选修第3册 人教B版（2019）新教材高中数学教材课本课后习题参考答案.pdf

1、教材习题答案 第五章 数列5.1 数列基础.数列的概念练习.解析 .解析().().().解析().().解析 因为 ()()即 所以数列是递增数列.解析()证明:()即 即 是递增数列.练习.解析()().()().解析().()()().解析 若 是中的项则存在正整数 使得 解得 或(舍)所以 是 中的项是第 项.解析 ().解析()(答案不唯一).()(答案不唯一).数列中的递推练习.解析().().().解析().().解析 .前 项和 .解析 .前 项和 前 项和 .解析 ()()由得 ()()当 时 满足该式 的通项公式为 .练习.解析().前 项和 前 项和 .().前 项和 前

2、 项和 .解析 不一定.也可能是常数列 .解析 ()()()由得 ().当 时 满足该式 .解析 .递推关系为 ().习题 5-1A.解析().().解析()前 项和 .()前 项和 .()前 项和 .解析()()().()()().().解析 .解析().().()().解析().().().().解析 第 个等式:第 个等式:归纳第 个等式为()()().习题 5-1B.解析 从左到右依次填.解析().()若 是数列中的项则存在正整数 使得 ()解得 (舍去)即 故 是数列 中的第 项.若 是数列中的项则存在正整数 使得()计算知该方程无解故 不是中的项.解析 由于数列中的项对应函数 ()

3、的图像上的一群孤立的点因此可由函数图像来判断数列中各项的大小变化.函数 的大致图像如图所示.显然 最小最大.解析()证明:由已知得 ().()由 得 则 ()().()()()()即 数列是递减数列.解析 且 为奇数 且 为偶数.解析 ()得 ()当 时 不满足上式 .5.2 等差数列.等差数列练习.解析()由 ()知 ().又 .()()().解析().().解析()记该等差数列为则其通项公式为 .()记该等差数列为则其通项公式为 .解析 记该等差数列为则其通项公式为 .令 得 故 不是等差数列中的项.令 得 故 是等差数列中的项.解析().().练习.解析 由题意可得等差数列 的通项公式为

4、 ()(.).令 .又 .即此 等 差 数 列 从 第 项 开 始 出 现负数.证明 若是等差数列则 ()整理得 令 成立.若 则 ()()得:(为常数)是等差数列.综合可知原命题得证.证明 是等差数列 ()()()()()()()又 .解析 设中间 个皮带轮的直径分别为()()由等差数列的性质知:得 由()得:由()得:故中间 个皮带轮的直径分别为 .解析()是.首项是 公差为.()是.首项是 公差为.()是.首项是 公差为.()是.证明:易得该无穷等差数列的通项公式为 ().记 则 易知 为一个常数故为等差数列其首项是()公差为.等差数列的前 项和练习.解析().()().解析 由等差数列

5、的性质知:由得:又 ()故 .解析()原式().()原式()().解析 记该等差数列为 则 则 ()()令()解得 所以 ().解析 记该等差数列为 则 令 ()()解得 或 (舍去)即前 项的和为.练习.解析 记该等差数列为 则 .设其前 项和最大则有即()得.又 所以 即前 项的和最大.解析 在两位数的正整数中除以 余 的数有 共 个数.它们的和为().解析()原式 ()()().()原式()()()().解析 凸 边形的内角和是().()()解得 或 容易判断 时不符合题意故凸 边形的边数为.解析 设 年供应的土地公顷数为由等差数列前 项和公式知:解得 .这个数列为.习题 5-2A.解析

6、 由题知 递推公式为 .解析().教材习题答案()故 .().解析 在 与 之间插入 个数则公差 所以插入的 个数依次为.解析 集合 的元素按从小到大的顺序构成等差数列 易知项数 ()即这些元素的和为.解析().()().习题 5-2B.解析 设三角形三个内角的度数分别为 则 即三个内角中必有一个内角大小为 其余两个内角的大小不能确定.解析 故 ().解析 ().由得 故此等差数列的前 项和最小.解析 由等差数列的性质知 .解析 ()()()()()()().()设 是 中的某一个整数则()()()()()()()()()().又 所以当 或 时()取得最小值()()即最小值为.当()时()为

7、增函数即()().综上当 为 或 时()取最小值最小值为.解析 此题可理解为等差数列由题意 又 ()所以 即第一个孩子分得 斤棉花.故每个孩子分 得 的 棉 花 斤 数 依 次 为.5.3 等比数列.等比数列练习.解析()否.()是.()否.()是.解析().().().().解析().().解析().().().().().解析()年.按照每 个月翻一番总共翻 番设 .().或 设首项为 公比为 则.(常数)数列 为等差数列其首项为 公差为 .解析 此人欠银行的钱数 (.).元.习题 5-3B.解析().().()由题易知 则 ()得 或 .当 时 .当 时 .()()().().故()()

8、().解析 当 时不是等比数列此时不满足定义.当 时是等比数列(常数)满足定义 它是等比数列.解析 是.由题知 满足等比数列的定义故新数列是等比数列.解析 除第 项外有可能出现序号与教材习题答案 数值都相等的项.设等比数列 的首项为 公比为等比数列首项为 公比为 则.假设除第 项外序号与数值相等的项为第 项即 ()则 则由知.当 时 与假设矛盾.当 时 ()则 ()此时可能出现序号与数值都相等的项.故除第 项外有可能出现序号与数值都相等的项.解析 不一定.还要看首项 若 )则()()()().由 ()得()最小的 份为 个.解析 依题意可知经过 轮后国内消费总金额为 ()()()(亿元).解析

9、 投资项目到第 年年末获得的总收益为 万元.若年利率为 则投资者到第 年年末的所有收益为()()()()()()(万元).投资者不应该投资该项目.解析 该企业未来利润的现值之和为()()()()()().当 时().不同意该企业管理人的提议.解析 若买股票每股获利.(元)每股获纯利.(元)全部获利.(元).若全部存入银行到期本利和为.(.).元.纯获利 .全部存入银行较好.解析()第 年投入为 万元第 年投入为 ()万元第 年投入为 ()万元所以 年内的总投入 ()().第 年旅游业收入为 万元第 年旅游业收入为 ()万元第 年旅游业收入为 ()()万元 年内的旅游业总收入 ()()万元.()

10、设至少经过 年旅游业的总收入就能超过总投入即 即 ()()化简得()()设()则不等式等价为 解得(舍去).即()()()当 时不等式也成立.由数学归 纳 法 基 本 原 理 知 原 不 等 式成立.习题 5-5B.解析()不成立.()一定.解析 .猜测这个数列的通项公式为 .证明:当 时 通项公式成立.假设当 时通 项 公 式 成 立 即 .教材习题答案 当 时 当 时通项公式也成立.由数学归纳法 基 本 原 理 知 通 项 公 式成立.解析 易得 .猜想 .证明:当 时 猜想成立.假设当 ()时猜想成立即 ()()成立.那么 当 时 ()()()()()()()当 时猜想成立.由数学归纳法

11、基本原理知猜想成立.解析 易得 .猜想:.证明:()当 时 猜想成立.()假设()时猜想成立即 成立.那么当 时 ()()()()().当 时等式成立.由数学归纳法基本原理知猜想成立.证明 当 时 能被 整除.假设当 ()时命题成立即 能被 整除.则当 时()().和 都能被 整除 当 时命题也成立.对于任意 都能被 整除.解析 猜想:().证明:当 时 等式成立.假设当 ()时 ()成立.则当 时()()()()()()()()()()()().当 时等式也成立.综上可知对等式恒成立.解析 由题知 .猜想:().又 又 .当 时也满足该式.证明:当 时 猜想成立.假设当 ()时猜想成立即 当

12、 时 当 时猜想也成立.由数学归纳法基本原理知猜想成立.复习题 组.解析()一个通项公式为 .()一个通项公式为 .()一 个 通 项 公 式 为 ().()一个通项公式为 .解析 .解析 .则 .证明 数列为等差数列且 .()().又()()().解析().()即 即 ()()().解析 由题知:且 整理得:即 又 是以 为首项 为公比的等比数列 .解析 结合二十四节气表可知从冬至到夏至日影长度依次减小各节气时的日 影 长 度 构 成 一 个 等 差 数 列 即从夏至再回到冬至日影长度依次增大各节气时的日影长度也构成一个等差数列即.由题知从冬至到夏至时 则 的通项公式()即 .故 .由题意可

13、知从夏至再回到冬至时各节气时的日影长度同上.证明 当 时左边 ()右边成立.假设当()时()()成立.那么当 时 ()()()()()()()()()()()()()()()().当 时等式也成立.由知对任意 等式成立.解析 ()()即 .猜想 证明如下:当 时 等式成立.假设当 时等式成立即 当 时 又 由得:当 时等式也成立.由 数 学 归 纳 法 基 本 原 理 知 猜 想正确.证明()当 时 能被 整除假设当 (且 )时 能被 整除那么当 时 ()().能被 整除 也能被 整除()()能被 整除.时命题也成立.对于任意 都能被 整除.组.解析 为等差数列 成等差数列()得:.解析 为等

14、比数列 成等比数列()()得:.解析()成等差数列证明如下:易得 为等差数列 得 得()依次类推可知此数列为等差数列.()不一定成等比数列证明如下:易得 为等比数列 得当 且 为偶数时 不一定是等比数列(如常数列)当 或 为奇数时 是等比数列.解析 存在如 ().解析 .猜想:.证明:即 整理得:又 是以 为首项 为公差的等差数列.().解析 令 得:即 又 且 .解析 时 时 时 时 时 时 时 得:得:.解析 ()()得:()().当 时 不满足上式.().解析 ()()()()得:()()又当 时 满 足 上 式 .解析()是等比数列 ()()即 .()由()知 ().设的前 项和为.即

15、 ()()()()()得:()()()()教材习题答案 ()()().解析 .证明()当 时两条相交直线有 个交点.又()()当 时结论成立.()假设当()时结论成立即()().则当 时其中的 条直线的交点个数是 ()增加的第()条直线与上述的 条直线相交共增加 个交点.()()()()()()当 时结论也成立.综合()()结论对任意 都成立.组.解析()经过一次传递后落在乙、丙、丁手中的概率均为 而落在甲手中的概率为 因此 两次传递后球落在甲手中的概率 .()要想经过 次传递后球落在甲的手中那么在 次传递后球一定不在甲手中所以 ()因此 ()()()()()()又 ()()().解析 记 .

16、当 时 当 时 ()当 且 时 ()得:()()()().解析()(第 行)(第 行).().()递推公式依次为 ().().由数列的递推公式可得 以上各式相加可得 ()().由数列的递推公式可得 以上各式相加可得 又 ()().第六章 导数及其应用6.1 导数.函数的平均变化率练习.解析 ()()()().()()()().解析 且 在 上的平均变化率较大.解析 函数 在区间 上的平 均 变 化 率 为 在 区 间 上的平均变化率为 在区 间 上 的 平 均 变 化 率 为 .函数 在 上的平均变化率 在 上 的 平 均 变 化 率 在 上的平均变化率.解 析 由 图 像 可 知 ()()(

17、)()()()()()结合图像可得.解析 结合题表可知函数在 上的平均变化率为.在 上 的 平 均 变 化 率 为.故函数在上的平均变化率为.在 上的平均变化率为.练习.解析()()()()().()()()()()()在上的平均变化率小于在上的平均变化率.解析 不一定.如图()与()在上的平均变化率相等.解析 ().在.内的平均速度为./.()不妨设 .将点(.)(.)代入解析式得.解得 .将 .代入上面解析式得 .故 .时物体的位移为.解析 在区间内的平均变化率为.是 的函数 不妨设 将(.)(.)代入解析式得.解得 解析式为 .当 时 当 时 .解析()由图像可知 甲 乙 /.()由图像

18、可知在接近终点时乙的位移的平均变化率更大所以乙的速度更快.导数及其几何意义练习.解析().().().解 析 ()()()()()().解析 圆的面积公式为 令().易 得 ()()()()()().这一瞬时变化率的实际意义是当半径为 时圆的周长.解析 ()()()()()().()的实际意义为总成本在 处的边际成本.练习.解析 易得线段 所在直线的方程为 即 即().()()()().解析 令()()()()()()()()().同理可得 ().解析 球的体积公式为 .令().易 得 ()()()()()()().这一瞬时变化率的实际意义为当半径为 时球的表面积.解析().().().解析

19、()()()当()().时(.)().(.).基本初等函数的导数练习.解析 的几何意义为该函数在各点处的瞬时变化率都为.的几何意义为该函数在各点处的瞬时变化率都为.解析().().().().解析 .解析 ()().解析 令().()质点开始运动后 内的平均速度为()()/.()质点在 到 内的平均速度为()()()/.()().当 时 ()/.练习.解析()当 时.()当 时.()当 时.解析 当 时 切线方程为 ()即 .解析 ()()().又()过点 ()的切线方程为 ()即 .解析()()()()不在曲线()上.()设切点为()()结合导数的几何意义可知 .又 点()在 ()上 由可得

20、 或 的方程为 或 .解析 .教材习题答案.求导法则及其应用练习.解析().().().解析().()().()()().解析().().().解析().().().解析()().().().().()().()().练习.解析().()().().().().解析().()().().解析 ()()()()()().解析()().().解析 ()().在点()处的切线方程为 ()即 .解析 .设切点为()令 解得 .切线方程为 ()即 .习题 6-1A.解析()由图像可得该月内乙厂的污水排放量减少得更多.()由图像可知在接近 时甲厂的污水排放量减少的更快.解析()()/.()令 解得 .解析

21、().().()().解析 切线的斜率 在区间()恒成立()在区间()上单调递增()().解析()单调增区间为(和)单调减区间为()和().()单 调 增 区 间 为()和()无单调减区间.()单调减区间为()和()无单调增区间.解 析 单 调 增 区 间 为 (和).解析 单调减区间为 (.解析 .当 ()()的 单 调 增 区 间 为 ()单调减区间为 ().解析()()的定义域为().().当 时 ()恒成立()在()上单调递增.当 得 .令 ().()在()上 单 调 递 增 在 ()上单调递减.综上所述当 时()在()上单调递增当 时()在 ()上单调递增在 ()上单调递减.()()

22、的定义域为().()()()()().当 得.令 ()得.()在()上单调递减 在()上单调递增.当 得.令 ()得 时令()得.令 ()得.()在()和()上单调递增在()上单调递减.导数与函数的极值、最值练习.解析 极值点最值点极大值点极小值点最大值点最小值点()()().解析 .的定义域为().在()内 不存在极值.解析 ()()解得 .解析()极小值为 无极大值.()极小值为无极大值.()极大值为 无极小值.解析 .解析()在区间 上的最大值为.()在区间 上的最小值为.练习.解析()真.()假.解析 ()()()令 ()解得 或 得 或.令 ()得.()在()和()上为增函数在()上

23、为减函数.()极大值()()极小值().又()()且当 ()().当 ()时此时()()当 ()时此时()().解析 ()当 时()函数()无极值.教材习题答案 当 时 令 ()解 得 经检验当 在 上恒成立.函数 是 上的增函数.解析()最大值为 最小值为 .()最大值为 最小值为.()最大值为 最小值为.解析()在 上为增函数.()增 区 间 为 )减 区 间 为(.()在 上为增函数.()增区间为(和)减区间为 .解析()极大值为 极小值为.()极小值为极大值为.()极大值为 极小值为.解析()函数 在上为增函数.()增区间为(和.减区间为和).解析()极大值点为 极小值点为 .()减区

24、间为()增区间为 .()()的最大值为 最小值为.()略.习题 6-2B.解析 极大值点为 极大值为 极小值点为 极小值为 最大值点为 最大值为 最小值点为 最小值为 .解析()的定义域为 ()当 时()在定义域上恒成立此时()的单调增区间为()().当 时令 ()解得 或 .令 ()解得 时令 得 令 得 在()上 单 调 递 增 在 ()上单调递减此时 .当 得 令 在 ()上单调递增在()上 单 调 递 减 此 时 .解析 ().由题意知()即 ()()().令 ()得 或 ()在 时有极值 即 当即 时()极小()()极大 ()()()().当即 函数()的极大值为()()()函数()

25、的极小值为 当 函数()的极大值为 函数()的极小值为 ()()().求()在区间 上的最值时比较()()()()的值最大的为()在 上的最大值最小的为()在 上的最小值过程略.6.3 利用导数解决实际问题习题 6-3A.解 析 ()()()()()()令 得 (负值舍去)易知当 时电源的输出功率最大.解析 设焊接成的长方形水箱的底面边长为 则其高为 水箱的容积()()()令 得 (舍去)或 易知当 时能使水箱的容积最大.解析 设正四棱柱的底面边长为 高为 则 .()(时有 得.当 解得 的取值范围为 得 .令 ()得 .()极小值 ()无极大值.解析 .解析 .解析()()的最大值为.().

26、解析 如图设吊灯离桌面 则 ()()()()()()()令 得 (舍去)当 当 时.当 时 取得最大值.即当吊灯离桌面高度为 时桌边最亮.解析 ().()在)上是减函数 ()在)上恒成立即 在)上的最大值.)且 .的取值范围为).证明 要证当 时()时()()()在()上单调递减()得 令 ()得 解得 即 所以必要性成立充分性:当 时满足 但由()知函数此时没有三个不同的零点所以充分性不成立.因此 是()有三个不同零点的必要不充分条件.解析 设()()()则()()()()()()()()()即()().解析()因为()在 处的切线方程为()()()即 .又 ()()即 联立解得 .()由(

27、)可知()()令()()则()()()令()得 当 时()()单调递增当 时()有 ()()在()上单调递增.解析 当 时()令()得 所以此时不符合题意当 时 ()()当 ()时 解得 或 则()在()上单调递增因为()则存在一零点在()上所以此时不符合题意当 解得 令 ()解得 所以函数()在 ()单调递减在()上单调递增在()上单调递减.若()在 上存在唯一的零点 且则()即 整理得 解得 又 .综上所述当 时满足题意.解析 设()()()在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像如图所示:存在唯一的整数 使得()存在唯一的整数 使得()在直线 的下方()()当 时()时()当 时()()

28、.又当 时()()直线 恒过()斜率为 当 时 又 ()这个唯一的整数 则()解得 的取值范围是).解析()()()则 ()()在点()处的切线方程为 ()即 令 得 .根据题意得 .()()()故可得()在()处的切线方程为()()()即()令 得()().()根据()和()中所求用牛顿切线法经过 次运算可得近似解 .用牛顿切线法经过 次运算可得近似解.用牛顿切线法经过 次运算可得近似解.用牛顿切线法经过 次运算可得近似解.经过 次运算用牛顿切线法求得的近似解精确到了.若采用二分法选定初始区间为().()()经过一次运算可得近似解为.()()经过二次运算可得近似解为.()(.)经过三次运算可得近似解为.()(.)经过四次运算可得近似解为.经过 次运算用二分法求得的近似解不如用牛顿切线法求得的近似解精确.不难发现牛顿切线法相对二分法要更加快速.证明 令()().要证()即证()在 时恒成立.易得 ()().当 时 ()恒成立()在)上单调递减()()故原不等式得证.