2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数的最值.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破二次函数的最值一、综合题1如图，抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E.（1）求抛物线的解析式：（2）若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由：（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由.2工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（

2、1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润为最大? 3已知函数y= x2+nx+n(x1)12x2+n2x+n2(x1)（1）点P（2，2）在此函数的图象上求n的值求此函数的图象与y轴的交点，（2）当n=1时，此函数的最大值为 4如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线 ，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 ， . （1）求抛物线的解析式.（2）在抛物线上是否存在点Q，使得 是以BC为直角边的直角三角形？若存

3、在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （3）设抛物线上的一点 的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使 的面积为最大整数时点P的坐标. 5某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成面积比为1：2的两个矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）。（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值。（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?6在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 . （1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点 ，且满足 ，求n的取值范围

4、； （3）若 时， ，结合函数图象，直接写出b的取值范围. 7如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点的坐标为，连接，过点作交轴于点，.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点为射线上一点，点为第二象限内抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，平移后点的对应点为点，点为线段的中点，点为新抛物线的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点，使以点，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程.8如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

5、抛物线经过AB两点，与x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的解析式（2）若点D是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，设点D的横坐标为t，过点D作y轴的平行线交AB于E，当t为何值时，线段DE的长最大，并求其最大值；（3）是否存在点D，使得的度数恰好是的2倍？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由9综合与探究抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点P为抛物线上一个动点（不与B，C重合）（1）求A，B，C三点的坐标及直线l的表达式； （2）如图1，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PEx轴交直线l于点E，设点P的横坐标为m求线段PE的

6、长（用含m的代数式表示）；请求出线段PE的最大值；（3）如图2，点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使以点B，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 10已知二次函数ymx22mx+3，其中m0.（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；（2）若该二次函数图象开口向上，当1x2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当ax1x2a+2时，总有y1y2，求a的取值范围.11如图，将抛物线 平移到顶点恰好落在直线 上，并设此时抛物线顶

7、点的横坐标为 . （1）求抛物线的解析式（用含 、 的代数式表示）； （2）如图， 与抛物线交于 、 、 三点， ， 轴， ， . 求 的面积（用含 的代数式表示）；若 的面积为1，当 时， 的最大值为-3，求 的值.12如图，抛物线与轴交于，两点，抛物线上另有一点在轴下方，且使OCAOBC.（1）求线段的长度；（2）设直线与轴交于点，当平分的面积时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线下方抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.13在平面直角坐标系中，设二次函数 ，（a，b是实数，a不等于0）.（1）若函数y1的对称轴为直线x=3，

8、且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式.（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r不等于0，求证：函数y2的图象经过点（ ，0）.（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值.14如图1，在O中，M为弦AB的中点，过点M作直径CD，E为线段OM上一点，连结AE并延长交O于点F，连结BF，AE=BF.（1）证明：ACBF.（2）当时，求.（3）如图2，连结CF交AB于点G，当CD2时，设EMx，求y关于x的函数解析式，并确定y的最大值.15如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（2，0），B（4，0）

9、，C（0，8）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求CBF的最大面积及此时点E的坐标.16已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，2），顶点坐标为 . （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记 的面积为S1， 的面积为S2，当 最大时，求D点坐标； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线 ，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究：在y轴右侧是否存

10、在这样的点P，Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 17已知函数yx2+bx+c（其中b，c是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x0时，y5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x2；丁发现4是方程x2+bx+c0的一个根已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式； （2）在（1）的条件下，函数yx2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的

11、内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围； （3）若cb2，当2x0时，函数yx2+bx+c的最大值为5，求b的值 18已知函数 （b，c为常数）的图象经过点 （1）当 时，求抛物线的顶点坐标； （2）设该函数图象的顶点坐标是 ，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当 时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值 答案解析部分1【答案】（1）解：抛物线经过点、，且对称轴为直线， ，解得，抛物线的解析式为.（2）解：存在，理由如下： 如图1，作轴于点，交于点，设，点与点关于直线对称，设直线的解析式为，则，解得，当时，点的坐标是，四边形的面积的最大值是1

12、6.（3）解：存在，设， ，当时，则，解得，；当时，则，解得，；当时，则，解得，综上所述，点的坐标或或或或.2【答案】（1）解： 设标价为x, 则进价为x-45 ,80.85x-(x-45)=12x-35-(x-45) ,整理得360-1.2x=120, 即1.2x=240,解得x=200，则每件进价为：200-45=155（元）改商品的每件标价为200元，进价为155元. （2）解： 设利润为y，工艺品降价x元，则y=(45-x)(100+4x)y=-4x2+80x+4500=-4(x-10)2+4900,a=-40, 函数有最大值，当降价10元，每天获得的利润最大，最大利润4900元.3【

13、答案】（1）解：将点P（2，2）的坐标代人y=-x2+nx+n，得2=-22+2n +n，解得n=2由可知，当1时，y=x2+x+1，当=0时，y=1，此函数的图象与y轴的交点为（0，1）（2）14【答案】（1）解： ， ， ， ，设抛物线的解析式为 ，则有： ，解得： ，抛物线解析式为 ；（2）解：存在点Q，使得 是以BC为直角边的直角三角形，理由如下： 当 时，如图所示：过点Q作QHy轴于点H， ， ，BOC是等腰直角三角形， ， ， ，HCQ是等腰直角三角形， ，设点 ，则有 ， ，解得： （不符合题意，舍去），点 ；当 时，如图所示：过点B作x轴的垂线，然后过点Q、C分别作QEBE于点

14、E，CFBE于点F， ，BFC是等腰直角三角形， ， ， ，QEB是等腰直角三角形， ，设点 ，则有 ， ，解得： （不符合题意，舍去），点 ；综上所述：当 是以BC为直角边的直角三角形时，点 或 ；（3）解：由（1）可知： ， ， 设直线BC的解析式为 ，则有： ，解得： ，直线BC的解析式为 ，过点P作PMx轴，交BC于点M，如图所示： ， ， ， ， ，开口向下， ， 的面积为最大整数时的值为3， ，解得： ，点 或 .5【答案】（1）解：如图，BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，CD=2x，BD=3x，AB=CF=DE=（24-BD）=8-x根据题意，得3x（8-x）

15、=36，（3分）解得x1=2，x2=6（舍），（4分）则此时x的值为2（2）解：设矩形养殖场的总面积为S m2由（1）得S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48-30，当x=4时，S有最大值，最大值为48 m26【答案】（1）解： 化成顶点式为： ， 抛物线顶点的坐标为（b，-2）；（2）解：把 代入解析式得， ，解得， （舍去）， ， 抛物线解析式为： ，因为抛物线开口向下，当 时，n有最小值，最小值为-2，当 时，n=2，当 时，n=-1，所以，n的取值范围为： ；（3）解：b的取值范围为 . 7【答案】（1）解：点A坐标为（，0），OA= ，OB=3OA，OB=，点B坐标为（，0），将

16、点A（，0）、B（，0）坐标代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为（2）解：当x=0时，y=3，C（0，3），OC=3，点为射线上一点，且AB=，=，要使四边形面积的最大，只需求出的最大值，过P作PQy轴交BC于Q，即求出PQ的最大值即可.设直线BC的解析式为y=kx+t，将B（，0）、C（0，3）代入得：，解得：，直线BC的解析式为，设P（m，）（m0），则Q（m，），PQ=（）=，当m=时，PQ有最大值，最大值为，的最大值为 =，四边形面积的最大值为+=，此时点P坐标为（，）；（3）解：M（，）或M（，）或M（，）；由（1）知抛物线= 的对称轴为直线x= ，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛

17、物线经过点，原抛物线沿轴正方向平移个单位长度得到新抛物线，=，它的对称轴为直线x=，（，0），设直线AD的表达式为，将A（，0）代入得：c=1，D（0，1），N为AD的中点，N（，），设Q（，n），根据题意，以点，为顶点的四边形为平行四边形，当边时，由中点坐标公式得：或， 即或，解得：或，M1（，）或M2（，）；当为对角线时，由中点坐标公式得：，即，解得：，M3（，），综上，满足条件的点M的坐标为M（，）或M（，）或M（，）.8【答案】（1）解：由可得：当时，；当时，把A、B的坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）解：如图，过点D作于F，交于E，设点，当时，有最大值为2；（3）解：存

18、在点D，使得，理由如下：如图，过点B作轴，交抛物线于点H，过点D作轴，交于点N，在中，设点，则，解得：，点D的坐标为；存在点D，使得，此时点9【答案】（1）解：设， x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0，x=-1或3，A（-1，0），B（3，0）， 当x=0时，y=2，C（0，2）， 设直线l的解析式为y=kx+2，3k+2=0， k=-，直线l的解析式为y=-x+2.（2）解：P点横坐标为m， PEx轴 ， 解得x=m2-2m，PE=m-（m2-2m）=-m2+3m，PE=-m2+3m=-（m-）2+，-10， 函数y1和函数y2都有最小值，m= ，n=， m+n=0，+=0，（4

19、a-b2）（a+1）=0，a+10，4a-b2=0，m=n=0.14【答案】（1）证明：如图，连结BE，CD为直径，M为AB中点，EMAB，EAEB.又BFAE，BEBF，.AC=BF（2）解：连结OA、CA，ACBFAE，EMCM.如图，当E在线段MO上时，令OEa，则EMCM2a，即半径为5a.在RtAMO中用勾股定理得AM4a，.（3）解：如图，BFGBAF.BFGBAF，即.CD2，半径为1.EMx，MCx，MOOCMC1x，.当时，y的最大值为2.15【答案】（1）解：A（2，0），B（4，0），C（0，8）在抛物线 上，则 解得 抛物线解析式为yx22x8；（2）存在，理由： yx

20、22x8（x1）29，抛物线对称轴为直线x1，D（1，0），且C（0，8），CD ，点P在对称轴上，可设P（1，t），PD|t|，PC ，CD 当PDCD时，则有|t| ，解得t ，此时P点坐标为（1， ）或（1， ）；当PCCD时，则有 = 解得t0（与D重合，舍去）或t16，此时P点坐标为（1，16）；当PDPC时，则有|t|= 解得t ，此时P点坐标为（1， ）综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1， ）或（1， ）或（1，16）或（1， ）；（3）C（0，8），B（4，0） 设直线BC解析式为ykxs，由题意可得 解得 直线BC解析式为y2x8，点E是线段BC上的一个动点，可设E（m

21、，2m8），则F（m，m22m8），EFm22m8（2m8）m24m，SCBF OBEF 4（m24m）=2（m2）28，10，当m2时，SCBF有最大值，最大值为8，此时E（2，4），当CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）.16【答案】（1）解：设抛物线的解析式为 ， 将C（0，2）代入得：4a2，解得a ，抛物线的解析式为 ，即 ；（2）解：如图：过点D作DGx轴于点G，交BC于点F，过点A作AKx轴交BC的延长线于点K， AK DG，AKEDFE， ， ，令 中y=0，得 ，解得 或 故B(4，0)，A(-1，0)，设直线BC的解析式为ykx+b，把B、C的坐标分别代

22、入，得 ，解得 ，直线BC的解析式为y x2，A（1，0）， ，AK ，设 ，则 ， . ，当m2时， 有最大值，最大值是 ；D点坐标为（2，-3）；（3）解：存在； 直线BC的解析式为y x2， 且过点O，直线l的解析式为y x，设点 ，点P在y轴右侧， ，当AB为平行四边形的对角线时， ， ， 中点坐标为 ， 的中点坐标为 ， 点坐标为 ， 点在抛物线上， ，解得 或 (舍去)；此时点P的坐标为 ；当AB为平行四边形的边时，则 ，即 轴，且 ， 点坐标为 或 ， 或 ，解得 (舍去)或 ，当 时， ， 不符合题意，舍去， ，此时 ，综上，点P的坐标为 或 17【答案】（1）解：甲发现当x0

23、时，y5，则c5；乙发现函数的最大值为9，即c+ 9； 丙发现函数图象的对称轴是直线x2，则 4，即b4；丁发现4是方程x2+bx+c0的一个根，则c+4b16，假设甲和丙正确，即c5，b4，则即c+ 9，故乙正确，而丁错误，故错误的是丁，函数的表达式为：yx2+4x+5；（2）解：yx2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9m）， yx2+4x+5，令y0，则x5或1，故点B（5，0），而点C（0，5），过点A作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+5，当x2时，y3，故点H（2，3），函数图象的顶点落在ABC的内部，则39m9，解得：0m

24、6；（3）解：cb2，则抛物线的表达式为：yx2+bx+b2，函数的对称轴为：x b， 当 b0时，即b0，则x0时，y取得最大值，即b25，解得：b （舍去负值）；当2 b0时，即4b0，当x b时，y取得最大值，即（ b）2+ b2+b25，解得：b2（舍去2）；当b4时，同理可得：b1 （舍去）；综上，b 或218【答案】（1）解：由题意，将点 代入 ，得 ， 又 ， ， ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）解：设该函数图象的顶点坐标是 ， ，将点 代入抛物线解析式得 ， （3）解：由 ，得对称轴 ， 当 时， ，又函数不经过第三象限，则 ， ，此时 ，当 时，函数最小值是0，最大值是16，最大值与最小值之差为16，（舍去），当 时， ，又函数不经过第三象限，则需 ，得 ， ， 当 时，函数有最大值，即当 时， 当 时，函数有最小值 ；函数最大值为 ，由题意， ，解得 或 ； ，即 ， ；当 时，当 x=-3时函数有最小值 = ；函数最大值为 ，由题意， ，解得 ， ， （舍）；综上所述