2022高三全国统考数学北师大版（理）一轮复习学案：选修4—5　第1课时　绝对值不等式 WORD版含解析.docx

1、选修45不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|,当且仅当时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

2、通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.3.基本不等式定理1:设a,bR,则a2+b2,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:若a,b为正数,则a+b2ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:若a,b,c为正数,则a+b+c33abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:若a1,a2,an为n个正数,则a1+a2+annna1a2an,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(

3、a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)对|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意

4、义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.()2.若|a-c|b|,则下列不等式正确的是()A.ac-bC.|a|b|-|c|D.|a|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是()A.(2,3)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1

5、】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)

6、.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x(-,1)时,f(x)1时,求a的取值范围;(2)若a0,对任意x,y(-,a,都有不等式f(x)y+54+|y-a|恒成立,求a的取值范围.解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f

7、(x)=|x+1|+|x-2a|,aR.(1)若a=1,解不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a0,b0),求证:1a+1+12b+147.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a2+b22ab,a+b2ab(a,b为正数),a+b+c33abc(a,b,c为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点

8、训练5(2020河南开封三模)关于x的不等式|x-2|m(mN+)的解集为A,且32A,12A.(1)求m的值;(2)设a,b,c为正实数,且a+b+c=3m,求a+b+c的最大值.考向2利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f(x)=2|x+a|+x-1a(a0).(1)当a=1时,解不等式f(x)4;(2)求函数g(x)=f(x)+f(-x)的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|.(1)求f(x)+|x-1|+|2x-3

9、|的最小值;(2)若不等式|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3或a-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|9,求实数m的取值范围;(2)求53m-13n+1

10、3m-23n的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,

11、做到不重不漏.选修45不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b|ab0(3)|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)02.(2)-cax+bcax+bc或ax+b-c3.2ab考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.D|a|-|c|a-c|b|,即|a|a-2|+1恒成立,则|a-2|+12,即1a3.4.5由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,当且仅当an=bm时,等号成立,所以m2+n25.5.-2,4|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|3有解,可使|a-1|3,-3a

12、-13,-2a4.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破例1解(1)由题设知f(x)=-x-3,x-13,5x-1,-131.y=f(x)的图像如图所示.(2)函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图像.y=f(x)的图像与y=f(x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当xf(x+1)的解集为-,-76.对点训练1解(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x1时,f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时,f(

13、x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0.所以,a的取值范围是1,+).例2解(1)f(x)=-3,x2.当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-|x|-322+5454,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x2+x=54.故m的取值范围为-,54.对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|-1,设(x)=|x+1|-2|x|=x-1,x-1,3x+1,-1x0,-x+1,x0,则

14、x-1,x-1-1,或-1x1,若a-1,则1-a+1+a1,得21,即当a-1时,不等式恒成立;若-1a1,得a-12,即-1a1,得-21,此时不等式无解.综上所述,a的取值范围是-,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f(x)maxy+54+|y-a|min.当x(-,a时,f(x)=-x2+ax,f(x)max=fa2=a24.因为y+54+|y-a|a+54,所以当y-54,a时,y+54+|y-a|min=a+54=a+54.于是a24a+54,解得-1a5.结合a0,所以a的取值范围是(0,5.对点训练3解(1)当a=1时,f(x)4,即|x+1|+|x-2|4,化为x

15、-3或-1x2,32,2x-14,解得-32x-1或-1x2或2x52,综上,-32x52,即不等式f(x)4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m2-2m+4的取值范围是f(x)值域的子集.m2-2m+4=(m-1)2+33,又f(x)=|x+1|+|x-2a|2a+1|,所以f(x)的值域为|2a+1|,+).故|2a+1|3,解得-2a1,即实数a的取值范围为-2,1.例4解(1)当a=2时,f(x)=7-2x,x3,1,34.因此,不等式f(x)4的解集为xx32或x112.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即|a

16、-1|2时,f(x)4.所以当a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)24.所以a的取值范围是(-,-13,+).对点训练4解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为0x2a,所以2a1,故0a2.综上,a的取值范围为(0,2.例5(1)解f(x)=|2x-1|+|x+2|=-3x-1,x-2,-x+3,-2x12,3x+1,x12,当x-2时,f(x)5;当-2x12时

17、,52f(x)0,b0,所以1a+1+12b+1=17(a+1)+(2b+1)1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1172+22b+1a+1a+12b+1=47,当且仅当a=2b,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+147.对点训练5解(1)由已知得|32-2|m,|12-2|m,解得12m32.因为mN*,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以a+b+c=1a+1b+1c1+a2+1+b2+1+c2=3+a+b+c2=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以a+b+c的最大值为3.例6解(1)a=1,原不等式为2|x+1|+|x-1|4,x-

18、1,-2x-2-x+14,或-1x1,2x+2-x+11,2x+2+x-14,-53x-1或-1x1或.原不等式的解集为-53,1.(2)由题意得g(x)=f(x)+f(-x)=2(|x+a|+|x-a|)+x+1a+x-1a2|2a|+2|a|42.当且仅当2|a|=1|a|,即a=22,且-22x22时,g(x)取最小值42.对点训练6解(1)f(x)+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|2x+1-(2x-3)|=4,当-12x32时等号成立,所以f(x)+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|f(x

19、)+|x-1|+|2x-3|有解,|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|min.|m-1|4,m-1-4或m-14,即m-3或m5,实数m的取值范围是(-,-35,+).例7(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2

20、=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|9,所以|m|3,所以m-3或m3.故m的取值范围为(-,-33,+).(2)53m-13n+13m-23n=53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|3,当且仅当-1m2(或-5n1)时等号成立,所以53m-13n+13m-23n的最小值是3.