备战2013高考理科数学6年高考母题精解精析专题3 导数与函数_部分7 PDF版.pdf

1、高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当5k 时 A=B，则110,xqxBA，即20,x使得21qxqx成立，因为 qx在0,上单调递增，所以2x 的值是唯一的；同理，10 x，即存在唯一的非零实数221()x xx，要使21qxqx成立，所以5k 满足题意 24.（2009安徽理 19）（本小题满分 12 分）已知函数2()(2ln),(0)f xxaxax，讨论()f x 的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分 12 分。解：()f x 的定义域是(0,+),22222()1.

2、axaxfxxxx 设2()2g xxax,二次方程()0g x 的判别式28a.当280a ，即02 2a时，对一切0 x 都有()0fx,此时()f x 在(0,)上是增函数。当280a,即2 2a 时，仅对2x 有()0fx,对其余的0 x 都有()0fx,此时()f x 在(0,)上也是增函数。当280a，即2 2a 时，方程()0g x 有两个不同的实根2182aax,2282aax,120 xx.x 1(0,)x 1x 12(,)x x2x2(,)x ()fx+0 _ 0+()f x 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 此 时()f x在28(0,)2aa上 单 调 递 增,

3、在2288(,)22aaaa是 上 单 调 递 减,在高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 28(,)2aa 上单调递增.25.（2009天津理 20）（本小题满分 12 分）已知函数22()(23)(),xf xxaxaa exR其中aR（1）当0a 时，求曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（2）当23a 时，求函数()f x 的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。（I）解：.3)1()2()()(022efexxxfexxfaxx，

4、故，时，当.3)1(,1()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 （II）.42)2()(22xeaaxaxxf解：.2232.220)(aaaaxaxxf知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。（1）a若 32，则a22a.当 x 变化时，)()(xfxf，的变化情况如下表：x a2，a2 22aa，2a，2a +0 0+极大值 极小值.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若 32，则a22a，当 x 变

5、化时，)()(xfxf，的变化情况如下表：x 2a，2a aa22 ，a2，a2 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 +0 0+极大值 极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极小值在函数 【2008 高考试题】1（2008广东卷理 19）设 k R，函数111()11xxf xxx ，()()F xf xkx，xR，试讨论函数()F x 的单调性【解析】1,1,1()()1,1,kxxxF

6、xf xkxxkxx 21,1,(1)()1,1,21kxxF xkxx 对于1()(1)1F xkx xx，当0k 时，函数()F x 在(,1)上是增函数；当0k 时，函数()F x 在1(,1)k上是减函数，在1(1,1)k上是增函数；对于1()(1)21F xk xx，当0k 时，函数()F x 在1,上是减函数；当0k 时，函数()F x 在211,14k上是减函数，在211,4k上是增函数。2（2008江苏卷 18）设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数2()2()f xxxb xR的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C。高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教

7、师踊跃来稿，稿酬丰厚。（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论 解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令 x 0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）；令 220f xxxb，由题意 b0 且 0，解得 b1 且 b0（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF 令 y 0 得20 xDxF这与22xxb0 是同一个方程，故 D2，Fb 令 x 0 得2yEy0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1 所以圆 C 的方程为222(1)0 xyxbyb（）圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点0000(,

8、)(,)xyxyb不依赖于，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为22000002(1)0 xyxyby （*）为使（*）式对所有满足1(0)bb的b 都成立，必须有010y，结合（*）式得 22000020 xyxy，解得000002 11xxyy，或，经检验知，点(0,1),(2,0)均在圆 C 上，因此圆 C 过定点。3（2008江苏 20）若121212()3,()3,x px pf xf xx R p p为常数，且112212(),()()()(),()()f x f xf xf xf x f xf x（I）求1()()f xf x对所有的实数 x 成立的充要条件（用12,p p

9、表示）；(II)设,a b 为两实数，ab且12,(,)p pa b，若()()f af b，求证：()f x 在区间,a b 上的单调增区间的长度和为2ba（闭区间,m n 的长度定义为 nm）。高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 Oyx(a,f(a)(b,f(b)图 1 O y x(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f xf x（对所有实数 x）等价于 12fxfx（对所有实数 x）这又等价于1232 3x px p，即 123log 2332x px p 对所有实数 x 均成

10、立 （*）由于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值为12pp，故（*）等价于1232pp，即123log 2pp，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当1232pplog时，由（1）知1()()f xf x（对所有实数,xa b）则由 f afb及1apb易知12abp，再由111113,()3,pxxpxpf xxp 的单调性可知，函数()f x 在区间,a b 上的单调增区间的长度 为22abbab（参见示意图 1）（ii）1232pplog时，不妨设12,pp，则213log 2pp，于是 当1xp时，有1212()33()pxpxf xfx，从而1(

11、)()f xf x；当2xp时，有312122122log 212()333333()xpppxpppxpxpf xfx 从而 2()()f xfx；当12pxp时，11()3xpf x，及22()2 3pxfx，由方程1232 3xppx 解得12()()f xfx与图象交点的横坐标为 12031 log 222ppx 显然10221321()log 22pxpppp，这表明0 x 在1p 与2p 之间。由易知 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 101022(),()(),pxxf xf xxxpfx 综上可知，在区间,a b 上，0102(),()(),a

12、xxf xf xxxbfx （参见示意图 2）故由函数1()f x 及2()fx 的单调性可知，()f x 在区间,a b 上的单调增区间的长度之和为012()()xpbp，由于()()f af b，即1232 3pabp，得 123log 2ppab 故由、得 0121231()()log 222baxpbpbpp 综合（i）（ii）可知，()f x 在区间,a b 上的单调增区间的长度和为2ab。4(2008山东理 14)设函数2()(0)f xaxc a，若100()()f x dxf x，001x，则0 x 的值为 。试题分析 112310001()()3f x dxaxc dxaxc

13、x3ac。而200()f xaxc，203aaxcc 033x 5(2008广东理 7)设aR，若函数3axyex，xR 有大于零的极值点，则（B）A3a B3a C13a D13a 答案：B。解析：()3axfxae，若函数在 xR上有大于零的极值点，即()30axfxae有正根。当有()30axfxae成立时，（由于0axe）显然有0a，此时13ln()xaa，由0 x 我们马上就能得到参数a 的范围为3a 。7.(安徽理 6)设a b,函数2()()yxaxb的图像可能是 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解析：/()(32)yxaxab，由/0y 得2

14、,3abxa x，当 xa时，y 取极大值 0，当23abx时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。或当 xb时0y，当 xb时，0y 选 C 8.(安徽理 9)已知函数()f x 在 R 上满足2()2(2)88f xfxxx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程是（A）21yx （B）yx （C）32yx （D）23yx 解析：由2()2(2)88f xfxxx得2(2)2()(2)8(2)8fxf xxx，即22()(2)44f xfxxx，2()f xx/()2fxx，切线方程为 12(1)yx，即210 xy 选 A 9.(辽宁理 7)曲线2xyx在点(1,1)处的切线方

15、程为 ()2A yx ()32B yx ()23C yx ()21D yx 答案：D 解析：2222(2)(2)xxyxx，222(1 2)k，切线方程为12(1)yx ，即21yx 。10.(福建理 4)22(1 cos)x dx等于 A B.2 C.2 D.+2 答案：D 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解析：2sin(sin)sin()222222xxxx 原式.故选 D 11.(天津理 4)设函数1()ln(0),3f xxx x则()yf x A 在区间 1(,1),(1,)ee内均有零点。B 在区间 1(,1),(1,)ee内均无零点。C 在区间

16、 1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点。D 在区间 1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点。答案：D 解析：由题得113()33xfxxx，令()0fx 得3x；令()0fx 得30 x；()0fx 得3x，故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(为增函数，在点3x处有极小值03ln1；又 0131)1(,013,31)1(eefeeff，故选择 D。12.（2008江苏 8）直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数 b 答案：ln21 解析：本小题考查导数的几何意义、切线的求法1yx，令 112x 得2x，故切点（2，ln2），代入直线方程

17、，得，所以 bln21 13.（2008江苏 14）331f xaxx 对于1,1x 总有 f x 0 成立，则 a=答案：4 解析：本小题考查函数单调性的综合运用若 x0，则不论a 取何值，f x 0 显然成立；当 x0 即1,1x 时，331f xaxx 0 可化为，2331axx 设 2331g xxx，则 43 1 2xgxx，所以 g x 在区间10,2上单调递增，在区间 1,12上单调递减，因此 max142g xg，从而a 4；高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 14.（2008江苏 13）若 AB=2,AC=2 BC，则ABCS的最大值 答案：2

18、 2 解析：本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BC x，则 AC2x ，根据面积公式得ABCS=21sin1 cos2 AB BCBxB，根据余弦定理得 2222242cos24ABBCACxxBAB BCx244xx，代入上式得 ABCS=2221281241416xxxx 由三角形三边关系有2222xxxx解得2 222 22x，故当2 2x 时取得ABCS最大值2 2 5（2008广东理科 19 卷）（本小题满分 14 分）设 k R，函数1,1,1()1,1,kxxxf xxkxx ，()()F xf xkx，xR。试讨论函数()F x 的单调性 解析1,1,1()()

19、1,1,kxxxF xf xkxxkxx 21,1,(1)()1,1,21kxxF xkxx 对于1()(1)1F xkx xx，当0k 时，函数()F x 在(,1)上是增函数；当0k 时，函数()F x 在1(,1)k上是减函数，在1(1,1)k上是增函数；高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 对于1()(1)21F xk xx，当0k 时，函数()F x 在1,上是减函数；当0k 时，函数()F x 在211,14k上是减函数，在211,4k上是增函数。8(2008山东理 21)（本题满分 12 分）已知函数1()ln(1),1)nf xaxx（其中*,nN

20、a 为常数。（I）当2n 时，求函数()f x 的极值；（II）当1a 时，证明：对任意的正整数 n，当2x 时，有()1.f xx 标准答案:（）解：由已知得函数()f x 的定义域为|1x x，当2n 时，21()ln(1)(1)f xaxx，所以232(1)()(1)axfxx（1）当0a 时，由()0fx得1211xa，2211xa ，此时123()()()(1)a xxxxfxx 当1(1)xx，时，()0fx，()f x 单调递减；当1()xx，时，()0fx，()f x 单调递增（2）当0a时，()0fx恒成立，所以()f x 无极值 综上所述，2n 时，当0a 时，()f x

21、在21xa 处取得极小值，极小值为2211 ln2afaa 当0a时，()f x 无极值 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。（）证法一：因为1a，所以1()ln(1)(1)nf xxx 当n 为偶数时，令 1()1ln(1)(1)ng xxxx，则1112()10(1)11(1)nnnxng xxxxx（2x）所以 当2x，时，()g x 单调递增，又(2)0g，因此 1()1ln(1)(2)0(1)ng xxxgx 恒成立，所以 ()1f xx 成立 当n 为奇数时，要证()1f xx，由于10(1)nx，所以只需证ln(1)1xx，令 ()1 ln(1)h

22、xxx，则 12()1011xh xxx （2x），所以 当2x，时，()1 ln(1)h xxx 单调递增，又(2)10h，所以当2x时，恒有()0h x，即ln(1)1xx 命题成立 综上所述，结论成立 证法二：当1a 时，1()ln(1)(1)nf xxx 当2x时，对任意的正整数n，恒有11(1)nx，故只需证明1 ln(1)1xx 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 令 ()1(1 ln(1)2ln(1)h xxxxx，2x，则 12()111xh xxx，当2x时，()0h x，故()h x 在2 ，上单调递增，因此 当2x时，()(2)0h xh，

23、即1 ln(1)1xx成立 故 当2x时，有1ln(1)1(1)nxxx 即 ()1f xx 9.(2008海南、宁夏理 21)（本小题满分 12 分）设函数1()(,)f xaxa bZxb，曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为3y。（）求()yf x的解析式：（）证明：函数()yf x的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（）证明：曲线()yf x上任一点的切线与直线1x 和直线 yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值。试题解析：（）21()()fxaxb，于是2123,210.(2)abab 解得1,1,ab 或9,48.3ab 因,a bZ，故1()1f xxx （I

24、I）证明：已知函数121,yx yx都是奇函数，高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 所以函数1()g xxx也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。而函数1()111f xxx。可知，函数()g x 的图像按向量 a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数()yf x的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形。（III）证明：在曲线上任一点0001(,)1x xx。由0201()1(1)fxx 知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)xxyxxxx。令1x 得0011xyx，切线与直线1x 交点为001(1,)1xx。令 yx得021y

25、x，切线与直线 yx交点为00(21,21)xx。直线1x 与直线 yx的交点为(1,1)。从而所围三角形的面积为0000011121 21 1|22|22121xxxxx 。所以,所围三角形的面积为定值 2。【2007 高考试题】1（2007江苏卷）设2()lg()1f xax是奇函数，则使()0f x 的 x 的取值范围是（）A(1,0)B(0,1)C(,0)D(,0)(1,)解：依题意，得)0(f0，即)2lg(a0，所以，a 1，xxxf11lg)(，又()0f x，所以，1110 xx，解得：1x0，故选（A）。2(2007广东卷)客车从甲地以 60km/h 的速度行驶 1 小时到达

26、乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度行驶 1 小时到达丙地下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间的关系图象中，正确的是 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 解：由题意可知客车在整个过程中的路程函数 S(t)的表达式为 0t1 S(t)=1t3/2 3/2t5/2 对比各选项的曲线知应选 B。3（2007山东卷）设11132a，则使函数ayx的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（）A1，3 B 1，1 C 1，3 D 1，1，3 解：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项 A。4（2007宁夏、

27、海南卷）设函数(1)()()xxaf xx为奇函数，则a 解：(1)(1)02(1)00,1.ffaa 5(2007 海南、宁夏理 10)曲线12exy 在点2(4e)，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）29 e2 24e 22e 2e 答案：D 分析：11221(),2xxyee曲线在点2(4e)，处的切线斜率为212 e，因此切线方程 为221(4),2yeex则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),ABe所以：221|2.2AOBSee 60806060tt高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 6.（2007 山东理 18）(本小题满分 14 分)设

28、函数 f(x)=x2+b ln(x+1),其中 b0.()当 b 21 时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性；（）求函数 f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数 n,不等式 ln(3211)11(nnn)都成立.答案(I)函数2()ln(1)f xxbx的定义域为1,.222()211bxxbfxxxx，令2()22g xxxb，则()g x 在1,2上递增，在11,2 上递减，min11()()22g xgb.当12b 时，min1()02g xb，2()220g xxxb在1,上恒成立.()0,fx 即当12b 时,函数()f x 在定义域1,上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：

29、（1）由（I）知当12b 时函数()f x 无极值点.（2）当12b 时，212()2()1xfxx，11,2x 时，()0,fx 1,2x 时，()0,fx 高考资源网（），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 12b 时，函数()f x 在1,上无极值点。（3）当12b 时，解()0fx 得两个不同解111 22bx，211 22bx.当0b 时，111 212bx ，211 212bx ，121,1,xx 此时()f x 在1,上有唯一的极小值点211 22bx.当102b时，12,1,x x ()fx 在 121,xx 都大于 0，()fx 在12(,)x x上小于 0，

30、此时()f x 有一个极大值点111 22bx 和一个极小值点211 22bx.综上可知，0b 时，()f x 在1,上有唯一的极小值点211 22bx；102b时，()f x 有一个极大值点111 22bx 和一个极小值点211 22bx；12b 时，函数()f x 在1,上无极值点。（III）当1b 时，2()ln(1).f xxx 令332()()ln(1),h xxf xxxx则 323(1)()1xxh xx在0,上恒正，()h x在0,上单调递增，当0,x 时，恒有()(0)0h xh.即当0,x 时，有32ln(1)0,xxx23ln(1)xxx，对任意正整数n，取1xn得23111ln(1)nnn