2022版新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 2 空间向量在立体几何中的应用 5 空间中的距离 第2课时 点到平面、直线到平面、平面到平面的距离训练（含解析）新人教B版选择性必修第一册.docx

1、第2课时 点到平面、直线到平面、平面到平面的距离基础达标练1.已知平面的一个法向量为n=(-2,-2,1) ,点A(-1,3,0)在内,则P(-2,1,4)到的距离为( )A.10B.3C.83 D.103答案：D2.（2021北京四中高二期中）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是( )A.66a B.36a C.34a D.63a答案：A3.四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-3,1,-4) ,则四棱锥的高h为( )A.1B.2C.3D.4答案：A解析：设平面ABCD的一个法向量为n=(x,

2、y,z) .则ABn=0,ADn=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0,不妨令x=3 ,则y=12,z=4 ,可得n=(3,12,4) .易知点P到平面ABCD的距离就是四棱锥的高h ,则h=|APn|n|=|-9+12-16|13=1 .4.若A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),直线PD平面ABC ,则直线PD到平面ABC的距离为答案：4917175.（2021江苏江浦高级中学高二月考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB=90 ,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G

3、 ,则点A1到平面ABD的距离为 .答案：263解析：由题意,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.设CA=CB=a(a0) ,则A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,1),A1(a,0,2),E(a2,a2,1),G(a3,a3,13) ,所以GE=(a6,a6,23),BD=(0,-a,1) ,因为点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G ,所以GE平面ABD ,所以GEBD=0 ,即a60+a6(-a)+231=0 ,解得a=2（负值舍去）,即GE=(13,13,23) ,则点A1到平面ABD的距离d=2|GE|=2636.

4、如图,空间几何体由两部分构成,上部分是一个底面半径为1,高为2的圆锥,下部分是一个底面半径为1,高为2的圆柱,圆锥和圆柱的轴在同一直线上,圆锥的下底面与圆柱的上底面重合,点P是圆锥的顶点,AB是圆柱下底面的一条直径,O是其中点,AA1、BB1是圆柱的两条母线,C是弧AB的中点.（1）求异面直线PA1与BC所成角的余弦值;（2）求点B1到平面PAC的距离.答案：（1）以O为原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.则P(0,0,4),A1(0,-1,2),B(0,1,0),C(1,0,0) ,PA1=(0,-1,-2),BC=(1,-1,0),则

5、cosPA1,BC=PA1BC|PA1|BC|=152=1010 ,异面直线PA1与BC所成角的余弦值为1010（2）B1(0,1,2),A(0,-1,0),B1P=(0,-1,2),PA=(0,-1,-4),PC=(1,0,-4)设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z) ,则nPA=-y-4z=0,nPC=x-4z=0,取z=1 ,得n=(4,-4,1) ,点B1到平面PAC的距离d=|B1Pn|n|=633=23311 .素养提升练7.（多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、O分别是A1B1、A1C1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1

6、 ,则下列说法正确的是( )A.点A到直线BE的距离是55B.点O到平面ABC1D1的距离为24C.平面A1BD到平面B1CD1的距离为33D.点P到直线AB的距离为2536答案：B ; C解析：如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(12,0,1),O(12,12,1) .所以BA=(-1,0,0),BE=(-12,0,1) .设ABE= ,则cos=|BABE|BA|BE|=55,则sin=1-cos2=255故点A到直线BE的距离d1=|BA|sin=1255=255 ,故A中说法错

7、误;C1O=(-12,-12,0),易知平面ABC1D1的一个法向量为DA1=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1C1O|DA1|=122=24 ,故B中说法正确;A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0) . 设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z) ,则nA1B=0,nA1D=0,所以x-z=0,y-z=0,令z=1 ,得y=1,x=1 ,所以n=(1,1,1) .所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1n|n|=13=33 .因为平面A1BD平面B1CD1 ,所以平面A1BD到平面B1CD1的距离等于点D1到平面A1

8、BD的距离,所以平面A1BD到平面B1CD1的距离为33 ,故C中说法正确;因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=(34,12,23) ,又AB=(1,0,0) ,所以APAB|AB|=34 ,所以点P到直线AB的距离d4=|AP|2-|APAB|AB|2=181144-916=56,故D中说法错误.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,且侧棱AA1底面ABC ,底面边长与侧棱长都等于2,O,O1分别为AC,A1C1的中点,则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为 .答案：255解析：如图,连接OO1 ,根据题意,OO1底面ABC ,则以O为坐标原点,分

9、别以OB,OC,OO1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.AO1OC1,OBO1B1,AO1O1B1=O1,OC1OB=O,平面AB1O1平面BC1O,平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.O(0,0,0),B(3,0,0),C1(0,1,2),O1(0,0,2) ,OB=(3,0,0),OC1=(0,1,2),OO1=(0,0,2),设n(x,y,z)为平面BC1O的一个法向量,则nOB=0,nOC1=0,即3x=0,y+2z=0,令y=2 ,则z=-1,n=(0,2,-1) .点O1到平面BC1O的距离记为d,则d=|nOO1|n|=25=255

10、,平面AB1O1与平面BC1O间的距离为255 .创新拓展练9.如图,棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A在平面内,平面ABCD与平面所成的二面角为30 ,求顶点C1到平面的距离的最大值.解析：命题分析本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离,考查空间向量夹角的余弦公式,同时考查了辅助角公式的应用和空间想象能力.答题要领建立空间直角坐标系,求出平面ABCD的一个法向量,设出平面的一个法向量,根据三角换元,由空间中点到平面的距离公式,结合辅助角公式可得结果.答案：详细解析以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),AC1=(4,4,4),设平面的一个法向量为n=(x,y,1) ,因为平面ABCD与平面成30角,所以|cosm,n|=1x2+y2+1=32 ,所以x2+y2=13,设x=33cos,y=33sin,则顶点C1到平面的距离d=|AC1n|n|=|4x+4y+4|x2+y2+1=23|x+y+1|=2|2sin(+4)+3|2(2+3) ,则顶点C1到平面的距离的最大值是2(2+3) .方法感悟解答本题的关键有两个：（1）观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;（2）利用换元法把距离的最值问题转化为三角函数的最值问题.