2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数图象的几何变换.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破二次函数图象的几何变换一、综合题1如图，抛物线y=-x+bx+4交y轴于点B，顶点为M，BAy轴，交抛物线于点A。已知该抛物线的对称轴为直线x= 。 （1）求b的值和点M的坐标。 （2）将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部(不包括OAB的边界)，则m的取值范围为 。 2二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题x3210y2204（1）该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 （2）求出该二次函数的表达式；（3）向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式3如图，已知抛物线C1交直线y=3于点A

2、（4，3），B（1，3），交y轴于点C（0，6）（1）求C1的解析式 （2）求抛物线C1关于直线y=3的对称抛物线 的解析式；设C2交x轴于点D和点E（点D在点E的左边），求点D和点E的坐标 （3）将抛物线C1水平向右平移得到抛物线C3，记平移后点B的对应点B，若DB平分BDE，求抛物线C3的解析式 （4）直接写出抛物线C1关于直线y=n（n为常数）对称的抛物线的解析式 4如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（1，4）.（1）求这个二次函数的表达式；（2）当5x0时，y的取值范围为 ；（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.5已知抛物

3、线： （ ）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D. （1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线 与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 在直线 上，设直线l与y轴的交点为 ，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若 ，求点P，Q的坐标.6如图，二次函数y（x+1）（x+a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x=1.（1）求a的值.（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式。7如图1，该抛物线是由yx2平移后得到，它的顶点坐标为（ ， ），并与坐标轴分别交于

4、A，B，C三点. （1）求A，B的坐标. （2）如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使PCABCO，求点P的坐标. （3）如图3，直线yax+b（b0）与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E.若ODOE3，请探索a与b的数量关系.并说明理由. 8抛物线 ： 的顶点A在某一条抛物线 上，将抛物线 向右平移 个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线 上. （1）求点A的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求a与b的关系式；（3）抛物线 的顶点为F，其对称轴与x轴的交点为D，点E是抛物线 上不同于顶点的任意一点，直线 交抛物线 于另一点M，直线 交直线L： 于点

5、N，求证：直线 与x轴互相垂直. 9设抛物线（m、n是实数）.（1）若，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；（2）当，时，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移a（）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；（3）当时，已知二次函数的图象经过，两点（p，q是实数），求证：.10如图，将抛物线 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC， ，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是.D （1）求点D的坐标； （2）设点 在新抛物线上，联结AC,DC，如果

6、CE平分 ，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线 沿 轴左右平移，点C的对应点为F，当 和 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式. 11如图，函数的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数的图象，把函数与的图象合并后称为函数L的图象（1）a的值为 ；函数的解析式为 （注明x的取值范围）；对于函数L，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ；（2）当直线与函数L的图象有4个交点时，求b的取值范围（3）坐标系中有一个正方形，其中，将函数L的图象沿y轴的正方向平移m个单位，直接写出当其与正方形的边有公共点时m的最大值与最小值的差12定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则

7、称该点为这个函数图象的“等值点”.例如，点 是函数 的图象的“等值点”. （1）分别判断函数 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作 轴，垂足为C.当 的面积为3时，求b的值； （3）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 .当 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围. 13如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 . （1）求抛物线的解析式：（2）如图，证明：对于 轴上任意一点 ，都存在过点 的直线交抛物线于 ， 两点，

8、使得 ； （3）将该抛物线在 之间的部分图象记为 ，将图象 在直线 下方的部分沿 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求 的取值范围. 14在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于 、 两点.抛物线 经过点 .（1）如果抛物线 经过点 ，求该抛物线的解析式；（2）如果抛物线 的顶点 位于 内. 求 的取值范围；将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过点 ，此时点 的对应点 坐标为 ，平移后的抛物线与线段 是否还存在其它交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由.15甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图，甲秀楼的桥拱截面 可视为抛物

9、线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点 到水面的距离是 . （1）按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 点 时，桥下水位刚好在 处.有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； （3）如图，桥拱所在的函数图象是抛物线 ，该抛物线在 轴下方部分与桥拱 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移 个单位长度，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小，结合函数图象，求 的取值范围. 16如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx

10、2+bx+c经过点A（1，0），B（0，3），顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE.（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MNCE时，请直接写出点K的坐标.17如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，点

11、 的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ，且经过 、 两点的直线 . （1）求抛物线 的函数表达式；（2）若将抛物线 沿 轴翻折，得到新抛物线 ，抛物线 上是否存在一点 使得 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.18已知抛物线 向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线 . （1）直接写出抛物线 的解析式 ；（2）如图1，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点 ， 在抛物线 上， 交抛物线于点Q.求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线 上， 轴，点E在点M的左侧，过点M的直线 与抛物线 只有一个公共点 与y轴不平行），直线 与抛物线交于另一点N.若线段

12、，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为 .答案解析部分1【答案】（1）解： 抛物线的对称轴为直线x= 解之：b=3抛物线的解析式为y=-x2+3x+4=.点M（2）略2【答案】（1）（0，4）；x-（2）解：二次函数与y轴交点是（0，4），c=4， 又（-2，-2），（-1，0），也都在抛物线yax2+bx+c上， 解得，抛物线的解析式为：yx2+5x+4.（3）解：抛物线向下平移4个单位后经过原点，平移后图象对应的二次函数的表达式是yx2+5x3【答案】（1）解：设抛物线C1经的解析式为y=ax2+bx+c， 抛物线C1经过点A（4，3），B（1，

13、3），C（0，6） ,解得 ，C1的解析式为y= x2+ x+6（2）解：C点关于直线y=3的对称点为（0，0）， 设抛物线C2的解析式为y=a1x2+b1x+c1， ，解得 ，抛物线C2的解析式为y= x2 x；令y=0，则 x2 x=0，解得x1=0，x2=5，D（5，0），E（0，0）（3）解：如图， DB平分BDE，BDB=ODB，ABx轴，BBD=ODB，BDB=BBD，BB=DB，BD= =5，将抛物线C1水平向右平移5个单位得到抛物线C3，C1的解析式为y= x2+ x+6= （x+ ）2+ ，抛物线C3的解析式为y= （x+ 5）2+ = （4）解：设抛物线C1关于直线y=n（

14、n为常数）对称的抛物线的解析式为y=mx+nx+k， 根据对称性得：新抛物线的开口方向与原抛物线的开口方向相反，开口大小相同，故m=- ，对称轴没有变化，故n=- ，当n6时，n+（n-6）=2n-6，故新抛物线与y轴的交点为（0，2n-6），当n6时，n-（6-n）=2n-6，新抛物线与y轴的交点为（0，2n-6），k=2n-6，抛物线C1关于直线y=n（n为常数）对称的抛物线的解析式为：y= x2 x+2n6.4【答案】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为ya（x1） 24. 将（1，0）代入ya（x1） 24，得，解得，a1，y（x1） 24.（2）4y12（3）解：因此，该二次函数

15、图象经过向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度或向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度恰好过点（3，4），且与x轴只有一个公共点.5【答案】（1）解：令y=0时，则有 ， 解得： ，点A在点B的左侧， ，抛物线的对称轴为直线 ；（2）解：联立直线与抛物线的解析式可得： ，化简得： ， 设点M、N的横坐标分别为 ，点M，N关于原点对称， ，根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，解得： ，抛物线的解析式为 ；（3）解：由（2）可得： ，化为顶点式为 ， 顶点 ，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点 在直线 上， ，新抛物线是由抛物线 向上平移了4个单位长度得到，直线l与y

16、轴的交点为 ， ，设点 ， ，由两点距离公式可得： ，化简得： ，解得： ， 或 .6【答案】（1）解：二次函数y（x+1）（x+a）（a为常数），抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0）和（-a，0），对称轴为直线x1，（-1-a）21，a=-3；（2）解：a-3，抛物线解析式为y（x+1）（x-3）=x2-2x-3，抛物线向下平移3个单位后经过原点，平移后图象所对应的二次函数的表达式是yx2-2x7【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y（x+ ）2 x2+3x4， 令x0，则y4，故点C（0，4）；令y0，则x-4或1，故点A、B的坐标分别为：（4，0）、（1，0）；（2）解：如图，设直线CP

17、交x轴于点H，故点H作HGAC交AC的延长线于点G， tanBCO tanPCA，OAOC4，故BAC45GAH，设GHGAx，则GC4x，故ACGCGA3x4 ，解得：x ，则AH x ，故点H（ ，0），设CH的表达式为：ykx+b，将C、H的坐标代入得 ，解得 ，CH的表达式为：y x4，联立并解得：x0（舍去）或 ，故点P（ ， ）；（3）解：设点P、G的坐标分别为：（m，m2+3m4）、（n，n2+3n4）， 由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y（m+4）x（m+4）；同理直线BG的表达式为：y（n+4）x（n+4）；故OD（m+4），OE（n+4），直线yax+b（b0），联

18、立并整理得：x2+（3a）xb40，故m+na3，mnb4，ODOE（m+4）（n+4）3，即mn+4（m+n）+163，而m+na3，mnb4，整理得：b4a+3.8【答案】（1）解： ， 顶点A的坐标为 ；（2）解： 顶点 在抛物线 上， 令 ，则抛物线 的解析式为： ， 将抛物线 向右平移 个单位， 所得抛物线顶点B的坐标为 ， 点B仍在抛物线 上， 整理得 ，即 ，又 ， ；（3）解： 抛物线 的顶点式为 ， 顶点为 ， 抛物线 的对称轴与x轴的交点D的坐标为 ， ，又 点E是抛物线 上不同于顶点F的任意一点， 设点E的坐标为 ，其中 ，把 ， ， 代入 ，得： ，解得： ， 直线 解

19、析式为 ，联立，整理得 ，解得 或 ， 点E与点M不重合， 点M的横坐标为 ， ， ， 直线 解析式为 ， 直线 与直线 的交点为 ， 点N横坐标为 ， 点M的横坐标与点N横坐标相同， 直线 与x轴互相垂直.9【答案】（1）解：将，代入， 得，则该二次函数的对称轴是，且当时，有最小值为；（2）解：分为两种情况： 如图，当C在B的左侧时，B，C是线段的三等分点，抛物线向右平移a个单位，当时，解得，点A在点B的左侧，；同理，当C在B的右侧时，；（3）解：图象经过，两点， ，结合的函数图象，、n不能同时等于，.10【答案】（1）解：抛物线y=- x2+4的顶点为C， 点C（0，4）OC=4，tanB

20、=4= ，OB=1，点B（1，0）设点D坐标（a，b）新抛物线解析式为：y=- （x-a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）解得： 点D坐标（-1， ）（2）解：如图1，过点D作DHOC， 点D坐标（-1， ）新抛物线解析式为：y=- （x+1）2+ ，当y=0时，0=- （x+1）2+ ，x1=-3，x2=1，点A（-3，0），AO=3， ，点D坐标（-1， ）DH=1，HO= ，CH=OH-OC= ， ， ，且AOC=DHC=90，AOCCHD，ACO=DCH，CE平分ACD，ACE=DCE，ACO+ACE=DCH+DCE，且ACO+ACE+DCH+DCE=180ECO=ECH=9

21、0=AOB，ECAO，点E纵坐标为4，4=- （x+1）2+ ，x1=-2，x2=0，点E（-2，4），（3）解：如图2， 点E（-2，4），点C（0，4），点A（-3，0），点B（1，0），点D坐标（-1， ）DE=DC= ， ，AB=3+1=4，DEC=DCE，ECAB，ECA=CAB，DEC=CAB，DEF和ABC相似 或 ， 或 EF= 或 点F（- ，4）或（ ，4）设平移后解析式为：y=- （x+1-c）2+4，4=- （- +1-c）2+4或4=- （ +1-c）2+4，c1= ，c2= 平移后解析式为：y=- （x+ ）2+4或y=- （x- ）2+4，11【答案】（1）-2；

22、x-1或0x1（2）解：当时，直线与函数L的图象有3个交点；当且直线与函数的图象有一个交点时，直线与函数L的图象有3个交点，此时方程即有两个相等的实数根，解得，当直线与函数L的图象有4个交点时，b的取值范围是（3）解：最大值与最小值的差为1012【答案】（1）解：函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解， 函数y=x+2没有“等值点”；函数 ，令y=x，则 ，即 ，解得： ，函数 的“等值点”为(0，0)，(2，2)（2）解：函数 ，令y=x，则 ， 解得： (负值已舍)，函数 的“等值点”为A( ， )；函数 ，令y=x，则 ，解得： ，函数 的“等值点”为B( ， )； 的面积为 ，即

23、 ，解得： 或 ；（3）解：将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2. W1与W2两部分组成的函数W的图象关于 对称，函数W的解析式为 ，令y=x，则 ，即 ，解得： ，函数 的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则 ，即 ，当 时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当 时，观察图象，恰有2个“等值点”；当 时，W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，函数W2没有“等值点”， ，整理得： ，解得： .综上，m的取值范围为 或 13【答案】（1）解：由题意知， 且抛物线的对称轴为 . 点 ，点 为 （A， 两点位于对称轴两侧，且离对称轴的距离相等，均为

24、2个单位长度） ，抛物线的解析式为 .（2）解：如图，过点 作 轴， 轴， 轴. 由 ，则 ， ， .设 ，则 . ， . ，即 . . ，关于 的方程总有两个不相等的实数根，即说明点 ， 存在，使得 .（3）解：图象翻折前后如图所示，其顶点分别为 ， ， . 如图，当 在 上方时（此处包含 与 处于同一高度），有 ， .此时， ， . ， ， .如图，当 在 下方时，有 ， .此时， ， ， ， .综上可知， 的取值范围是 .14【答案】（1）解：直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点， 当 时， ，解得 ，当 时， ， ， .抛物线经过点 ， ， .解得 .抛物线的解析式为 （2）解： 经过

25、点 ， . ， .顶点 坐标为 .直线 与直线 的交点坐标为 .点 位于 内， ，整理得 . 的取值范围为 .移后 的对应点是 ，即抛物线 向左平移 个单位，向上平移 个单位，平移后的抛物线为 .又平移后抛物线经过点 ， ，解得 ， .情况1：当 时，平移后的抛物线为 ，与直线 的另一个交点坐标为 . ， 不合题意舍去.情况2：当 时，平移后的抛物线为 ，与直线 的另一个交点坐标为 .又 ， 不合题意舍去.综上所述，平移后的抛物线与线段 不存在其它交点.15【答案】（1）解：根据题意得：A(8，0)，B(4，4)， 设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a(4

26、-8)4，解得： ，二次函数的解析式为：y= (x-8)x= x2+2x（0x8）（2）解：由题意得：x=0.4+1.22=1，代入y= x2+2x，得y= 12+21= 1.68， 答：他的头顶不会触碰到桥拱（3）解：由题意得：当0x8时，新函数表达式为：y= x2-2x， 当x0或x8时，新函数表达式为：y=- x2+2x，新函数表达式为： ，将新函数图象向右平移 个单位长度， （m，0）， （m+8，0）， （m+4，-4），如图所示，根据图象可知：当m+49且m8时，即：5m8时，平移后的函数图象在 时， 的值随 值的增大而减小.16【答案】（1）解：由抛物线yx2+bx+c经过点A（

27、1，0），B（0，3），得： ，解得： ，原抛物线对应的函数表达式为： （2）解：由（1）得：原抛物线为： ，故顶点C坐标为 新抛物线上的点D（3，1）为原抛物线上点A的对应点，原抛物线向右移4个单位，向下移1个单位得到新抛物线，新抛物线对应的函数表达式为： ，即： 故新抛物线顶E点坐标为 ，与y轴交点G坐标为 ，以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，点F不可能在CE下方，故如图所示：当平行四边形为 时，点F坐标为 ，即 ，根据平移性质可知： 一定在原抛物线；当平行四边形为 时，点F坐标为 ，即 ，此时 ；故不在新抛物线上，综上所述：以点C，E，F，G为顶点的四边形是 时，F的坐标为

28、；（3）解： ，MNCE， M点到N点的平移方式和C点到E点平移方式相同，设M在左侧，坐标为（a，b），则点N坐标为（a+4，b-1），由图可知，点M在新抛物线，点N在原抛物线， ，解得： ，即M点坐标为 ，点N坐标为 ，设直线MN解析式为 ， ，解得： ，即： ，故直线MN与y轴交点K坐标为 .17【答案】（1）解：经过 、 两点的直线为 ，且点 在 轴上， 点 的坐标为 .抛物线 的对称轴是直线 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，设抛物线 的表达式为 .抛物线 经过点 ， ，解得： ，抛物线 的函数表达式为 （2）解：存在，点 的坐标为 或 或 . 把抛物线配方变顶点式 ，将抛物线沿 轴翻折，新抛物线顶点为(-3， )， 所得新抛物线 为 ，设 . ， ， ， ， ， ，即 或 ，当 时，整理得 ，解得 ，此时 ；当 时，整理得 ，解得 ， ，此时 或 .综上，存在满足条件的点 ，点 的坐标为 或 或 18【答案】（1）（2）解： ， 令 ， ，解得 或 ， ， ， 点 ， 在抛物线 上， ，解得 ， ， ，设 ，过点P作 轴交于点M，过点Q作 轴交于点N，如图所示， ， ， ， ， ， ， 或 ， 点在第二象限， ， ， ；（3）