山东省济南市2020届高三数学4月模拟考试试题参考答案.pdf

1、1高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案AABCDBCB二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。题号9101112答案ACABDACDAC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13 13；14 2 33；152；16 2 3，94（本小题第一空 2 分，第二空 3 分）四、解答题：共 70 分.解答应

2、写出文字说明、证明过程或演算步骤。17【解析】（1）由等方差的定义可知 nncd，为等方差数列；.4 分（2）因为数列na是首项为 1，公方差为 2 的等方差数列，所以212(1)21nann ，.7 分所以2(121)2nnnSn.10 分18【解析】（1）【方法一】由题意可知，BCD的外接圆半径为 5 33，由正弦定理5 322sin3BDRBCD，.3 分解得5BD；.5 分【方法二】2由题意可知，BCD的外接圆半径为 5 33，设该外接圆的圆心为O，则23BOD，5 33OBOD，所以2222cos25BDOBODOB ODBOD，.3 分解得5BD；.5 分（2）【方法一】在ABD中

3、，设ABD，为锐角，则2ADB，因为 sin 2sinABAD，所以32sincossinAB，.7 分所以6cosAB，因为2222cosADABBDAB BD，即22936cos2560cos，所以6cos3，.9 分则6cos2 6AB，3sin3，所以1sin5 22ABDSAB BD.12 分【方法二】在ABD中，因为2ADBABD，所以 sinsin 22sincosADBABDABDABD，.7 分所以2222cos22ABBDADABADABDADAB BD，因为53BDAD，所以2 6AB，.9 分所以6cos3ABD，则3sin3ABD，所以1sin5 22ABDSAB B

4、DABD.12 分【方法三】在ABD中，设ABD，为锐角，则2ADB，3BAD ，因为 sin3sinBDAD，即53sin3sin，.7 分因为 sin3sin(2)sin 2 coscos2 sin2332sincossin2sin3sin4sin，3所以21sin3，则3sin3.9 分则6cos3，2 2sin 23，所以1sin 25 22ABDSAD BD.12 分19【解析】（1）证明：在三棱锥 DABC中，因为 CDBC CDAC，ACBCC，所以 CD 平面 ABC，.2 分又 AE 平面 ABC，所以 AECD，因为 ABAC，E 为 BC 中点，所以BCAE，又 BCCD

5、C，所以 AE 平面 BCD，.4 分又 AE 平面 ADE，所以 平面 ADE 平面 BCD.5 分（2）【方法一】由（1）可知DEC即为直线 DE 与平面 ABC 所成的角，所以4DEC，故1CDCE；.6 分作 EFCD交 BD 于点 F，由（1）知 EA EB EF，两两垂直，以 E 为原点，EA EB EF，所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建系，.7 分则(0 0 0)E，(1 0 0)A，(0 1 0)B，(01 1)D，易知 平面 BCD 的法向量为1(1 0 0)，n，.8 分又(1 1 0)AB ，(11 1)AD ，设平面 ABD 的法向量为2()xy z，n，则22

6、00ABxyADxyz ，nn令1x ，解得2(1 1 2)，n，.10 分所以1212126cos|6，nnnnnn，由图可知 该二面角为锐角，zyx图2FEDABC4所以 二面角 ADBC的余弦值为66.12 分【方法二】由（1）可知DEC即为直线 DE 与平面 ABC 所成的角，所以4DEC，故1CDCE；.6 分由（1）知 AE 平面 BCD，过 E 作BDEH 于 H，连接 AH，由三垂线定理可知 AHBD，故AHE为二面角 ADBC的平面角.8 分由BHE BCD，得 BEEHBDCD，即115EH，得55EH，所以530AH，.10 分故6cos6EHAHEAH，所以 二面角 A

7、DBC的余弦值为66.12 分20【解析】（1）由题意可得好评中评或差评合计物流迅速50555物流迟缓301545合计8020100.2 分22(50 15305)1001006.6358020554511K，.3 分所以 有99%的把握认为“获得好评”与物流速度有关.4 分（2）（i）由题意可知，X 的取值可能是1 01，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为 0.8 0.1 0.1，所以 X 的分布列为图2EDABCH5X101P0.80.10.1所以1 0.800.1(1)0.10.7EX ；.7 分（ii）【方法一】设商家每天的成交量为Y，则Y 的取值可能为 27 30 36，

8、所以 Y 的分布列为Y273036P0.40.40.2所以270.4300.4360.230EY，.10 分所以 商家每天能获得的平均积分为300.721，商家一年能获得的积分：21 365766510000，.11 分所以 该商家在 1 年内不能获得“诚信商家”称号.12 分【方法二】商家每天的平均成交量为(36 1030202720)3050，.10 分所以 商家每天能获得的平均积分为300.721，商家一年能获得的积分：21 365766510000，.11 分所以 该商家在 1 年内不能获得“诚信商家”称号.12 分21【解析】（1）若选，设()P x y，根据题意，22(3)324

9、3|3xyx，.3 分整理得2214xy，所以 所求的轨迹方程为2214xy.5 分若选，设()P x y，直线l 与圆相切于点 H，则12|2|42 3|PAPBddOHAB，.2 分由椭圆定义知 点 P 的轨迹是以 A B，为焦点的椭圆，.3 分6所以 24a，2|2 3cAB，故2a，3c，1b ，所以 所求的轨迹方程为2214xy.5 分若选，设()P x y，(0)S x，(0)Ty，则22()()3xy（*），因为2133OPOSOT，所以2313xxyy，.2 分整理得323xxyy ，.3 分代入（*）得2214xy，所以 所求的轨迹方程为2214xy.5 分（2）【方法一】设

10、0(0)Qy，当l 斜率不存在时，00y.6 分当 l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)yk xk，11()M xy，22()N xy，由22(1)14yk xxy，消去 y 并整理得2222(14)84(1)0kxk xk.0 恒成立，2122814kxxk，.8 分设线段 MN 的中点为33()G xy，则212324214xxkxk，332(1)14kyk xk .所以 线段 MN 的垂直平分线的方程为22214()1414kkyxkkk.令0 x，得02331144kykkk.10 分当0k 时，144kk，当且仅当12k 时，取等号，所以0304y；当0k 时，144kk，

11、当且仅当12k 时，取等号，所以0304y；7综上，点Q 纵坐标的取值范围是3344，.12 分【方法二】设0(0)Qy，根据题意直线l 斜率不为 0，设直线l 的方程为1xmy 若0m，则00y.6 分当0m 时，设11()M xy，22()N xy，由22114xmyxy，消去 x 并整理得22(4)230mymy.0 恒成立，12224myym.8 分设线段 MN 的中点为33()G xy，则123224yymym，332414xmym.所以 线段 MN 的垂直平分线的方程为224()44mym xmm.令0 x，得023344mymmm.10 分当0m 时，44mm，当且仅当2m 时，

12、取等号，所以0304y；当0m 时，44mm，当且仅当2m 时，取等号，所以0304y；综上，点Q 纵坐标的取值范围是3344，.12 分【方法三】设0(0)Qy，当l 斜率不存在时，00y.6 分当 l 斜率存在时，设l 斜率为 k，11()M xy，22()N xy，线段 MN 的中点为33()G xy，由221122221414xyxy，得12121212()()()()04xxxxyyyy.所以33121212123324()424xxyyxxkxxyyyy ，.8 分线段 MN 的垂直平分线的方程为33334()yyyxxx，令0 x，得033yy.8由333341xykyx ，得2

13、22333311111()444216yxxx ，.10 分因为301x，所以231016y，则3104y或3104y，所以0304y或0304y.综上，点Q 纵坐标的取值范围是3344，.12 分22【解析】（1）3(2)2()xaxexfxx，(2)12af ，.1 分所以2a；.2 分（2）要证()1f x ，只需证21()e102xh xxx，()e1xh xx，()e1xh x，因为(0)x ，所以()0hx，所以()e1xh xx 在(0)，上单调递增，所以()e1(0)0 xh xxh.5 分所以21()e12xh xxx 在(0)，上单调递增，所以21()e1(0)02xh x

14、xxh 成立，所以 当0 x 时，()1f x 成立.6 分（3）【方法一】由（2）知当0 x 时，()1f x ，因为1()nxnef x，所以1ln()nnxf x，设()ln()nng xf x，则1()nnxg x，所以121()()()0nnnxg xg g xgg x；.8 分要证：2 e11nxn，只需证：1|e1|()2nxn，因为113x，所以113|e1|e1x ，9因为3327e()e028，所以133e2，所以1131|e1|e12x ，故 只需证：11|e1|e1|2nnxx，因为(0)nx ，故只需证：111e1e22nnxx ，即证：11()1e22nxnf x，

15、只需证：当(0)x ，时，2211()(2)e22022xxxxx，.10 分21()(2)e22xxxxx，21()(21)e12xxxx，21()(31)e02xxxx，所以()x在区间(0)，上是增函数，故21()(21)e1(0)02xxxx，所以()x在区间(0)，上是增函数，故21()(2)e2(0)02xxxxx，所以()x在区间(0)，上是增函数，所以2211()(2)e22(0)022xxxxx，所以 原不等式成立.12 分（ii）【方法二】由（2）知当0 x 时，()1f x ，因为1()nxnef x，所以1ln()nnxf x，设()ln()nng xf x，则1()n

16、nxg x，所以111()()()0nnnxg xg g xgg x；.8 分要证：2 e11nxn，只需证：1|e1|()2nxn，因为113x，所以113|e1|e1x ，因为3327e()e028，所以133e2，所以1131|e1|e12x ，故 只需证：11|e1|e1|2nnxx，因为(0)nx ，故只需证：111e1e22nnxx ，10即证：11()1e22nxnf x，只需证：当(0)x ，时，2211()(2)e22022xxxxx，.10 分因为22111()(4)e(44)(2)(2)(2)222xxxxxxxxex，设()(2)(2)xu xxex，故只需证：()0u x，()(1)1xu xxe，()0 xu xxe，所以()u x在区间(0)，上是增函数，故()(1)1(0)0 xu xxeu，所以()u x 在区间(0)，上是增函数，故()(2)(2)(0)0 xu xxexu，所以 原不等式成立.12 分