第37讲 两直线位置关系（解析版）.pdf

1、1/19第 37 讲两直线位置关系【高考地位】两直线位置关系，是高考的必考内容之一.其要求的难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现.类型一两条直线的平行与垂直问题万能模板内容使用场景关于两直线的平行于垂直的问题解题模板第一步直接运用两直线平行与垂直的性质对其进行求解；第二步得出结论.例 1.已知倾斜角为 的直线l 与直线3410 xy 垂直，则cos 的值为（）A35-B45C 35D 45【来源】广东省揭阳市 2021 届高考数学模拟考精选

2、题试题（一）【答案】A【分析】根据直线的垂直关系可求得直线l 的斜率为43，所以4tan3 ，即可求得cos.【详解】由垂直知两直线的斜率之积为 1，而直线3410 xy 的斜率为 34，得直线l 的斜率为43，即4tan3 ，得 为钝角，所以3cos5 .故选：A例 2若直线 1:10laxy 与 2:3(2)10lxay 平行，则 a 的值为（）A1B-3C0 或12D1 或-3【答案】A【解析】试题分析：由题设可得3)2(aa,解之得1a或3a.当3a时两直线重合,故应舍去,故应选 A.考点：两直线平行的条件及运用.【点评】在两直线的斜率存在的情况下，两直线平行其斜率相等.下载最新免费模

3、拟卷，到公众号：一枚试卷君2/19【变式演练 1】【云南省保山市 2019-2020 学年高三教学质量监测】已知直线 1l：40 xy和直线 2l：280mxy平行，则实数 m 的值为（）A-2B-1C1D2【答案】D【分析】由平行得 112m-=-即可求解.【详解】由两直线平行可得 11428m，解得2m.故选：D.【变式演练 2】【四川省双流中学 2021 届高三月考】已知直线 1l：sin10 xy ，直线 2l：3 cos10 xy，若 12ll，则 sin 2 （）A 23B35C35-D 35【答案】D【解析】分析：根据直线的垂直，即可求出 tan=3，再根据二倍角公式即可求出详解

4、：因为 l1l2，所以 sin3cos=0，所以 tan=3，所以 sin2=2sincos=2222sincos2tan3.sincos1tan5故选 D【变式演练 3】已知点 A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)(1)若 A，B，C 三点共线，求实数 m 的值；(2)若 ABBC，求实数 m 的值【答案】(1)m1 或 13 或 13.(2)m 的值为 2 或3.【解析】试题分析：（1）由三点共线得斜率相等，列方程求解即可；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在时两种情况，存在时斜率乘积为-1 即可.试题解析：(1)因为 A，B，C 三点共线，且 xBxC，则该直线斜率存在，

5、则 kBCkAB，即22122mmm,解得 m1 或 13 或 13.3/19(2)由已知，得 kBC222mm ，且 xAxBm2.当 m20，即 m2 时，直线 AB 的斜率不存在，此时 kBC0，于是 ABBC；当 m20，即 m2 时，kAB12m，由 kABkBC1，得22122mmm 1，解得 m3.综上，可得实数 m 的值为 2 或3.类型二关于两条直线的交点问题万能模板内容使用场景两直线相交问题解题模板第一步联立两直线的方程并求解；第二步其方程组的解即为两直线的交点的坐标；第三步得出结论.例 3.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为210 xy 和230 x

6、y，另一组对边所在的直线方程分别为1340 xyc和2340 xyc，则12cc（）A 2 3B 2 5C2D4【来源】湖北省武汉市部分学校 2021-2022 学年高三上学期 9 月起点质量检测数学试题【答案】B【分析】分别求出菱形的四个顶点，然后根据菱形的对角线互相垂直得到方程即可求出求出结果.【详解】设直线210 xy 与直线2340 xyc的交点为 A，则2210340 xyxyc，解得2225310cxcy ，故2223,510ccA，同理设直线210 xy 与直线1340 xyc的交点为 B，则1123,510ccB，设直线230 xy 与直线1340 xyc的交点为C，则1169

7、,510ccC，4/19设直线230 xy 与直线2340 xyc的交点为 D，则2269,510ccD，由菱形的性质可知 BDAC,且,BD AC 的斜率均存在，所以1BDACkk ，则22222112393910101010126265555cccccccc ，即2212213614 16cccc，解得122 5cc故选：B.【变式演练 4】设点 2,3,3,2AB,若直线20axy与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是（）A54,23 B4 5,3 2C5 4,2 3D45,32【答案】B【解析】试题分析：直线20axy过定点 0,2P，54,23PAPBkk，若直线直线20axy与

8、线段 AB有交点，根据图象可知52k 或43k，若直线20axy与线段 AB 没有交点，则5423k，即5423a ，解得：4532a，选 B考点：直线间的位置关系【变式演练 5】【2020 届上海市上海大学附属中学高三下学期三模】已知直线:2l yax和直线1:210lxay 以及(1,4)A、(3,1)B两点，当直线l 与线段 AB 相交，且与直线 1l 平行时，实数 a 的值为_【答案】22【分析】根据直线平行求得22a ，再由直线l 与线段 AB 相交求出直线斜率的取值范围，从而可得结果【详解】因为直线:2l yax和直线 1:210lxay 平行，所以221 202aa，又由直线:2

9、l yax可得直线l 过(0,2)点，5/1942102PAK，123130PBK 因为当直线l 与线段 AB 相交，所以1 3a，2，综上可得22a，故答案为：22【变式演练 6】【天津市第四中学 2020-2021 学年高三上学期学情调查】直线 l 被两条直线 1:430lxy和 2:3550lxy截得的线段的中点为(1,2)P，则直线 l 的方程为_.【答案】310 xy【分析】先设一个交点00,A xy，再表示另一个交点00(2,4)Bxy，接着联立方程求出交点坐标(2,5)A，最后求直线方程.【详解】设直线 l 与 1l 的交点为00,A xy，直线 l 与 2l 的交点为 B.由已

10、知条件，得直线 l 与 2l 的交点为00(2,4)Bxy.联立0000430,325 450,xyxy 即0000430,35310,xyxy解得002,5,xy 即(2,5)A.所以直线 l 的方程为2(1)522(1)yx ，即310 xy.故答案为：310 xy 类型三对称问题万能模板内容使用场景点与点、点与直线、直线与直线的对称问题解题模板第一步确定具体问题是哪类对称问题如点与点、点与直线、直线与直线的对称；第二步运用 各自相应的对称模型进行求解；第三步得出结论.6/19例 4过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分

11、，求直线l 的方程【答案】直线l 的方程为 x4y40.考点：点关于点的对称；两直线相交问题【点评】点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足2,2.xaxyby例 5已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，求点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标【答案】33 4(,)13 13A.考点：点关于直线的对称；两直线相交问题【点评】直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决例 6在平面直角坐标系 xOy 中，点()1,0A，直线:12l yk x.设点 A 关于直线l 的对称点为 B，则OA OB 的取值范围是_【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学 2021 届高三

12、三模数学（文）试题【答案】1,3【分析】根据两点关于直线l 对称求得点 B 的坐标，对k 分类讨论，利用平面向量数量积的坐标运算结合基本不等式可求得OA OB 的取值范围.【详解】根据题意，设 B 的坐标为,m n.（1）当0k 时，则直线l 的方程为2y，此时点1,4B，则1OA OB；（2）当0k 时，因为 A、B 两点关于直线l 对称，则线段 AB 的中点1,22mnM 在直线l 上，所以，7/191 1222nmk，直线 ABl，则11nkm，联立解得2411kmk ，241nk，即点22441,11kBkk，所以，1,0OA，22441,11kOBkk，2411kOA OBk .（i

13、）当0k 时，244411111112kOA OBkkkkk ，当且仅当1k 时，等号成立，又1OA OB，此时 11OA OB ；（ii）当0k 时，244411131112kOA OBkkkkk ，当且仅当1k 时，等号成立，又1OA OB，此时13OA OB.综上所述，OA OB 的取值范围是1,3.故答案为：1,3.【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及关于直线对称的点的坐标，关键是求出点 B 的坐标，属于中等题【变式演练 7】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x，则被 y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（）Ax+2y+3=0Bx-2y+1=0C3x-2y+1=0Dx

14、-2y-1=0【答案】D【解析】试题分析：入射光线和反射光线关于直线 y=x 对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线 y=x 对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0考点：直线的对称性；求直线方程【方法点睛】从光学知识知道，入射光线与反射光线是关于镜面（即直线 y=x）对称，因此本题的实质是求直线 y=2x+1 关于直线 y=x 对称的直线方程方法有二：一、在直线 y=2x+1 上任意设两个点并求其关于直线 y=x 对称的点的坐标，然后利用两点式即可求出所求直线的方程二、设所求直线

15、上任意一点坐标（x，y），求其关于直线 y=x 对称的点的坐标（y，x），然后代入已知直线（入射光线的直线方程）求解即可该法的本质是相关点法求直线方程【变式演练 8】已知直线 l 经过直线 3420 xy与直线 220 xy的交点 P，且垂直于直线8/19210 xy（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程【答案】（1）220 xy；（2）220 xy【解析】试题分析：（1）属于点斜式求直线的方程，先求交点即直线l 经过的点，再根据l 与直线210 xy 垂直求得直线l 的斜率2k ，然后根据点斜式写出直线的方程，并化成一般方程；（2）找出直线l 上的两点，然后分别求

16、出这两点关于原点的对称点，这两对称点所在的直线方程即为所求试题解析：（1）由 3420220 xyxy解得22xy 3 分由于点 P 的坐标是(2,2)又因为直线210 xy 即1122yx的斜率为12k 4 分由直线l 与210 xy 垂直可得12lkk 5 分故直线l 的方程为：22(2)yx 即 220 xy6 分（2）又直线l 的方程 220 xy在 x 轴、y 轴上的截距分别是 1 与 2，8 分则直线l 关于原点对称的直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 1 与 2，10 分所求直线方程为112xy即 220 xy12 分考点：1直线的方程；2直线关于点的对称问题【高考再现】1.【

17、2020 年高考全国卷文数 8】点0,1到直线1yk x距离的最大值为（）A1B 2C3D 2【答案】B【思路导引】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P，设(0,1)A，当直线(1)yk x与 AP 垂直时，点 A到直线(1)yk x距离最大，即可求得结果【解析】由(1)yk x可知直线过定点(1,0)P，设(0,1)A，当直线(1)yk x与 AP 垂直时，点 A到直线(1)yk x距离最大，即为|2AP 故选：B【专家解读】本题考查了点到直线距离公式，考查数学运算学科素养解题关键是熟记公式2.【2016 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距

18、离_.9/19【答案】2 55【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要 考查考生的基本运算能力.3.【2015 高考四川，文 10】设直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，与圆 C：(x5)2y2r2(r0)相切于点 M，且 M 为线段 AB 中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是()(A)(1，3)(B)(1，4)(C)(2，3)(D)(2，4)【答案】D【解析】不妨设直线 l

19、：xtym，代入抛物线方程有：y24ty4m0,则16t216m0又中点 M(2t2m，2t)，则 kMCkl1,即 m32t2,当 t0 时，若 r5，满足条件的直线只有 1 条，不合题意，若 0r5，则斜率不存在的直线有 2 条，此时只需对应非零的 t 的直线恰有 2 条即可.当 t0 时，将 m32t2 代入16t216m，可得 3t20，即 0t23,又由圆心到直线的距离等于半径，可得 dr2222|5|222 111mtttt,由 0t23，可得 r(2，4).选 D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形

20、结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为 0，但有可能不存在，故将直线方程设为 xtym，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对 r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的 r 取值范围即可.属于难题.4.【2015 高考重庆，文 12】若点(1,2)P在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为_.【答案】250 xy【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和

21、运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.【反馈练习】10/191【广西南宁市普通高中 2021 届高三 10 月摸底测试】点0,1A到直线:(1)1l yk x 的距离的最大值为（）A1B 2C3D5【答案】D【分析】首先求出直线l 过定点1,1B，则 ABl时距离最大，再利用两点间的距离公式计算可得；【详解】解：直线11yk x过定点1,1B，当 ABl 时，距离最大，最大为2211 15AB ，故选：D.2已知两点1,3M、2,3N，在曲线上存在点 P 满足 MPNP的曲线方程是（）A 2410 xy B22125xyC2212yxD2212

22、yx【来源】广东省佛山市石门中学 2021 届高三高考模拟数学试题【答案】C【分析】本题首先可根据 MPNP得出点 P 在线段 MN 的中垂线上，然后求出线段 MN 的中垂线方程为2410 xy，最后依次判断四个选项对应的曲线是否与2410 xy 有交点即可得出结果.【详解】因为点 P 满足 MPNP，所以点 P 在线段 MN 的中垂线上，线段 MN 中点坐标为1,02，()()33212MNK-=-，中垂线的斜率12k ，故线段 MN 的中垂线方程为1122yx骣琪=-+琪桫，即 2410 xy，因为曲线上存在点 P 满足 MPNP，所以曲线与 2410 xy 有交点，A 项：2410 xy

23、 与 2410 xy 平行，A 错误；B 项：22125xy，圆心为0,0，半径为 15，圆心0,0 到2410 xy 的距离2215110524d=+，故圆22125xy与 2410 xy 相离，B 错误；11/19C 项：联立22122410yxxy，整理得218830yy+-=，()284 1832800D=-创-=，有解，C 正确；D 项：联立22122410yxxy，整理得214850yy+=，284 14 52160D=-创=-，无解，D 错误，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查点的轨迹方程，能否根据 MPNP得出点 P 在线段 MN 的中垂线上是解决本题的关键，考查直线与直线

24、、直线与圆的位置关系，考查判别式的应用，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.3设 aR，则“3a”是“直线230axya和直线31()7xaya平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判断当3a 成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有3a 成立，利用充要条件的定义得到结论【详解】解：当3a 时，两条直线的方程分别是3290 xy和3240 xy，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有321aa但3721aaa即3a 或2a ，2a 时，两条直线都为30 xy，重合，舍去3a所以“3a”是“直线220a

25、xya和直线 3(1)70 xaya平行”的充要条件故选：C 4若平面内两条平行线 1l：(1)20 xay，2l：210axy 间的距离为 3 55，则实数 a（）A 2B 2 或1C 1D 1 或 2【来源】备战 2021 年高考数学（文）全真模拟卷（新课标卷）【答案】C【分析】12/19根据平行关系得出2a 或1a ，再由距离公式得出1a 满足条件.【详解】12ll/，(1)2aa，解得2a 或1a 当2a 时123 2242d，当1a 时2 13 555d故选：C5若 a，b 为正实数，直线 2(23)20 xay与直线210bxy 互相垂直，则 ab 的最大值为（）A 32B 98C

26、 94D 3 24【答案】B【分析】由两直线垂直求出 23ab，再利用基本不等式求出 ab 的最大值【详解】解：由直线 2(23)20 xay与直线210bxy 互相垂直所以 22(23)0ba即 23ab又 a、b 为正实数，所以 22 2abab即229224abab，当且仅当 a34，b32时取“”；所以 ab 的最大值为 98故选：B6经过两直线3100 xy和 30 xy的交点，且和原点相距为 1 的直线的条数为（）A0B1C2D3【答案】C【解析】试题分析：易求直线和 30 xy的交点坐标为1,3，问题转化为求过点1,3 且和原点距离为1的直线，当斜率不存在时，直线方程为1x，符合

27、题意，当斜率存在时，设方程为31yk x，则有2311kk，解得43k，所以符合条件的直线有 2 条，故选 C.7已知点1,2P，则当点 P 到直线 240axy 的距离最大时，a（）13/19A1B14C 14D 5【来源】西藏拉萨市 2021 届高三二模数学（文）试题【答案】B【分析】确定直线过定点(0,4)A，当 PA 与直线垂直时点 P 到直线的距离达到最大值，由此可得参数值【详解】因为直线恒过定点4)0,A（，则当 PA 与直线垂直时点 P 到直线的距离达到最大值，此时过 PA、的直线的斜率为 2,所以直线 240axy 的斜率为 12，即122a，所以14a .故选：B8【贵州省贵

28、阳市第一中学 2020 届高三高考适应性月考】已知,m nR，则“直线10 xmy 与10nxy 平行”是“1mn ”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分又不必要【答案】A【分析】根据直线的平行，斜率相等，截距不等即可解决.【详解】若直线10 xmy 与10nxy 平行，则10mn，即1mn ，当1m ，1n 时，两直线方程为10 xy，10 xy ，此时两直线重合，故“直线10 xmy 与10nxy 平行”是“1mn ”的充分不必要条件，故选：A9已知,Ra b，则“1a ”是“直线10axy 和直线2210 xay 垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D

29、既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线垂直的等价条件，求出 a 的取值，根据包含关系即可得到结论【详解】14/19直线10axy 和直线2210 xay 垂直，则220aa，解得2a 或1a ，所以“1a ”是“直线10axy 和直线2210 xay 垂直”的充分不必要条件，故选：A，10【天津市第四中学 2020-2021 学年高三上学期学情调查】若直线10axy 与(21)20 xay平行，则 a 的值为（）A 12B 1C 12 或 1D12或 1【答案】B【分析】根据直线平行与系数之间的关系，列出等式，求解即可.【详解】因为直线10axy 与(21)20 xay平行故可得 21

30、1aa ，且 221a，解得1a .故选：B.11已知点 A（1，0），B（1，0），C（0，1），直线 yax+b（a0）将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是（）A（0，1）B2 1122，C2 1123，D 1 13 2，【答案】B【分析】先求得直线 yax+b（a0）与 x 轴的交点为 M（ba，0），由ba 0 可得点 M 在射线 OA 上求出直线和BC 的交点 N 的坐标，若点 M 和点 A 重合，求得 b13；若点 M 在点 O 和点 A 之间，求得 13b12；若点 M 在点 A 的左侧，求得 13b122再把以上得到的三个 b 的范围取并集，可得结果【详解】由

31、题意可得，三角形 ABC 的面积为 12 AB OC 1，由于直线 yax+b（a0）与 x 轴的交点为 M（ba，0），由直线 yax+b（a0）将ABC 分割为面积相等的两部分，可得 b0，15/19故ba 0，故点 M 在射线 OA 上设直线 yax+b 和 BC 的交点为 N，则由1yaxbxy 可得点 N 的坐标为（11ba，1aba）若点 M 和点 A 重合，如图：则点 N 为线段 BC 的中点，故 N（12，12），把 A、N 两点的坐标代入直线 yax+b，求得 ab13若点 M 在点 O 和点 A 之间，如图：此时 b13，点 N 在点 B 和点 C 之间，由题意可得三角形

32、NMB 的面积等于 12，即 1122NMB y，即 111212babaa，可得 a21 2bb 0，求得 b12，故有 13b12若点 M 在点 A 的左侧，16/19则 b13，由点 M 的横坐标ba 1，求得 ba设直线 yax+b 和 AC 的交点为 P，则由1yaxbyx求得点 P 的坐标为（11ba，1aba），此时，由题意可得，三角形 CPN 的面积等于 12，即 12（1b）|xNxP|12，即 12（1b）|1111bbaa|12，化简可得 2（1b）2|a21|由于此时 ba0，0a1，2（1b）2|a21|1a2 两边开方可得2（1b）21 a1，1b12，化简可得 b

33、122，故有 122 b13综上可得 b 的取值范围应是2 1122，故选 B【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查了运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题12过点1,1P的直线与 x 轴正半轴相交于点,0A a，与 y 轴正半轴相交于点0,Bb，则 2 OAOB的最小值为（）A6B32 2C2 2D 322【来源】安徽省蚌埠市 2021-2022 学年高三上学期第一次教学质量检查理科数学试题【答案】B【分析】由直线方程得到 111,ab化简得1122=(2)()OAOBababab，再利用基本不等式求解.【详解】由题得直线的方程为1

34、,(0,0)xyabab因为直线过点1,1P，所以 111,ab由题得112222=(2)()33+2=3+2 2aba bOAOBabab abbaba.（当且仅当21,212ab 时等号成立）17/19所以 2 OAOB的最小值为32 2.故选：B13若在直线2y 上有一点 P，它到点 3,1A 和5,1B的距离之和最小，则该最小值为（）A 2 5B5 2C4 5D10 2【答案】C【分析】求出5,1B关于直线2y 对称的点为5,3B，则 APPBAPPBAB，从而得出答案.【详解】点5,1B关于直线2y 对称的点为5,3B,如图则 PBPB,所以22533 14 5APPBAPPBAB

35、当且仅当,A P B三点共线时取得等号.故选：C14在棱长为 1 的正方体1111ABCDA B C D中，E 为线段1BC 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点 P 为线段1BD 上的动点，则 PEPF的最小值为（）A 5 26B122+C62D 3 22【来源】浙江省丽水市外国语实验学校 2020-2021 学年高三上学期期末数学试题【答案】A【分析】连接1BC,得出点,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点 P，求点 P 到定点 E 的距离18/19与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点 E 关于直线1BD 到直线11

36、C D 的距离，从而可得结果.【详解】图 1连接1BC,则11BCB CE，点,P E F 在平面11BC D 中，且111111,1,2BCC D C DBC，如图 1 所示，在11Rt BC D中，以11C D 为 x 轴，1C B 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图 2 所示，图 2121,0,0,2,0,2DBE,设点 E 关于直线1BD 的对称点为E，1BD的方程为12yx ，1222EEk，直线EE 的方程为2222yx，由组成方程组，解得132 23xy ，19/19直线EE 与1BD 的交点1 2 2,33M，对称点2 5 2,36E，PEPFPEPF，最小值为E 到直线11C D 的距离为 5 26，故选 A.【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.