小学数学讲义秋季五年级A版第13讲定义新运算进阶优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 13 讲五年级暑假分数加减五年级秋季循环小数五年级秋季定义新运算进阶五年级春季分数四则混合运算五年级春季比较与估算学会使用方程来解决定义新运算问题，加强分数运算的练习漫画释义知识站牌第十三讲定义新运算进阶2第 9 级下优秀 A 版 教师版点头表示同意，摇头表示不同意；行人靠右行，这些都是我们生活中的规则，在数学中，同样也有一些约定的规则，也就是运算符号比如“”“”“”“”都是我们熟悉的运算符号但是有的地方会有不一样的规则，比如在英国等地行人是靠左行的，而数学里同样也可能会出现一些特殊的运算符号，比如我们规定表示选择两数中较大的一个，如 27=7相对于我们原

2、本熟悉的运算，这便是新运算今天我们就一起来学习定义新运算1、熟练掌握分数类型的定义新运算；2、掌握反解未知数类型的定义新运算；3、掌握找规律类型的定义新运算定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算新定义的运算符号，如、等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值（本质就是“照猫画虎”去模仿），把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算，并计算准确定义新运算分类：1.直接运算型（照猫画虎）；2.反解未知数型（方程法）；3.观察规律型；4.其它类型综合下面通过几个实例加以说明如规定：ababab2424246 42

3、424210这就是定义新运算中第一种题型直接运算照猫画虎型，规定新运算符号 的定义，符号前面数字为 a，符号后面数字为 b，模仿定义带入式子中算出答案定义新运算注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序每个新定义的运算符号只能在本题中使用一般情况下规定的新运算对于我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）不成立，但也有成立的，这就要求我们去证明经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 13 讲1.已 知:32abab，例 如，当6a，5b 时，653 6258 计 算：87 _【分析】102.规定:2ababa，求：123 _;72 _【分析】18,143.

4、规定“”表示选择两数中较大数的运算，如：599 计算:10511 _【分析】114.已知:125，3211，6422，11740；则86 _【分析】305.规定 2 3234,4 545678，则74_【分析】34模块 1：例 1-2，直接运算型例 1：定义新运算分数单题拓展例 2：直接运算型之分数类型模块 2：例 3：反解未知数型之分数类型例 4：找规律型之分数类型模块 3：例 5：定义新运算与因倍结合设 a、b 都表示数，规定1123abab求 1123，1132；这个运算“”有交换律吗？求18 63 ，186 3；这个运算“”有结合律吗？如果已知 5533b，求b 知识点回顾例 1例题思

5、路4第 9 级下优秀 A 版 教师版【分析】11111111132322334936111111111322332663；没有；1111111318 63186311 31131232322 11111186 3186318 41841023233 没有；由题意得：151523325563210365bbbb对于任意的非零整数 x 与 y，定义新运算“”：6=2xyx yxy,求 2 9.（学案对应：学案 1）【分析】根据定义6=2xyx yxy于是有62922 952295 想想练练:如果规定1*52a bab，其中 ab、是自然数，那么10*6 _【分析】考察定义新运算110 65 106

6、503472 例 25第 9 级下 优秀 A 版教师版第 13 讲如果 ab 表示(2)ab,例如 34(32)44,那么,当1=35a时,a=_（学案对应：学案 2）【分析】依题意,得1(2)35a,解得17a 想想练练:对于 abcd，规定2dabcdabc，已知 1232x，则 x _【分析】列方程解2 1 2236xx 若规定 112332234，112344778910，那么 114325 _（学案对应：学案 3）【分析】112341422345511231355673511853535想想练练:如果 112332234，33456455678求 254358相信很多人都做过这么一道

7、题：如果 1=5,2=10,3=15,4=20,5=？第一次接触的人一定会脱口而出：25，这样的话就刚好落到了出题者的圈套中，因为一开始题目告诉了你 1=5，那么 5=1，你一定为你的上当而感到愤愤不平，这道题到底符不符合逻辑呢，按照规律来说 5=25 是推出来的答案，但是按照第一个条件来推断，5=1 又成立。其实这里的“=”定义很模糊，因为如果是普通意义“=”的话，1 和 5 是不能建立相等的关系的，所以题目本身有问题。如果把这里的“=”改成“”，道理就说通了，15,210,315,420,按照这个规律推下去 525，这里的应理解为只能从左到右才成立，并不像=一样，左=右也可以推出右=左，5

8、1 是不成立的，所以答案应该是 525等大家到了高中进一步学习函数就会理解的更深刻.例 4例 36第 9 级下优秀 A 版 教师版【分析】原式23455676156788910168定义运算“”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最小公倍数与最大公因数的差记为 ab.比如:10 和 14,最小公倍数为 70,最大公因数为 2,则 1014=70-2=68.(1)求 1221,515;(2)已知 6x=27,求 x 的值.（学案对应：学案 4）【分析】(1)为求 1221,先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公因数分别为 84,3,因此 1221=81,同样道理 515=10.(2)由

9、于运算“”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为 6 与 x 的最小公倍数不小于27128,不大于27633,而 28 到 33 之间,只有 30 是 6的 倍数,可见 6 和 x 的最小公倍数是 30,因此它们的最大公因数是30273.由“两个数的最小公倍数与最大公因数的积=这两个数的积”,得到 3036x .所以15x.设 a 表示不超过a 的最大整数，例如：11，0.20求 1 302303 30903090909090的值是多少？【分析】原式001 1 122233329292930 杯赛提高如图 2，一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一

10、段的横线、竖线爬行到 B，图 1 中的路线对应下面的算式：121221216 .请在图 2 中用粗线画出对应于算式：212221 1 1 的路线BA图3图2ABBA图1答案：如图例 57第 9 级下 优秀 A 版教师版第 13 讲312929230 13351.对于非零自然数 a 和 b，规定符号 的含义是：2mababab（m 是一个确定的整数）如果1423，那么34等于_【分析】根据 3423，得到14232 1 4223mm ，解出6m 所以，634113423412 2.设 a 和 b 都是除 0 以外的数，若规定baa bab，baabab，那么131.32425的值是多少？【分析】

11、原式42131.32425131.32.5252.51.3131.32.5252513121133.“*”表示一种运算符号，它的含义是：111xyxyxyA，已知1122 12 121 13A，求1998 1999【分析】根据题意得 12111,21 16,121 13221 16AAAA，所以1111200019981998 19991998 199919981 199911998 1999199920001998 19992000399811998 1999200019980004.定义运算：aba bab，算式92010 2010 20102010 2010 共 颗“”的计算结果是【分析

12、】2010201020102010 201020102010220102010201020102201020102320102附加题8第 9 级下优秀 A 版 教师版20102010201020103201020103420103找到了规律：有n 个 2010，就得 2010n现在有 9 颗就有 10 个 2010，所以结果是 2010201105.x为正数,表示不超过 x的质数的个数,如5.1=3,即不超过5.1的质数有2,3,5 共3个.那么1993418 的值是_.【分析】为不超过 19 的质数,有 2,3,5,7,11,13,17,19 共 8 个.为不超过的质数,共 24 个,易知=

13、0,所以，原式=+=116.如有 a#b 新运算，a#b 表示 a、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.若（21#（21#x）=5，则 x 可以是_（x 小于 50）【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体 y.对于 21#y 5，这个式子，一方面可把 21 作被除数，则 y 等于 21-5 16 的大于 5 的因数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21作除数，这样满足要求的数为 26，47，即形如 21N+5 这样的数有无数个.但必须得考

14、虑，这些解都是由 y 所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都得舍去.现在只剩下 8，与 16.第二步求：（21#x）8 与（21#x）16.对于（21#x）8 可分别解得，把 21 作被除数时：x 13，把 21 作除数时为：x 29，50，形如 21N+8 的整数（N 是正整数）.对于（21#x）16，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x 37，58所有形如 21N+16 这样的整数（N 是正整数）.所以符合条件的答案是 13,29,377.两个不等的自然数 a 和

15、 b,较大的数除以较小的数,余数记为 ab,比如 52=1,725=4,68=2(1)求 19912000,(519)19,(195)5;(2)已知 11x=2,而 x 小于 20,求 x;(3)已知(19x)19=5,而 x 小于 50,求 x.【分析】19912000=9;由 519=4,得(519)19=419=3;由 195=4,得(195)5=45=1.(2)我们不知道 11 和 x 哪个大(注意,x11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x11,这时 11 除 x 余2,这说明 x 是 11 的倍数加 2,但 x20,所以 x=11+2=13.因此(2)的解

16、为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用 y 表示 19x,不管 19 作除数还是被除数,19x 都比 19 小,所以 y 应小于 19.方程 y19=5,说明 y 除 19 余 5,所以 y 整除 19-5=14,由于 y6,所以 y=7,14.当 y=7 时,分两种情况解 19x=7.1)x19,此时 19 除 x 余 7,x 是 19 的倍数加 7,由于 x50,所以 x=19+7=261927x=45.当 y=14 时,分两种情况解 19x=14.1)x19,此时 19 除 x 余 14,这就表明 x 是 19 的倍数加 14,因为 x50

17、,所以 x=19+14=33.9第 9 级下 优秀 A 版教师版第 13 讲总之,方程(19x)19=5 有四个解,x=12,26,33,45.8.规定：AB 表示 A、B 中较大的数，AB 表示 A、B 中较小的数若（A5B3）（B5+A3）=96，且 A、B 均为大于 0 的自然数，AB 的所有取值为【分析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于 A 或者B 有3 类不同的范围，A 小于 3，A 大于等于 3，小于 5，A 大于等于 5对于 B也有类似，两者合起来共有 33=9 种不同的组合，我们分别讨论1)当 A3，B3，则（5+B）（5+A）=96=6

18、16=812，无解；2)当 3A5，B3 时，则有（5+B）（5+3）=96，显然无解；3)当 A5，B3 时，则有（A+B）（5+3）=96，则 A+B=12.所以有 A=10，B=2，此时乘积为 20 或者 A=11,B=1,此时乘积为 114)当 A3，3B5，有（5+3）（5+A）=96，无解；5)当 3A5，3B5，有（5+3）（5+3）=96，无解；6)当 A5，3B5，有（A+3）（5+3）=96，则 A=9.此时 B=3 后者 B=4则他们乘积有 27 与 36 两种；7)当 A3，B5 时，有（5+3）（B+A）=96此时 A+B=12A 与 B 的乘积有 11 与 20两种

19、；8)当 3A5，B5，有（5+3）（B+3）=96此时有 B=9.不符；9)当 A5，B5，有（A+3）（B+3）=96=812则 A=5,B=9，乘积为 45所以 A 与 B 的乘积有 11,20,27，36,45 共五种9.定义新运算：24mmnmn，那么 20122011201010.【分析】24mmnmn,当2n 时，122m 因此只需要算 1102 ，因此答案为 23361.定义新运算分类：直接运算型（照猫画虎）；反解未知数型（方程法）；观察规律型；其它类型综合2.定义新运算注意事项：新的运算不一定符合运算规律（如交换律、结合律、分配律等），特别注意运算顺序每个新定义的运算符号只能

20、在本题中使用1对不为 0 的自然数 a，b，c 规定新运算“”：abcabcabc ，则123，【分析】112313123123721 ，家庭作业知识点总结10第 9 级下优秀 A 版 教师版2对不为 0 的自然数 a，b 规定ababab，那么 2 10 10 _【分析】5102 1051032101010105210371033对不为 0 的自然数a，b，ab 等于由 a 开始的连续b 个自然数之和，如：23234，又如：54567826 若312y，则 y _【分析】列方程解，1212yyy，3y 4对所有的数,a b，把运算ab 定义为ababab，则方程517x 的解是_【分析】25

21、17 55=17 62233xxxxx，5如果 112332234，33456455678，那么 354256【分析】35345656134256567867146定义运算“”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公因数与最小公倍数的和记为 ab 例如:46=4,64,6=2 12=14.根据上面定义的运算,计算18 12_【分析】18 1218,121812636=42，【学案 1】对不为 0 的自然数 a,b,定义“”：ababab，234 _【分析】3477323422223 4121214【学案 2】已知：10314 ，872 ，31144 ，根据这几个算式找规律，如果 518x ，那么 x=【分析】规律是2abab，所以 552188xx，即18x【学案 3】已知:13A BAB，10100100C，C _【分析】设10C 为 x，原式 11001001001002003xxx，110200102005903CCC，A 版学案11第 9 级下 优秀 A 版教师版第 13 讲【学案 4】A 表示自然数 A 的因数的个数.例如 4 有 1,2,4 三个因数,可以表示成 4=3 计算:(1822)7=【分析】因为21823有 1 1216个因数,所以186,同样可知224，72原式6425