福建省厦门市2020届高三数学第一次质量检查试题 文参考答案.pdf

1、厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查参考答案文科数学一、选择题：CADAC DCACB CB二、填空题：13 2 141 1563 16 6 7 ，10 32 21三、解答题：17本题主要考查等差、等比数列的定义，考查分组求和法、等比数列的求和运算以及对数运算；考查运算求解能力；考查化归与转化思想等.满分 12 分.解：（1）因为1，na，+1na成等差数列，所以121nnaa+=+，1 分当1n=时，有1221=6aa=+，得13a=，2 分所以+112(1)nnaa=，又112a =，所以1121nnaa+=，所以1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.5 分（2）由（1）知

2、1na 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以11222nnna=，所以21nna=+6 分所以123(21)(21)(21)(21)nnS=+7 分123(2222)nn=+2(12)12nn=+122nn+=+，9 分所以2log10nS 即110222nn+，10 分因为 1(22)2(1)2210nnnnn+=+，所以数列122nn+为递增数列当9n=时，10102922+，不满足，当8n=时，9102822+满足所以满足不等式2log10nS 的最大的正整数 n 的值为8 12 分18本题考查直线的方程、抛物线的定义及轨迹方程、直线与圆锥曲线的关系等知识；考查运算求解能力、推理论

3、证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等满分 12 分.解：（1）法一：依题意：平面内动点 E 到定点 F(0,1)和到定直线1y=的距离相等，1 分根据抛物线的定义，曲线C 是以点 F 为焦点，直线1y=为准线的抛物线，其方程为24xy=3 分法二：设点 E(,)x y，依题意有：1EFy=+，1 分 即22(1)1xyy+=+，化简得到C 的方程为24xy=.3 分（2）法一：依题意可设直线l 的方程为：1ykx=+，A11(,)x y，B22(,)xy，0(,1)Q x.联立214ykxxy=+=，得2440 xkx=，得124xxk+=，124x x=5 分由122

4、8AByy=+=，得21212()2426yyk xxk+=+=+=，所以21k=，即1k=，又由0k，得1k=，7 分故：124xx+=，124xx=，126yy+=，121yy=.101(,1)QAxxy=+，202(,1)QBxxy=+，21212001212()1QA QBx xxx xxy yyy=+，化简得：200430 xx+=，解得01x=或3，即(1,1)Q或(3,1)Q.10 分当Q 为(1,1)时，点Q 到直线l 的距离为|1 1 1|3 222+=，13 286 222QABS=；当Q 为(3,1)时，点Q 到直线l 的距离为|3 1 1|5 222+=，15 2810

5、 222QABS=.12 分 法二：依题意可设直线l 的方程为：1ykx=+.A11(,)x y，B22(,)xy，0(,1)Q x.联立214ykxxy=+=，得2440 xkx=，得124xxk+=，124x x=，5 分由1228AByy=+=，得21212()2426yyk xxk+=+=+=，所以21k=，即1k=，又由0k，得1k=，7 分解得(22 2,32 2)A，(22 2,32 2)B+，故而：0(22 2,42 2)QAx=，0(22 2,42 2)QBx=+，220000484168441QA QBxxxx=+=+=，解得01x=或3，得(1,1)Q或(3,1)Q.10

6、 分当Q 为(1,1)时，点Q 到直线l 的距离为|1 1 1|3 222+=，13 286 222QABS=；当Q 为(3,1)时，点Q 到直线l 的距离为|3 1 1|5 222+=，15 2810 222QABS=.12 分19.本题考查直线与平面平行和直线与平面垂直、体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等满分 12 分.证明：（1）法一：如图，取 PB 的中点G，连接GC，EG.E 是 PA的中点，/EGAB，且12EGAB=，又正方形 ABCD，/ABCD，ABCD=，/EGCD，且12EGCD=.F 是CD 的中点，12FC

7、CD=，/FCEG且 FCEG=，四边形 EGCF 是平行四边形，/EFGC，2 分又GCPBC 平面，EFPBC 平面，/EFPBC平面.4 分法二：如图，连接 AF 并延长，交 BC 的延长线于 H 点./FCAB 且 F 是CD 的中点，12HFFCAHAB=，F是 AH 的中点，E 是 AP 的中点，/EFPH.2 分HBC，PHPBC 平面,又EFPBC 平面，/EFPBC平面.4 分法三：如图，取 AB 中点 M，连接 EM，FM.,E M 分别是,AP AB 的中点，/EMPB，又EMPBC 平面，PBPBC 平面，/EMPBC平面.,F M 分别是,CD AB的中点，/FCMB

8、，且 FCBM=，四边形 BMFC 是平行四边形，/MFBC，又FMPBC 平面，BCPBC 平面，/MFPBC平面.3 分又EMMFM=，/EFMPBC平面平面.EFEFM 平面，/EFPBC平面.4 分解：（2）如图，取 PB 的中点G，由（1）可知,/EGCD，所以过,E F C 的平面即为平面 EGCD.5 分PAD是等边三角形，E 是 AP 中点，EPED.在正方形 ABCD 中，ABAD，平面 PAD 平面 ABCD，PADABCDAD=平面平面，ABABCD 平面，ABPAD 平面，由（1）可知/EGAB，EGPAD 平面，EGEP，又EPED，DEEGE=，PE 平面 EGCD

9、.7 分13P EGCDEGCDVPES=.在四棱锥 PEGCD中，EGPAD 平面,EGDE，底面 EGCD 为直角梯形，又底面边长为 2，PAD是等边三角形，3DE=，13 3(12)322EGCDS=+=，又1PE=，113 3313322P EGCDEGCDVPES=.9 分取 AD 的中点 N，连接 PN.PAD是等边三角形，N 是 AD 中点，NPAD.又平面 PAD 平面 ABCD，PADABCDAD=平面平面,NPPAD 平面NPABCD 平面，4 33113433P ABCDABCDVPNS=.11 分所以33284 33P EGCDP ABCDVV=，所以被平面 EFC 分

10、成的两部分的体积比为 35.12 分20.本题考查频率分布直方图，样本数字特征估计总体数字特征等知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想、创新意识和应用意识满分 12 分.解：（1）方法一 31个零件序号的中位数为1546，所有零件序号的中位数为12N+，2 分依题意得115462N+=，解得3091N=.3 分方法二 抽取的31个零件将0,1N+划分为32个区间，平均长度为132N+，前31个区间的平均长度为 279131，5 分依题意得127913231N+=，解得2880N.6 分（2）抽取的720 件优等品占总数的 720128804

11、=，依题意得1(200200)4Pmym+=，8 分由频率分布直方图可知：(190210)(0.0290.041)100.70.25Py=+=，故010m，则(200200)(0.0290.041)100.25Pmymmm+=+=，10 分解得3m.故优等品的范围为197203y.11 分因为 205197,203，所以内径为 205 的零件不能作为优等品.12 分21.本题考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想，函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 12 分.解：（1）12a=()21cos2f xxx=，()sin

12、fxxx=+，1 分法一：(0)0f=，2 分当(0,1x时，0 x，sin0 x，()0fx，当(1,)x+时，()sin1sin0fxxxx=+.当0 x 时，()0fx，又()sin()fxxxfx=，()fx是奇函数，当0 x 时，()0fx.4 分综上，当0 x 时，()0fx，()yf x=单调递减；当0 x 时，()0fx，()yf x=单调递增；因此0 x=为函数()yf x=的极小值点，无极大值点.5 分法二：令()()sing xfxxx=+，(0)0f=，2 分则()1cosgxx=+，cos1x ()=1cos0gxx+，故()yfx=在 R 上单调递增.4 分所以当0

13、 x 时，()()00fxf=，()yf x=单调递减；当0 x 时，()()00fxf=，()yf x=单调递增；因此0 x=为函数()yf x=的极小值点，无极大值点.5 分（2）当0 x=时，()0f x，故()2cos0 xf xax=，33,22x 且0 x.6 分令()2cos xh xx=，则()()243sin2 cos1sin2cosxxxxh xxxxxx=+，1当0,2x时，()0hx，()yh x=单调递减，当0 x，()h x +，02h =；2 当,2x 时，令()sin2cosxxxx=+，则()cossin0 xxxx=，()yx=单 调 递 减，又022 =，

14、()20 =，故存在0,2x 使得()00 x=，即当0,2xx时，()0 x，()0hx，()yh x=单调递减；当()0,xx 时，()0 x，()0hx，()yh x=单调递增；3 当3,2x时，()0hx，()yh x=单调递增；综上可知：()yh x=在()00,x上单调递减，在03,2x上单调递增.9 分由于()yh x=为偶函数，只需函数()yh x=与 ya=在3(0,)2上有两个交点.()0h+，02h =，()00h x，302h=，302Mh=，()0Nh x=.10 分以下估计()0Nh x=的范围：法一：0()0 x=，000sin2cos0 xxx+=，0002co

15、ssinxxx=，220000020000cossin1cos11()(cos)4cos4cos4 cosxxxh xxxxxx=323()(-2)0424=，03(,)4x，02cos(1,)2x .令02cos(1,)2tx=，则000111 1()(cos)()4 cos4Nh xxtxt=，1 1()4ytt=在2(1,)2t 单调递减，1222(2)()4282yt+=，02()8Nh x=，28MN，结论得证.12 分法 二：32320424=，5530612 =，035,46x，()0020cos xh xx=，032cos22x，2203815416x，lxyMNROPlxyM

16、NROP020cos2288xNx+=+=200208cos28xxx+20382528x+0，28N.28MNN=，结论得证.12 分22选修 44：坐标系与参数方程本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 10 分解：法一：（1）由()2211xy+=得，2220 xyx+=.因为222,cosxyx=+=，所以2cos=，即为C 的极坐标方程.2 分当 P 在 y 轴右侧时，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，作 y 轴的垂线，垂足为 N，设l 与 x 轴的交点为 R，因为

17、点 P 到原点距离与到l 距离相等，所以 OPPNMROROM=+.在 RTOPM 中，coscosOMOP=，所以2cos=+.因为0，所以21cos=.当 P 在 y 轴或 y 轴左侧时，满足21cos=.综上，P 点轨迹的极坐标方程为21cos=.5 分（2）因为4OPOQ=，所以设点()()12,PQ ，且124=.6 分又122,2cos1cos=，所以28cos1cos=，8 分解得1cos2=，所以24112OP=.10 分法二：（1）由()2211xy+=得2220 xyx+=.因为222,cosxyx=+=，所以2cos=，即为C 的极坐标方程.2 分设(),P x y，因为

18、点 P 到原点距离与到l 距离相等，所以222xyx+=+，化简得244yx=+.因为cos,sinxy=，所以22sin4 cos4=+.因为22sin1 cos=，所以()22cos2=+.因为1x ，所以cos20+，所以cos2=+，化简得21cos=，即为 P 点轨迹的极坐标方程 5 分（2）由已知得直线 PQ 的斜率存在，设点()()1122,P x yQ xy，PQ 的斜率为 k，由2,44ykxyx=+，解得21222 1kxk+=.6 分由22,20ykxxyx=+=，解得2221xk=+.7 分由4OPOQ=，得()()1122,4,x yxy=，所以124xx=，所以10

19、 x，所以22222 1841kkk+=+，即22211161kkk+=+，8 分令21tk=+，则221161ttt+=，解得24t=，所以23k=.所以22114OPxy=+=.10 分法三：（1）同解法二.（2）因为4OPOQ=，所以设点()()12,PQ ，且124=.6 分又22112sin4cos4,2cos=+=，所以()()228cossin4 8coscos4=+，8 分化简得4216cos8cos10+=，即21cos4=，因为20，所以1cos2=.所以24112OP=.10 分23选修 45：不等式选讲 本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运

20、算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法满分 10 分解：（1）由已知得，()01fabcabc=+=+=1 分所以()2222222abcabcabbcac+=+2 分()()()22222212222abbcacabbcac=+3 分()1 2222222abbcacabbcac+()3 abbcac=+，4 分所以13abbcac+.5 分（2）法一：当1ab=时，()21f xxxc=+6 分因为对于任意的(,1x ，()4f x 恒成立，所以()114fc=+，解得3c 或5c.7 分当3c 时，()()2132f xxxcxc=+=+在(,1x

21、为减函数，所以()()min114f xfc=，即3c .8 分当5c 时，()()2,1,2132,xccxf xxxcxcxc+=+=+在(,1x 为减函数，所以()()min114f xfc=，即5c，所以5c.9 分综上所述，3c 或5c.10 分xy-2-3h(x)=2x+6g(x)=x+cO法二：当1ab=时，()21f xxxc=+，6 分因为对于任意的(,1x ，()4f x 恒成立，所以()()214f xxxc=+，即26xcx+对于任意(,1x 恒成立.7 分当3x 时，260 x+，所以26xcx+对于任意(,3x 恒成立，所以Rc.8 分当 31x 时，260 x+，26xcx+对于任意(3,1x 恒成立，可化为()223224360 xcxc+对于任意(3,1x 恒成立，则()()()()()()2222332243360,312241360cccc+，即()222150,30ccc，解得3c 或5c.9 分综上所述，3c 或5c.10 分