河子校级期末）解方程：（1）；（2）【答案】（1）x2；（2）无解【解答】解：（1）去分母得：2x+15x5，解得：x2，经检验 x2 是分式方程的解；（2）去分母得：16+x

3、24x2+4x+4，解得：x2，经检验 x2 是增根，分式方程无解【变式 1-4】（2023 秋铁岭县期末）解方程：（1）（2）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：15x12+x36x+5，移项合并得：10 x20，学科网（北京）股份有限公司3 解得：x2，经检验 x2 是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）24x21，去括号得：x2+2x+14x21，移项合并得：2x2，解得：x1，经检验 x1 是增根，分式方程无解【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】【典例2】（2023秋绥中县期末）已知关于x的方程的解是x1，则a的值为（）A2 B1 C1 D2【答案】C【解答】

4、解：关于 x 的方程的解是 x1，解得 a1，经检验 a1 是方程的解 故选：C【变式 2-1】（2023 秋常德期末）已知关于 x 的分式方程的解为 x4，则 a 的值为（）A4 B3 C0 D6【答案】D【解答】解：将 x4 代入方程，得：，解得 a6，故选：D【变式 2-2】（2023武侯区校级模拟）已知 x1 是分式方程的解，则 a 的值为（）A1 B1 C3 D3【答案】D 学科网（北京）股份有限公司4【解答】解：把 x1 代入分式方程得：，去分母得：8a+123a3，解得：a3，a140，a 的值为3 故选：D【变式 2-3】（2023 秋平舆县期末）若分式方程的解为 x2，则 a

5、 的值是（）A1 B2 C1 D2【答案】C【解答】解：分式方程的解为 x2，即1，解得 a1，经检验 a1 是方程的解，所以原方程的解为 a1，故选：C【变式 2-4】（2023 秋绵阳期末）已知 x2 是关于 x 的分式方程的解，则 a 【答案】【解答】解：把 x2 代入关于 x 的分式方程得：，4a1，检验：当时，2a0，学科网（北京）股份有限公司5 是分式方程的解，故答案为：【考点三：分式方程的特殊解问题】【典例 3】（2023 秋南陵县期末）若关于 x 的分式方程的解是正数，则 m 的取值范围是（）Am4 且 m3 Bm4 Cm3 Dm4 且 m3【答案】A【解答】解：方程两边同时乘

6、以 x1 得，1m（x1）+20，解得 x4m x 为正数，4m0，解得 m4 x1，4m1，即 m3 m 的取值范围是 m4 且 m3 故选：A【变式 3-1】（2023 秋陵城区期末）若关于 x 的分式方程的解为非负数，则 a 的取值范围是（）Aa1 且 a2 Ba1 Ca1 且 a2 Da1 且 a2【答案】C【解答】解：，方程两边同时乘 2（x2）得：2（xa）x2，2x2ax2，2xx2a2，x2a2，关于 x 的分式方程的解为非负数，2a20，学科网（北京）股份有限公司6 2a2，a1，分式的分母 x20，x2，即 2a22，解得：a2，a1 且 a2，故选：C【变式 3-2】（2

7、023 秋重庆期末）若关于 x 的不等式组的解集为 x3，且关于 y 的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数 a 的和为 【答案】5【解答】解：，解不等式，得 x3，解不等式，得 xa2，原不等式组的解集为 x3，a23，a5；解分式方程，得 y，y1 是原分式方程的增根，a4，0，a2；综上，2a5，且 a4，满足条件的整数 a 为 2 或 3，2+35，故答案为：5 学科网（北京）股份有限公司7【考点四：分式方程的无解（增根）问题】【典例 4】（2023 秋滨州期末）若关于 x 的分式方程1 无解，则 a 的值为（）A0 B1 C1 或 5 D5【答案】B【解答】解：+1，方程两边同时

8、乘以 x5 得：2（a+1）x5，去括号得，2a1x5，解得 x6a，原分式方程无解，x5，m1，故选：B【变式 4-1】（2023 秋安顺期末）若关于 x 的分式方程无解，则 k 的取值是（）A3 B3 或5 C1 D1 或5【答案】B【解答】解：，去分母，得 6xx+3k（x1），（5+k）x3+k，关于 x 的分式方程无解，分两种情况：当 5+k0 时，k5，当 x（x1）0 时，x0 或 1，当 x0 时，03+k，k3，当 x1 时，5+k3+k，k 不存在，故不符合题意，综上所述：k 的值为：3 或5 学科网（北京）股份有限公司8 故选：B【变式 4-2】（2023 秋凉州区期末）

9、若分式方程无解，则 k 的值为（）A1 B2 C1 或 2 D1 或 2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x2）+1kx1，2x4+1kx1，2xkx2，（2k）x2，分式方程无解，x20，x2，2k0，k2，当 k1 时，原方程为：，2（x2）+1x1，2x4+1x+10，x2，检验：当 x2 时，x20，k1 时，原方程无解；综上可知：分式方程无解时，k 的值为 1 或 2，故选：C【变式 4-3】（2023 秋江汉区期末）若关于 x 的分式方程1 无解，则 m 的值为 【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x2mx3x+3x2x，解得：（2+m）x3，由分式方程无解，得到 2+

10、m0，即 m2 或 x1，即 m1，综上，m 的值为2 或 1 故答案为：2 或 1 学科网（北京）股份有限公司9【考点五：分式方程的应用问题】【典例 5】（2023 秋信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的 3 倍如果由甲、乙队先合做 15 天，那么余下的工程由甲队单独完成还需 10 天（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为 6500 元，乙队每天的施工费用为 3500 元为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由

11、甲、乙队合做来完成则该工程施工费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是 x 天，根据题意得：（+）15+1 解得：x30 经检验 x30 是原分式方程的解 答：这项工程的规定时间是 30 天 （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1（+）22.5（天），则该工程施工费用是：22.5（6500+3500）225000（元）答：该工程的费用为 225000 元【变式 5-1】（2023 秋藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为 3000 米甲同学先步行 600 米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是

12、乙骑自行车速度的 2 倍甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 2 分钟（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300 米/分钟；（2）600 米【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为 x 米/分钟，则甲步行速度是x 米/分钟，公交车的速度是 2x 米/分钟，学科网（北京）股份有限公司10 根据题意得+2，解得：x300 米/分钟，经检验 x300 是方程的根，答：乙骑自行车的速度为 300 米/分钟；（2）3002600 米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有 600 米【变式 5-2】（2023 秋商丘期末）某文具店老板第一次

13、用 1000 元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了 2.5 元老板用 2500 元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的 2 倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件 15 元（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有 30 元的损耗，第二次购进的文具有 125 元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次购进 x 件文具，第二次就购进 2x 件文具，由题意得2.5，解得：x100，经检验，x100 是原方程的解，且符合题意，则 2x2100200 答：

14、第二次购进 200 件文具；（2）第一次购进 100 件文具，利润为：（1510）10030470（元）；第二次购进 200 件文具，利润为：（1512.5）200125375（元），两笔生意是盈利：利润为 470+375845 元【变式 5-3】（2023 秋恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为 1200 平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 1.5 倍，并且在独立完成面积为 360 平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用 3 天 学科网（北京）股份有限公司11（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）

15、若该单位每天需付给甲队的绿化费用为 700 元，付给乙队的费用为 500 元，要使这次的绿化总费用不超过 14500 元，至少安排甲队工作多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x 平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 1.5x 平方米，依题意，得：3，解得：x40，经检验，x40 是原方程的解，且符合题意，1.5x60 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是 60 平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是 40平方米（2）设安排甲队工作 m 天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+50014500，解得：m10 所以 m 最小值是 10 答：至少

16、应安排甲队工作 10 天 1（2023 秋交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A3（x+1）1x（x1）B3（x+1）（x+1）（x1）x（x1）C3（x+1）（x+1）（x1）x（x+1）D3（x1）1x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）（x+1）（x1）x（x1）故选：B 学科网（北京）股份有限公司12 2（2023 秋阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行 46 千米和逆水航行 34 千米共用的时间，正好等于船在静水中航行 80 千米所用的时间，并且水流的速度是 2 千米/小时，求设轮船在静水中的速度为 x 千米/小时，是下列方程正确的是（）A B C D【答案】B【解

17、答】解：设船在静水中航行的速度为 x 千米/时（1 分）则+故选：B 3（2023 秋广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地 6km 和 10km 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 3：4，结果甲比乙提前 20min 到达目的地，设甲的速度为 3x km/h依题意，下面所列方程正确的是（）A B C D【答案】D【解答】解：设甲的速度为 3x 千米/时，则乙的速度为 4x 千米/时 根据题意，得 故选：D 4（2023 秋秦皇岛期末）已知关于 x 的分式方程的解是非负数，则 m 的取值范围是（）Am2 Bm2 Cm2 且 m3 Dm2 且 m3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m3x1，

18、解得：xm2，由分式方程的解是非负数，得到 m20，且 m21，解得：m2 且 m3，故选：C 学科网（北京）股份有限公司13 5（2023 秋冠县期末）若解分式方程3 产生增根，则 k 的值为（）A2 B1 C0 D任何数【答案】B【解答】解：3，去分母，得 kxk3（x2）去括号，得 kxk3x+6 移项，得x+3xk+6k 合并同类项，得 2x62k x 的系数化为 1，得 x3k 分式方程3 产生增根，3k2 k1 故选：B 6（2023 秋宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于 x 的方程 x（2xm）3 的解为非负数，则 m 的取值范围为（）Am8 Bm8 且 m7 Cm2

19、 且 m7 Dm2【答案】B【解答】解：x（2xm）3，解方程得：x8m；由于方程有解，则 8m1，即 m7；由题意得：8m0，解得：m8；综合起来，m 的取值范围为 m8 且 m7；故选：B 7（2023 秋兰陵县期末）对于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号 mina，b表示 a，b中较小的值，如 min2，42，按照这个规定，方程 min，的解为（）A1 或 2 B2 C1 D无解 学科网（北京）股份有限公司14【答案】D【解答】解：当 x0 时，有，min，即，解得 x1（不合题意舍去）；当 x0 时，有，min，即，解得 x2（不合题意舍去）；综上所述，方程 min，无解，故选：D

20、 8（2023 秋崆峒区期末）分式与互为相反数，则 x 的值为（）A1 B1 C2 D3【答案】C【解答】解：由题意得，去分母 3x+2（1x）0，解得 x2 经检验得 x2 是原方程的解 故选：C 9（2023 秋罗山县期末）定义运算“”：ab，若 5x2，则 x 的值为（）A B C10 D或 10【答案】D【解答】解：当 5x 时，5x2，学科网（北京）股份有限公司15 2，解得 x 经检验，x符合题意，是分式方程的解 当 5x 时，5x2，2 解得 x10 经检验，x10 符合题意，是分式方程的解 故选：D10（2023 秋开州区期末）若关于 x 的不等式组无解，且关于 y 的分式方程

21、 3的解为正数，则所有满足条件的整数 a 的值的和为 【答案】13【解答】解：，由得，x1，由得，xa，不等式组无解，a1，即 a1，3，3（y2）+ay，3y6+ay，解得 y3a，分式方程的解为正数，3a0 且 3a2，解得 a6 且 a2，a 的取值为 1a6 且 a2，所有满足条件的整数 a 的值的和为 1+3+4+513，学科网（北京）股份有限公司16 故答案为：13 11（2023 秋虹口区校级期末）若关于 x 的方程的解为负数，则 a的取值范围是 【答案】a13 或13a10【解答】解：+，去分母，得（x1）（x+1）+（3x）（x3）3x+a，去括号、合并同类项，得 3xa+1

22、0，等号两边同除以 3，得 x（x3，且 x1），x3 或 x1 是原分式方程的增根，a1，且 a13，0，a10，a13 或13a10，故答案为：a13 或13a10 12（2022 秋宁远县期末）若关于 x 的方程+1 无解，则 a 的值是 3 或 1 【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：ax3+x1，整理，得：（a1）x2，当 x1 时，分式方程无解，则 a12，解得：a3；当整式方程无解时，a1，故答案为：3 或 1 13.（2023 秋应城市期末）解下列分式方程（1）；（2）【答案】见试题解答内容 学科网（北京）股份有限公司17【解答】解：（1）原方程变形得：，方程两边同乘

23、以最简公分母（x3）得：12（x3）x，整理的：12x6x，移项得：x7，检验：当 x7 时，x37340，所以，x7，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x1）（x+2）得：x（x+2）（x1）（x+2）3，整理得：x2+2xx2x+23，合并同类项得：x1，检验：当 x1 时，（x1）（x+2）（11）（1+2）0，所以，x1 是原方程的增根，所以，原分式方程无解 14（2023 秋南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的 4 倍，用这条自动分拣流水线分拣 3000 件包裹比一名工人分拣这些包裹要少

24、用 3 小时（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？（2）新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达 15000 件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣 3000 件包裹；（2）至少应购买 5 条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣 x 件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣 4x 件包裹，由题意得：3，解得：x750，经检验，x750 是原方程的解，且符合题意，4x47503000，答：这条自动分拣流水线每小时能分拣 3000 件包裹；（2）应购买 m 条该型号的自动分

25、拣流水线，才能完成分拣任务，学科网（北京）股份有限公司18 由题意得：3000m15000，解得：m5，答：至少应购买 5 条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务 15（2022 秋洪山区校级期末）春节前夕，某超市用 6000 元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用 8800 元购进第二批这种箱装饮料已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多 20 元，且数量是第一批箱数的倍（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的 10 箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于 36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是 x 元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得 解得：x200 经检验，x200 是原方程的解，且符合题意，第一批箱装饮料每箱的进价是 200 元（2）设每箱饮料的标价为 y 元，根据题意，得（30+4010）y+0.810y（1+36%）（6000+8800）解得：y296 答：至少标价 296 元