2023年湖南省中考数学冲刺专题练——4二次函数.docx

1、2023年湖南省中考数学冲刺专题练4二次函数一选择题（共13小题）1（2023石峰区模拟）已知二次函数yax2+cx+c和一次函数yax+c，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（）ABCD2（2023凤凰县模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论abc0；3a+b-13c；2c3b；（k+1）（ak+a+b）a+b，其中正确的是（）ABCD3（2023岳阳楼区校级模拟）已知抛物线yax22amx+am2+4与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当1m4时，点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为（）A3B1C5D84（2023绥宁县模拟）若一次函

2、数yax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数yax2+bx的图象只可能是（）ABCD5（2023岳阳县一模）已知二次函数y（x1）（x2），若关于x的方程（x1）（x2）m（m0）的实数根为a，且a，则下列不等式正确的是（）Aa1，2B1a2C1a2Da126（2023绥宁县模拟）若yax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c0的另一个解为（）A2B1C0D17（2023绥宁县模拟）如图所示的抛物线是二次函数yax2+bx+c（a0）的图象，则下列结论：abc0；b+2a0；抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；a+cb；3a+c0其中正确的结论有（）A5个B4个

3、C3个D2个8（2022零陵区模拟）将抛物线y2x21向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）Ay2（x+2）24By（x+2）24Cy2（x2）24Dy2（x2）239（2022开福区校级三模）如图，抛物线yax2+bx+c经过点（1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x1，根据以上信息，甲、乙、丙三人的说法正确的是（）甲：a+cb，2ab0；乙：方程ax2+bx+c0的解为1和3；丙：ca2A甲错，乙对B甲和乙都错C乙对，丙错D甲、乙、丙都对10（2022株洲模拟）如图，二次函数yax2+bx+c的图象过点A（3，0），B（1，0），C（4，y

4、1），且点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有（）b2a0；函数yax2+bx+c的最小值为4a；若y2y1，则x21；一元二次方程cx2+bx+a0的两个根为1和-13Al个B2个C3个D4个11（2022岳阳模拟）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”已知抛物线yx22x+3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线yx+m有四个交点时m的范围是（）A-134m1B-134m3C-114m1D-114m312（2022株洲模拟）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线yax22ax上的

5、点，下列说法正确的是（）A若|x11|x21|，则y1y2B若y1y2，则x1x2C若|x11|x21|，则y1y2D若|x11|x21|，则y1y213（2022零陵区二模）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：2a+b0；关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为1x3；8a+c0；a+bm（am+b）（m为实数），其中正确的个数为（）A1B2C3D4二填空题（共5小题）14（2023绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y（m+2）x23x+m开口向下，那么m的取值范围是 15（2023绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x3向左平移2个单位，再向上平

6、移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 16（2023岳阳县一模）二次函数y（x+4）2+6的顶点坐标是 17（2023凤凰县模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)这个公式也被称为海伦秦九韶公式若p5，c4，则此三角形面积的最大值为 18（2023凤凰县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx24x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 三解答题（共9小题）19（2023零陵区模拟）已知抛物线y

7、ax2+bx（a，b为常数，且a0）的对称轴为x1，且过点（1，12）点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB的解析式为yx+c，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（1）求抛物线的解析式；（2）当直线AB与抛物线yax2+bx只有一个交点时，求点B的坐标；（3）当txt+1时，是否存在t的值，使函数yax2+bx的最大值为14，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由20（2023长沙模拟）如图，抛物线y=12x2-32x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 （3，2）（1）请直接写出A，B

8、两点的坐标及直线l的函数解析式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作直线PMx轴，垂足为M，PM与直线l交于点N，当P，M，N其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点P的坐标；（3）若点Q是对称轴上的点，且ADQ为直角三角形，求点Q的坐标21（2023长沙四模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2ax+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，OAOC（1）求抛物线的函数表达式；（2）求ABC外接圆半径；（3）如图2，C与ABC的外心所在的直线交抛物线于点E，点P是抛物线上的一个动点（不与A、B、C重合），作直线PMx轴于点M，交直线CE于点N，直线CE交x

9、轴于点H，连接BP，是否存在点P，使BPM与MNH相似？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由22（2023长沙四模）自国家发布新冠防疫政策新十条政策以来，核酸自测抗原检测试剂盒需求量上升，价格急剧上涨，据市场调研发现，某品牌抗原检测试剂盒经过连续两次价格的上调，由每盒60元涨到了每盒101.4元（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在政府有关部门大力调控下，该品牌抗原检测试剂盒的价格下调回到了每盒80元，在线上平台发售时发现，定价为每盒80元时，该品牌一天可以卖出300盒，每降价5元，一天可以多卖出50盒当销售额为每日3万元时，要让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？（3）在

10、（2）的条件下，该品牌抗原检测试剂盒成本为每盒40元，在降价的情况下，定价多少时每日利润最大？23（2023绥宁县模拟）为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件若设售价为x（x90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y （含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；（2）当售价x定为 元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为 元；（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，

11、又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？24（2023绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数yax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=-32（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在对称轴上是否存在点P，使PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由25（2023岳阳县一模）如图，抛物线y=12x22x6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C（1）请直接写出点A，B，C的坐

12、标；（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出PBC面积的最大值；（3）点F是抛物线上的动点，作FEAC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由26（2023石峰区模拟）如图1，抛物线yx2ax3a+9与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（1）当a2，求AB的长；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求a的值；（3）如图2，当a2时，在第一象限的抛物线上有一点M（1，m），直线AM交y轴于点P，直线BM交y轴于点Q，OPOQ12，求a的值27（

13、2023涟源市一模）如图，抛物线yax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线x1，且AB4（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD求证：CDBC；（3）点P是x轴上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由2023年湖南省中考数学冲刺专题练4二次函数参考答案与试题解析一选择题（共13小题）1（2023石峰区模拟）已知二次函数yax2+cx+c和一次函数yax+c，则这两个函数在同一个平面直角坐标系中的大致图象是（）ABCD【解答】解：A图象中二次函数a0，c

14、0，一次函数a0，c0，故A不符合题意B图象中二次函数a0，c0，又对称轴在y轴右侧，则-c2a0，得出c0，矛盾，故B不符合题意C图象中二次函数a0，c0，一次函数a0，c0，故C符合题意D图象中二次函数a0，c0，又对称轴在y轴右侧，则-c2a0，得出c0，矛盾，故D不符合题意故选：C2（2023凤凰县模拟）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论abc0；3a+b-13c；2c3b；（k+1）（ak+a+b）a+b，其中正确的是（）ABCD【解答】解：抛物线开口向下，a0，对称轴是直线x1，-b2a=1，即b2a，b0，抛物线与y轴交点在正半轴，c0，abc0，故正

15、确；由图象可知，抛物线与x轴左侧的交点在（1，0）的右侧，抛物线的对称轴为x1，抛物线与x轴右侧的交点在（3，0）的左侧，当x3时，y0，9a+3b+c0，3a+b-13c，故错误；9a+3b+c0，b2a，-92b+3b+c0，2c3b，故正确；当x1时，ya+b+c是函数的最大值，a（k+1）2+b（k+1）+ca+b+c，a（k+1）2+b（k+1）a+b，（k+1）（ak+a+b）a+b，故正确；正确的有，故选：A3（2023岳阳楼区校级模拟）已知抛物线yax22amx+am2+4与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当1m4时，点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为（）A3B

16、1C5D8【解答】解：抛物线yax22amx+am2+4对称轴为x=-2am2a=m，当1m4时，点C的横坐标最小值为3，当m1时，点C的横坐标为3，0a（3）22（3）a+a+4，解得a=-14，当m4时，点D的横坐标最大，-14x2-2(-14)4x-1442+4=0，x10，x28，点D的横坐标最大值为8故选：D4（2023绥宁县模拟）若一次函数yax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数yax2+bx的图象只可能是（）ABCD【解答】解：一次函数yax+b的图象经过第二、三、四象限，a0，b0，二次函数yax2+bx的开口向下，对称轴在y轴左侧，故选：C5（2023岳阳县一模）已知

17、二次函数y（x1）（x2），若关于x的方程（x1）（x2）m（m0）的实数根为a，且a，则下列不等式正确的是（）Aa1，2B1a2C1a2Da12【解答】解：y（x1）（x2）m，相当于抛物线y（x1）（x2）向上平移了m个单位，则、在x1和x2之间，故选：B6（2023绥宁县模拟）若yax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c0的另一个解为（）A2B1C0D1【解答】解：根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x1，根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（1，0），令y0，即ax2+bx+c0，方程ax2+bx+c0的解是x11，x23即方程的另一解为

18、1故选：B7（2023绥宁县模拟）如图所示的抛物线是二次函数yax2+bx+c（a0）的图象，则下列结论：abc0；b+2a0；抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；a+cb；3a+c0其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个【解答】解：开口向上，a0，与y轴交于负半轴，c0，对称轴x=-b2a0，b0，abc0；故正确；对称轴x=-b2a=1，b+2a0；故正确；抛物线与x轴的一个交点为（2，0），对称轴为：x1，抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；故正确；当x1时，yab+c0，a+cb，故错误；ab+c0，b+2a0，3a+c0；故正确故选：B8（2022零陵区模拟）将抛物线y2x

19、21向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）Ay2（x+2）24By（x+2）24Cy2（x2）24Dy2（x2）23【解答】解：将抛物线y2x21向左平移2个单位长度所得抛物线解析式为：y2（x+2）21；再向下平移3个单位为：y2（x+2）213，即y2（x+2）24故选：A9（2022开福区校级三模）如图，抛物线yax2+bx+c经过点（1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x1，根据以上信息，甲、乙、丙三人的说法正确的是（）甲：a+cb，2ab0；乙：方程ax2+bx+c0的解为1和3；丙：ca2A甲错，乙对B甲和乙都错C乙对，丙错D甲、乙

20、、丙都对【解答】解：抛物线经过（1，0），ab+c0，a+cb，抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，b2a，甲错误抛物线对称轴为直线x1，抛物线经过（1，0），抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），方程ax2+bx+c0的解为1和3，乙正确抛物线与y轴交于（0，2），c2，抛物线开口向下，a0，ca2，丙正确故选：A10（2022株洲模拟）如图，二次函数yax2+bx+c的图象过点A（3，0），B（1，0），C（4，y1），且点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有（）b2a0；函数yax2+bx+c的最小值为4a；若y2y1，则x21；一元二次方程cx2+bx+a0的两个根

21、为1和-13Al个B2个C3个D4个【解答】解：抛物线经过A（3，0）B（1，0），抛物线对称轴为直线x=-b2a=-1，b2a，即b2a0，正确抛物线与x轴交点为A（3，0）B（1，0），ya（x+3）（x1），将x1代入ya（x+3）（x1）得y4a，抛物线顶点坐标为（1，4a），抛物线开口向上，函数最小值为4a，正确C（4，y1），点C关于抛物线对称轴对称点坐标为C（2，y1），y2y1，x4或x2，错误ya（x+3）（x1）ax2+2ax3a，b2a，c3a，cx2+bx+a3ax2+2ax+aa（3x1）（x1）0，方程cx2+bx+a0的两个根为1和-13正确故选：C11（2022

22、岳阳模拟）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”已知抛物线yx22x+3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线yx+m有四个交点时m的范围是（）A-134m1B-134m3C-114m1D-114m3【解答】解：如图所示，将y0代入二次函数yx2+2x3，可得x11，x23，当直线yx+m与这个新图象有三个交点时，将x1，y0代入直线yx+m，得01+m，解得m1，当3x1时，对应的新函数解析式为yx2+2x3，y=x2+2x-3y=x+m，则x2+2x3x+m可化为x2+x3m0，当x2+x3m0有两个相等的实数

23、根时，1241（3m）4m+130，解得m=-134，故当-134m1时，直线yx+m与这个新图象有四个交点，故选：A12（2022株洲模拟）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线yax22ax上的点，下列说法正确的是（）A若|x11|x21|，则y1y2B若y1y2，则x1x2C若|x11|x21|，则y1y2D若|x11|x21|，则y1y2【解答】解：由yax22axa（x1）2a知，该抛物线的对称轴为直线x1，A、若|x11|x21|，则y1y2，此选项说法正确，符合题意；B、若y1y2，则|x11|x21|，此选项说法错误，不符合题意；C、当a0时，若|x11|x21|，

24、则y1y2，此选项说法错误，不符合题意；D、当a0时，若|x11|x21|，则y1y2，此选项说法错误，不符合题意故选：A13（2022零陵区二模）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：2a+b0；关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为1x3；8a+c0；a+bm（am+b）（m为实数），其中正确的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，b2a，2a+b0，正确抛物线经过（1，0），对称轴为直线x1，抛物线经过（3，0），ax2+bx+c0的解集为1x3正确抛物线经过（3，0），9a+3b+c0，b2a，3a+c0，a0，8a+c0

25、，错误；当x1时，对应的函数值最小，即a+b+cam2+bm+c（m为实数），a+bam2+bmm（am+b），正确；故选：C二填空题（共5小题）14（2023绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y（m+2）x23x+m开口向下，那么m的取值范围是 m2【解答】解：抛物线y（m+2）x23x+m开口向下，m+20，m2故答案为：m215（2023绥宁县模拟）在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 （1，5）【解答】解：yx22x3（x1）24，抛物线yx22x3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为y（x1+2

26、）2+2+3（x+1）2+5，得到的抛物线顶点坐标是（1，5）故答案为：（1，5）16（2023岳阳县一模）二次函数y（x+4）2+6的顶点坐标是 （4，6）【解答】解：由二次函数顶点式y（x+4）2+6知顶点坐标为（4，6）故答案为：（4，6）17（2023凤凰县模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)这个公式也被称为海伦秦九韶公式若p5，c4，则此三角形面积的最大值为 25【解答】解：p5，c4，p=a+b+c2a+b2p

27、c6S=5(5-a)(5-b)(5-4)=5ab-5由a+b6，得b6a，代入上式，得：S=5a(6-a)-5=5-a2+6a-5设ya2+6a5，当ya2+6a5取得最大值时，S也取得最大值ya2+6a5（a3）2+4当a3时，y取得最大值4S的最大值为54=25故答案为：2518（2023凤凰县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2经过平移得到抛物线yx24x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 8【解答】解：如图，yx24x（x+2）2+4，平移后抛物线的顶点坐标为（2，4），对称轴为直线x2，当x2时，yx24，平移后阴影部分的面积等于如图矩形的面积，248故答案为：8

28、三解答题（共9小题）19（2023零陵区模拟）已知抛物线yax2+bx（a，b为常数，且a0）的对称轴为x1，且过点（1，12）点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB的解析式为yx+c，直线AB与x轴相交于点A，与y轴相交于点B（1）求抛物线的解析式；（2）当直线AB与抛物线yax2+bx只有一个交点时，求点B的坐标；（3）当txt+1时，是否存在t的值，使函数yax2+bx的最大值为14，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx的对称轴为x1，且过点（1，12），-b2a=1a+b=12，解得：a=-12b=1，抛物线的解析式为y=-12

29、x2+x；（2）直线AB与抛物线y=-12x2+x只有一个交点，方程组y=-12x2+xy=-x+c有两组相同的实数解，即方程-12x2+x=-x+c有两个相等的实数根，（2）2412c0，c2，直线AB的解析式为yx+2，令x0，则y2，B（0，2）；（3）存在t的值，使函数yax2+bx的最大值为14，理由：y=-12x2+x=-12(x-1)2+12，函数y在x1时，有最大值12，1412，存在t的值，可使函数yax2+bx的最大值为14，当t+11时，即t0时，-120，当x1时，y随x的增大而增大，当xt+1时，函数有最大值，-12(t+1)2+t+1=14，解得：t=-22或t=2

30、2（不合题意，舍去），t=-22时，函数yax2+bx的最大值为14；当t1时，-120，当x1时，y随x的增大而减小，当xt时，函数有最大值，-12t2+t=14，解得：t=2+22或t=2-22（不合题意，舍去），t=2+22时，函数yax2+bx的最大值为14综上，存在t的值，使函数yax2+bx的最大值为14，t的值为-22或2+2220（2023长沙模拟）如图，抛物线y=12x2-32x-2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为 （3，2）（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数解析式；（2）若点P是抛

31、物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作直线PMx轴，垂足为M，PM与直线l交于点N，当P，M，N其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点P的坐标；（3）若点Q是对称轴上的点，且ADQ为直角三角形，求点Q的坐标【解答】解：（1）在y=12x2-32x2中，令y0得：12x2-32x20，解得x1或x4，A（1，0），B（4，0）；设直线l的函数解析式为ykx+b，将A（1，0），D（3，2）代入得：-k+b=03k+b=-2，解得k=-12b=-12，直线l的函数解析式为y=-12x-12；（2）点P的横坐标为m，P（m，12m2-32m2），N（m，-12m-12），M（m，0），若P为MN中

32、点，则2（12m2-32m2）=-12m-12+0，解得m=72或m1（三点重合，舍去），P（72，-98）；若N为PM的中点，则2（-12m-12）=12m2-32m2+0，解得m2或m1（舍去），P（2，3）；若M为PN中点，则12m2-32m2-12m-12=0，解得m5或m1（舍去），P（5，3）；综上所述，P的坐标为（72，-98）或（2，3）或（5，3）；（3）由y=12x2-32x2得抛物线对称轴为直线x=32，设Q（32，t），又A（1，0），D（3，2），AQ2=254+t2，DQ2=94+（t+2）2，AD220，若AQ为斜边，则254+t2=94+（t+2）2+20，解得

33、t5，Q（32，5）；若DQ为斜边，则254+t2+20=94+（t+2）2，解得t5，Q（32，5）；若AD为斜边，则254+t2+94+（t+2）220，解得t=-2+192或t=-2-192，Q（32，-2+192）或（32，-2-192）；综上所述，Q的坐标为（32，5）或（32，5）或（32，-2+192）或（32，-2-192）21（2023长沙四模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2ax+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，OAOC（1）求抛物线的函数表达式；（2）求ABC外接圆半径；（3）如图2，C与ABC的外心所在的直线交抛物线于点E，点P是抛物线上

34、的一个动点（不与A、B、C重合），作直线PMx轴于点M，交直线CE于点N，直线CE交x轴于点H，连接BP，是否存在点P，使BPM与MNH相似？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在yax2+2ax+c中，令x0得yc，C（0，c），OAOC，A（c，0），把A（c，0），B（1，0）代入yax2+2ax+c得：ac2-2ac+c=0a+2a+c=0，解得a=-1c=3或a=13c=-1（舍去），抛物线的函数表达式为yx22x+3；（2）设点D是ABC的外心，连接DA，DB，DC，如图：由yx22x+3得C（0，3），点D是ABC的外心，D在AB的垂直平分线上，A（

35、3，0），B（1，0），D的横坐标为-3+12=-1，设D（1，t），DBDC，（11）2+（t0）2（10）2+（t3）2，解得t1，D（1，1），DB=(-1-1)2+(1-0)2=5，ABC外接圆半径为5；（3）存在点P，使BPM与MNH相似，理由如下：如图：设直线DC解析式为ykx+3，将D（1，1）代入得：k+31，解得k2，直线DC解析式为y2x+3，解y=2x+3y=-x2-2x+3得x=0y=3或x=-4y=-5，E（4，5）；由y2x+3得H（-32，0），设P（m，m22m+3），则M（m，0），N（m，2m+3），PM|m22m+3|，BM|m1|，MN|2m+3|，MH

36、|m+32|，BMP90NMH，要使BPM与MNH相似，只需PMMN=BMMH或PMMH=BMMN，即|-m2-2m+3|2m+3|=|m-1|m+32|或|-m2-2m+3|m+32|=|m-1|2m+3|，当-m2-2m+32m+3=m-1m+32时，解得m5或m1（与B重合，舍去）或m=-32（增根，舍去），P（5，12）；当-m2-2m+32m+3=-m-1m+32时，解得m1或m1（与B重合，舍去）或m=-32（增根，舍去），P（1，4）；当-m2-2m+3m+32=m-12m+3时，解得m=-72或m1（与B重合，舍去）或m=-32（增根，舍去），P（-72，-94），当当-m2-

37、2m+3m+32=-m-12m+3时，解得m=-52或m1（与B重合，舍去）或m=-32（增根，舍去），P（-52，74），综上所述，P的坐标为（5，12）或（1，4）或（-72，-94）或（-52，74）22（2023长沙四模）自国家发布新冠防疫政策新十条政策以来，核酸自测抗原检测试剂盒需求量上升，价格急剧上涨，据市场调研发现，某品牌抗原检测试剂盒经过连续两次价格的上调，由每盒60元涨到了每盒101.4元（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在政府有关部门大力调控下，该品牌抗原检测试剂盒的价格下调回到了每盒80元，在线上平台发售时发现，定价为每盒80元时，该品牌一天可以卖出300盒，每

38、降价5元，一天可以多卖出50盒当销售额为每日3万元时，要让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？（3）在（2）的条件下，该品牌抗原检测试剂盒成本为每盒40元，在降价的情况下，定价多少时每日利润最大？【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：60（1+x）2101.4，解得：x10.330%，x22.3（不符合题意，舍去）答：这两次价格上调的平均增长率为30%；（2）设降价5m元，则（805m）（300+50m）30000，解得m4或m6，让顾客获得更大的优惠，m6，5m5630，答：应该降价30元；（3）设定价为每盒y元，每日利润为w元，根据题意得：w（y40）（300+80

39、-y550）（y40）（110010y）10y2+1500y4400010（y75）2+12250，100，当y75时，w有最大值，答：定价为每盒75元时每日利润最大23（2023绥宁县模拟）为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件若设售价为x（x90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y10x+1500（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；（2）当售价x定为 115元时，该服

40、装超市所获利润最大，最大利润为 12250元；（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？【解答】解：（1）每周短袖T恤衫销量为y60010（x90）10x+1500，y10x+1500，故答案为：10x+1500；根据题意得：Q（x80）y（x80）（10x+1500）10x2+2300x120000，Q与x的函数关系式为Q10x2+2300x120000；（2）Q10x2+2300x12000010（x115）2+12250，100，当x115时，Q有最大值，最大值为12250，故答案为：115，12250；（3）当Q8500时，10

41、（x115）2+122508500，解得x195，x2135，尽量给客户实惠，x95答：这款T恤衫定价为95元/件24（2023绥宁县模拟）如图，一次函数y=12x+2与x轴，y轴分别交于A、C两点，二次函数yax2+bx+c的图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线x=-32（1）求该二次函数表达式；（2）在y轴的正半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与AOC相似，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在对称轴上是否存在点P，使PAC为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）对于y=12x+2，当x0时，y2，即点

42、C（0，2），令y=12x+20，则x4，即点A（4，0），抛物线的对称轴为直线x=-32，则点B（1，0），设二次函数表达式为：ya（x1）（x+4）a（x2+3x4），抛物线过点C（0，2），则4a2，解得：a=-12，故抛物线的表达式为：y=-12x2-32x+2；（2）存在，理由：在RtAOC中，tanCAO=COOA=12，以点M、O、B为顶点的三角形与AOC相似，AOCMOB90，MOBCAO或ACO，tanMOBtanCAO或tanACO=12或2，即OMBO=OM1=2或12，解得：OM=12或2，即点M（0，2）或（0，12）；（3）存在，理由：设点P（-32，t），由点A、

43、C、P的坐标得：PA2（-32+4）2+t2，AC220，PC2=94+（t2）2，当PAAC时，则（-32+4）2+t220，解得：t=552，即点P的坐标为：（-32，552）或（-32，-552）；当PAPC时，则（-32+4）2+t2=94+（t2）2，解得：t0，即点P（-32，0）；当ACPC时，则20=94+（t2）2，解得：t2712，即点P的坐标为：（-32，2+712）或（-32，2-712）综上，点P的坐标为：（-32，552）或（-32，-552）或（-32，0）或（-32，2+712）或（-32，2-712）25（2023岳阳县一模）如图，抛物线y=12x22x6与x

44、轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若点P是抛物线BC段上的一点，当PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出PBC面积的最大值；（3）点F是抛物线上的动点，作FEAC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）当x0时，y6，C（0，6），当y0时，12x22x60，x16，x22，A（2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，12m2-2m6），SPOC=12OCxP=126m=3m，SBOP=12OB|yP|=3(

45、-12m2+2m+6），SBOC=12OBOC=1266=18，SPBCS四边形PBOCSBOC（SPOC+SPOB）SBOC3m+3（-12m2+2m+6）18=-32（m3）2+272，当m3时，SPBC最大=272，此时P（3，-152）；方法二：如图2，作PQAB于Q，交BC于点D，B（6，0），C（0，6），直线BC的解析式为：yx6，D（m，m6），PD（m6）（12m2-2m6）=-12m2+3m，SPBC=12PDOB=126(-12m2+3m)=-32（m3）2+272，当m3时，SPBC最大=272，此时P（3，-152），（3）如图3，当ACFE时，AECF，抛物线对称轴

46、为直线：x=-2+62=2，F1点的坐标：（4，6），如图4，当ACEF时，作FGAE于G，FGOC6，当y6时，12x22x66，x12+27，x2227，F2（2+27，6），F3（227，6），综上所述：F（4，6）或（2+27，6）或（227，6）26（2023石峰区模拟）如图1，抛物线yx2ax3a+9与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（1）当a2，求AB的长；（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求a的值；（3）如图2，当a2时，在第一象限的抛物线上有一点M（1，m），直线AM交y轴于点P，直线BM交y轴于点Q，OPOQ12，求a的值【解答】解：（1）当a2，

47、yx22x+3，令y0，即x22x+30，解得：x13，x21，A（3，0），B（1，0），AB4；（2）抛物线的解析式为：yx2ax3a+9，且函数的图像与x轴只有一个交点，令y0，得到x2ax3a+90，整理得：x2+ax+3a90，a241（3a9）0，a212a+360，（a6）20，a6；（3）yx2ax3a+9，M（1，m），设A（x1，0），B（x2，0），设直线AM的解析式为：ykx+b，kx1+b=0k+b=m，k=m1-x1b=mx1x1-1，P(0，mx1x1-1)，设直线BM的解析式为：yex+f，ex2+f=0e+f=m，e=m1-x2f=mx2x2-1，Q(0，mx

48、2x2-1)，OPOQ12，mx1x1-1mx2x2-1=12，x1，x2是方程x2ax3a+90的两个根，x1x23a9，x1+x2a，M（1，m）在抛物线上，1a3a+9m，m84a，mx1x1-1mx2x2-1=12，m2x1x2x1x2-(x1+x2)+1=12，(8-4a)2(3a-9)3a-9-(-a)+1=12，解得：a=5+52或a=5-52，a2，a=5-5227（2023涟源市一模）如图，抛物线yax2+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴为直线x1，且AB4（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD求证：CDBC；（3）点P是x轴上的动点，点Q是直

49、线BC上的动点，是否存在点P、Q，使得以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形，若存在，请求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线x1，且AB4，则A（1，0）、B（3，0），由题意得：a-2+c=09a+6+c=0，解得：a=-1c=3，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）证明：如下图，连接BD抛物线yx2+2x+3与y轴交于点C，顶点为D，C（0，3），当x1时，yx2+2x+34，即点D（1，4），B（3，0），由点B、C、D的坐标得：BC2OB2+OC232+3218，同理可得：CD212+（43）22，BD2（31）2+4220，BC2+

50、CD2BD2，BCD为直角三角形，即CDBC；（3）解：存在，理由：设直线BC的解析式为：ykx+b，B（3，0）、C（0，3），3k+b=0b=3，解得：k=-1b=3直线BC的解析式为：yx+3，D（1，4），设点Q（m，m+3），当CD是对角线时，由中点坐标公式得：1x+m且3+4m+3，解得：m4，x5，则点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，7），经验证：CDPQ，故此种情况不存在；当CP是对角线时，由中点坐标公式得：x1+m且3m+3+4，解得：m4，x5，则点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，1），经验证：CPDQ，故此种情况存在；当CQ是对角线时，由中点坐标公式得：x+1m且4m+3+3，解得：m2，x1，则点P、Q的坐标分别为（1，0）、（2，1），经验证：CQPD，故此种情况不存在；点P、Q的坐标分别为（5，0）、（4，1）