小学数学讲义秋季五年级A版第7讲蝴蝶模型优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲漫画释义五年级暑假比例模型五年级秋季鸟头模型五年级秋季蝴蝶模型五年级秋季燕尾模型五年级寒假长方体和正方体四边形蝴蝶；梯形蝴蝶；共边定理知识站牌第七讲 蝴蝶模型2第 9 级下优秀 A 版教师版解数学题不能没有联想，通过联想把眼前的问题、图形与熟悉的问题、图形进行类比，将该类问题通过化归成一个模型，在以后的解决类似的题目时直接利用结论，缩短思维量，从而快速解决复杂问题。蝴蝶模型是小学直线型几何常见模型之一，该模型也是小升初考试和杯赛考试的常考知识点。比例模型:(1)ABCEFD同底,面积比等于高之比ABCBCESADSEF(2)DCBA同高,面积比等于底

2、之比ABDACDSBDSDC1.如图,三角形 ABC 中 BC 的高 AD 长 7 厘米,三角形 BCE 中 BC 的高 EF 长 3 厘米并且已知70ABCS平方厘米,则_BCES知识点回顾课堂引入3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲FEDCBA【分析】同底,面积比等于高之比高之比 AD:EF=7:3=70:30,所以30BCES2cm2.如图,在直角三角形 ABC 中,AD:AC=2:3,60ABCS,则_BCDSDCBA【分析】同底,面积比等于高之比高之比 AC:CD=AC:(AC-AD)=3:1=60:20,所以20BCDS3.如图,B,C,D,E 在一条直线上,且 BC:CD

3、:DE=4:3:2,已知20ABCS,则_ABESEDBCA【分析】同高,面积比等于底之比204(432)45ABES.4.如图,四边形土地的总面积是 48平方米,三条线把它分成了 4 个小三角形,其中 2 个小三角形的面积分别是 7 平方米和 9 平方米那么最大的一个三角形的面积是_平方米.【分析】在同底的情况下,右边两个三角形的高之比为 7:9,因此左边两个三角形的高之比也为 7:9.同底,高之比为面积比因此最大的三角形的面积为9(4879)1897(平方米)794第 9 级下优秀 A 版教师版1、掌握蝴蝶模型的结论.2、能从图形中抽离或构造出蝴蝶模型解题.一、任意四边形中的比例关系(“蝴

4、蝶模型”)：S 4S 3S 2S 1ODCBA1243:SSSS或者1324SSSS 1243:AO OCSSSS蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)：S4S3S2S1baODCBA24SS1243:SSSS或者1324SSSS；2221324:()SSSSSabab abab梯形例题思路经典精讲教学目标5第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲模块 1：例 1:任意四边形的蝴蝶模型;模块 2：例 2-4，梯形蝴蝶

5、模型的应用;模块 3：例 5，梯形蝴蝶模型的构造如图,因为12SODSOB,43SODSOB,所以1423SSODSOBS,可得到1324SSSS.根据此结论,试回答下列问题：(1)若110S,220S,340S,则4_S(2)若25AOOC,110S,则4_S(3)若49AOOC,20ABDS,则_BCDS(4)若 AO=1,BO=2,CO=3,DO=2,则_ABDBCDSS,_ACDABCSSS 4S3S 2S 1ODCBA(学案对应:学案 1)【分析】（1）20（2）25（3）45(4)13ABDBCDSAOSOC,1ACDABCSBOSOD如图（1）,梯形 ABCD 中,AB 平行于

6、CD,O 为对角线的交点.因为ACDBCDSS,所以ACDCODBCDCODSSSS,进而可得：AODBOCSS.根据以上内容回答下列问题：（1）如图（2）,两个正方形并在一起,已知阴影部分的面积为 6,则_ABCS（2）如图（3）,两个正方形并在一起,已知阴影部分的面积为 6,则_ABCS图（1）图（2）图（3）【分析】（1）6（2）6想想练练:（1）如图（4）,两个正方形并在一起,已知大正方形的面积是 100,则_ABCS（2）如图（5）,两个正方形并在一起,已知小正方形的面积是 100,则_ABCS例 2例 16第 9 级下优秀 A 版教师版图（4）图（5）【分析】过程如上题.（1）50

7、（2）50如下图,梯形 ABCD的 AB 平行于 CD,对角线 AC,BD 交于 O,已知AOB与BOC的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米,那么梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米3525OABCD(学案对应:学案 2)例 3几何原本欧几里得在公元前 300 年左右，曾经到亚历山大城教学，是一位受人尊敬的、温良敦厚的教育家。他酷爱数学，深知柏拉图的一些几何原理。他非常详尽的搜集了当时所能知道的几何事实，按照柏拉图和亚里士多德提出的关于逻辑推理的方法，整理成一门有着严密系统的理论，写成了几何史上早期的巨著几何原本。几何原本的伟大历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范

8、。在这部著作里，全部几何知识都是从最初的几个假设出发、运用逻辑推理的方法展开和叙述的。也就是说，从几何原本发表开始，几何才真正成为了一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。欧几里得的几何原本共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术的理论；最后讲述立体几何的内容。从这些内容可以看出，目前属于中小学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在几何原本里了。因此长期以来，人们都认为

9、几何原本是两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于几何原本内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。7第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲【分析】根据梯形蝴蝶模型,2:25:35AOBBOCSSaab,可得:5:7a b,再根据梯形蝴蝶模型,2222:5:725:49AOBDOCSSab,所以49DOCS(平方厘米)那么梯形 ABCD的面积为 25353549144(平方厘米)或者根据梯形蝴蝶模型的性质,2257144Sab(平方厘米)【铺垫】如图,证明梯形蝴蝶模型的结论.S4S3S2S1baODCBAS4S3S2S1yxbaODCBA24SS1243:SSSS或者13

10、24SSSS；2221324:()SSSSSabab abab梯形【分析】证明:(1)因为 ABCD,所以ACDBCDSS(同底等高的两三角形面积相等),所以ACDCODBCDCODSSSS,即24SS(2)如 右图,设 BO=x,DO=y.由 比例 模 型可 知:1423SSxSyS,所 以1243:SSSS或 者1324SSSS(3)1423SSxSSy,所以142322ABCACDSSSxahaSSySbhb,所以 xayb.同理可得:AOaOCb.由鸟头模型可知:2123SAOxaaaSOCybbb,再由比例模型可知2221324:()SSSSSabab abab梯形.(注:任意四边形

11、的蝴蝶模型的证明和(2)的证明类似;沙漏的证明与(3)题的证明类似.)想想练练:梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O,已知梯形上底为 2,且三角形 ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 23,求三角形 AOD与三角形 BOC 的面积之比OABCD【分析】根据梯形蝴蝶模型,2:2:3AOBBOCSSab b,可以求出:2:3a b,再根据梯形蝴蝶模型,2222:2:34:9AODBOCSSab例 48第 9 级下优秀 A 版教师版如图,面积为 12 平方厘米的正方形 ABCD中,E F 是 DC 边上的三等分点,求阴影部分的面积.OFEDCBA(学案对应:学案 3)【分析】因为

12、,E F 是 DC 边上的三等分点,所以:1:3EF AB,设1OEFS份,根据梯形蝴蝶模型可以知道3AOEOFBSS份,9AOBS份,(13)ADEBCFSS份,因此正方形的面积为244(1 3)24份,6S阴影份,所以:6:241:4SS阴影正方形,所以3S阴影平方厘米.如图,长方形 ABCD 被CE、DF 分成四块,已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米,那么余下的四边形 OFBC 的面积为_平方厘米?285OFEDCBA?852OABCDEF(学案对应:学案 4)【分析】连接 DE、CF 四边形 EDCF 为梯形,所以EODFOCSS,又根据蝴蝶定理,EODFOCEOFCO

13、DSSSS,所以2816EODFOCEOFCODSSSS,所以4EODS(平方厘米),4812ECDS(平方厘米)那么长方形 ABCD 的面积为12224平方厘米,四边形OFBC 的面积为 245289(平方厘米)想想练练:如图,长方形中,若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4:5,四边形 2 的面积为 36,则三角形 1 的面积为_321321【分析】做辅助线如下：利用梯形模型,这样发现四边形 2 分成左右两边,其面积正好等于三角形1 和三角形 3,所以 1 的面积就是4361645例 59第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲如图所示，ABCD是梯形，ADE面积是1.8，AB

14、F的面积是 9,BCF的面积是 27那么阴影 AEC面积是多少？FEDCBA【分析】根据梯形蝴蝶模型，可以得到AFBDFCAFDBFCSSSS，而AFBDFCSS(等积变换)，所以可得99327AFBCDFAFDBFCSSSS，并且31.81.2AEFADFAEDSSS,而:9:271:3AFBBFCSSAF FC,所以阴影 AEC的面积是：41.244.8AECAEFSS杯赛提高你能否在 10 秒之内，算出小正三角形面积是大正三角形面积的几分之几吗？答：14，把小正三角形旋转 180 度，就可以看出来。10第 9 级下优秀 A 版教师版一、任意四边形中的比例关系：S 4S 3S 2S 1OD

15、CBA1243:SSSS或者1324SSSS 1243:AO OCSSSS二、梯形中比例关系：ABCDObaS3S 2S1S424SS1243:SSSS或者1324SSSS2221324:()SSSSSabab abab梯形1.如图，梯形 ABCD中，AOD、COB的面积分别为1.2 和2.7，求梯形 ABCD的面积ABCDO【分析】根据梯形蝴蝶模型，22:1.2:2.74:9AODCOBSSab，所以:2:3a b，2:2:3AODAOBSSaaba b，31.21.82AOBCODSS，1.21.81.82.77.5ABCDS梯形知识点总结附加题11第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7

16、讲2.如图所示，BD、CF 将长方形 ABCD分成 4 块，DEF的面积是 4 平方厘米，CED的面积是6 平方厘米问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？64ABCDEF64ABCDEF【分析】法 1:连接 BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶模型，可知三角形BEF 的面积和三角形 DEC的面积相等，即其面积也是 6 平方厘米，再根据蝴蝶模型，三角形 BCE 的面积为6649(平方厘米)，所以长方形的面积为96230(平方厘米)四边形 ABEF 的面积为3046911(平方厘米)法 2:由题意可知，4263EFEC，根据相似三角形性质，23EDEFEBEC，所以三角形 BCE 的面积为：26

17、93(平方厘米)则三角形 CBD 面积为 15 平方厘米，长方形面积为15230(平方厘米)四边形 ABEF 的面积为3046911(平方厘米)3.如图,ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米21ABCDE9421ABCDEO94【分析】连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD也是梯形，那么OCDOAESS根据蝴蝶模型，4936OCDOAEOCEOADSSSS，故236OCDS，所以6OCDS(平方厘米)4.如图，正方形 ABCD 面积为 3 平方厘米，M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积GMDCB

18、A【分析】因为 M 是 AD 边上的中点，所以:1:2AM BC，根据梯形蝴蝶模型可以知道22:1:1 2:1 2:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS（）（），设1AGMS份，则123MCDS 份，所以正方形的面积为1224312份，224S阴影份，所以:1:3SS阴影正方形,所以1S阴影平方厘米12第 9 级下优秀 A 版教师版1.如图:四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 将图形分成四个部分,其中三部分的面积已经标出,则四边形ABCD 的面积为多少?643ODCBA【分析】4836,所以原图形的面积为 6+8+4+3=21.2.如图,两个正方形并排放在一起,已知阴影三角形

19、的面积为 18,那么正方形 ABCD 的面积为多少?DCBA【分析】阴影部分为正方形 ABCD 面积的一半,因此正方形 ABCD 的面积为 182=363.如图,22S,34S,求梯形的面积S 4S 3S 2S 1【分析】法 1：设1S 为2a 份,3S 为2b 份,根据梯形蝴蝶模型,234Sb,所以2b；又因为22Sab,所以1a ；那么211Sa,42Sab,所以梯形面积123412429SSSSS,或者根据梯形蝴蝶模型,22129Sab法 2：422SS,12432241SSSS,因此总面积为 9.4.如图,正方形ABCD中,E为BC的中点.已知阴影部分的面积为 9,则正方形ABCD 的

20、面积为多少?家庭作业13第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲FEDCBA【分析】四边形ABED是梯形,BE:AD=1:2,由蝴蝶模型可知(12)927ABES,而14ABEABCDSS,所以427108ABCDS5.右图中 ABCD是梯形,ABED 是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米),阴影部分的面积是多少平方厘米？1682ABCDEO1682ABCDE【分析】连接 AE 由于 AD 与 BC 是平行的,所以 AECD 也是梯形,那么OCDOAESS根 据 梯 形 蝴 蝶 模 型,2816OCDOAEOCEOADSSSS,故216OCDS,所 以4OCDS(平方厘米)另

21、解：在平行四边形 ABED 中,111681222ADEABEDSS(平方厘米),所以1284AOEADEAODSSS(平方厘米),根据梯形蝴蝶模型,阴影部分的面积为 8244(平方厘米)6.如图，已知正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，E 是 CD 边上的中点，连接对角线 AC，交 BE 于点O，则三角形 AOB 的面积是多少平方厘米.【分析】根据梯形蝴蝶模型，在梯形 ABCE 中，222443148(12)9943AOBABCEABCEABCDABCDSSSSS平方厘米.A 版学案14第 9 级下优秀 A 版教师版【学案 1】如下图,四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于

22、O 点,已知1AO ,并且35ABDCBDSS,那么OC 的长是多少？ODCBA【分析】ABOADOABDCBDBCOCDOSSAOSSSOCS,所以35AOCO,又1AO ,所以53CO【学案 2】如图所示,在梯形 ABCD 中,ABCD,对角线 AC,BD 相交于点 O.已知 AB=5,CD=3,且梯形 ABCD 的面积为 4,求三角形 OAB 的面积.ODCBA【分析】根据题意,AB=5,CD=3,CD:AB=3:5,则根据蝴蝶模型,22:9:15:25:15DOCAODAOBCOBSSSSaab bab,令AOBS=25 份,则梯形 ABCD 共有：9+15+25+15=64 份.所以

23、 1 份为：464=116,则三角形 OAB 的面积为 11625=2516.【学案 3】如图,面积为 144 的正方形 ABCD 中,BE=4,求阴影部分的面积.FEDCBA【分析】214412,所以 AB=12,124242ABES,因为41123BEFABESEFBESAFAD,所以3241813ABFS.15第 9 级下 优秀 A 版教师版第 7 讲【学案 4】如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形 ADG 的面积是 11,三角形 BCH 的面积是 12,求四边形 EGFH 的面积HGFEDCBAHGFEDCBA【分析】如图,连结 EF,显然四边形ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积,所以四边形 EGFH 的面积是11 1223