小学数学讲义秋季六年级秋季超常讲义第3讲复合图形.pdf

1、1第 11 级下超常体系教师版第三讲漫画释义六年级暑期切片与染色六年级秋季圆柱与圆锥六年级秋季复合图形分拆六年级秋季旋转与轨迹六年级寒假几何模块综合选讲复习相关几何模型，并掌握添加辅助线技巧找到基本模型知识站牌第三讲复合图形分拆2第 11 级下超常体系教师版几何问题是一部分同学看了就觉得有趣的强项，也是另一部分同学看了就觉得头疼的难题尤其辅助线的连法总是扑朔迷离，让人完全无从下手但其实几何题的解法也是有着明确的线索可循的今天我们就要来复习曾经学过的基本模型和连接辅助线的常用技巧，掌握好后大家就能轻松地战胜大部分直线型几何题了！1.掌握图形分割、面积法、补全基本图形等连接辅助线的技巧2.复习各种

2、几何模型，进一步加深理解和掌握程度1.一半模型：如图所示，四边形 ABCD与 AEGF 都是平行四边形，B 点在 FG 上，请你证明它们的面积相等【分析】证明：连接 BE 在平行四边形 ABCD中，12ABESABAB边上的高，12ABEABCDSSY同理，12ABEAEGFSS，平行四边形 ABCD 与 AEGF 面积相等2.等高模型：你有多少种方法将任意一个三角形分成 3 个面积相等的三角形？【分析】如下图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：GFEDCBAGFEDCBACEDBAABDFCABDGC知识点回顾教学目标课堂引入3第 11 级下超常体系教师

3、版第三讲3.蝴蝶模型：梯形的下底是上底的1.5 倍，三角形 OBC 的面积是29cm，问三角形 AOD 的面积是多少？【分析】根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3AD BC，22:2:34:9AODBOCSS，所以24 cmAODS4.鸟头模型：如图，三角形 ABC 中，AB 是 AD 的 5 倍，AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那么三角形 ABC 的面积是多少？【分析】连接 BE 3ACAE3ABCABESS又5ABAD515ADEABEABCSSS，1515ABCADESS5.相似模型：如图，DE 平行 BC，且2AD，5AB，4AE，求 AC 的长【分析】

4、由金字塔模型得:2:5AD ABAE AC，所以42510AC 6.燕尾模型：如图，D是 BC 上任意一点，请你说明：1423:SSSSBD DC【分析】三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以BD、DC 为底，所以有14:SSBD DC；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，12:SSED EA；三角形 ACE 与三角形CED 同高，43:SSED EA，所以1423:SSSS；综上可得1423:SSSSBD DC.ABCDOEDCBAABCDEAEDCBS3S1 S4S2EDCBA4第 11 级下超常体系教师版1.一半模型2.等高模型1）等底等高的两个三角形面积相等；2）两个三角形

5、高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比；3）两个平行四边形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比3.梯形蝴蝶模型1）2213:SSab2）221324:SSSSabab ab；3）S 的对应份数为2ab4.鸟头模型1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形2）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比5.相似模型S 4S 3S 2S 1ABCDDCBAABCDObaS 3S 2S 1S 4ABCDEFGGFEABCD经典精讲12SS阴影长方形132412SSSSS长方形5第 11 级下超常体系教师版第三讲1）ADAEDEAFABACBCAG；2）

6、22:ADEABCSSAFAG：6.燕尾模型在三角形 ABC 中，AD，BE，CF 相交于同一点 O，那么:ABOACOSSBD DC模块一：图形分割例 1.图形分割例 2.辅助线技巧模块二：模型抽离例 3.等高模型例 4.蝴蝶模型例 5.相似模型例 6.燕尾模型例 7.一半模型模块三：综合运用例 8.图形割补与鸟头模型在下图的长方形 ABCD 中 AEEFFBDGGHHC,阴影部分的面积占长方形 ABCD 面积的几分之几？（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】如图将矩形分割成 7 个相同的小菱形和10 个小三角形，10 个小三角形又可以拼成5 个同样的小菱形，所以阴影部分的面积占长方形 A

7、BCD面积的 112.OFEDCBACHGDBFEACHGDBFEA例 1例题思路6第 11 级下超常体系教师版1）如图，八边形的 8 个内角都是 135，已知 AB=EF，BC=20，DE=10，FG=30，求 AH 的长度（学案对应：超常 2）【分析】将多边形补成一个长方形后如右图，补的每个三角形都是等腰直角三角形，因为 ABEF,所以 AMEP，因此10AHDNHQ，再上下看知道302010DNHQCNQG,所以101020AH 2）如图，直角三角形 ABC 的三边长分别为30AC 分米，18AB 分米，24BC 分米，ED 垂直于 AC，且95ED 厘米.问正方形 BFEG 的边长是多

8、少厘米？【分析】根据题意，可以令正方形边长为x 分米，则有：124 182309.518242xx，解之得：3.5x 所以所要求的正方形 BEFG 的边长是 35 厘米.图中的 E、F、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是_（学案对应：超常 3，带号 2）HGFEDCBA302010QPNMHGEFDCBA301020例 3例 27第 11 级下超常体系教师版第三讲【分析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3个边就都被分成了相等的三段.把 H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9 个形状各不相同的三角形.这9 个三角形

9、的底边分别是在正方形的3 条边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了3 个三角形，右边三角形的面积和第1第2 个三角形相等：中间三角形的面积和第 3 第4 个三角形相等；左边三角形的面积和第5 个第6 个三角形相等.因此这3个阴影三角形的面积分别是 ABH、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48.如图，长方形 ABCD 的长是 8 厘米，宽是 5 厘米，阴影部分的面积和是 12 平方厘米，求四边形OEFG的面积是多少平方厘米？（学案对应：带号 3）【分析】由蝴蝶模型可得ABEDEFSS、AF

10、GDGCSS，而AFGDEFAODDGCAEBAODAFDOEFGSSSSSSSS四边形可得：128548522OEFGS(平方厘米)EDGCFBA6543 21HABFCGDEABCDEFGO例 48第 11 级下超常体系教师版梯形 ABCD 的面积为 12，2ABCD，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F，四边形CDFE的面积是【分析】延长 BF、CD 相交于G 由于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质，2CGABCD，1122GDGCAB，再根据相似三角形性质，:2:1AF FDAB DG，:1:3GF GB，而:2:1ABDBCDSSAB CD，所 以11 12

11、433BCDABCDSS，28GBCBCDSS 又111236GDFGBCSS，12EBCGBCSS，所以111812633CDFEGBCGBCSSSABCDEFGABCDEF例 5添辅助线的作用1揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗的时候，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的；2聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论；3化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给

12、的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的；4发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线，特殊图形的性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易，导出结论的目的；5构造图形的作用：对一类几何证明，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分，新的三角形，直角三角形，等腰三角形等。9第 11 级下超常体系教师版第三讲燕尾模型如图，面积为1的ABC中，:1:2:1B

13、D DE EC，:1:2:1CF FG GA，:1:2:1AH HI IB，求阴影部分面积（学案对应：超常 4，带号 3）【分析】设 IG 交HF 于M，交 HD 于 N，DF 交EI 于 P 连接 AM，IF:3:4AIAB，:3:4AFAC，916AIFABCSS:2FIMAMFSSIH HA，:2FIMAIMSSFG GA，19464AIMAIFABCSSS:1:3AHAI 364AHMABCSS，:1:4AHAB:3:4AFAC 316AHFABCSS同理316CFDBDHABCSSS716FDHABCSS33:1:464 16HM HF，:3:4,:3:4AI ABAF AC，IFB

14、C，又:3:4,:1:2IF BCDE BC，:2:3,:2:3DE IFDP PF，同理:2:3HN ND，:1:4HMHF，:2:5HN HD，17710160160HMNHDFABCSSS同理 6 个小阴影三角形的面积均为 7160阴影部分面积721616080学生版 1）4）1）如图，有一个长 6cm，宽4cm 的长方形 ABCD.在各边上取点,E F G H,在连结,H F 的线上取点 P，并与点 E 和点 G 相连.当四边形 AEPH 的面积是25cm 时，求四边形 PFCG 的面积.IHGFEDCBAPNMABCDEFGHI例 7例 610第 11 级下超常体系教师版【分析】连结

15、,EH EF FG GH，题目中的线段长度如右图所示.所求四边形的面积可以化为三角形FGP 与 FCG 的面积和.易见中间的四边形 EFGH 是平行四边形.根 据一半模型，12EHPFGPEFGHSSS.2462 3221 42214EFGHScm ，那 么21427EHPFGPSScm.2532EHPScm，所 以2725FGPScm.因 此 四 边 形 PFCG 的 面 积 是252328cm.2）连结任意四边形 ABCD各边的中点，求四边形 EFGH 的面积是四边形 ABCD 面积的几分之几？【分析】连结 AC，取 AC 中点 O,连结,OE OF OG OH,在ADC中，由于,O G

16、H 分别是三边的中点，因此14OHGADCSS,同理14OEFABCSS,因此11()44OHGOEFADCABCABCDSSSSS四边形,又因为四边形 EFGH 是平行四边形，因此12OHGOEFEFGHSSS四边形,即四边形 EFGH 的面积是四边形 ABCD 的 123）如图，已知四边形 ABCD 中,E M 是 AD 的三等分点，,N F 是 BC 的三等分点，连结,EN MF,四边形 ENFM 的面积是四边形 ABCD面积的几分之几？【分析】连 结 BD,BE,DF，根 据 题 意 有13AEBABDSS,13CDFCDBSS,所 以PHGFEDCBA?5cm22cm1cm3cm2c

17、m4cm1cm3cm2cm3cm1cm2cmABCDEFGHPHGFEDCBAOHGFEDCBANMFEDCBANMFEDCBA11第 11 级下超常体系教师版第三讲13ABECDFABCDSSS四边形,进而有23BEDFABCDSS四边形四边形,而12ENFMBEDFSS四边形四边形,所以13ENFMABCDSS四边形四边形4）如图，四边形 ABCD 中，:3:2:1DE EF FC，:3:2:1BG GHAH，:1:2AD BC，已知四边形 ABCD的面积等于 4，则四边形 EFHG 的面积【分析】连接 AC、AE、GC、GE，因为:3:2:1DE EF FC，:3:2:1BG GHAH，

18、所以，在ABC中，12BCGABCSS，在ACD中，12AEDACDSS，在AEG中，12AEHHEGSS，在 CEG中，12CFGEFGSS因为11112222BCGAEDABCACDABCACDABCDSSSSSSS，所以422AGCEABCDBCGAEDSSSS又因为1122AGCEAEHHEGCFGEFGHEGHEGEFGEFGSSSSSSSSS3322HEGEFGEFGHSSS，所以34223EFGHS5）如图，对于任意四边形 ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形 EFGH，求四边形 EFGH 的面积是四边形 ABCD 的几分之几？【分析】分层次来考虑：如下左图，23

19、BMDABDSS，23BPDCBDSS，所以22()33MBPDABDCBDABCDSSSSHGFEDCBAHGFEDCBAKJPONMHGABCDEF12第 11 级下超常体系教师版又因为DOMPOMSS，MNPBNPSS，所以12MNPOMBPDSS；121233MNPOABCDABCDSSS如右上图，已知13MJBD，23OKBD；所以:1:2MJ BD；所以:1:2ME EO，即 E 是三等分点；同理，可知 F、G、H 都是三等分点；所以再次应用的结论，可知，11113339EFGHMNPOABCDABCDSSSS四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积（学案对应：带号 4）

20、【分析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与 CEH都是正三角形假设正六边形的边长为为 a，则 AGF与CEH的边长都是4a，所以大正三角形 DEF 的边长为 427aaa，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍而一个正六边形是由 6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 16，三角形DEF 的面积为 496 KJFEDCBAGHMNOPKJPONMHGABCDEFHGFEDCBA例 813第 11 级下超常体系教师版第三讲由于4FAa，3FBa，所以 AFB与三角形 DEF 的面积之比为 43127749同理可知BDC、AEC与三角形 DEF 的面积之比

21、都为 1249，所以 ABC的面积占三角形DEF 面积的1213134949，所以 ABC的面积的面积为 49131364961.一半模型2.等高模型1）等底等高的两个三角形面积相等；2）两个三角形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比；3）两个平行四边形高（底）相等，面积比等于它们的底（高）之比S 4S 3S 2S 1ABCDDCBA知识点总结警方的追捕三个城镇由三条主干道连接起来构成一个锐角三角形，它们的治安状况由同一个警察局负责管理。1）要使警察局到三个城镇的距离之和最短，应建在何处？2）若某镇出现案件，警察必须出动追捕歹徒，那么警察局应建在何处才能使它到三个小镇的路程相等？3）如果

22、歹徒侥幸逃脱了第一次追捕，那么第二辆警车应该停在什么地方待命才能使它到三条公路的距离相等？答案：1）警察局所在点应满足到三小镇的连线夹角都是 120 度（费马点）2）三角形的外心3）三角形的内心12SS阴影长方形132412SSSSS长方形14第 11 级下超常体系教师版3.蝴蝶模型：1）2213:SSab2）221324:SSSSabab ab；3）S 的对应份数为2ab4.鸟头模型1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形2）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比5.相似模型1）ADAEDEAFABACBCAG；2）22:ADEABCSSAFAG

23、：6.燕尾模型在三角形 ABC 中，AD，BE，CF 相交于同一点 O，那么:ABOACOSSBD DCABCDObaS 3S 2S 1S 4ABCDEFGGFEABCDOFEDCBA15第 11 级下超常体系教师版第三讲1.如图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF、GH，若PBD的面积为 8 平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？【分析】根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行四边形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差如右上图，连结 CP、AP 由于12B

24、CPADPABPBDPADPABCDSSSSSS，所以BCPABPBDPSSS而12BCPBCFESS，12ABPABHGSS，2216BCFEABHGBCPABPBDPSSSSS(平方分米)2.如图，ABCDEF 为正六边形.G、H、I、J、K、L 分别为 AB、BC、CD、DE、EF、FA 边上的三等分点，形成了正六边形 GHIJKL.请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？【分析】易数得：共 54 个小正三角形，阴影部分 42 个，故小正六边形占大正六边形面积的 427549.3.（2009 年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A，2A，3A，4A，5A，6A 的面积是200

25、9 平方厘米，1B，2B，3B，4B，5B，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米ABCDEFGHPABCDEFGHP附加题16第 11 级下超常体系教师版【分析】既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用右图的割补思路，把正六边形分割成14 个大小形状相同的梯形，其中阴影占 8 个梯形，所以阴影面积为82009114814（平方厘米）4.如图，在梯形 ABCD 中，E 是 AB 的中点.已知梯形 ABCD 的面积为 35 平方厘米，三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米.三角形BCE 的面积为多少平方厘米？【分析】连结 AC，由于梯形的面积为

26、35 平方厘米，而三角形 ABD 的面积为 13 平方厘米，所以三角形 DBC 的面积为 22 平方厘米，三角形 ABC 的面积也为 22 平方厘米，则三角形 BEC 的面积为 11 平方厘米.5.如图，1ABCS，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG求FGSS【分析】4321115432210FGSS6.如图是一个正六角星纸板，其中每条边的长均为 5现在沿虚线部分剪开，那么较小的那部分占到整体面积的几分之几？(提示:可进行适当的分割)A6B 4B5B3B2B6B 1A5A4A3A2A1EA1A2A 3A4A5B1B6B5B 4A6B2B3GDEDCBAEDCBASGFEDCBA17

27、第 11 级下超常体系教师版第三讲【分析】对图形进行分割，分割过程如右图：使所给我们的图形由 12 个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为 1，则根据鸟头模型有：11 1314315 15225BDEBACSBDBESBABC所以四边形 ACED 的面积为：143821922525故较小的部分占整体面积的 82107(1)12253001.(第五届走美决赛试题)一个长方形和一个等腰直角三角形如图放置，图中六块的面积分别为 1，1，1，1，2，3大长方形的面积是【分析】如右图对图形进行适当的分割可得大长方形的面积是 192.如图，一个六边形的 6 个内角都是 120，其连续四边的长依次是

28、1 厘米、9 厘米、9 厘米、5 厘米求这个六边形的周长【分析】将原图补成一个平行四边形，因此周长为(9519)21542 （厘米）DECBA321111111123159955111599家庭作业18第 11 级下超常体系教师版3.在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积【分析】连接 PA、PC 由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的 14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 16，所以阴

29、影部分的面积为2116()1546平方厘米4.如图所示，ABCD 是梯形，ADE面积是1.8，ABF的面积是 9,BCF的面积是 27那么阴影AEC面积是多少？【分析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到AFBDFCAFDBFCSSSS，而AFBDFCSS(等积变换)，所 以 可 得99327AFBCDFAFDBFCSSSS，并 且31.81.2AEFADFAEDSSS,而:9:271:3AFBBFCSSAF FC,所以阴影AEC的面积是：41.244.8AECAEFSS5.下图中正方形的面积为 1，E、F 分别为 AB、BD 的中点，13GCFC求阴影部分的面积【分析】阴影部分为三角形，已知底边为正方

30、形边长的一半，只要求出高，便可求出面积 可以作FH 垂直 BC 于 H，GI 垂直 BC 于I 根据相似三角形性质，:1:3CI CHCG CF，又因为 CHHB，所以:1:6CI CB，即:61:65:6BI BC，所以115522624BGESPDCBAPDCBAFEDCBAABCDEFGIHABCDEFG19第 11 级下超常体系教师版第三讲6.如图，三角形 ABC 中，G 是 AC 的中点，D、E、F 是 BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M，AF 与 BG 交于 N，已知三角形 ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少平方厘

31、米？【分析】连接 CM、CN 根据燕尾定理，:1:1ABMCBMSSAG GC，:1:3ABMACMSSBD CD，所以15ABMABCSS；再根据燕尾定理，:1:1ABNCBNSSAG GC，所以:4:3ABNFBNCBNFBNSSSS，所以:4:3AN NF，那么1422437ANGAFCSS，所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS根据题意，有 157.2528ABCABCSS，可得336ABCS(平方厘米)7.如图，在四边形 ABCD 中，把 AB 五等分，把 CD 五等分，把相对的各分点连结，得到下图.已知其中的两部分的面积分别是 0.8 和 0.9，那么四边形 A

32、BCD 的面积是多少？【分析】13EFGHAGPDSS四边形四边形,0.9 30.80.91FGPNS 四边形,同理1 30.911.1GHQPS 四边形,1.1 31 1.11.2HBCQS 四边形,所以四边形 ABCD 的面积是0.80.91 1.1 1.258.如图，在ABC中，延长 AB 至 D,使 BDAB，延长 BC 至 E,使12CEBC，F 是 AC 的中点，若ABC的面积是 2，则DEF的面积是多少？NMGABCDEFNMGABCDEFQPNMHGFE0.90.8DCBAABCDEF20第 11 级下超常体系教师版【分析】本题可以用“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三

33、角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”在ABC和 CFE中，ACB与FCE互补，2241 11ABCFCESAC BCSFC CE又2ABCS，所以12FCES同理可得2ADFS，3BDES所以12323.52DEFABCCEFDEBADFSSSSS【超常班学案 1】如图，正方形 ABCD 的边长是5，E，F 分别是 AB 和 BC 的中点，求四边形 BFGE的面积【分析】如图，利用割补法，原正方形面积等于5 个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5【超常班学案 2】如图所示在四边形 ABCD 中，线段 BC 长为6 厘米，角 A

34、BC 为直角，角BCD 为135，而且点 A 到边 CD 的垂线 AE 的长为12 厘米，线段 ED 的长为5 厘米，四边形 ABCD的面积为多少平方厘米？【分析】如图将这个四边形补成一个三角形.那么三角形 AFE 是一个等腰直角三角形，所以12FEAE，所以三角形 ADF 的底长12517DF 厘米，而高12AE 厘米，所以三角形 ADF 的面积等于17 122102平方厘米.而三角形 ADF 比四边形 ABCD 多出一块等腰直角三角形 BFC，它的面积为 66218平方厘米，所以四边形 ABCD 的面积为1021884平方厘米.GFEADCBBCDAEFG超常班学案21第 11 级下超常体

35、系教师版第三讲【超常班学案 3】如图，45BC，21AC，ABC被分成 9 个面积相等的小三角形，那么DIFK【分析】由题意可知，:2:9BADABCBD BCSS，所以2109BDBC，35CDBCBD；又:2:5DIFDFCDI DCSS，所以2145DIDC，同样分析可得10FK，所以141024DIFK【超常班学案 4】如图，三角形 ABC 被分成6 个小三角形，已知其中 4 个小三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少?【分析】设BOFSx，由题意知:4:3BD DC 根据燕尾定理,得:4:3ABOACOBDOCDOSSSS,所以33(84)6344ACOSxx，再 根 据:AB

36、OBCOAOECOESSSS，列 方 程3(84):(4030)(6335):354xx解 得56x:35(5684):(4030)AOES,所以70AOES所以三角形 ABC 的面积是8440303556703151355612EDCBAFABCDE1265135KJIHGFEDCBA35304084OFEDCBA22第 11 级下超常体系教师版【123 班学案 1】（2011“数学解题能力展示”读者评选活动五年级组初试试卷）两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形；若其中较小正方形的边长为 12cm，那么较大正方形的面积是cm 2【分析】根据题意，每一个都是等腰直角三角形，对

37、其分割，有：设最小的等腰直角三角形的面积为 1 份，则两个正方形的面积一个为 16 份，一个为 18 份，那么较大的正方形的面积为：12 1216 18162（平方厘米）【123 班学案 2】如下图，在梯形 ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CDAB，点E、F 分别是 AD 和BC 的中点，已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是平方厘米【分析】连接 EF，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 ABCD 面积设梯形 ABCD的上底为 a，总面积为 S 则下底为 2a，13

38、222EFaaa所以3:2:32AB EFaa，3:23:42EF DCaa由于梯形 ABFE 和梯形 EFCD 的高相等，所以 33:25:722ABFEEFCDSSABEFEFDCaaaa 梯形梯形，故512ABFESS梯形，712EFCDSS梯形根据梯形蝴蝶定理，梯形 ABFE 内各三角形的面积之比为222:23:23:34:6:6:9，所FEABCDMNFEABCDMN123 班学案23第 11 级下超常体系教师版第三讲以99534669251220EMFABFESSSS梯形；同理可得99739121216491228ENFSSSS梯形EFCD，所以339202835EMFNEMFEN

39、FSSSSSS，由于54EMFNS平方厘米，所以95421035S(平方厘米)【123 班学案 3】如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.【分析】阴影部分是由几个三角形重叠得到的.欲求阴影部分的面积，需要把下面两图中标记的六块面积求出，但是，知道下面左边图形中的三块面积相等，右边图示的三块面积相等，所以只需求出其中的一块就可以求出题意中的阴影图形的面积.令 BI 与CD 的交点为 M，BH 与 AF 的交点为 O，与CE 的交点为 P，与 AG 的交点为 Q，CE 与 AG 的交点为 R.故连接 AM、AP、CQ、O

40、G，根 据 燕 尾 定 理，:2:1CBMABMSSCI IA，:2:1BCMACMSSBD DA，所 以14ABMABCSS.因 为 D 是 AB 的 三 等 分 点，所 以112ADMABCSS.同 理，112AIMABCSS，所 以16ABCADMISS 四边形.IHGFEDCBANRPOQMABCDEFGHIIHGFEDCBAMQPRNIHGFEDCBAMQPRN24第 11 级下超常体系教师版同理16ABCADMIBFNEGCHQSSSS 四边形四边形四边形;根据燕尾定理，:2:1ABQCBQSSAH HC，:2:1ABQACQSSBG GA，所以14BCQABCSS,12ABQAB

41、CSS.因为2136BGQBCQABCSSS，所以3AQQG.根据燕尾定理，:3:1ABOGBOSSAQ QG，:1:1ABOAGOSSBF GF，所以12721BOGABGABCSSS，121BOFABCSS.同理，121CGRABCSS.由燕尾定理可得15BCPABCSS，所以11111()52121105ABCABCOPRGFSSS五边形.故得阴影部分的面积是：11113133610570.【123 班学案 4】如图所示，正方形 ABCD的面积为 1.E、F 分别是 BC 和DF 的中点，DE 与 BF 交于 M点，DE 与 AF 交于 N 点，那么阴影三角形 MFN 的面积为多少？【分析】取 DE 中 点 P，连 结,PA PB PF EF，那 么1124PFCEAD，在 梯 形 APFD 中，:1:4FNANPF AD，15FNAF；在 梯形 PBEF 中，:1:2EMBMPF BE，13FMBF.应用鸟头模型，111113515230FMNABFABCDSSS.NMFEDCBAPNMFEDCBA