2023年中考数学高频考点突破-一次函数与动态几何问题.docx

1、2023年中考数学高频考点突破-一次函数与动态几何问题一、综合题1如图，在 ABC 中， BC=16 ，高 AD=10 动点 M 由点 C 沿 CB 向点 B 移动（不与点 B 重合），设 CM 的长为 x ， ABM 的面积为 S（1）写出 S 与 x 之间的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围 （2）当 x 取 10 时，计算出相应的 S 的值 （3）当 S 为 60 时，计算出相应的 x 的值 2如图，直线 y=23x+4 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点D在y轴的负半轴上，C、D两点到x轴的距离均为2 （1）点C的坐标为 ，点D的坐标为 ； （2）点P为线段OA

2、上的一动点，当PC+PD最小时，求点P的坐标 3在平面直角坐标系中，直线 y=3x+2 与 y 轴交于点 C ，直线 y=x+b(b0) 与 y 轴交于点 A ，与直线 y=3x+2 交于点 B ，设点 B 的横坐标为-2 （1）求点 B 的坐标及 b 的值； （2）根据图象直接写出不等式 3x+2x+b 的解集； （3）点 P 为 x 轴上一点，当 |PAPB| 最大时，求点 P 的坐标 4如图，直线 l 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B(0，2) .已知点 C(1，3) 在直线 l 上，连接OC. （1）求直线 l 的解析式； （2）P 为 x 轴上一动点，若 ACP 的面积是

3、 BOC 的面积的2倍，求点 P 的坐标. 5如图，直线 y=kx+6 与 x 轴 y 轴分别交于点 E 、 F ，点 E 的坐标为 (8，0) ，点 A 的坐标为 (6，0) （1）求 k 的值（2）若点 P(x，y) 是第二象限内的直线 y=kx+6 上的一个动点，在点 P 的运动过程中，试写出 OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围6如图，直线l的解析式为y=x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，设运动时间为秒(0t4)（1）求A、B两点的

4、坐标；（2）用含t的代数式表示MON的面积S1（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记MPN和ABO重合部分的面积为S2当2t4时，试探究S2与t之间的函数关系式在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为ABO面积的516？7如图，在平面直角坐标系中，过点A（8，6）作ABy轴，垂足为B；动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴正方向运动；动点Q从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，连接PQ设运动的时间为ts（1）当t为何值时，PQ取得最小值；（2）当PQ=210时，求t的值；（3）在备用图中，连接OA交PQ于点C，试问：随着两个动点P、Q的运动，点C的位置是否变

5、化？若不变化，请求出点C的坐标；若变化，请说明理由8在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y=kx+b 与直线 y=3x 平行，且过点 A(2，7) （1）求直线 l1 的表达式； （2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点直线 l2 与直线 l1 关于y轴对称，直线 y=m 与直线 l1，l2 围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围 9如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 经过原点，且与直线 l2：y=x+3 交于点 A(m，2) ，直线 l2 与 x 轴交于点 B （1）求直线 l1 的函数解析式； （2）点 P(n，0) 在 x 轴上，过点 P 作平行于 y 轴

6、的直线，分别与直线 l1 ， l2 交于点 M ， N .若 MN=OB ，求 n 的值 10小昊家与文具超市相距1080米，小昊从家出发，沿笔直的公路匀速步行12分钟来到文具超市买笔记本，买完以后，便沿着原路匀速跑步6分钟返回家中，小吴离家距离y（米）与离家时间x（分钟）的关系如图所示：（1）根据图象回答，小昊在文具超市停留了几分钟？（2）求小昊从文具超市返回家中的速度比从家去文具超市的速度快多少？（3）请直接写出小昊从家出发后多少分钟离家距离为810米？11如图1，已知ABC中，BC6，AF为BC边上的高，P是BC上一动点，沿BC由B向C运动，连接AP，在这个变化过程中设BPx，且把x看成

7、自变量，设APC的面积为S，图2刻画的是S随x变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：（1）ABC的高AF的长为 （2）写出S与x的关系式 （3）设ABP的面积为y，写出y与x的关系式，并求当x为何值时，APC的面积与ABP的面积相等？12如图所示，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(6， 32 )，点P是x轴上一点，且PA+ PB的值最小 （1）求点P的坐标（2）在x轴上有一点M，点M，A，P恰好为等腰三角形APM的三个顶点若AP为APM的腰，直接写出点M的坐标；若PA为APM的底边，求点M的坐标13如图，直线y=kx+6(k0)与x轴，y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(-8，0)，点A

8、的坐标为(-6，0)，点P(x，y)是线段EF上的一个动点（1）求k的值； （2）求点P在运动过程中OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当OPA的面积为9时，求点P的坐标 14如图1，在ABC中，C=90，点D在AC上，且CDDA，DA=2，点P，Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P，Q同时停止运动设PQ=x，PQR与ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0x87，87xm时，函数的解析式不同）（1）填空：n的值为_；（2）求S关于x的函数关系式，

9、并写出x的取值范围15如图， A(0，1) ， M(3，2) ， N(4，4) ，动点 P 从点 A 出发，沿 y 轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点 P 的直线 l：y=x+b 也随之移动，设移动时间为t秒 （1）若直线 l 与线段 MN 有交点，确定 t 的取值范围； （2）设直线 l 与 x 轴交点为 Q ，若 QM+QN 取得最小值，求此时直线l的函数解析式 16如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，2），点B的坐标为（4，2），点P是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：ykx+2k（k0）经过点P，并与l1交于点M（1）求l1的函数表达式；（2）若点M坐标为（

10、1， 43 ），求SAPM； （3）无论k取何值，直线l2恒经过点 ，在P的移动过程中，k的取值范围是 答案解析部分1【答案】（1）解：BC=16，CM的长为x， BM=BC-CM=16-x，点M由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），0x16，ABM的面积= 12 BMAD，S= 12 BMAD= 12 （16-x）10=-5x+80，S与x之间的函数关系式为：S=-5x+80，自变量x的取值范围为：0x16（2）解：当x=10时，S=-510+80=30 （3）解：当S=60时，60=-5x+80， 解得：x=4【知识点】一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）求出BM=BC-CM=1

11、6-x，由点M由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），得出0x16，由ABM的面积= 12 BMAD，即可得出结果；（2）将x=10代入S与x之间的函数关系式即可得出结果；（3）将S=60代入S与x之间的函数关系式即可得出结果2【答案】（1）（-3，2）；（0,-2）（2）解：如图，连接CD，求出直线CD与x轴的交点即为P点. 设直线CD的解析式为y=kx+b，把（-3，2），（0,2）代入得 2=b2=3k+b解得 k=43b=2y= 43 x-2令y=0，解得x= 32P（ 32 ，0）【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数-动态几何问题【解析】【解答

12、】解：（1）令y=2，解得x=-3，点C的坐标为（-3，2）令y=-2，解得x=0，点D的坐标为（0,-2）【分析】（1）根据直线 y=23x+4 与C、D两点到x轴的距离均为2即可求出C,D的坐标；（2）连接CD，求出直线CD与x轴的交点即为P点.3【答案】（1）解： 点 B 的横坐标为-2，点 B 在直线 y=3x+2 上， y=3(2)+2=8 ，B(2，8) ，又点 B 在直线 y=x+b 上，8=2+b ，解得 b=10 ，y=x+10 ；（2）解：根据函数图象可知， B 的横坐标为 2 ，直线 y=3x+2 在直线 y=x+b 的上方部分的自变量的取值范围为： xx+b 的解集为

13、x2（3）解： PAPBAB ， 当 P，A，B 三点共线时， |PAPB| 取得最大值， 直线 y=x+10 与 x 轴的交点为 P ，令 y=0 ，解得 x=10 ，P(10，0) 【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）对于 y=3x+2 ，计算自变量为-2时的函数值可得出B点坐标，再把点B的坐标代入y=x+b即可得出b的值；（2）观察函数图象，写出直线 y=3x+2 在直线 y=x+b 的上方部分的自变量的取值范围即可；（3）得出当 P，A，B 三点共线时， |PAPB| 取得最大值，令 y=0 ，解得 x=

14、10 ，由此得出点P的坐标。4【答案】（1）解：设直线 l 的解析式为 y=kx+b 点 B(0,2) 、 C(1,3) 在直线 l 上， b=2k+b=3 解得 b=2k=1 直线 l 的解析式为 y=x+2（2）解：把 y=0 代入方程 y=x+2 得 x=2 点 A(2,0)SBOC=12|xc|OB=1212=1设 P(a,0) ，则 AP=|a2|ACP ACP 的面积是: 123|a2|令 SACP=2SBOC即 123|a2|=2 解得 a=103 或 a=23A 点的坐标数是 (103,0) 或 (23,0)【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题【解析】【

15、分析】（1）设直线 l 的解析式为 y=kx+b ，将B、C两点的坐标代入即可得出结论；（2）先求出 BOC 的面积，设 P(a,0) ，再根据三角形的面积公式和 ACP 的面积是 BOC 的面积的 2 倍，列出方程即可5【答案】（1）解：y=kx+6 过 E(8，0) ，8k+6=0 ，k=34 （2）解：k=34 ，y=34x+6 ，P 在直线上，yP=34x+6 ，S=12OAyP=126(34x+6)=94x+18 ，P 在第二象限，且点E的坐标为（-8，0），8x0 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）因为直线过点E ( 8 ， 0 )，

16、所以8k+6=0，解得k=34；（2）由（1）得，y=34x+6，因为P在直线上，所以P（x，34x+6），则OPA的面积S=12OAyp=126(34x+6)=94x+18；已知点 P ( x ， y ) 在第二象限内，且点E的坐标为（-8，0），所以x 的取值范围是8x0 。6【答案】（1）解：当x=0时，y=4；当y=0时，x=4A(4，0)，B(0，4)（2）解：直线l平行于直线m，OM=ON=t，S1=12OMON=12t2（3）解：当2t4时，易知点P在ABO的外面，则点P的坐标为(t，t)，F点的坐标满足x=ty=t+4，即F(t，4t)，同理E(4t，t)，则PF=PE=|t(

17、4t)|=2t4，S2=SMPNSPEF=SOMNSPEF，=12t212PEPF，=12t212(2t4)(2t4)=32t2+8t8当0t2时，S2=12t2=5161244=52，解得t1=52两个都不合题意，舍去；当2t4时，S2=32t2+8t8=52，解得t3=3，t4=73，综上得，当t=73或t=3时，S2为ABO的面积的516【知识点】一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）分别令y0、x0，代入直线l的解析式可求得点A、B的坐标；（2）根据直线l平行于直线m可得OMONt，MON是直角三角形，根据MON的面积S112OMON可求解；（3）当2t4时， 易知点P在ABO的

18、外面，则点P的坐标为（t，t），结合已知可得F（t，4-t），E（4-t，t），则PF=PE可用含t的代数式表示出来，由图形的构成S2=SMPN-SPEF=SOMN-SPEF可求解；由题意分0t2和2t4两种情况解答即可7【答案】（1）解：由题意知：A（8，6），B（0，6），OP=3t，AQ=2t，BQ=8-2t；当QPAB时，QP取得最小值，此时OP= BQ，即3t=8-2t，解得：t=85（s）；当t为85s时，PQ取得最小值；（2）解：由（1）得：P（3t，0），Q（8-2t，6），根据题意得：PQ=(82t3t)2+62=210，整理得：5t2-16t+12=0，解得：t=65或2；

19、t的值为65或2；（3）解：设直线PQ的解析式为y=kx+b，3tk+b=0(82t)k+b=6，解得：k=685tb=18t85t，直线PQ的解析式为y=685tx18t85t，同理可得直线OA的解析式为y=34x，联立得：34x=685tx18t85t，整理得：24x-15tx=24x-72t，解得：x=245，把x=245代入 y=34x，得y=185，点C的坐标为（245，185），即点C的位置不变化【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题；直角坐标系内两点的距离公式【解析】【分析】（1）根据题意可知 A（8，6），B（0，6），OP=3t，AQ=2t，则BQ=8-

20、2t ，根据两条平行线之间垂线段最短可知 当QPAB时，QP取得最小值， 可得3t=8-2t，解之求出t即可； （2）根据P、Q坐标，两点距离公式可得PQ=(82t3t)2+62=210， 解之求出t即可； （3）利用待定系数法求出直线PQ和直线OA的解析式 ，联立方程组求出x，再将x代入直线OA的解析式为y=34x求出y，即可求出点C的坐标 。8【答案】（1）解：直线 l1： y=kx+b 与直线 y=3x 平行 直线 l1： y=3x+b又直线 l1 过点A（2，7）7=32+b ，即 b=1直线的解析式为 y=3x+1（2）解：直线 l1： y=3x+1直线 l1 与x轴的交点为（ 13

21、 ，0），与y轴的交点为（0，1）设直线 l2 的解析式为 y=k1x+b1直线 l2 与直线 l1 关于y轴对称直线 l1 与x轴的交点为（ 13 ，0），与y轴的交点为（0，1）0=13k1+b11=b1 解得 k1=3b1=1故可画出如下图所示的函数图象当 m0 ，由图像可知m值越小所围的区域越大当 m=4 时，整点有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）、（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）恰好6个整点当 m=3 时，只有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）三个整点，（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）这三个点正好在边界上故 4m3 时恰好有6个整点故由对称性可知当 5m

22、6 ，所围成的区域也恰好有6个整点综上所述： 4m3 或 5m6 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题；定义新运算【解析】【分析】（1）根据题意直线l1： y=kx+b 中k=3，把A（2，7）代入即可求得b，从而求得直线l1 的函数表达式；（2）分两种情况，根据图象即可得出结论。9【答案】（1）解：A(m，2) 在直线 l2：y=x+3 上， 2=m+3 ，解得 m=1 ，A(1，2) ，设 l1：y=kx ，将 A(1，2) 代入 l1：y=kx ，得：2=k ，直线 l1 的函数解析式为 y=2x ；（2）解：直线 l2 与 x 轴交于点 B ， 当 y=0 时，

23、 x=3 ，点 B 的坐标为 (3，0) ，OB=3 ，过点 P 作平行于 y 轴的直线，分别与直线 l1 ， l2 交于点 M ， N ，当 x=n 时， M(n，2n) ， N(n，n+3) ，MN=|2n(n+3)|=|3n3| ，MN=OB ，|3n3|=3 ，解得 n=2 或 n=0 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出 OB=3 ， 再求出 |3n3|=3 ， 最后计算求解即可。10【答案】（1）解：根据图象可知，小昊在文具超市停留的时间为：15-12=3（分钟）

24、； （2）解：小昊从文具超市返回家中的速度为：1080（21-15）=180（米/分钟），从家去文具超市的速度为：108012=90（米/分钟），180-90=90（米/分钟）， 答：小昊从文具超市返回家中的速度比从家去文具超市的速度快90米/分钟（3）解：81090=9（分钟），15+（1080-810）180=16.5（分钟）， 小昊从家出发后9分钟或16.5分钟离家距离为810米.【知识点】一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）根据图形可得：1215分钟处于停留，据此计算；（2）利用路程除以时间可求出速度，据此解答；（3）根据路程除以速度等于时间进行计算.11【答案】（1）4（2）

25、S=122x（3）解：y=12AFBP=124x=2x，即y=2x；122x=2x，解得：x=3；当x=3时，APC的面积与ABP的面积相等【知识点】一次函数-动态几何问题【解析】【解答】解：（1）解：由题意可知，S=12AFPC=12AF(6x)， 由图2可知，当x=0时，S=12，代入S=12AF(6x)得，AF4，（2）由（1）知S=12AF(6x)，AF4，S与x的关系式为S=122x； 【分析】（1）当点P在点B的位置时，三角形APC面积最大为12，则直接计算出AF长； （2）由于PB是关于PB的一次函数，且高AF是定值，则S是关于x的一次函数； （3）由于三角形APB面积是关于x的

26、一次函数，由题意联立一元一次方程即可。12【答案】（1）解：作点C与点A关于x轴对称，则点C的坐标为(0，-3) 连接BC交x轴于点P，此时PA+ PB最小设直线BC的函数表达式为y=kx+b，则有6k+b= 32 ，b=-3，解得k= 34 所以直线BC的函数表达式为y= 34 x-3令y=0，则 34 x-3=0，解得x=4，所以点P的坐标为(4，0)（2）解：在RtAOP中，OA=3，OP=4，所以AP=5， 因为AP为APM的腰，所以点M的坐标为(9，0)或(-1，0)或(-4，0)作AP的垂直平分线交AP于点N，交x轴于点M因为MA=MP ，设OM=x，则AM= PM=4- x在Rt

27、AOM中，因为AM2=OA2+ OM2，所以32+x2=(4-x)2，解得x= 78 ，所以点M的坐标为( 78 ，0)【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）先求出 6k+b= 32 ， 再求出 直线BC的函数表达式为y= 34 x-3 ，最后求点的坐标即可；（2）先求出 AP=5 ，再求点的坐标即可；先求出 AM= PM=4- x ，再利用勾股定理求出 x= 78 ，最后求点的坐标即可。13【答案】（1）解 ：E（-8，0）在y=kx+6上，-8k+6=0，解得：k=34， （2）解： A（-6，0），AO=6，P（x，y）在y=34x+6上，SO

28、PA=12|OA|yP，=126（34x+6），=94x+18（-8x0）， （3）解： 由（2）知SOPA=94x+18，SOPA=9，94x+18=9，解得：x=-4，P（-4，3）. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）将E点坐标代入y=kx+6即可求得k值.（2）由点A坐标可得AO=6，再由三角形面积公式SOPA=12|OA|yP即可求得 S与x的函数关系式 .（3）由（2）知SOPA=94x+18=9，解之即可得x=-4，将x=4代入y=34x+6即可求得点P坐标.14【答案】（1）解：如图1，当x=87时，PQR与ABC重叠部分的面积就

29、是PQR的面积，PQ=87，QR=PQ，QR=87，n=S=12（87）2=126449=3249（2）解：如图2，根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0x87时，S=12PQRQ=12x2，当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，m=4当87x4时，S=SAPFSAQE=12APFG12AQEQ，AP=2+x2，AQ=2x2，AQEAQ1R1，AQAQ1=QEQ1R1，QE=45（2x2），设FG=PG=a，AGFAQ1R1，AGAQ1=FGQ1R1，AG=2+x2a，2+x2a107=a87a=49（2+x2），S=SAPFSAQE=12APFG12AQEQ=12（

30、2+x2）49（2+x2）12（2x2）45（2x2）=245x2+5645x3245S=245x2+5645x3245综上，可得S=12x2，0x87245x2+5645x3245，87x4【知识点】一次函数-动态几何问题；二次函数-动态几何问题【解析】【解答】（1）当x=87时，PQR与ABC重叠部分的面积就是PQR的面积，然后根据PQ=87，QR=PQ，求出n的值是多少即可（2）首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0x87时，S=12PQRQ=12x2，判断出当点Q点运动到点A时，x=2AD=4，据此求出m=4；然后求出当87x4时，S关于x的函数关系式即可

31、【分析】此题考查了与一次函数，二次函数有关的动态几何问题，涉及知识点有分割法求图形面积问题，注意分情况讨论问题.15【答案】（1）解：当直线y=-x+b过点M（3，2）时， 2=-3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4当直线y=-x+b过点N（4，4）时，4=-4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7故若直线 l 与线段 MN 有交点，t的取值范围是：4t7；（2）解：作点N关于x轴的对称点N，连接MN，与x轴交于点Q， 此时QM+QN最小，在 y=x+b 中，令y=0，则x=b，点Q的坐标为（b，0），N（4，4），N（4，-4），又M（3，2），设直线MN的表达式为y=mx+n，

32、则 4=4m+n2=3m+n ，解得： m=6n=20 ，直线MN的表达式为y=-6x+20，令y=0，则x= 103 ，点Q坐标为（ 103 ，0），代入 y=x+b ，解得：b= 103 ，直线l的解析式为 y=x+103 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，分别求出当直线l过点M、N时t的值，进而可求出点M、N位于l的异侧时t的取值范围； （2）求得Q点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的函数解析式。 16【答案】（1）解：点A（0，2）和C（6，2）代入， y=kx+b 得： b=26k+b=2 ，解得

33、 k=23b=2y=23x+2（2）解： ykx+2k 过M (1，43)k+2k=43，k=49y=49x+89 A（0，2），B（4，2），点P是线段AB上的动点Py=2直线l2：ykx+2k（k0）经过点P2=49x+89，x=52P(52，2)PA=52SAPM=12PA(243)=1252(243) =56SAPM=56 （3）（-2，0）；13k1【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数-动态几何问题【解析】【解答】（3） ykx+2k=k(x+2) 过定点 (2，0)当点 P 经过A（0，2）时，代入 y=kx+2k2k=2 ，解得 k=1当点 P 经过B（4，2）时，代入 y=kx+2k4k+2k=2 ，解得 k=13当点P从点A到点B的移动过程中，k的值在不断变小，点P不与点A重合13k1 【分析】（1）由待定系数法即可求出直线l1的解析式；（2）先求出直线l2的函数解析式，再求出点P的纵坐标，利用三角形面积公式求解即可；（3）由y=kx+2k=k（x+2），可得无论k取何值，直线l2恒经过点（-2，0），再利用特殊位置求出k的取值范围即可。