2022版高中数学 第四章 圆与方程 2.docx

1、直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系1.(2020安徽六安高二月考)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但不过圆心C.相交且过圆心D.相离2.(2021浙江宁波高二月考)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.(2020河北张家口高二期中)直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点,那么点(a,b)与圆x2+y2=1的位置关系是()A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定4.已知直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则

2、三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在的5.已知圆C的圆心在x轴上,半径长为2,且与直线x-3y+2=0相切,则圆C的方程为()A.(x-2)2+y2=4B.(x+2)2+y2=4或(x-6)2+y2=4C.(x-1)2+y2=4D.(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=46.(2020江苏淮安高中教学协作体高一下期中)已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.求m为何值时,圆与直线:(1)相交;(2)相切;(3)相离.题组二圆的切线问题7.(2020江西上饶高二月考)从点P(m,3)向圆C:

3、(x+2)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为()A.26B.26C.4+2D.58.(2020天津耀华中学高三模拟)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.2109.(2021河南郑州中学高一月考)求满足下列条件的圆x2+y2=4的切线方程:(1)经过点P(3,1);(2)斜率为-1;(3)过点Q(3,0).题组三圆的弦长问题10.(2021陕西渭南高二期末)直线2x-y-1=0被圆(x-2)2+(y+2)2=9截得的弦长为()A.25B.4C.3D.2

4、11.直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为23,则直线的倾斜角为()A.30B.60C.30或150D.60或12012.(2021河南驻马店高一上期末)圆C:x2+y2+2y-11=0截直线mx-y-2m+1=0所得的最短弦长为()A.4B.42C.43D.21113.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).(1)求证:直线l恒过定点;(2)判断直线l与圆C的位置关系;(3)当m=0时,求直线l被圆C截得的弦长.能力提升练一、选择题1.(2020湖北荆州中学高二期末,)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,

5、切点分别为A、B,O为坐标原点,则AOB的外接圆方程为()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y+1)2=20C.(x-4)2+(y-2)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=202.(2019湖南衡阳一中高一期末,)若实数x,y满足x2+y2=3,则yx-2的取值范围是()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.-3,3D.(-,-33,+)3.(2021河南濮阳高一上期末,)过定点P(4,t)作直线l,使l被圆C:x2+y2-6x-6y+9=0截得的弦长为4,若这样的直线只有1条,则t的值为()A.-5或-1B.-1或5C.-5或1D.1或54.()已知点M(a,b

6、)(ab0)是圆O:x2+y2=r2(r0)内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则()A.lg,且l与圆相离B.lg,且l与圆相切C.lg,且l与圆相交D.lg,且l与圆相离5.(2020湖北黄石高二上月考,)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0,圆C:x2+y2+2x=b2-1(b0)的位置关系是“平行相交”,则b的取值范围为()A.2,322B.(0

7、,2)C.0,322D.2,322322,+二、填空题6.(2021黑龙江齐齐哈尔实验中学高三上期末,)已知圆C:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA、PB,且A、B为切点,则直线AB经过定点.7.()已知方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0表示圆,其中aR,且a1,则无论a取任何不为1的实数,上述圆恒过的定点坐标是.8.(2020湖南长沙一中高二月考,)已知圆x2+y2-4x+4y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为.9.()已知圆x2+y2=4,则圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为.三、解答

8、题10.()已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0.(1)求圆C关于直线x-2y-2=0对称的圆D的标准方程;(2)过点P(4,-4)的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程;(3)当k取何值时,直线l:kx-y+3k+1=0与圆C相交的弦长最短?并求出最短弦长.11.()已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系基

9、础过关练1.B2.A3.A4.B5.D7.A8.C10.B11.C12.A1.B圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径长为1,圆心到直线y=x+1的距离d=|0+1-0|2=22,因为0220,所以直线l与圆C相交.故选A.方法技巧针对本题还可利用直线过定点(1,1),结合该定点在圆内进行求解.3.A直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点,圆的圆心为(0,0),半径长为1,|0+0-1|a2+b21,点(a,b)与圆x2+y2=1的圆心(0,0)的距离d=a2+b21,点(a,b)在圆外.故选A.4.B由题意知|c|a2+b2=1,则|c|=a2+b2,即c2=a2+b2,故三条边

10、长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.5.D设圆心坐标为(a,0),因为圆与直线x-3y+2=0相切,所以由点到直线的距离公式可得|a+2|2=2,解得a=2或a=-6.因此圆C的方程为(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=4.6.解析解法一:将直线方程mx-y-m-1=0整理得y=mx-m-1,代入圆的方程,化简、整理得,(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,则=4m(3m+4).(1)当0,即m0或m-43时,直线与圆有两个公共点,即直线与圆相交.(2)当=0,即m=0或m=-43时,直线与圆只有一个公共点,即直线与圆相切.(3)当0,即-43m

11、0时,直线与圆没有公共点,即直线与圆相离.解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径长为2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=|2m-1-m-1|1+m2=|m-2|1+m2.(1)当d0或m2,即-43m4,点Q在圆外.易知切线斜率存在,故设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径长,|-3k|1+k2=2,k=255,所求切线方程为2x5y-6=0.解法二:设切点为M(x0,y0),则过点M的切线方程为x0x+y0y=4,点Q(3,0)在切线上,3x0+0=4,即x0=43.又M(x0,y0

12、)在圆x2+y2=4上,x02+y02=4,y0=253.所求切线方程为43x+253y=4或43x-253y=4,即2x+5y-6=0或2x-5y-6=0.10.B圆心(2,-2)到直线2x-y-1=0的距离d=|4+2-1|5=5,又圆的半径长r=3,弦长为2r2-d2=4.故选B.11.C易知圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径长为2,直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为23,圆心到直线的距离d=4-(3)2=1,又圆心到直线的距离d=|2k|k2+1,k=33,直线的倾斜角为30或150.故选C.12.A圆C:x2+y2+2y-11=0可化为x2+(y+1)2=12,

13、圆心C的坐标为(0,-1),半径长r=23,直线mx-y-2m+1=0恒过点M(2,1),当MC与直线mx-y-2m+1=0垂直时,圆C:x2+y2+2y-11=0截直线mx-y-2m+1=0所得的弦长最短,易得|MC|=4+4=22,所以截得的最短弦长为2r2-|MC|2=4.13.解析(1)证明:直线l的方程可化为(2x+y-7)m+x+y-4=0.令2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1.所以直线l恒过定点(3,1).(2)圆心C(1,2),半径长为5.设A(3,1),因为|AC|=(3-1)2+(1-2)2=55,所以点A在圆C内,从而直线l与圆C相交.(3)当m=0时,

14、直线l的方程为x+y-4=0,圆心C(1,2)到直线l的距离d=|1+2-4|12+12=22,所以此时直线l被圆C截得的弦长为225-12=72.能力提升练1.A2.C3.D4.A5.D一、选择题1.A由题意知,OAPA,OBPB,四边形AOBP有一组对角都等于90,四边形AOBP的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是线段OP,线段OP的中点为(2,1),|OP|=25,四边形AOBP的外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5,AOB外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A.2.C设P(2,0),过P(2,0)且与圆x2+y2=3相切的直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),

15、即kx-y-2k=0,由圆心(0,0)到直线kx-y-2k=0的距离等于3,得|-2k|k2+1=3,解得k=3,故yx-2的取值范围是-3,3.故选C.3.D易得圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=9,故圆心C(3,3),半径长为3,所以圆心C(3,3)到直线l的距离d=32-(42)2=9-4=5,要使被圆C截得弦长为4的直线只有一条,只需CPl,所以|CP|=(4-3)2+(t-3)2=5,即(t-3)2=4,解得t=5或t=1.故选D.4.A因为点M在圆内,所以a2+b2r,所以直线l与圆相离.易知OMg,所以直线g的方程为y-b=-ab(x-a),即ax+by-a2-b2=0

16、,所以lg.5.D圆C的标准方程为(x+1)2+y2=b2,由两直线平行得a(a+1)-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,直线l1,l2重合,舍去,故a=-3,则两平行线的方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0.由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y2=b2相切,得b=32=322;由直线x-y+3=0与圆相切,得b=22=2.当两直线与圆都相离时,b2,b322,即b的取值范围是2,322322,+.故选D.二、填空题6.答案(1,2)解析设P(9-2b,b),由圆的切线公式,得直线lAB:(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x-9=0,所以y-2x=0,9x-9=0x

17、=1,y=2.故直线AB过定点(1,2).7.答案(1,1)解析由已知得x2+y2-4y+2+2a(y-x)=0,它表示过圆x2+y2-4y+2=0与直线y-x=0交点的圆.由x2+y2-4y+2=0,y-x=0,解得x=1,y=1,即定点坐标为(1,1).8.答案(-9,8)解析圆的方程整理得(x-2)2+(y+2)2=8-a,圆心为(2,-2),半径长为8-a,所以8-a0,即a8,圆心到直线的距离为|2-2-4|12+12=22,因为直线x+y-4=0被圆(x-2)2+(y+2)2=8-a所截得的弦的长度小于6,所以28-a-(22)2-9,则a(-9,8).9.答案3解析圆x2+y2=

18、4的圆心为(0,0),半径长为2,圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离d=|0-0+5|32+(-4)2=1,故圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为3.三、解答题10.解析由题意,知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0的圆心坐标为C(1,2),半径长r=5.(1)设D(m,n),因为圆心C与点D关于直线x-2y-2=0对称,所以1+m2-22+n2-2=0,n-2m-1=-2,解得m=3,n=-2,则D(3,-2),半径长r=5,所以圆D的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.(2)设点C到直线l的距离为d(d0),则2r2-d2=8,解得d=3(负值舍去).当直

19、线l的斜率不存在时,直线方程为x=4,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线方程为y+4=k1(x-4),则d=|-3k1-6|k12+1=3,解得k1=-34,所以直线l的方程为3x+4y+4=0.综上,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0.(3)直线l:kx-y+3k+1=0可化为y-1=k(x+3),所以直线l过定点M(-3,1),|CM|=17,当CMl时,弦长最短,由kCM=14,可得k=-4,此时最短弦长为2r2-|CM|2=42.11.解析(1)因为圆M的圆心M(-a,a)在直线y=x上,所以a=-a,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M相切,所以r=|-15|32+42=3,故圆M的方程为x2+y2=9.(2)由(1)知,圆心M(0,0),不妨设A(-3,0),B(3,0).设P(x,y),因为点P在圆M内,所以x2+y29.因为|PM|2=|PA|PB|,所以x2+y2=(x+3)2+y2(x-3)2+y2,所以2x2-2y2=9,则2y2=2x2-9.因为直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,所以k1=yx+3,k2=yx-3,则k1k2=y2x2-9=2x2-92x2-18=1+92x2-18.因为2x2-2y2=9,x2+y29,所以92x2274,所以-2912x2-18-19,则-11+92x2-180.故k1k2的取值范围为(-1,0.