湖北武汉华中师大一附中2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司华中师大一附中 20232024 学年度上学期高二期末检测数学试题时限：120 分钟满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知直线l 的方程为()sin30Rxy+=，则直线l 的倾斜角 的取值范围是（）A)0,B,4 2 C3,44 D3,4 224 2已知两条异面直线的方向向量分别是()()3,1,2,3,2,1uv=，则这两条异面直线所成的角 满足（）A9sin14=B9cos14=C115sin14=D9cos14=3已知,a b cR，则“2bac=”是“,a b c

2、 成等比数列”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 4已知点 P 为双曲线22:14yC x=右支上的一个动点，则点 P 到直线:24l yx=+的距离的取值范围为（）A 4 5,5+B 4 5,5+C()2,+D 5,4+5在 1 和 17 之间插入()2n 个数，使得这n 个数成等差数列若这()2n 个数中第 1 个为a，第()2n 个为b，则 125ab+的最小值是（）A2 B3 C4 D5 6过抛物线2:2(0)E ypx p=焦点 F 的直线与此抛物线交于,A B 两点，且2AFFB=抛物线 E 的准线l与 x 轴交于点C，过点 A 作1AAl于点1A

3、若四边形1AACF 的面积为5 2，则 p 的值为（）A2 B4 C2 2 D 4 159 7谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去操作第 1 次得到图 2，操作第 2 次得到图 3，若继续这样操作下去后得到图 2024，则从图 2024 中挖去的白色三角形个数是（）学科网（北京）股份有限公司 A20233 B20243 C2023312

4、 D2024312 8已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左焦点为 F，如图，过点 F 作倾斜角为60 的直线与椭圆 E 交于,A B两点，M 为线段 AB 的中点，若4 FMOF=（O 为坐标原点），则椭圆 E 的离心率为（）A33 B105 C 155 D 2 77二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知圆22:1O xy+=，则下列曲线一定与圆O 有公共点的是（）A224470 xyxy+=B3210 xy+=C抛物线2:4E yx=的准线 D()

5、222(3)9xyttR+=+10在正方体1111ABCD A B C D中，N 为 BC 的中点，O 为1BD 的中点，M 是棱1AA 上靠近1A 的四等分点，Q 是棱1DD 上靠近 D 点的四等分点，点 P 在正方体的表面上运动，且满足1OPC N，则下列说法正确的是（）A1MQC N B点 P 可以是1BB 的中点 C点 P 的轨迹是长方形 D点 P 的轨迹所在平面与平面 ABCD 相交 学科网（北京）股份有限公司 11双曲线具有如下光学性质：从一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点如图，已知双曲线2222:1xyC ab=12(0,0),abF F为双曲线

6、C 的左、右焦点某光线从2F 出发照射到双曲线右支的 P 点，经过双曲线的反射后，反射光线 PM 的反向延长线经过1F 双曲线在点 P 处的切线与x 轴交于点12,2Q FQQF=，且反射光线所在直线的斜率为 157则以下说法正确的是（）A点Q 到直线1PF 和直线2PF 的距离相等 B14PFa=C双曲线C 的离心率为 2 D若过点Q 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，则点Q 不可能是线段 AB 的中点 12已知nS 是等比数列 na的前n 项和，且11(2)nnSa=+，则下列说法正确的是（）A2a=B nS中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值 C nS的最大项为13S=，最小项为2

7、32S=D12231011201612a aa aa a+=学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若R 上的可导函数()yf x=在0 xx=处满足()()00lim32xf xxf xx=，则()0fx=_ 14对于任意向量,a b定义运算：2|abaa b=若向量()2,1,1a=，向量b为单位向量，则ab的取值范围是_ 15已知抛物线2:C xy=，点()1,1,RPtAPB和 RtCPD为此抛物线的两个内接三角形（即三角形的三个顶点均在拋物线上），且均以点 P 为直角顶点，则直线 AB 与直线CD 的交点坐标为_ 16记R 上的可导函

8、数()f x 的导函数为()fx，满足()()1nnnnf xxxfx+=的数列 nx称为“牛顿数列”若函数()2f xxx=，且()21fxx=，数列 nx为牛顿数列设ln1nnnxax=，已知12,1nax=，则2a=_，数列 na的前n 项和为nS，若不等式214nntSS对任意的*Nn恒成立，则t 的最大值为_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤。17已知圆22:(1)5C xy+=，（1）已知直线 1:10lmxym+=，设 1l 与圆C 交于,A B 两点，求弦 AB 中点 P 的轨迹方程；（2）记（1）中点 P 的轨迹为曲线 E，点

9、 M 为曲线 E 上一点，点 N 为直线 2:3440lxy=上一点，求 MN的取值范围 18已知数列 na是等差数列，数列 nb是等比数列，且满足：()1154391,2abaaa=，54369bbb=（1）求 nnab、的通项公式；（2）数列 nc满足12112nnncccabbb+=，求 nc的通项公式 19已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的离心率为 2 3,3A B 分别为双曲线C 的左、右两个顶点，左顶点 A 到双曲线C 渐近线的距离为32；（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点()0,1 且斜率为k 的直线l 与双曲线C 仅有一个交点，求实数k 的值 20如图，在直

10、四棱柱1111ABCDA B C D中，底面四边形 ABCD 为梯形，学科网（北京）股份有限公司/,6,2,60AB CD ABADCDBAD=，点 E 在线段 AB 上，且2,AEF=为 BC 的中点 （1）求证：1/C E平面11ADD A；（2）若直线1D E 与平面 ABCD 所成角的大小为45，求锐二面角11BEFC的余弦值 21已知数列 na满足：212log,?2,?nnnaa nan+=为奇数为偶数，且14a=记数列135,a a a 为 nb，记数列246,a a a 为 nc。（1）求证：nc是等差数列，并求 nc的通项公式；（2）记()21log1nnnnndbccb=+

11、，求数列 nd的前n 项和nT 22已知抛物线21:Cxy=，其焦点为10,4F （1）,A B 两点为抛物线1C 上的动点且满足32AFBF+=，直线 AB 不垂直于 y 轴，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点 P，并求出点 P 的坐标；（2）已知椭圆222:142xyC+=，圆22:(2)(1)1Mxy+=，过（1）中点 P 作斜率分别为12,k k 的直线 12,l l，且满足121k k=，直线 1l 交椭圆2C 于,C D 两点，直线 2l 交圆 M 于,E F 两点，点 H 为 EF 中点，求HCD面积的取值范围 华中师大一附中 20232024 学年度上学期高二期末检测数学试题

12、答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B B A A C D BC ACD ABD BCD 136 1466,66+15()1,2 164，253 8解：由图可知：733,887OMMcck=又3ABk=，由垂径定理：学科网（北京）股份有限公司222222332 7,1777OMABbbbkkeaaa=12解：由等比数列的前n 项和公式nnSA qA=+可知，12,22nnSaa=+=，A 错误；因此1112,?1222122,?2nnnnnSn+=+=+为奇数为偶数，可得 nS中，奇数项递减，且始终大于 2，最大值为13S=，偶数项递增，且始终小于

13、2，最小值为232S=，因此 BC 正确；由nS 可得23122nna=，令231219 194 22nnnnnba a+=，所以1012231011121020911124611214a aa aa abbb+=+=，故 D 正确。15解：设()()221122,A x xB xx，则()()21121:ABlyxxxxx=+，即()1212:ABlyxxxx x=+，又()()221122,1,1,1,1PAPB PAxxPBxx=，则有()()()()()()22121212121211110,111020 xxxxxxx xxx+=+=+=则对于()1212:ABlyxxxx x=+而

14、言，定过定点()1,2 同理，CDl也过定点()1,2，则可知直线 AB 和CD 的交点坐标为()1,2 16解：因为()2f xxx=，则()21fxx=，则2212121nnnnnnnxxxxxxx+=，由11112,ln1xaax=，所以211e1xx=，解得212ee1x=，所以241241e21e1xxx=，所以222ln41xax=，由2121nnnxxx+=，所以2221221211211121nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx+=+，所以2111lnln2ln2111nnnnnnnnxxxaaxxx+=，学科网（北京）股份有限公司即数列 na是以 2 为首项、2 为公

15、比的等比数列，所以2nna=，()12 1 2221 2nnnS+=，因为214nntSS对任意的*Nn 恒成立，又0nS 且nS 单调递增，所以14nntSS+对任意的*Nn 恒成立，令()()14,0,g xxxx=+，根据对勾函数的性质可得()14g xxx=+在()0,14 上单调递减，在()14,+上单调递增，又122146SS=，且()()()2529,623ggg=恒成立，且有13434221142,1212kxxx xkk+=+()2212213434121141412 212kCDkxxx xkk+=+=+又 211:1lyxk=+，则点()2,1M到 2l 的距离为212121,11kk 由于2121,/MHl llMH l，则点 H 到 CDl即 1l 的距离即为点 M 到 CDl的距离为12121kdk=+()24211211122221112144112 22212112HCDMCDkkkkSSkkkk+=+=+令2112kt+=，则3t 上式22222121231113122222228tttttttt+=又110,3t，则2 5,23HCDS