福建省2020届高三数学下学期3月质量检查测试试题 理（PDF）答案.pdf

1、理科数学参考答案及评分细则第 1 页（共 15 页）2020 年福建省高三毕业班质量检查测试理科数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，

2、满分 60 分1C 2B3D4B5B6A7C8A9B10C11D12A二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分13 2i14915 13168三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12分解法一：（1）由余弦定理得，2222coscabacB，.2 分又2222cabab，所以 2cos2acBab，即 coscBb，由正弦定理得，sincossinCBB，.4 分显然 c

3、os0B，所以 tansinBC，.5 分因为3sin3C，所以3tan3B，又因为 0B ，所以6B.6 分（2）在ABD和BCD中，BDa，由余弦定理可得222222+2cos222bacBDADABADBbBD ADa，.7 分222222+2cos222baaBDCDBCCDBbBD CDa，.8 分因为 coscos0ADBCDB，所以2222bca，.9 分又因为2222cabab，所以22440aabb，即24410aabb ，.10 分解得122ab，因为0,0ab，所以122ab.12 分理科数学参考答案及评分细则第 2 页（共 15 页）解法二：（1）由已知，根据正弦定理得

4、222sinsinsin2sinsinCABAB，.2 分所以222sincoscossinsinsin2sinsinABABABAB，.3 分得222222sincoscossin2sincossincossinsin2sinsinABABAABBABAB，故22222sincoscos1 sin2sincossincossin2sinsinABABAABBAAB，于是22222sincossinsinsin2sincossincos2sinsinABABAAABBAB，2222sincossin1sin2sincossincos2sinsinABABAABBAB，22sincossinco

5、ssincossinsinABAABBAB，.4 分因为sincos0AB，所以sinsinsincoscossinsincosABABABAB，所以sintanCB，.5 分因为3sin3C，所以3tan3B，又因为0,B，所以6B.6 分（2）因为 D 是 AC 中点，所以12BDBABC，所以222124BDBABCBA BC，.7 分因为 BDBCa，所以22242cosacaacB，.8 分又因为222cos2acbBac，所以2222224acaacb，所以22222acb，.9 分又因为2222cabab，所以2222222abaabb，所以2244abab，即24410aabb

6、 ，.10 分解得122ab，因为0,0ab，所以122ab.12 分解法三：（1）同解法一.6 分（2）在ABC中，由正弦定理知：sinsinsincoscossincoscossinsinsinsinsinBCaABCBCBCCbBBBB，.7 分又由（1）知sintanCB，所以coscostancos1sinaBCBCbB，即 cos1aCb，.8 分又 BDBC，所以2aBCBDbACDC，又因为BDCC，2DBCCBDCC ，理科数学参考答案及评分细则第 3 页（共 15 页）在BCD中，sinsin1sin2sinCcos2cosBDCCDCDBCCC，所以14cosabC，即

7、cos4bCa，.9 分所以24410aabb ，.10 分解得122ab，因为0,0ab，所以122ab.12 分解法四：（1）同解法一.6 分（2）延长 BD至 E，使得 DEBD，连接,CE AE，如图所示.因为 D 为 AC 中点，所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以BCEABC ，.7 分在BCE中，CEABc,222BEBDBCa，由余弦定理得：2222223cos22acacaBCEacac，即223cos2caABCac，.8 分在ABC中，222cos2cabABCac，所以222223cabac，即22222cab，.9 分又因为2222cabab，所以 22222 2

8、2abbaab，得22440aabb，即24410aabb ，.10 分解得122ab，因为0,0ab，所以122ab.12 分解法五：（1）同解法一.6 分（2）因为 BDBC，所以BDCC，2DBCCBDCC ，在BCD中，由正弦定理知：sinsinCDCBDBCBDC，即sin22cos2sinCbCaC，.7 分所以222222abcbaab，.8 分化简得22222abc，.9 分又因为2222cabab，所以2222222abaabb，所以2244abab，即22440aabb，即24410aabb ，.10 分解得122ab，因为0a，0b，所以122ab.12 分理科数学参考答

9、案及评分细则第 4 页（共 15 页）18本小题考查直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面垂直的判定与性质，三棱锥的体积与二面角等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查化归与转化思想，函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分 12 分解法一：（1）依题意得，在矩形 ABCD 中，2AB，3BC，2BEEC，所以3,1ADEC 在线段1B A 上取一点 M，满足12AMMB，又因为12DFFB，所以11B MB FMAFD，故 FMAD，1 分又因为 ECAD，所以 ECFM，.2 分因为113FMAD，所以 EC

10、FM，.3 分所以四边形 FMEC 为平行四边形，所以CFEM，.4 分又因为CF 平面1B AE，EM 平面1B AE，所以CF平面1B AE.5 分（2）设1B 到平面 AECD 的距离为 h，113BAEDAEDVSh，又3AEDS，所以1BAEDVh，故要使三棱锥1BAED的体积取到最大值，须且仅需取到最大值取 AE 的中点O，连结1B O，依题意得1B OAE，则12hB O，因为平面1B AE平面 AECDAE，1B OAE，1B O 平面1B AE，故当平面1B AE 平面 AECD 时，1B O 平面 AECD，1hB O即当且仅当平面1B AE 平面 AECD 时，1BAED

11、V取得最大值，此时2h .6 分如图，以 D 为坐标原点，DA，DC 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系 Dxyz，得0,0,0D，1,2,0E，1 2,1,2B，12,1,2DB，1,2,0DE，7 分设,x y zn是平面1B ED 的一个法向量，则10,0,DBDE nn8 分得 220,20,xyzxy 令1y ，解得32,1,2 n，9 分又因为平面CDE 的一个法向量为0,0,1m，.10 分所以33 192cos199412 m nm nmn，.11 分因为1BDEC为钝角，所以其余弦值等于3 1919.12 分h理科数学参考答案及评分细则第 5 页（共 15

12、 页）解法二：（1）依题意，在线段 AD 上取一点Q，使得23DQDA，因为12DFFB，所以1DQDFDADB，所以1FQB A，.1 分因为 FQ 平面1B AE，1B A 平面1B AE，所以 FQ平面1B AE，.2 分在矩形 ABCD 中，ADBC，2BEEC，所以1133ECBCADAQ，又 AQEC，所以四边形QAEC 为平行四边形，故QCAE，又因为CQ 平面1B AE，AE 平面1B AE，所以CQ平面1B AE，.3 分又因为CQFQQ，所以平面QCF平面1B AE，.4 分又因为CF 平面QCF，所以CF平面1B AE.5 分（2）设1B 到平面 AECD 的距离为 h，

13、113BAEDAEDVSh，又3AEDS，所以1BAEDVh，故要使三棱锥1BAED的体积取到最大值，须且仅需取到最大值取 AE 的中点O，连结1B O，依题意得1B OAE，则12hB O，因为平面1B AE平面 AECDAE，1B OAE，1B O 平面1B AE，故当平面1B AE 平面 AECD 时，1B O 平面 AECD，1hB O即当且仅当平面1B AE 平面 AECD 时，1BAEDV取得最大值，此时2h .6 分如图，以O 为坐标原点，EC，CD 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz，得1 0,0,2B，2,1,0D，1,1,0E，所以11,1,2

14、EB ，1,2,0ED，.7 分设,x y zn是平面1B ED 的一个法向量，则10,0,EBED nn8 分得20,20,xyzxy 令1y ，解得32,1,2n，.9 分又因为平面CDE 的一个法向量为0,0,1m，.10 分所以33 192cos199412 m nm nmn，.11 分因为1BDEC为钝角，所以其余弦值等于3 1919.12 分h理科数学参考答案及评分细则第 6 页（共 15 页）解法三：（1）延长,AE DC 相交于点 N，在矩形 ABCD 中，2BEEC，所以23DCDN，.2 分又因为12DFFB，所以1DCDFDNDB，所以1CFB N，.4 分又因为CF 平

15、面1B AE，1B N 平面1B AE，所以CF平面1B AE 5 分（2）设1B 到平面 AECD 的距离为 h，113BAEDAEDVSh，又3AEDS，所以1BAEDVh，故要使三棱锥1BAED的体积取到最大值，须且仅需取到最大值取 AE 的中点O，连结1B O，依题意得1B OAE，则12hB O，因为平面1B AE平面 AECDAE，1B OAE，1B O 平面1B AE，故当平面1B AE 平面 AECD 时，1B O 平面 AECD，1hB O即当且仅当平面1B AE 平面 AECD 时，1BAEDV取得最大值，此时2h.6 分过 O 作OHDE，垂足为 H，连接1B H，因为1

16、B O 平面 AECD，所以1B ODE，7 分又因为OHDE，1B OOHO，所以 DE 平面1B OH，8 分所以1B HDE，所以1B HO为二面角1ADEB的平面角，即1B HO为二面角1BDEC的平面角的补角.9 分设 A 到直线 DE 的距离 d，11322AEDSDE dAD DC，又因为22215DE，得65d，所以325dOH，.10 分在1B OH中，12B O，35OH，且190BOH，所以22211195B HB OOH，所以113 19cos19OHB HOB H，.11 分二面角1BDEC的余弦值等于3 1919.12 分19本小题主要考查椭圆的定义、标准方程及简单

17、几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性满分12 分解法一：（1）因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以3c，.1 分所以223ab，.2 分h理科数学参考答案及评分细则第 7 页（共 15 页）当 2l 垂直 x 轴时，3MG ，因为ABG的面积为 3 32，即 13 322ABMG，所以3AB，不妨设31,2A，.3 分代入椭圆 E 的方程得221314ab，联立 解得24a，21b ，所以椭圆 E 的方程2214xy.5 分（2）设 11,A x y，

18、22,B x y，则14,Cy.因为直线 2l 不与 x 轴重合，故可设 2l 方程为1xmy，.6 分联立221,1,4xmyxy整理得224230mymy，所以2=1630m，12224myym，12234y ym，.7 分所以直线:BC121244yyyyxx，.8 分令0y，则121244yxxyy，所以 D 的横坐标121244Dyxxyy，.9 分所以1212121212121243233355342222Dyxy myy myyyxyyyyyy121212232my yyyyy2212664402mmmmyy，所以52Dx，.11 分因为 MG 中点的横坐标为 52，所以 D 为

19、线段 MG 的中点，所以 MDDG.12 分解法二：（1）因为椭圆 E 的焦距为 2 3，所以 22 3c，所以3c，.1 分所以223ab，.2 分即223ab，所以椭圆 E 的方程为222213xybb，当 2l 垂直 x 轴时，点 A 的横坐标为 1，将1x 代入椭圆方程得222223bbyb，所以222223b bAByb，.3 分又因为3MG ，所以2213223ABGb bSABMGb，理科数学参考答案及评分细则第 8 页（共 15 页）因为223 3323 3,223ABGb bSb所以，解得21b 或294b （舍去），所以椭圆 E 的方程为2214xy.5 分（2）设 11,

20、A x y，22,B x y，则14,Cy.因为直线 2l 不与 x 轴重合，故可设 2l 方程为1xmy，.6 分联立221,1,4xmyxy整理得224230mymy，所以2=1630m，12224myym，12234y ym，.7 分要证 MDDG，只要证 D5 02，.8 分只须证22(,)B xy，1(4,)Cy 与点 5 02，三点共线，只须证1223522yyx，.9 分又221xmy，只须证21235122yymy ，只须证 121232 yymy y，.10 分因为12224myym，12234y ym，所以 121232 yymy y成立，.11 分所以 MDDG.12 分

21、解法三：（1）同解法一.5 分（2）设 11,A x y，22,B x y，则14,Cy.因为直线 2l 不与 x 轴重合，故可设 2l 方程为1xmy，.6 分联立221,1,4xmyxy整理得224230mymy，所以2=1630m，12224myym，12234y ym，.7 分所以121232my yyy，又因为直线:BC121244yyyyxx，.8 分令0y，则121244yxxyy，所以 D 的横坐标121244Dyxxyy，.9 分又因为221xmy，理科数学参考答案及评分细则第 9 页（共 15 页）所以121212121212121212343442Dyyyyy myyym

22、y yyyxyyyyyy1212555222yyyy，.11 分因为 MG 中点的横坐标为 52，所以 D 为线段 MG 的中点，所以 MDDG.12 分20本小题主要考查回归直线、数列和二项展开式等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，考查数学抽象、数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性满分 12 分解：（1）依题意得：1234563.56x，.1 分故6861041066 3.5x yyx，.2 分所以6611693108610700iiiiiixxyyx yxy，3 分6212591192517.5444444

23、iixx，所以616217004017.5iiiiixxyybxx，.4 分41040 3.5270aybx，所以 y 关于 x 的线性回归方程为 40270yx.5 分令12x 时，得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为 40 12270750元，所以，2020 年第一季度每月的人均月纯收入均为27505003元，所以，2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为500 元.6 分（2）因为每月的增长率为，设从 3 月开始到 12 月的纯收入之和为，则2910500500150015001Saaa1050011aa，.8 分依题意，令105001180005005007000a

24、a（*），.9 分a10S理科数学参考答案及评分细则第 10 页（共 15 页）当0.15a时，10105001.15130500=70000.153S，（*）成立；.10 分当 00.15a 时，由（*）得 1011700014500aa，即231 1045120114aaaa，所以21204540aa ，解得0.074a或0.449a（舍去），综上0.074a，.11 分所以，为使该家庭 2020 年能实现小康生活，至少应为8%.12 分21本小题主要考查函数的单调性与极值、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思

25、想、数形结合等思想、特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分解法一：（1）因为0ax，11xafxaxax，.1 分 当0a 时，0 x，若 0 xa，则 0fx，f x 在0,a 单调递减；若 xa，则 0fx，f x 在,a 单调递增.所以 f x 的极小值为 1 2lnf aa，无极大值.3 分当0a 时，0 x，若 xa，则 0fx，f x 在,a单调递减；若0ax，则 0fx，所以在,0a单调递增.所以 f x 的极小值为 1 2lnf aa，无极大值.5 分综上所述，当0a 时，f x 的极小值为 1 2lnf

26、aa，无极大值；当0a 时，f x的极小值为 1 2lnf aa，无极大值（2）由（1）知，当=1a时，lnf xxx在0,1 单调递减，在1,单调递增，所以 min11f xf，所以ln1xx，.6 分因为2e ln1e0 xxxmxx+m，所以2eln0 xxxmxx+m，所以2lnexmxxmxx，（*），.7 分令 2exmxxmh x，0,x，则 22221 ee21111eeexxxxxmxmxxmmxmxmmxmxh x，.8 分因为0m，所以111m，若 01m，则110m，当 01x 时，则 0h x，所以 h x 在0,1 单调递增；a理科数学参考答案及评分细则第 11 页

27、（共 15 页）当1x 时，则 0h x，所以 h x 在1,单调递减所以 max211emh xh，又因为 1f x ，且 h x 和 f x 都在1x 处取得最值，所以 211em ，解得e 12m-，所以e 102m-，.10 分若1m ，则1011m ，当101xm 时，0h x，h x 在10,1m单调递减；当111xm 时，0h x，h x 在11,1m单调递增；当1x 时，0h x，h x 在1,单调递减，所以 2111emh，与（*）矛盾，不符合题意，舍去.11 分综上，正实数 m 的取值范围为e 10,2.12 分解法二：（1）同解法一.5 分（2）由（1）知，当=1a时，l

28、nf xxx在0,1 单调递减，在1,单调递增，所以 min11f xf，所以ln1xx，.6 分因为2e ln1e0 xxxmxx+m，所以2eln0 xxxmxx+m，所以2lnexmxxmxx，.7 分要使原不等式成立，则当1x 时上式必须成立，代入得e 12m-，此时e 102m-.8 分下面证明：当e 102m-时，原不等式恒成立令 2exmxxmh x，0,x，则 22221 ee21111eeexxxxxmxmxxmmxmxmmxmxh x，因为e 102m-，0 x，所以10mxm，所以当 01x 时，()0h x，当1x 时，()0h x，所以()h x 在0,1 单调递增，

29、在1,单调递减，.10 分 max2111emh xh，.11 分所以不等式2lnexmxxmxx恒成立，即原不等式恒成立，所以正实数 m 的取值范围为e 10,2-.12 分理科数学参考答案及评分细则第 12 页（共 15 页）解法三：（1）同解法一.5 分（2）由（1）知，当=1a时，lnf xxx在0,1 单调递减，在1,单调递增，所以 min11f xf，所以ln1xx，.6 分因为2e ln(1 e)0 xxxmxx+m，所以2eln0 xxxmxx+m，所以2lnexmxxmxx，.7 分要使原不等式成立，则当1x 时上式必须成立，代入得e 12m-，此时e 102m-.8 分下面

30、证明：当e 102m-时，原不等式恒成立因为e 102m-，所以22(e1)2(e1)e2exxmxxmxx，.9 分令 2e12e12exxxh x，0,x，则 21e1e3e12 e2e32e2exxxxxxh x，所以当 01x 时，0h x，当1x 时，0h x，所以 h x 在0,1 单调递增，在1,单调递减，.10 分所以 max11h xh，所以 1h x ，.11 分即21exmxxm，所以当e 102m-时，2lnexmxxmxx成立，即原不等式恒成立所以当正实数 m 的取值范围为e 10,2-.12 分解法四：（1）同解法一.5 分（2）因为2e ln1e0 xxxmxx+

31、m，又因为210 x，所以2e ln1e1xxxxmx，.6 分由（1）知，当=1a时，()lnf xxx在0,1 单调递减，在1,单调递增，所以 min11f xf，所以ln1xx，所以 ln1xx，当且仅当1x 时等号成立.7 分所以 222e ln1ee11ee111xxxxxxxxxxxxx，当且仅当1x 时等号成立.8 分令 2e1xxH xx，0,x，则 221e1+11xxxx+Hxx，.9 分理科数学参考答案及评分细则第 13 页（共 15 页）令 e1+1xK xxx+，则 e1 0 xKxx+，所以 K x 在0,单调递增，所以 00K xK，所以当 01x 时，0Hx，当

32、1x 时，0Hx，.10 分所以 H x 在0,1 单调递减，在1,单调递增，所以 mine11=2H xH，综上当1x 时，2e ln1e1xxxxyx取得最小值 e12，.11 分所以正实数 m 的取值范围为e 10,2-.12 分解法五：（1）同解法一.5 分（2）要使得原不等式成立，则必须当1x 时上式成立，代入得e 12m-，.6 分下面证明：当e 12m-时，原不等式恒成立因为e 12m-，且210 x ，所以 22e 1e ln1ee ln11e2xxxxxmxx+mxxx-，.7 分令 2e 1e ln11e2xxk xxxx-，0,x，则 1eln1e 11xkxxxxx-，

33、.8 分令 1eln1e 11xxxxxx-，所以 221eln2e 1xxxxxx，由（1）知，当1a 时，lnf xxx在0,1 单调递减，在1,单调递增，所以 min11f xf，所以ln1xx，即 ln1xx，当且仅当1x 时等号成立所以 22122112112eln2e 1 e+3e 1e+31exxxxxxxxxxxxx ，.9 分再令 12112+30exM xxxx，下面证明 0M x，由ln1xx，得1exx ，因为0 x，所以111exx，所以 21222211211213331+3+3+30exxxM xxxxxxxxx，所以 e10 xM x-，所以 0 x，所以 k

34、x在0,单调递减，.10 分又因为 10k，所以当 01x 时，0k x，当1x 时，0k x，所以 k x 在0,1 单调递增，在1,单调递减，所以 max10k xk，.11 分所以 0k x ，所以2e ln1e0 xxxmxx+m，当且仅当1x=时等号成立，所以正实数 m 的取值范围为e 10,2-.12 分理科数学参考答案及评分细则第 14 页（共 15 页）22选修44：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解：

35、（1）因为1C 的参数方程为cos,sinxy（为参数），所以221:1Cxy 2 分因为2C 的极坐标方程为2212=3+sin，由222xy，siny 得，222:143xyC 5 分（2）如图，设l 的倾斜角为 ，依题意0 2，则 P 在1C 中的参数角2，故 sin,cosP，所以可设l 的参数方程sincoscossinxtyt ，（t 为参数）6 分把 l 的参数方程代入22143xy，得222sin32 sincoscos90tt，所以21 22cos9=sin3t t 8 分则221 222cos99cos|sin3sin3PAPBt t，又7|=3PAPB，所以229cos7

36、=sin33，所以3sin2，故3，即直线l 的倾斜角为3 10 分23选修 45：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分解法一：（1）由题意得，12f xxx，当1x 时，原不等式可化为1+25xx ，即1x-，1 分故 11x 2 分当12x时，原不等式可化为1+25xx ，即 xR，故12x 3 分当2x 时，原不等式可化为1+25xx ，即 x4，故 24x 4 分综上不等式的解集为1,4 5 分理科数学参考答案及评分细则第 15 页（共 1

37、5 页）（2）因为 +2+22f xxaxbxaxbab，6 分当且仅当20 xaxb 时，取到最小值2ab，即22ab 7 分因为0ab，故22ab，2121abab，所以211211212222 abababab 8 分14424214422b aabaabb.9 分当且仅当 4baab，且22ab，即11,2ab或11,2ab 时，等号成立.所以 21ab的最小值为 4 10 分解法二：（1）由题意得，23112112232xxf xxxxxx，2 分如图，直线5y 与 yf x的图象交于,A B 两点，令 235x，解得1x ，令 235x，解得4x，4 分由图象知：当且仅当 14x 时，5f x 成立，综上不等式的解集为5 分（2）因为 +2+22f xxaxbxaxbab，6 分当且仅当20 xaxb 时，取得最小值2ab，即22ab 7 分因为0ab，故22ab，因为|2|2 2|abab，所以1|2ab，8 分所以 2122|4abababab，9 分当且仅当|2|ab，且22ab，即11,2ab或11,2ab 时，等号成立，所以 21ab的最小值为 4 10 分1,4