大题专练之数列.pdf

1、试卷第 1页，总 4页大题专练之数列1已知公比大于 0 的等比数列 na的前 n 项和为nS，24a，15a 是2S 和3a 的等差中项.（1）求数列 na的通项公式；（2）若nnnba，求数列 nb的前 n 项和nT.2已知数列 na的前 n 项和为nS，且0na，2423nnnSaa；数列 nb为等比数列，且22b，516b（1）求na，nb；（2）求数列nnab的前 n 项和nT 3已知公比大于1的等比数列na满足24320,8aaa（1）求na的通项公式；（2）求112231(1)nnna aa aa a.4已知数列an，bn，cn中，1111121,()nnnnnnnbabccaa

2、cc nb*N（）若数列bn为等比数列，且公比0q，且1236bbb，求 q 与an的通项公式；（）若数列bn为等差数列，且公差0d，证明：1211ncccd*()nN5在131nnnaaa；1na为等差数列，其中236111,1,aaa成等比数列；2123111132nnnaaaa这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君试卷第 2页，总 4页后解答补充完整的题目.已知数列na中，11a _.(1)求数列na的通项公式；(2)设1,nnnnba aT为数列 nb的前 n 项和，求证：13nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.6已知数列

3、 na满足112a，1223241nnnaan，nN.（1）设121nnban，求证：数列 nb是等比数列；（2）设数列1na的前 n 项和为nS，求证：3nS，nN.7已知各项都为正数的数列 na满足2123nnnaaa（1）证明：数列1nnaa 为等比数列；（2）若1213,22aa，求 na的通项公式8在424SS，221nnaa；14nnaan；0na，241nnSa.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列 na是等差数列其前 n 项和为nS，*nN，若_.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列 na的通项公式；（2）对任意的*mN，将 na中

4、落入区间22,2mm 内项的个数记为 mb，求数列 mb的通项公式和数列 mb的前 m 项和mT.9在121nnSS ，214a，11 2nnSa 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答试卷第 3页，总 4页已知数列na的前 n 项和为nS，满足_，_；又知正项等差数列 nb满足13b，且1b，32b，7b 成等比数列（1）求na和 nb的通项公式；（2）设nnnbca，求数列 nc的前项和nT 10设 na是等比数列，公比大于 0，nb是等差数列，*nN.已知11a，322aa，435abb，5462abb.（）求 na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足121cc，11,33

5、,3kknkknca n，其中 kN（i）求数列331nnbc的通项公式；（ii）若 *12nnanNnn的前 n 项和nT，求3*31nniiiTbc nN.11已知 na为等差数列，nb为等比数列，115435431,5,4abaaabbb（）求 na和 nb的通项公式；（）记 na的前 n 项和为nS，求证：2*21nnnS SSnN；（）对任意的正整数n，设21132,.nnnnnnnabna acanb 为奇数为偶数求数列 nc的前 2n 项和12已知数列 na是等差数列，nS 是数列 na的前 n 项和，35a，749S.（1）求数列 na的通项公式；试卷第 4页，总 4页（2）数

6、列 nb满足11(1)nnnnnbS Sa，求数列 nb的前 2n 项和2nT.13已知数列 na的前 n 项和为nS，且 233nnSa(*nN).（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足3lognnba，且数列 nb的前 n 项和为nT，求数列1nT的 n 项和；（3）设21nnnbca，求数列 nc的前 n 项和nP.14已知数列 na的前 n 项和为(1)2nn nS，各项均为正数的等比数列 nb的前 n 项和为nT，_，且34b.在23T；37T；4322bbb这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）设数列nnab

7、的前 n 项和为nA，求证：2nA.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.答案第 1页，总 22页参考答案1（1）2nna；（2）222nnnT.【分析】（1）设数列 na的公比为(0)q q，依题意得到方程，求出q，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可得nnnba的通项公式，再利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）设数列 na的公比为(0)q q.由题意知 12325aSa，即442544qqq，化简得22320qq，因为0q，所以2q=.所以222422nnnnaa q.（2）由（1）可知2nnnnnba.所以1231232222nnnT，231112122222nnnn

8、nT，由，可得12311111111111222112222222212nnnnnnnnnT ，。答案第 2页，总 22页所以222nnnT.2（1）21nan 12nnb；（2）125102nnnT.【分析】（1）由递推式可得1120nnnnaaaa，结合已知条件即可求na，利用等比数列的通项公式求1b，q，写出通项公式即可.（2）由（1）结合错位相减法求nnab的前 n 项和nT【详解】（1）2n 时，由2423nnnSaa得2111423nnnSaa，所以2211422nnnnnaaaaa，整理得1120nnnnaaaa，又0na，所以122nnaan，又2111423Saa，即有211

9、230aa，得13a 或11a （舍去），所以 na是以13a 为首项，公差为 2 的等差数列，则有21nan 设等比数列 nb公比为q，则12b q，4116bq，解得11b，2q=，则有12nnb（2）由（1）知1212nnnnab，则021357212222nnnT12313572122222nnnT12111122111121213232122222212nnnnnnnT 答案第 3页，总 22页1111212564 110222nnnnnnT3（1）2nna；（2）2382(1)55nn【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式

10、；(2)首先求得数列 111nnna a的通项公式，然后结合等比数列前 n 项和公式求解其前 n项和即可.【详解】(1)设等比数列 na的公比为 q(q1)，则32411231208aaa qa qaa q，整理可得：22520qq，11,2,2qqa，数列的通项公式为：12 22nnna.(2)由于：1121111122112nnnnnnnna a ，故：112231(1)nnna aa aa a 35791212222(1)2nn 3223221282(1)5512nnn .。答案第 4页，总 22页4（I）1142,.23nnqa；（II）证明见解析.【分析】（I）根据1236bbb，求

11、得q，进而求得数列 nc的通项公式，利用累加法求得数列 na的通项公式.（II）利用累乘法求得数列 nc的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】（I）依题意21231,bbq bq，而1236bbb，即216qq，由于0q，所以解得12q，所以112nnb.所以2112nnb，故11112412nnnnnccc，所以数列 nc是首项为1，公比为 4 的等比数列，所以14nnc.所以114nnnnaac（*2,nnN）.所以121421443nnnaa，又1n，11a 符合，故1423 nna.（II）依题意设111nbnddnd ，由于12nnnncbcb，所以111nnnncbcb*

12、2,nnN，答案第 5页，总 22页故13211221nnnnncccccccccc1232111143nnnnnnbbbbbcbbbbb1 211111111112nnnnnnbbdnb bdbbdbb.又 1 1c ，而121 2111111=111dddddbbdbbdd，故111111nnncndbb 所以121223111111111nnncccdbbbbbb LL11111ndb.由于10,1db，所以10nb ，所以1111111ndbd.即1211ncccd，*nN.5（1）132nan；（2）证明见解析.【分析】（1）若选条件，0na，由数列的推式可得1113nnaa，从而得

13、数列 1na是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可求得na的通项公式；若选择，设数列 1na的公差为 d，由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得方程2(22)(1)(1 5)ddd，解之可得na的通项公式；。答案第 6页，总 22页若选择，由2123111132nnnaaaa得，当2n 时，2123111113(1)(1),2nnnaaaa，两式相减可求得 1na，从而求得na的通项公式；（2）由（1）得11111323+13 323+1nnnba annnn，运用裂项求和法可得证.【详解】（1）若选条件，0na，1111,331nnnnnaaaaa，又111a=，所

14、以数列 1na是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，所以111+3132,32nnnnaan；若选择，设数列 1na的公差为 d，则2361111+,12+2,1+5dddaaa，因为236111,1,aaa成等比数列，2(22)(1)(1 5)ddd，解得3d 或1d ；当1d 时，2110da ，此时236111,1,aaa不能构成等比数列，所以3d，所以111+3132,32nnnnaan，若选择，由2123111132nnnaaaa得，当2n 时，2123111113(1)(1),2nnnaaaa，答案第 7页，总 22页两式相减得，22133(1)(1)32,22nnnnnna所以

15、1(2),32nann，当1n 时，11a 也适合上式，所以132nan，（2）由（1）得11111323+13 323+1nnnba annnn，所以11111111111(1)()()(1)344732313313933nTnnnn，故1.3nT 6（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）直接利用定义证明12nnbb 即得证；（2）分析得到2113 21nna，再利用等比数列求和得证.【详解】解：（1）121nnban，1223241nnnaan，则1122123142222222141214121nnnnnnnnbaaaabnnnnn，又11312ba，所以数列 nb是等比数列

16、；（2）由（1）得，123 23 22nnnb，Nn，213 221nnan，Nn，。答案第 8页，总 22页21 1n ，23 210nna ，2113 21nna，当2n 时，21231111111111222+2331222221111225113 2112nnnnnS，又11123Sa，综上，3nS，nN.7（1）证明见解析；（2）132nna（nN）【分析】（1）两边同时加上1na 即可得到数列1nnaa 为等比数列；（2）利用待定系数法构造21133nnnnaak aa，通过整理解出1k ，进而得到21133nnnnaaaa，所以 na是以112a 为首项，3 为公比的等比数列，即

17、可得到答案.【详解】（1）由2123nnnaaa可得：2111333nnnnnnaaaaaa因为各项都为正数，所以120aa，所以1nnaa 是公比为 3 的等比数列.答案第 9页，总 22页（2）构造21133nnnnaak aa，整理得：2133nnnakaka所以1k ，即21133nnnnaaaa 所以11303nnnnaaaa，所以 na是以112a 为首项，3 为公比的等比数列.所以132nna（nN）8条件选择见解析；（1）21nan；（2）21122mmmb，21112233mmmT.【分析】（1）中的条件直接化为基本量1,a d，构造方程组的方法即可求解；利用14nnaan，

18、可得1244nnaan，两式相减即可得 d；利用公式法11,1,2nnna naSSn 求解；（2）利用条件得 n 的范围，即可求得 mb的通项公式，然后利用分组求和法求解数列的前n 项和.【详解】（1）若选择条件，设 na的公差为 d，424SS，11464 2adad，221nnaa，11(21)2(1)1andand，11a，2d，21nan.若选择条件，。答案第 10页，总 22页14nnaan，1244nnaan，两式相减得24nnaa，又 na是等差数列，211nnnnaaaad，221124nnnnnnaaaaaad，2d.14nnaan，124aa，124ad，11a，21na

19、n.若选择条件，1n 时，11a，当2n 时，21141nnSa，又241nnSa，两式相减得1120nnnnaaaa，又0na，10nnaa ，12nnaa，通项公式为21nan.（2）22212mmn，2212122mmn，121112222mmn，又*nN，121212mmn，21122mmmb.21122mmmb，答案第 11页，总 22页 135721012312222222222mmmT0212 1 421 211221 41 233mmmm.9条件性选择见解析，（1）12nna，41nbn；（2）110245nnTn【分析】（1）选择，可以判断na为112a，公比为 12的等比数

20、列，即可求出通项公式；选择，由11 2nnSa 可判断na为112a，公比为 12的等比数列，即可求出通项公式；选择根据条件可得11nnSan，根据条件不能求出1a 的值，故不能选；根据 nb的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【详解】（1）选择：由121nnSS 当2n 时，有121nnSS ，两式相减得：12nnaa，即112nnaa，2n 又当1n 时，有2112212SSaa，又214a，112a，2112aa 也适合，所以数列 na是首项、公比均为 12的等比数列，所以12nna；选择：。答案第 12页，总 22页由11 2nnSa 当2n 时，11

21、 2nnSa ，两式相减得：122nnnaaa，即112nnaa，2n 又当1n 时，有1211 2Saa，又214a，112a，2112aa 也适合，所以数列 na是首项、公比均为 12的等比数列，所以12nna；选择：由121nnSS ，11 2nnSa ，则112122nnnSSa 即111nnSa，所以11nnSan，两式相减可得：1121nnaan，当1n 时，由121nnSS ，得2121SS，即 121221aaSa，即1221aa由11 2nnSa ，得121 2Sa，即121 2aa，与上式相同，不能求出1a 的值.故不能选择所以数列 na是首项、公比均为 12的等比数列，所

22、以12nna；设正项等差数列 nb的公差为 d，13b，且1b，32b，7b 成等比数列，231 72bb b，即23223 36dd，解得：4d 或12d （舍），34141nbnn，故12nna，41nbn 答案第 13页，总 22页（2）412nncn 所以1233 27 211 2412 nnTn ，则23123 27 2452412nnnTnn ，两式相减得 22164 222412nnnTn 114 1 2644121 2nnn 110254nn 110245nnTn10（）12nna-=，nbn；（）（i）13 63nn；（ii）133186492 332102nnnnnniii

23、Tbcn.【分析】（）设等比数列 na的公比为q，等差数列 nb的公差为 d，进而根据已知条件计算得2q=，1d，故12nna-=，nbn；（）根据题意得111,332,3kknkkncn，33311nnnnbcba13 63nn，进而得11222121221nnnnnannnnnnn，再根据裂项求和得3321322nnTn，3333111111nnnniiiiiiiiiiiibcb cbb cb333111iinniiibcb311131 631 31 333 631 61 32nnnnnniiiii。答案第 14页，总 22页126932 3102nnn ，故133186492 33210

24、2nnnnnniiiTbcn.【详解】（）设等比数列 na的公比为 q.由11a，322aa，可得220qq.因为0q，可得2q=，故12nna-=设等差数列 nb的公差为 d，由43sabb，可得134bd.由5462abb，可得131316bd，从而11b，1d，故nbn.所以数列 na的通项公式为12nna-=，数列 nb的通项公式为nbn.（）（i）111,332,3kknkkncn，33311nnnnbcba113213 63nnnn（ii）11222121221nnnnnannnnnnn.3313214284223243543231nnnTnn答案第 15页，总 22页332132

25、2nnTn3333111111nnnniiiiiiiiiiiibcb cbb cb333111iinniiibcb311131 631 31 333 631 61 32nnnnnniiiii123613311 336932 3522102nnnnnnn（注：写成333331111nnniinniiiiiiibcbbb c121 3331 331 66932 321 31 6102nnnnnnn 亦可.）133186492 332102nnnnnniiiTbcn.11（）nan，12nnb；（）证明见解析；（）4654219 49nnnn.【分析】()由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差

26、、等比数列的通项公式得到结果；()利用()的结论首先求得数列 na前 n 项和，然后利用作差法证明即可；()分类讨论 n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nkkc和21nkkc的值，据此进一步计算数列 nc的前 2n 项和即可.。答案第 16页，总 22页【详解】()设等差数列 na的公差为 d，等比数列 nb的公比为 q.由11a，5435aaa，可得 d=1.从而 na的通项公式为nan.由15431,4bbbb，又 q0，可得2440qq，解得 q=2，从而 nb的通项公式为12nnb.()证明：由()可得(1)2nn nS，故21(1)(

27、2)(3)4nnS Sn nnn，22211124nSnn，从而2211(1)(2)02nnnS SSnn，所以221nnnS SS.()当 n 为奇数时，111232(32)222(2)2nnnnnnnnabnca an nnn，当 n 为偶数时，1112nnnnancb，对任意的正整数 n，有222221112221212121kknnnkkkckkn，和223111211352321444444nnkknnkkknnc答案第 17页，总 22页由得22314111352321444444nknnknnc由得22111211312221121441444444414nnknnnknnc，由

28、于11211121221121156544144334444123 414nnnnnnnn，从而得：2156599 4nknknc.因此，22121114654219 49nnnnkkknkkkncccn.所以，数列 nc的前 2n 项和为4654219 49nnnn.12（1）21nan；（2）2221nnTn.【分析】（1）根据等差数列的性质21(21)nnSna 知747Sa，即可求得47a，结合条件35a 可求得公差2d，11a，进而可求得na；（2）根据条件11(1)nnnnnbS Sa 及2nSn求得11(1)1nnbnn，根据裂项相消法求和.【详解】解析：（1）因为74749Sa

29、，所以47a，。答案第 18页，总 22页而35a，设数列 na的公差为 d，则43243aad，1321aad，12(1)21naann；（2）2112nnSn aan，11(1)(1)(21)11(1)(1)1 nnnnnnnanbS Sn nnn，21111111122334221nTnn 1212121nnn .13（1）3nna；（2）21nn；（3）1113nnPn【分析】（1）先由题设求得数列na的首项1a，然后推导出数列na的相邻项之间的关系式，即可求得其通项公式；（2）依题意求出 nb的通项公式，即可求出 nb的前 n 项和为nT，再利用裂项相消法求出数列1nT的 n 项和；

30、（3）依题意可得1213nncn，再利用错位相减法求和即可；【详解】解：（1）数列na的前 n 项和为nS，且 233nnSa(*nN)，即*33()22nnSanN，答案第 19页，总 22页当1n 时，113322aa，解得：13a，当2n 时，113333()2222nnnnnaSSaa，整理得：13nnaa，数列na是首项、公比均为 3 的等比数列，3nna；（2）由（1）可得3log 3nnbn，所以数列 nb的前 n 项和12nn nT，则1211211nTn nnn设数列1nT的 n 项和为nH，所以1111111122221223341nHnn111111111222 1122

31、334111nnnnn（3）由（1）（2）可知212112133nnnnnbncna所以1231111135213333nnPn ；2341111113521331333nnPn 减得12341111111122232221333333nnnnP。答案第 20页，总 22页所以2111211133111322113313nnnnP 12211233313nnnPn222123333nnnP 所以1113nnPn 14条件选择见解析；（1）1nan，12nnb；（2）证明见解析.【分析】（1）根据(1)2nn nS，利用数列通项和前 n 项和关系11,1,2nnnS naSSn 求得na，选23

32、T，由112134bb qb q求解；若选，则2333TTb，由112134bb qb q求解；若选，由844qq求解.（2）根据1111(1)22nnnnannb，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n 时，110aS，当2n 时，11nnnaSSn，1n 时也成立，1nan，答案第 21页，总 22页若选23T，设 nb的公比为 q，0q，112134bb qb q，112bq，则12nnb.若选，则2333TTb，112134bb qb q,112bq，则12nnb.若选，则844qq，则2q=，12nnb,1nan，12nnb.（2）1111(1)22nnnnannb.022111111012(2)(1)22222nnnAnn ，211111101(2)(1)22222nnnAnn，得2111111(1)22222nnnAn，。答案第 22页，总 22页1111221(1)1212nnn，1111(1)22nnn，所以21112(1)22nnnAn，112(1)22nn，