小学数学讲义暑假六年级超常第2讲韩信点兵.pdf

1、1第 11 级上 超常体系教师版第二讲漫画释义五年级春季同余五年级春季位值原理六年级暑期韩信点兵六年级暑期数论中的最值六年级暑期数论中的计数理解“物不知数”的问题，并总结利用逐步满足法解决问题的相关技巧知识站牌第二讲 韩信点兵2第 11 级上超常体系教师版物不知数，意思为有一些物品，不知道有多少个这是依据孙子算经上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的原来的题目是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？”通俗的说就是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个这些物品

2、的数量至少是多少个？在我们的“数海拾贝”版块中给出了利用中国剩余定理解此题的方法，同样韩信也给了这题的另一个答案，就在我们的“数学游戏”版块中，但至于怎么算的，无法考究，不过学完本讲，你会发现解此题的最好最快的方法，你也会理解韩信说出另一个答案的真正道理那就进入我们今天要学的课程吧1.理解“物不知数”这类题目的实质2.灵活运用逐步满足法解决“物不知数”这类题目的相关技巧在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3 余2，除以5 余3，除以 7 余2，求这个数这样的问题，有人称为“韩信点兵”它形

3、成了一类问题，解这类问题的方法是由中国人首先提出的，所以被称为“中国剩余定理”我们在解决类似“物不知其数”题，也就是找出一个数 N，满足除以 A 余a,除以 B 余b,除以C 余c 在解决这一类问题的时候，我们有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余例如 AaBbd,则有,NdA B n，而 N 的最小值是,NA Bd;绝招二：加同补例如：AaBbe;则有,NeA B n，而 N 的最小值是,NA Be;绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法经典精讲教学目标课堂引入3第 11 级上 超常体系教师版第二讲模块一：除数为两个的韩信点兵问题例 1：余数相同例 2：除数与余数和或差相

4、同模块二：除数为三个的韩信点兵问题例 3：其中有两个条件中除数与余数的差相同例 4：其中有两个条件中除数与余数的和相同例 5：没有两个条件的除数与余数的和或差相同例 6：连续自然数分别是 3 个数的倍数问题模块三：除数为三个以上的韩信点兵问题例 7：除数与余数的差相同例 8.除数与余数的差或和无关系一个自然数除以 4 余 3，除以 7 余 3，问满足条件的两位数分别是多少？(学案对应：超常 1)【分析】4,7331，4,72359，4,7 3387，一个小于 200 的数，它除以 11 余 8，除以 13 余 10，这个数是多少？【分析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118131

5、03，可知这个数加上 3后就能同时被 11 和 13 整除，而11,13143，这个数又要在 200 以内，所以这个数是1433140【巩固】（2005 年第 10 届华杯赛初赛）不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人，其他人按 8 人一组围在外圈；另一种是中间一组 8 人，其他人按 5 人一组围在外圈问最多有多少名同学?【分析】此题实际是一个不足 100 的整数，减去 5 能被 8 整除，即除以 8 余 5，减去 8 能被 5 整除，即除以 5 余 3，求其最大值13 除以 8 余 5，除以 5 余 3，8 和 5 的最小公倍数为 40，1324093，为满足条件的

6、整数，即最多有 93 名同学一个大于 10的自然数，除以 5 余3，除以 7 余 1，除以 9 余 4，那么满足条件的自然数最小为（学案对应：超常 2，带号 1）【分析】我们观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是 53718，这样我们可以把余数都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以 7 余 8，所以满足前两个条件的自然数为835am，下一步只需要 a除以 9 余 4，35938 ，只需88m除以 9 余 4，只需8m 除以 9 余5，最小的4m，因此满足所有条件的最小自然数为8354148例 3例 2例 1例题思路4第 11 级上超常

7、体系教师版有一堆水果糖，如果按 8 块一份来分，最后剩下 2 块；如果按 9 块一份来分，最后剩下 3 块；如果按 10 块一份来分，最后剩下 4 块这堆糖至少有块（学案对应：带号 2）【分析】这堆水果糖的总数被 8 除余 2，被 9 除余 3，被 10 除余 4如果增加 6 块就刚好是 8，9，10 的公倍数，又 8，9，10 的最小公倍数是 360所以这堆水果糖至少有 360 6=354（块）一个自然数在1000 和1200 之间，且被3 除余1，被5 除余 2，被7 除余 3，求符合条件的数（学案对应：超常 3）【分析】方法一：我们先找出被 3除余1的数：1，4，7，10，13，16，1

8、9，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，；被 5 除余 2 的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，；被 7 除余 3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，；三个条件都符合的最小的数是 52，其后的是依次加上3、5、7 的最小公倍数，直到加到1000和1200 之间结果是105 10521102例 5物不知数在中国古代著名数学著作孙子算经卷下第 28 题，叫做“物不知数”，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数宋朝数学家秦九

9、韶于 1247 年数书九章卷一、二 大衍类做出了完整的解答明朝数学家程大位有孙子歌如下三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五使得知秦九韶解法，首先利用他发明的大衍求一术求出 5 和 7 的最小公倍数 35 的倍数中除以 3 余数为 1 的最小一个 70（这个称为 35 相对于 3 的数论倒数），3 和 7 的最小公倍数 21 相对于 5 的数论倒数 21，3 和 5 的最小公倍数 15 相对于 7 的数论倒数 15然后 70221 3152233便是可能的解之一它加减 3、5、7 的最小公倍数 105 的若干倍仍然是解，因此最小的解为 233 除以 105的余数 23例 45

10、第 11 级上 超常体系教师版第二讲方法二：设这个自然数为 a，被3除余1，被5 除余 2，可以理解为被 3除余 321，被5 除与52，所以满足前面两个条件的157am(m 为自然数)，只需157m 除以7 余3，即15m 除以 7 余3，而15721，只需 m 除以 7 余3，m 最小为 3，所以满足三个条件的最小自然数为 3 15752，那么这个数在1000 和1200 之间，应该是105 10521102（2008 年“奥数网杯”六年级试题）三个连续的自然数，从小到大依次是 4、7、9 的倍数，这三个自然数的和最小是（学案对应：超常 4，带号 3）【分析】如果以这三个连续的自然数中的某

11、一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减 1 和这个数加 1，那么题目变为：一个数除以 4 余 1，除以 9 余 8，且能被 7 整除，且求这个数的最小可能值这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，也可以采用中国剩余定理来解方法一：逐步满足法除以 4 余 1 的数有：1，5，9，13，17，21，；除以 9 余 8 的数有：8，17，26，可见同时满足这两条的数最小为 17，（备注：满足前两个条件的也可以用逐步满足法如下：满足除以4 余1 的数是41n 再满足除以 9 余 8：只需(41)98na 经尝试4n 可见同时满足这两条的数最小为 17）由于 4,936，

12、那么满足除以 4 余 1 且除以 9 余 8 的数为1736n，要求1736n能被 7 整除的最小4n，所以所求的 3 个连续自然数的中间的那个数最小为 161，那么它们的和最小为161 3483方法二：代数表示法根据题意，设这三个数分别为 71k 、7k、71k （k 是整数），那么 71k 是 4的倍数，71k 是 9 的倍数，由于7181kkk，71921kkk，所以1k 是 4 的倍数，21k 是 9 的倍数，由1k 是 4 的倍数知 22k 是 8 的倍数，设 219kn，那么 229383knnn，所以3n 是 8 的倍数，n 最小为 5，相应地 k 最小为 23，那么这三个自然数

13、的和最小为 7233483方法三：用不定方程来解设这三个数分别为 4a，7b，9c，那么 741971bacb 由得713144bbab，所以 314b 是整数，b 为 3，7，11，15，19，23，；由得712199bbcb，所以 219b 是整数，b 为 5，14，23，32，可见 b 最小为 23，那么所求的三个自然数的和最小为 7233483方法四：中国剩余定理一个数除以 4 余 1，除以 9 余 8，除以 7 余 0，由于能被 4、9 整除且除以 7 余 1的数最小为 36，能被 4、7 整除且除以 9 余 1 的数最小为 28，能被 7、9 整除且除以4余1的 数 最 小 为 7

14、,9 3189，根 据 中 国 剩 余 定 理，36028 8189 1413 满足除以 4余1，除以9 余8，除以7 余0，而4,7,9252，所以 413252161是满足条件的最小数，那么所求的三个自然数的和最小为161 3483例 66第 11 级上超常体系教师版（2008 年走美杯 5 年级决赛）n 除以 2 余1，除以3 余2，除以4 余3，除以5 余4，除以16 余15 n最小为【分析】n 加上1后变成116的公倍数，所以1n 最小为16957 11 13720720，n 最小为720719一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5，求符合条件的最小的数（学案对应

15、：带号 4）【分析】法一：将 3、5、7、11 这 4 个数 3 个 3 个一起分别计算公倍数，如表：5、7、11 公倍数3、7、11 公倍数3、5、11 公倍数3、5、7 公倍数3852311651057704623302101155693495315除 3 余 2 的最小数是 770除 5 余 3 的最小值是 693除 7 余 4 的最小值是 1653、5、7 的公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找，但注意到 210 除以 11 余 1，所以 21051050被 11 除余 5，由此可知 77069316510502678是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去 3、5、7、11

16、的公倍数使得它小于它们的最小公倍数由于 3、5、7、11 的最小公倍数是 1155，所以 267811552368是符合条件的最小值法二：对于这种题目，也可以先求满足其中 3 个余数条件的，比如先求满足除以 3、5、7 的余数分别是 2、3、4 的，既可采用中国剩余定理，得到 70221 3154263是满足前 3 个余数条件的，从而其中最小的是263105253；由于 53 除以 11 的余数为 9，105 除以11 的余数为 6，可知96327除以 11 的余数为 5，所以531053368是满足条件的最小数也可以直接观察发现这个数乘以 2 之后除以 3、5、7 的余数分别是 4、6、8，

17、也就是除以 3、5、7 的余数都是 1，所以满足前三个条件的数最小为(3 571)253，后面的步骤与上面的解法相同秦朝末年，楚汉相争一次，韩信率领 1500 名将士与楚王大将李锋交战苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来只见远方尘土飞扬，杀声震天汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一排，结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足五

18、百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”于是士气大振一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团交战不久，楚军大败而逃同学们你们知道韩信怎么算出 1073 的吗例 8例 77第 11 级上 超常体系教师版第二讲1.一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现 321527，所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7，3,5,11165，所以这个数最小是1657172法二：事实上，如果没有“大于 10”这个条件，7 即可符

19、合条件，在7 的基础上加上 3，5，11 的最小公倍数，得到 172 即为所求的数2.三个连续偶数，从小到大依次是1494、的倍数，这三个连续偶数的和最小为多少？【分析】设最小的偶数为,x则有：40(2)90(4)140 xaxbxc，即4091714110 xaxbxc ，满足前两个条件的所有数是1636n，只需1(1636)1410nc，即2(28)1410nc，因此1n，所以最小的偶数是52，那么三个连续偶数的和最小为 1623.有连续的三个自然数 a、1a 、2a，它们恰好分别是 9、8、7 的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？【分析】法一：由1a 是8 的倍数，得到 a 被8

20、 除余7，由2a 是 7 的倍数，得到 a 被7 除余 5，现在相当于一个数 a 除以 9 余 0，除以 8 余 7，除以 7 余 5.运用中国剩余定理求a(用逐步满足的方法也可以)：7 和8的公倍数7 和 9的公倍数8 和 9的公倍数5663721121261441681892162242522882803153784417 和 8 的公倍数中除以 9 余 1 的最小为 280；7 和 9 的公倍数中除以 8 余 1 的最小是 441；8和 9 的公倍数中除以 7 余 1 的最小是 288，根据中国剩余定理，2800441 728854527符合各个余数条件，但 4527 不是最小的，还需要

21、减去 7、8、9 的公倍数，可知45277 8 98495 是满足各个余数条件的最小值，所以 a 至少是495法二：仔细观察，可知由于 a、1a 、2a 恰好分别是9、8、7 的倍数，那么9a、18a 、27a 也分别是 9、8、7 的倍数，即9a 是9、8、7 的公倍数，那么9a 的最小值是987504，即 a 至少是5049495附加题8第 11 级上超常体系教师版4.有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的能被 19 整除，请写出一组这样的三个连续自然数【分析】设三个连续自然数中最小的一个为 n，则其余两个自然数分别为1n ，2n 依题意可知：15|n

22、，17|1n，19|2n，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|15|215|21517|117|2217|21515,17,19|21519|219|2419|215nnnnnnnnnn从上面可以发现 215n 应为 15、17、19 的公倍数由 于 15,17,194845，所 以2154845 21nk(因 为 215n 是 奇 数)，可 得48452415nk当1k 时2430n，12431n，22432n，所以其中的一组自然数为 2430、2431、24325.有 5000 多根牙签，可按六种规格分成小包如果 10 根一包，那么最后还剩 9 根；如果 9根一包，那么最后还剩 8

23、根第三、四、五、六种的规格是，分别以 8、7、6、5 根为一包，那么最后也分别剩 7、6、5、4 根原来一共有牙签根【分析】设原有牙签 x 根，如果添加 1 根牙签，那么按六种规格分成小包时都恰好每包装满且无剩余，即(1)x 是 5、6、7、8、9、10 的公倍数于是(1)x 是 5、6、7、8、9、10 的最小公倍数的倍数容易得到 5、6、7、8、9、10 的最小公倍数是5,6,7,8,9,102223 3 572520 又已知 x 大于 5000 且小于 6000，即50006000 x，因此1252025040 x 所以5039x 6.n 为正整数，将它除以 10 余数为 9；将它除以

24、9 余数为 8；将它除以 8 余数为 7；将它除以 2 余数为 1请问满足上述条件的 n 的最小值是多少？【分析】n 加上1后变成210的公倍数，所以1n 最小为10,8,9,72520，n 最小为2519 我们在解决类似“物不知其数”题，也就是出现一个数 N 除以 A 余 a,除以 B 余b,除以 C 余c 这一类问题的时候，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一：减同余绝招二：加同补绝招三：中国剩余定理绝招四：逐步满足法知识点总结9第 11 级上 超常体系教师版第二讲1.一个小于 100 的自然数，除以 3 余 2，除以 7 余 2，则满足条件的自然数有哪些？【分析】2，3,7

25、223，3,72345，3,7 3366，3,743872.赵老师有 30 多张积分卡，如果平均分给 5 个同学，最后剩余 3 张；如果平均分给 6 个同学，最后剩余 2 张，那么赵老师有多少张积分卡？【分析】因为 5362，所以赵老师共有85,638张积分卡3.布袋里装有玻璃弹子若干个，如果每次取 2 个，最后剩下 1 个；如果每次取 3 个，最后剩下 1 个；如果每次取 7 个，最后剩下 3 个这个布袋中至少有个玻璃弹子【分析】不妨设黑布袋中至少有x 个玻璃弹子，那么 x 要满足的条件是：除以2 余1，除以 3 余1，除以7 余3我们先找到满足条件、的数 76m，只需让 76m满足条件，即

26、6m除以 7 余3，最小的4m，那么这个黑布袋中至少有31 个玻璃弹子4.某些自然数除以 11 余1，除以 13 余3，除以 15余13，那么这些自然数中最小的是【分析】因为11 113310，所以满足前两个条件的自然数是11,13 10133，结果 133 恰好除以 15 余 13，所以这些自然数中最小的是 1335.一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求满足条件的最小的自然数【分析】方法一：53642，可见这个数加上 2 后是 5、6 的公倍数，那么至少为5,6228，即 28 适合前两个条件 再用 28 依次加上 30 的倍数，由于 28 是 7 的倍数，30 除

27、以 7 的余数为2，可知 28304满足除以 7余 1，所以，满足条件的最小的自然数是 28304148方法二 53718，所以只需835m除以 6 余 4，因为8612,35655，即让 25m除以 6 余 4，即5m 除以 6 余 2，求得最小的4m，所以满足条件的最小的自然数是 83541486.三个连续偶数依次可以被 5 整除、被 7 整除、被 11 整除，那么这三个偶数最小为多少？【分析】设最小的偶数为,x则有：50(2)70(4)110 xaxbxc，即507151117xaxbxc ，满足前两个条件的所有数是 535n，只需1(535)114nc，即2(52)114nc，因此1n

28、，所以最小的偶数是 40，因此这三个偶数最小为 40,42,447.大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你前面有一条长长的阶梯，如果你每步跨 2 级，最后剩下 1 级；如果你每步跨 3 级，最后剩下 2 级；如果你每步跨 5 级，最后剩下 4 级；如果每步跨 6 级，最后剩下 5 级；只有当你每步跨 7 级时，最后正好走完，1 级不剩这条阶梯最少有级【分析】由条件可知，台阶数要满足如下条件：(1)除以 2 余 1；(2)除以 3 余 2；(3)除以 5 余 4；(4)除以 6 余 5；(5)除以 7 余 0；观察可知如果台阶数加 1，那么能被 2、3、5、6 整除，这样的数是：29，59，8

29、9，119，149，179，在这其中满足条件(5)的最小数字是 119，所以这条阶梯最少有 119 级家庭作业10第 11 级上超常体系教师版8.一个数除以 2、3、5、7、11 的余数分别是 1、2、3、4、5，求符合条件的最小数【分析】本题实际上就是求被 3、5、7、11 除的余数分别是 2、3、4、5 的最小奇数，根据例题 8 可知符合条件的最小偶数是 368，所以只要将 368 加上357 11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368357 111523【超常班学案1】一个自然数除以 4 余 3，除以 7 余 3，满足条件的三位数有多少个【分析】三位数中最小的是 4,743115，最

30、大的三位数是 4,7 353983，因此共有354132个【超常班学案2】一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718，这样我们可以把余数都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以 7 余8，所以可以看成这个数除以 5、7、9 的余数都是 8，那么它减去 8 之后是 5、7、9 的公倍数而5,7,9315，所以这个数最小为 3158323【超常班学案3】一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，

31、问满足条件的最小自然数为.【分析】法一：逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7 的倍数加 4，当4 被加上两个7 时得到18，恰好除以 5 余 3，此时符合后两个条件；只需(1835)32ma，即(02)32ma ，因此1m，所以所求的最小自然数就是 53.法二：通过观察没有发现除数与余数有和或差的关系，所以可以使用普遍适用的“中国剩余定理”，步骤如下：3、5 的公倍数3、7 的公倍数5、7 的公倍数15213530427045631056084140分别找出除以 7 余 1 的 3、5 的公倍数，除以 5 余 1 的 3、7 的公倍数，除以 3 余 1 的

32、 5、7的公倍数，分别是：15、21、70；因此符合条件的数是15421 3702263但是要求的是满足条件的最小的自然数，263 不是最小的，对此的处理方法就是减去 3、5、7 的最小公倍数的若干倍，使结果小于最小公倍数所以答案为：263105253法三：设所要求的数为x，则2x 除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 1，因此 213,5,7x ，所以(1051)253x.【超常班学案4】一个自然数被 7，8，9 除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是 570，求这个自然数【分析】由于这个数被7，8，9 除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6 后能被7，8，9 整除，而

33、7,8,9504，所以这个数加上 6 后是 504的倍数由于这个数被7，8，9 除的三个商数的和是 570，那么这个数加上6 后被 7，8，9 除的三个商数的和是5701 1 1573 ，超常班学案11第 11 级上 超常体系教师版第二讲而 504分别除以7、8、9 所得的商之和是897879191，由于 573 1913，所以这个数加上 6 等于 504的3 倍，则这个数是504361506【123班学案1】已知自然数 A 除以11余5，除以9 余7，除以13 余 3，这个数最小是多少？【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出 11 与 9 的公倍数中除以 13

34、 余 1 的数、11 与 13 的公倍数中除以 9 余 1 的数以及 9 与 13 的公倍数中除以 11 余 1的数比较麻烦实际上，观察可知1159713316，也就是说这个数减去 16 后是 11、9、13 的公倍数，那么这个数最小就是 11、9、13 的最小公倍数加上 16，为11 9 13161303【123班学案2】某数除以11余8，除以13 余10，除以17 余12，那么这个数的最小可能值是【分析】观察到11813103，因此除以11余8，除以13 余10 的最小自然数为11 133140，140加上11 13的倍数依然满足除以11余8，除以13 余10，设某数为 a，则1433am

35、(m为非零自然数)，只需1433m 除以17 余12，而1431787，只需(73)1712mn，即71715mn(n为自然数)从最小的n 开始找，得到2,7nm，所以14373998a【123班学案3】一个自然数除以 7、8、9 后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是 758，这个数是_【分析】由于这个数除以7、8、9 后分别余 3、5、7，所以这个数加上11后能被 7、8、9 整除而 7、8、9 的最小公倍数是789504，所以除以 7，8，9 后分别余 3、5、7 的数最小为 50411493然而 504分别除以 7、8、9 所得的商之和是897879191，则 493 分别除以 7、

36、8、9 所得的商之和是19123185（因为 493 除以 7 的商比 504 除以 7 的商少了 2，除以 8和 9 的商同样如此，所以减去 3 个 2）由于 493 除以 7、8、9 的三个商之和为 185，493 每增加一个 504，商的和就要增加 191，由于 758185191 3，所以需要增加 3 个 504，故所求的数为49350432005【123班学案4】（第 13 届日本算术奥林匹克预赛试题高小组）有四个连续的都大于 1 的整数 A、B、C、D（ABCD）这四个整数按照顺序分别是 7、9、11、13 的倍数，求符合以上条件的 A、B、C、D 组合的最小的 A【分析】令四个数分别是 a，a+1,a+2,a+3，则他们分别是 7、9、11、13 的倍数，则相当于 a 除以 7余 0，a 除以 9 余 8；a 除以 11 余 9；a 除以 13 余 10则 2a 用 9 除余 7；用 11 除余 7；用 13 除余 7且 2a 是显然还是 7 的倍数，也可以认为是用 7 除余 7则(2a-7)是 7、9、11、13 的倍数791113=9009所以 2a=9016.a=4508所以符合条件的 a 的最小值为 4508123 班学案