（新高考）河北省衡水中学2021届高三数学上学期四调考试试题 理（PDF）.pdf

1、答案详解1.已知集合2log1Axx，集合2By yx，则 AB（）A0,B0,2C0,2D0,10D解：2log1Axx02xx，2By yx0y y，0,)AB，故选：D2.已知圆22:240C xyxy关于直线32110 xay对称，则圆 C 中以,22aa为中点的弦长为（）A1B2C3D42.依题意可知直线过圆心(1,2)，即34110a，2a 故,1,122aa圆方程配方得22(1)(2)5xy，(1,1)与圆心距离为 1，故弦长为2 5 14 故选 D本题考查直线与圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。3若双曲线221mxny(0m)的离心率为5，则 mn （）A 14

2、B14C4D 4因为221mxny(0m)可化为22111xymn(0m)，所以2215bea，则22141bnam，即4mn .故选：D.4B 由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为 4 个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为 a，底面积为2a，所以，该正四棱锥的侧面积为23a，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为 h，则有223aha，所以，32ha，设内切球的半径为 r，则如图，OGP与 PHF相似，有 OGPOHFPF，所以，2222ahrrah，由于32ha，化简得，24ar，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为24ra 故选：B【点睛】关键点睛：解题关键在于利用三角形的相似关系，求出内

3、切球的半径与底面正方形的边长关系，属于中档题5C由题意可得：72ACB，且1512cos4BCACBAC，所以225151cos1442cos 7212144 ，所以51sin234sin 14490cos1444，故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.6已知定义在 R 上的函数()2xf xx，3(log5)af，31(log)2bf，(ln 3)cf，则 a，b，c 的大小关系为（）AcbaBbcaC abcDcab【详解】当0 x 时，()22()2ln 2 20 xxxxf xxxfxx，函数()f x 在0 x 时，是增函数.因为()22()xxfxxxf

4、 x ，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log)(log)(log 2)22bfff，因为33log5loln31g 20，函数()f x 在0 x 时，是增函数，所以cab，故本题选 D.7C【分析】构造新函数()()xf xg xe，求导后易证得()g x 在 R 上单调递减，从而有(1)(0)gg，(2020)(0)gg，(1)(1)gg，故而得解【详解】设()()xf xg xe，则()()()xfxf xg xe，()()fxf x，()0g x，即()g x 在 R 上单调递减，(1)(0)gg，即0(1)(0)ffee，即(1)e(0)ff，故选项 A 不正确；(

5、2020)(0)gg，即20200(2020)(0)ffee，即2020(2020)(0)fef，故选项 D 不正确；(1)(1)gg，即1(1)(1)ffee，即2(1)(1)fe f故选项 B 不正确；故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题8A设椭圆方程为22221(0)xyabab，双曲线方程为22221(0,0)xymnmn，左右焦点分别为12(,0),(,0)FcF c22222cabmn不妨设 P 在第一象限，121222PFPFaPFPFm，得12PFamPFam，在12PF F中，22

6、212121212|2|cosF FPFPFPFPFF PF，即2222222343,4amcamcc，设椭圆和双曲线的离心率分别为12221213,4e eee，设1211332cos1,cos,2sin3,0sin22ee，取03，1211242cossinsin()333ee，当6 时，1211ee取得最大值为 4 33.故选:A.本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题.9.由椭圆方程22148xy 可得焦点在 y 轴上，且2 2,2,2abc，椭圆的焦点坐标为 0,2,0,2，故 A 错误；椭圆 C 的长轴长为 24 2a，故 B 错误；可知直

7、线l 的斜率存在，设斜率为 k，1122,A x yB x y，则22112222148148xyxy，两式相减得 12121212048xxxxyyyy，121224048xxyy，解得12121yykxx，则直线l 的方程为21yx，即30 xy，故 C 正确；联立直线与椭圆2230148xyxy，整理得23610 xx，121212,3xxx x，2214 31124 33AB ,故 D 正确.故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在 y 轴上，在做题时容易忽略焦点位置，判断错误.10因为0a，0b，且24ab，A111111212123

8、3232 24444babaababababab，当且仅当242abbaab，即4 2442 2ab,时，取等号，故错误；B.21211414224144244babaabaababbab，当且仅当244abbaab，即2,1ab时，取等号，故正确；C.12112122122925524444babaababababab，当且仅当2422abbaab，即44,33ab时，取等号，故正确；D.1111111111111111bababaabababab，11111516131211171171717babaabababab，516132 303217171777baab，故正确；故选：BCD【点

9、睛】方法点睛：（1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值（2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等11BCD【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之【详解】解：由题意可得：32cos(2,2)2cossincos44()sincossincos2sinsi

10、ncos52sin2,244xxkkxxxf xxxxxxxxxxkk，函数图象如下所示故对称轴为4xk，kZ，故 A 正确；显然函数在,04上单调递增，0,4上单调递减，故 B 错误；当524xk，kZ时函数取得最小值 min2f x，故 D 错误；要使12()()4f xf x，则12()()2f xf x，则112 xk=或1122xk，222xk 12AC【详解】对于 A 选项，以点 D 为坐标原点，DA、DC、1DD 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则点 2,0,0A、2,2,0B、设点0,2,02Maa，AM 平面，则 AM为平面 的一个法向量，且2,2

11、,AMa，0,2,0AB，224232cos,32288AB AMAB AMABAMaa ，所以，直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为32,32，A 选项正确；对于 B 选项，当 M 与1CC 重合时，连接1A D、BD、1A B、AC，在正方体1111ABCDA BC D中，1CC 平面 ABCD，BD Q平面 ABCD，1BDCC，四边形 ABCD 是正方形，则 BDAC，1CCACC，BD 平面1ACC，1AC Q平面1ACC，1ACBD，同理可证11ACA D，1A DBDD，1AC 平面1A BD，易知1A BD是边长为 2 2 的等边三角形，其面积为1232 22 34A BD

12、S，周长为 2 236 2.设 E、F、Q、N、G、H 分别为棱11AD、11A B、1BB、BC、CD、1DD 的中点，易知六边形 EFQNGH 是边长为2 的正六边形，且平面/EFQNGH平面1A BD，正六边形 EFQNGH 的周长为 6 2，面积为23623 34，则1A BD的面积小于正六边形 EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误；对于 C 选项，设平面 交棱11AD 于点,0,2E b，点0,2,1M，2,2,1AM ，AM 平面，DE 平面，AMDE，即220AM DEb ，得1b ，1,0,2E，所以，点 E 为棱11AD 的中点，同理可知，点 F 为棱11A B

13、 的中点，则2,1,2F，1,1,0EF，而2,2,0DB，12EFDB，/EF DB且 EFDB，由空间中两点间的距离公式可得2222015DE，222221 2205BF，DEBF，所以，四边形 BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于 D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若 AMMN最短，则 A、M、N 三点共线，11/CCDD，2 2222 22MCACDNAD，11222MCCC，所以，点 M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问

14、题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.13.因为1,1abab，所以2221aa bb ，所以 21a b，所以12a b，又因为2221441 432224aaababbb ，故答案为：3.【点睛】方法点睛：已知,a ba b ，求解 xayb的方法：（1）先将 xayb平方然后开根号，得到22222xaybx axya by b ，（2）代入,a ba b 的值，即可计算出 xayb14.【分析】利用换底公式可得4log(3),km mZ，求出43mk，结合1,2020 可得 25m，再利用等比数列的前n项和即可求解.【详解】当1k 时，11a 为幸福数，符合题意；当2k 时，1234

15、524log 5 log 6log(3)log(3)kka a aakk令4log(3),km mZ，则34,43mmkk.由 2432020542023,25mmkm .故“幸福数”的和为23451(43)(43)(43)(43)2345(43)(43)(43)(43)(43)54 1 4151 454(41)1513494 1故答案为：1349.1521,1ee【分析】分离参数，构造函数2ln1(),(0,xf xxexx，利用导数讨论()f x 的单调性，再结合关于 x 的方程ln10 xkxx 在0,e 上有两个不相等的实根等价于()yf x与 yk有两个交点，即可求出 k 的取值范围

16、.【详解】ln10 xkxx，2ln1xkxx，设2ln1(),(0,xf xxexx，312ln()xxfxx，设()12ln,(0,g xxx xe，2()10g xx ，即()g x 在0,e 是减函数，又(1)0g，当 01x时，()0g x，即()0fx，当1xe时，()0g x，即()0fx，()f x在0,1 为增函数，在1,e 为减函数，当0 x 时，()f x ，21()(1)1,eeffe，关于 x 的方程ln10 xkxx 在0,e 上有两个不相等的实根等价于()yf x与 yk有两个交点，由上可知211eke，实数k 的取值范围为21,1ee.故答案为：21,1ee.【

17、点睛】本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题.162216xy3 5【分析】延长1FQ 与2PF 的延长线交于点 M，计算12142OQPFPF得到轨迹方程，取点2,0C，12 AMBMMCBMBC，解得答案.【详解】如图所示：延长1FQ 与2PF 的延长线交于点 M，则22121114222OQMFPMPFPFPFa，故轨迹方程为2216xy.取点2,0C，则12OCOMOMOA，MOCMOA，故12MCPA，13 52 AMBMMCBMBC，当 BMC 共线时等号成立.故答案为：2216xy；3 517【答案】（1）22nna；（2）是；答案见解析；（3）21nnTn.【分析】（1）

18、由1nnnaSS 可得数列 na是等比数列，即可求出通项公式；（2）可得出2nbn，利用定义可证明；（3）可得21 211111()2 2321nnbbnn，利用裂项相消法可求.【详解】(1)1n 时，得11+4aS，则12a，2n 时，由4nnaS得114nnaS，两式相减得120nnaa，即112nnaa，所以数列 na是等比数列,211222nnna；(2)2g2lonnban，1(2)(3)1nnbbnn，所以数列 nb是首项为 1，公差为 1 的等差数列；(3)22121log2,32,1 2nnnnbanbn bn ，21 21111111()(32)(1 2)(23)(21)2

19、2321nnbbnnnnnn，1111 111 11111()()()()2112 132 352 2321nTnn11(1)22121nnn .【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nna b结构，其中 na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于+nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11nna a 结构，其中 na是等差数列，公差为 d，则111111nnnna adaa，利用裂项相消法求和.18.【详解】选 sinsin4 sinsinbAaBcAB，因为 sinsin4 sinsinbAaBcAB，所以由正弦定

20、理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB，即 2sinsin4sinsinsinBACAB，所以1sin2C，因为0,C，所以6C 或56C.若56C，由1+3sinsin4AB，而6A，6B，从而1sinsin4AB，矛盾，舍去.故6C，接下来求 ABC 的面积 S.法一：设 ABC 外接圆的半径为 R，则由正弦定理得224sinsin 6cRC，2 sin4sinaRAA，2 sin4sinbRBB，16sinsin4(13)abAB，111sin4(13)13222ABCSabC.法二：由（1）得3cos2C，即3coscossinsin2ABAB，1+3sinsi

21、n4AB，13coscos4AB，1cos()coscossinsin2ABABAB，5 5(,)66AB，3AB或3BA，当3AB时，又56AB，712A，4B，由正弦定理得2sinsin42 2sinsin 6cBbC，1172123sin2 22sin2 2()1322122222ABCSbcA，当3BA时，同理可得13ABCS，故 ABC 的面积为13.选2cos22 3sin322CC，因为2cos22 3sin322CC，所以22cos13(1 cos)320CC，即22cos3cos30CC，(2cos3)(cos3)0CC，所以3cos2C 或cos3C （舍），因为0,C，所

22、以6C.以下同解法同，选(3)sinsinsinabAbBcC，由(3)sinsinsinabAbBcC及正弦定理得223ab abc，即2223abcab，由余弦定理得2223cos22abcCab，0C，6C，以下解法同.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.19 解：（1）取 PA 中点 N，连结QN，BN.Q，N 是 PD，PA 的中点，/QNAD，且12QNAD.PAPD，60PAD，12PAAD，12BCAD，QNBC，又/ADBC，/QNBC，BCQN 为平行四边形，/BNBC.又 BN 平面 PAB，且CQ 平面

23、PAB，/CQ平面 PAB；（2）取 AD 中点 M，连接 BM，取 AM 的中点O，连接 BO，PO.设2PA，由（1）得2PAAMPM，APM为等边三角形，POAM，同理 BOAM，平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCDAD，PO 平面 PAD，PO 平面 ABCD.以O 为坐标原点，分别以OB，ODuuur，OP所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 0,1,0A，3,2,0C，0,0,3P，330,22Q，3,3,0AC，530,22AQ，设平面 ACQ 的法向量,mx y z，则00m ACm AQ，33053022xyyz，取3y ，得

24、3,3,5m，又平面 PAQ 的法向量1,0,0n r，3 37cos,37m nm nmn ，由图得二面角 PAQC的平面角为钝角，所以，二面角 PAQC的余弦值为3 3737.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20【答案】（1）2214xy；（2）过定点（2，-1）.【分析】（1）设点00(,)M x y，根据 MA，BM 的斜率之积为14，可得000014yyxaxa，又 M 在椭圆上，所以2200221xyab，联立方程，可解得2ab，又根据题意3c，即可求得椭圆方程.（2）设(1)yk

25、xm m，1122(,),(,)E x yF xy，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可得1212,xx x x的表达式，根据题意121kk ，代入求解可得21mk ，代入直线，即可求得定点坐标.【详解】（1）由题意知3c，设点00(,)M x y，则000014yyxaxa，又点 M 在椭圆上，所以2200221xyab，联立可得2214ba，即2ab，又222abc及3c，解得：2,1ab所以椭圆方程为：2214xy.（2）直线l 过定点（2，-1），证明如下：设直线l：(1)ykxm m，1122(,),(,)E x yF xy，联立方程2214ykxmxy，整理得：222(1 4)8

26、440kxkmxm，222(8)4(1 4)(44)0kmkm，2121222844,1414kmmxxx xkk，所以12121212121111yykxmkxmkkxxxx=1212(1)()2mxxkx x，代入1212,xx x x得：2(1)(8)21(1)44mkmkmm，化简得21mk ，此时=-64k，所以存在 k 使得0 成立，所以直线 l 的方程为：-2-1ykxk，即(-2)(1)0k xy，所以直线 l 恒过定点（2，-1）【点睛】本题考查椭圆的几何性质与方程，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据韦达定理可得1212,xx x x的表达式，再结合题意121kk ，代入求

27、解即可，计算量偏大，考查计算化简，分析理解的能力，属中档题.21已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到准线的距离为 2，且过点 F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长 MN 为 8（1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程【答案】（1）1yx 或1yx ；（2）22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy【分析】（1）由题意得2,p(1,0)F，24yx，当直线 l 的斜率不存在时，不合题意；当直线 l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)yk xk，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已

28、知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程.【详解】（1）由题意得2,p(1,0)F，24yx当直线 l 的斜率不存在时，其方程为1x，此时248MNp，不满足，舍去；当直线 l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)yk xk由2(1)4yk xyx得2222(24)0k xkxk设1122(,),(,)M x yN xy，则216160k，且212224kxxk由抛物线定义得122222122444|(1)(1)22xkkMNMFNFxxxkk即22448kk，解得1k 因此 l 的方程为1yx 或

29、1yx .（2）由（1）取1,k 直线l 的方程为1yx，所以线段 MN 的中点坐标为(3，2)，所以 MN 的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy，该圆的圆心到直线l 的距离为 d，则00|1|2xyd，则该圆的半径为222|162MNdd2001162xy，因为该圆与准线1x 相切，所以0022000511162yxyxx，解得0032xy或00116xy,当圆心为(3,2)时，半径为 4，当圆心为(11,6)时，半径为12，因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy22（1）在定义域0,上单调递增；（2）1,e【分析】（

30、1）先求得 l1,n0,xxfxaexx，利用导数可得1ln1xx 恒成立，故可得 f x 的单调区间.（2）0h x 对任意的0,1x恒成立等价于lnnlxxaeaexx对任意0,1x恒成立，就1xae 和1xae 结合 lnH xxx的单调性分类讨论可得xaex对任意0,1x恒成立，参变分离后再次利用导数可求 a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()lnxf xaex，所以 l1,n0,xxfxaexx.令 ln1k xxx，则 21xkxx，当0,1x时，0kx，函数 k x 单调递减；当1,x 时，0kx，函数 k x 单调递增所以 110k xk，又因为0a，0 xe，所以 0fx

31、，f x 在定义域0,上单调递增.（2）由 0h x 得 0g xf x，即2lnlnxaexxxa，所以lnlnlnxxxaexxaexaae，即lnnlxxaeaexx对任意0,1x恒成立，设 lnH xxx，则 21 ln xHxx所以，当0,1x时，0Hx，函数 H x 单调递增，且当1,x 时，0H x，当0,1x时，0H x，若1xaex，则 0 xH aeH x，若01xae，因为 xH aeH x，且 H x 在0,1 上单调递增，所以xaex，综上可知，xaex对任意0,1x恒成立，即xxae对任意0,1x恒成立.设 xxG xe，0,1x，则 10 xxGxe，所以 G x 在0,1 单调递增，所以 11aG xGe，即 a 的取值范围为 1,e【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.