平面向量奔驰定理与三角形四心.pdf

1、 平面向量奔驰定理与三角形四心 已知O 是 ABC内的一点，AOBAOCBOC,的面积分别为AS，BS，CS，求证：0=+OCSOBSOASCBA 如图 2 延长OA与 BC 边相交于点 D 则 BCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSS A=图 1 =ODBCDC OB+BCBD OC =CBBSSS+OB+CBCSSS+OC CBACOABOACODBODCOACODBOABODSSSSSSSSSSSOAOD+=+=图 2 CBASSSOD+=OA CBASSS+OA=CBBSSS+OB+CBCSSS+OC 0=+OCSOBSOASCBA 推论O 是 A

2、BC内的一点，且0=+OCOBOAzyx，则 zyxSSSAOBCOABOC:=OABCDOABC下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君 有此定理可得三角形四心向量式 O 是 ABC的重心 1:1:1:=AOBCOABOCSSS0=+OCOBOA O 是 ABC的内心 cbaSSSAOBCOABOC:=0=+OCOBOAcba O 是 ABC的外心 CBASSSAOBCOABOC2sin:2sin:2sin:=02sin2sin2sin=+OCCOBBOAA O 是 ABC的垂心 CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:=0tantantan=+OCCOBBOAA OCABD

3、证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDBADCDA=tan,tanADDBBA:tan:tan=COABOC SS:ADDB:BASSCOABOCtan:tan:=同理得CBSSAOBCOAtan:tan:=，CASSAOBBOCtan:tan:=CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan:=奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 4.2 三角形“四心”的相关向量问题 一知识梳理：四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂

4、线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题 1 已知G 是ABC所在平面上的一点，若0GAGBGC+=，则G 是ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 如图.AGCAB 2 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点，ABC，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点，动 点 P 满 足()OPOAABAC=+，(0)+，则 P 的轨迹一定通过ABC的().A重点 B外心 C内心 D垂心【解析】由题意()APABAC=+，当(0)+，时，由于()ABAC+表示 BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过ABC的重心，如图.3.O 是ABC

5、 所在平面内一点，动点 P 满足（0，+），则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的（）A内心 B重心 C外心 D垂心 图 图 M PCBAO 解：作出如图的图形 ADBC，由于sinB=sinC=AD，=由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心 故选：B 与“垂心”有关的向量问题 3 P 是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA=，则 P 是ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 【解析】由 PA PBPB PC=，得()0PBPAPC=，即0PB CA=，所以 PBCA同理可证 PCAB，PABC P 是ABC的垂心如图.PABC 4 已 知

6、O 是 平 面 上 一 定 点，ABC，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点，动 点 P 满 足coscosABACOPOAABBACC=+，(0)+，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 【解析】由题意coscosABACAPABBACC=+，图 图 HFEMABCOP B C H A 图 6 由于0coscosABACBCABBACC+=，即0coscosAB BCAC BCBCCBABBACC+=,所以 AP表示垂直于 BC的向量，即 P 点在过点 A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过ABC的垂心，如图.5 若 H 为ABC所在

7、平面内一点，且222222HABCHBCAHCAB+=+=+则点 H 是ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 证明:2222HAHBCABC=()()HAHBBACACBBA+=+得()0HAHBCACBBA+=即()0HCHCBA+=ABHC 同理,ACHB BCHA，故 H 是ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题 6 已 知 I 为ABC所 在 平 面 上 的 一 点，且 ABc=，ACb=，BCa=若0aIAbIBcIC+=，则 I 是ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 ABCOPbacIACB 【解析】IBIAAB=+，ICIAAC=+，则由题意得()0abc IAb

8、ABcAC+=，ABACbABcACAC ABAB ACACABABAC+=+=+，bcABACAIabcABAC=+ABAB 与 ACAC 分别为 AB和 AC方向上的单位向量，AI与BAC平分线共线，即 AI 平分BAC 同理可证：BI 平分ABC，CI 平分ACB从而 I 是ABC的内心，如图.7 已知O 是平面上一定点，ABC，是平面上不共线的三个点，动点 P 满足=OP OA+ACACABAB，(0)+，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 【解析】由题意得ABACAPABAC=+，当(0)+，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点 P

9、的轨迹一定通过ABC的内心，如图.8若O在ABC所在的平面内：=，则 O 是ABC的（）A垂心 B重心 C内心 D外心 解：向量的模等于 1，因而向量是单位向量 图 图 OCAB向量、和等都是单位向量 由向量、为邻边构成的四边形是菱形，可得 AO 在BAC 的平分线上 同理可得 OB 平分ABC，OA 平分ACB，O 是ABC 的内心 故选：C 与“外心”有关的向量问题 8 已知O 是ABC所在平面上一点，若222OAOBOC=，则O 是ABC的()A重点 B外心 C内心 D垂心 【解析】若222OAOBOC=，则222OAOBOC=，OAOBOC=，则O 是ABC的外心，如图。9 已知 O

10、是平面上的一定点，ABC，是平面上不共线的三个点，动点 P 满足2coscosOBOCABACOPABBACC+=+，(0)+，则动点 P 的轨迹一定通过图 MOBCAP图 ABC的()。A重点 B外心 C内心 D垂心 【解析】由于2OBOC+过 BC 的中点，当(0)+，时，coscosABACABBACC+表示垂直于 BC的向量（注意：理由见二、4 条解释。），所以 P 在 BC 垂直平分线上，动点 P的轨迹一定通过ABC的外心，如图 四心的相互关系 1.三角形外心与垂心的向量关系及应用 设ABC的外心为O，则点 H 为ABC的垂心的充要条件是OHOAOBOC=+。2.三角形外心与重心的向

11、量关系及应用 设ABC的外心为O，则点G 为ABC的重心的充要条件是1()3OGOAOBOC=+3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H 三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且12OGGH=。相关题目 10设ABC 外心为 O，重心为 G取点 H，使 求证：（1）H 是ABC 的垂心；（2）O，G，H 三点共线，且 OG：GH=1：2【解答】证明：（1）ABC 外心为 O，又 则=0 即 AHBC 同理 BHAC，CHAB 即 H 是ABC 的垂心；（2）G 为ABC 的重心=3=3+=即=3 即 O，G，H 三点共线，且 OH=3OG 即 O，G，H 三点共线，且 OG：GH=1：2