2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第一册） 2.3 直线的交点坐标与距离公式（精讲）（教师版含解析）.docx

1、2.3 直线的交点坐标与距离公式(精讲)思维导图常见考法考点一 交点【例1】(1)(2021哈尔滨)直线x2y30与2xy30的交点坐标为( )A(1，1)B(1，1)C(1，1)D(1，1)(2)(2021贵州黔东南苗族侗族自治州凯里一中高二期末(理)斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为( )ABCD(3)(2021黑龙江哈九中高二期末(文)直线与的交点在第四象限，则的取值范围为( )ABCD(4)(2021全国高二课时练习)(多选)当0k时，直线l1：kxyk10与直线l2：kyx2k0的交点可能是( )A(2，3)B(1，2)CD【答案(1)A(2)A(3)C(4)CD【解析】由解得

2、所以直线x2y30与2xy30的交点坐标为(1，1)故选：A(2)联立，解得，所以两直线的交点坐标为，所求直线方程为.整理为.故选：A(3)直线与的交点在第四象限，联立方程： ，解得，即，解得：.故选：C.(4)联立，得，即交点在第二象限，验证C选项，得，成立，验证D选项，得，成立，故选：CD【一隅三反】1(2021河北唐山市高二期末)过点和点的直线与直线垂直，则( )AB4CD2【答案】C【解析】因为过点和点的直线与直线垂直，所以，即，所以.故选：C2(2021全国高二课时练习)(多选)已知三条直线x2y1，2xky3，3kx4y5相交于一点，则k的值为( )AB1C1D【答案】AC【解析】

3、由，得，所以三条直线的交点为，所以，化简得，解得或，故选：AC3(2021全国高二专题练习)若直线l1：ykx1与l2：xy10的交点在第一象限内，则k的取值范围是( )A(1，)B(1，1)C(，1)(1，)D(，1)【答案】B【解析】联立直线方程，解得，直线的交点在第一象限，解不等式组可得.故选：B考点二 三种距离【例2-1】(1)(2021安徽池州市高二期末(理)若直线与交于点A，且，则_(2)(2021浙江高二期末)点到直线的距离为 (3)(2021全国高二课时练习)两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y120的距离为 【答案】(1)(2)(3)1【解析】(1)联立解得，故，则故

4、答案为：（2） 根据距离公式可得：点到直线的距离(3)两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y120的距离为：【例2-2】(1)(2021浙江)已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是( )A6B3C4D7(2)(2021江西)若直线x3y90与直线x3yc0的距离为，则c的值为( )A1B19C1或19D1或19【答案】(1)B(2)C【解析】(1)由直线方程变形为：，由，解得，所以直线恒经过定点，故点到直线的距离是，故选：B.(2)由两平行线间的距离公式，d，所以| c9|10，得c1或c19选：C.【一隅三反】1(2021江苏)点(2，1)到直线l：x2y20的距离为( )ABCD0【

5、答案】B【解析】点(2，1)到直线l：x2y20的距离为，故选：B32(2021全国高二专题练习)点P在直线xy40上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为( )AB2CD2【答案】B【解析】点到的距离为：，所以的最小值为故选：B.3(2021广西)(多选)若点A(a，1)到直线3x4y1的距离为1，则a的值为( )A0BC5D【答案】AB【解析】点A(a，1)到直线3x4y1的距离为故，解得或故选：AB4(2021全国高二课时练习)在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是( )ABC或D或【答案】C【解析】设，所以， 即， 又因为点在直线上，所以，两式联立解得 或，所以点坐标是或.故选：C5(

6、2021湖南)过点和的直线与直线平行，则的值为_【答案】【解析】直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行所以，即所以故答案为：6(2021全国高二课时练习)已知满足，求的最小值_.【答案】.【解析】由于表示点与直线上的点的距离的平方，转化的最小值为点到直线距离的平方，由点到直线的距离公式，可得，所以的最小值为.故答案为：.7(2021全国高二课时练习)两直线3xy30和6xmy10平行，则它们之间的距离为_.【答案】【解析】直线与直线平行，所以，直线与直线的距离为故答案为：8(2021全国高二专题练习)已知，到直线的距离相等，则实数a为_.【答案】1或【解析】两点，到直线的距离相等，化为，解得或

7、故答案为：1或考点三 对称问题【例3-1】(点关于点对称)(1)(2021全国高二单元测试)若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为_.(2)(2021全国高二课时练习)一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为_.【答案】(1)(2)【解析】(1)求得，点，关于直线l对称，直线l的斜率1，直线l过AB的中点，直线l的方程为，即.故答案为：.(2)根据题意：关于轴的对称点为而反射光线直线又过其直线为：即：，当时，即点的坐标为，故答案为：.【例3-2】(点关于线对称)(1)(2021全国高二课时练习)点关于直线的对称点是_.(2)(2021浙江高二期末)已知直线过定点，则点的

8、坐标是_，点关于直线的对称点的坐标是_.【答案】(1)(2) 【解析】(1)设点M(1，1)关于直线l：xy1=0对称的点N的坐标(x，y) 则MN中点的坐标为(，)，利用对称的性质得：KMN=1，且 1=0，解得：x=2，y=2，点N的坐标(2，2)，故答案为(2，2)(2)由，则，令，则，所以点，设的坐标是，则，解得，所以点的坐标是.故答案为：；【例3-3】(线关于点对称)(1)(2020四川省泸县第二中学高二月考(文)直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是_(2)(2020全国高二课时练习)已知直线与关于点对称，则_.【答案】(1)(2)-10【解析】(1)在直线上任取一点，则关

9、于点对称点一定在直线上，故有，即故直线的方程为故答案为：(2)在直线上取点，M，N关于点对称的点分别为.点在直线上，解得，.故答案为：【例3-4】(2021全国高二专题练习)直线关于对称的直线方程为( )ABCD【答案】A【解析】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，则，整理可得：，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习 点P(2,5)关于直线xy1的对称点的坐标是_【答案】(4，1)【解析】设对称点的坐标为，则，解得，所以所求对称点的坐标为2(2020黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考(文)直线关于点对称的直线方程为_.【答案】【解析】设直线关于点对称的

10、直线方程为，在上任取一点，则点关于点对称的点的坐标为，由题意可知点在直线上，故，整理可得.故答案为：3(2021全国高二单元测试)已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为( )ABCD【答案】D【解析】找出点关于轴的对称点，连接，与轴的交于点，连接，此时为最短，由与关于轴对称，所以，又，则直线的方程为化简得：，令，解得，所以故选：D4(2021全国高二专题练习)已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为( )ABCD【答案】A【解析】直线即，故，设点关于的对称点坐标为则解得点关于的对称点坐标为故选：A5(2021浙江)直线关于原点对称的直线方程是( )ABCD【答案】A【解析】点在直线上，则

11、在所求直线上所求直线的斜率，则所求直线方程为故选：A6(2021广东湛江)已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l的方程【答案】(1)A；(2)9x46y1020；(3)2x3y90.【解析】(1)设A(x，y)，则解得即A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得即M.设m与l的交点为N，则由得N(4，3)又m经过点N(4，3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)法一：在l：2x

12、3y10上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P，N均在直线l上易知P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设Q(x，y)为l上任意一点，则Q(x，y)关于点A(1，2)的对称点为Q(2x，4y)，Q在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.考点四 交点和距离在几何中的运用【例4-1】(2021全国高二专题练习)已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(1，3)，C(3，0)(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积【答案】(1)ABC是以A为直角顶点的直角三角形；(2)5【解析】(1)如图所示，ABC为直角三角形，

13、下面进行验证法一：，|AB|2|AC|2|BC|2，即ABC是以A为直角顶点的直角三角形法二：kABkAC1，ABACABC是以A为直角顶点的直角三角形(2)由(1)中法一得|AB|2，|AC|又A90，SABC|AB|AC|25【例4-2】(2021沈阳市辽宁实验中学高二期末)已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0).(1)求实数a的取值范围；(2)求当S取得最小值时，直线l的方程.【答案】(1)；(2)【解析】(1)当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直

14、线与定直线再第一象限内交于点，所以.(2)当直线的斜率不存在时，即,，此时,当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以，且，又，或，由，得，即，则，即，当时，整理得，得，即的最小值为3，此时，解得：，则直线的方程为 即【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)(多选)已知直线，以下结论正确的是( )A不论为何值时，与都互相垂直；B当变化时，与分别经过定点和C不论为何值时，与都关于直线对称D如果与交于点M，则的最大值是【答案】ABD【解析】对于A，恒成立，恒成立，A正确；对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；对于C，在上任取点，

15、关于直线对称的点的坐标为，代入方程知：不在上，C错误；对于D，联立，解得：，即，即的最大值是，D正确.故选：ABD.2(2021全国高二课时练习)已知AO是边BC的中线，用坐标法证明【答案】证明见解析【解析】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图设，(其中)，则，所以，即证.3(2021浙江高二期末)已知直线l经过直线与的交点M()若l经过点，求l的方程；()若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由【答案】()；()【解析】()，解得，所以点，若l经过点，则直线的斜率，所以直线l的方程为，整理可得.()直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，不妨设直线l的方程为，即，即，解得，当且仅当时取等号. 所以，此时直线l方程为，即.故存在使面积最小的直线l ，直线l方程为.