2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第三册） 第七章 随机变量及其分布 章末测试（提升）（教师版含解析）.docx

1、第七章 随机变量及其分布 章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1(2021全国高二课时练习)为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为( )ABCD【答案】D【解析】设两家店铺都不能正常营业为事件，由题意可知有4人休假的概率为，有3人休假的概率为，所以两家店铺都不能正常营业的概率，所以两家店铺该节假

2、日能正常营业的概率为.故选：D2(2021云南峨山彝族自治县第一中学 )设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是( )-2-10A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】A【解析】由分布列的性质：，可得， ，又，在上增大时，增大.故选：A3(2021河南 )已知随机变量X，Y，Z满足XN(3，)，YN(1，)，Z=Y-1，且P(X4)=0.1，则P(Z21)的值为( )A0.1B0.2C0.8D0.9【答案】C【解析】因随机变量X，Y满足XN(3，)，YN(1，)，则随机变量X和Y所对的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别为和，因此，而Z=

3、Y-1，则，于是得，所以P(Z2B=CD与的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关【答案】A【解析】由随机变量、的取值情况，它们的期望分别为：，即，同理，而，所以有.故选：A7(2021云南省玉溪第一中学高二月考(理)在一组样本数据中，出现的频率均为，该样本数据的标准差为， 则当在增大时( )A增大B减小C先增大后减小D先减小后增大【答案】D【解析】解：由题知，该样本数据的可能取值是离散型随机变量，其取值的可能为，且出现的频率均为，所以该样本的均值为，所以该样本数据的方差为，所以当在增大时，由二次函数的性质可知，先减小后增大，所以先减小后增大.故选：D8(2021全国 专题练习)剪刀石头布

4、又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是( )ABCD【答案】B【解析】恰好局时游戏终止的事件M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前局输局赢局的事件为M2，则M=M1+M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方，于是得，所以恰好局时游戏终止的概率为.故选：B

5、二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9(2021全国高二专题练习)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是( )A游客至多游览一个景点的概率为BCD【答案】BD【解析】记该游客游览i个景点为事件，则，所以游客至多游览一个景点的概率为，故A错误；随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.，故B正确；，故C错误；数学期望为，故D正确.故选：BD10(2021辽宁丹东 )假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息

6、如下品牌甲乙其他市场占有率优质率在该市场中任意买一部手机，用，分别表示买到的智能手机为甲品牌乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则( )ABCD【答案】ABD【解析】依题意可得，因为，所以，故正确的有ABD；故选：ABD11(2021全国 专题练习)甲盒中装有3个红球、1个黄球、乙盒中装有1个红球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出()个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中红球个数的数学期望为，则下列结论正确的是( )ABCD【答案】ABC【解析】X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，当时，则，故A正确，C正确；当时，故B正确；当时，故D错误.故选：ABC.12(2021

7、全国高二单元测试)把某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取1名学生参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为，则( )A该班级共有36名学生B第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为C抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是D设抽取的6名学生中女生人数为X，则【答案】AD【解析】设该班级每个小组有名女生，抽取的6名学生中至少有1名男生的概率为，抽取的6名学生中没有男生，即抽取的6名学生全为女生的概率为， ，解得，每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生，该班级共有36名学生，A正确；易知第1个小组的男生甲被抽去参加社区服务

8、的概率为，B错误；每组男生被抽取的概率为，女生被抽取的概率为，则抽取的6名学生中男、女生人数相同的概率是，C错误；设抽取的6名学生中女生人数为X，则， ，D正确.故选：AD.三、填空题(每题5分，4题共20分)13(2021浙江丽水)一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分现随机从袋中有放回地取次球(每次一个)，记次取球得分之和为随机变量，则_【答案】【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，所以，.故答案为：.14(2021全国高二课时练习)盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数给出下列各项：，；.其

9、中正确的是_(填上所有正确项的序号)【答案】【解析】由题意可知X服从超几何分布，也服从超几何分布E(X)，E().又X的分布列X012PE(X2)021222，D(X)E(X2)E(X)22.的分布列为123PE(2)122232，D()E(2)E()22.E(X2)E()，D(X)D()，正确故答案为：.15(2021全国高二课时练习)先后掷两次骰子(骰子的六个面上的点数分别是、)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率_.【答案】【解析】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数，所以，

10、因此，.故答案为：.16(2021全国高二单元测试)某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是去年200例类似项目开发的实施结果.投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的平均数是_元.【答案】4760【解析】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为512%，如果失败，x的取值为550%，一年后公司成功的概率估计为，失败的概率估计为，所以一年后公司收益的平均数(元).故答案为：4760四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17(2021重庆八中)某学校在其“环保周”组织“碳达峰碳中和”知识竞赛，

11、有A，B两类问题.每位参加比赛的同学在两类问题中分别随机抽取一个问题进行回答.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分.小强作为本班代表参赛，已知小强能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)求小强至少答对一个问题的概率；(2)记X为小强的累计得分，求X的分布列及期望.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：用事件表示小强至少答对一个问题则事件包含了种可能性：小强答对类问题，答错类问题小强答错类问题，答对类问题小强类和类均答对故小强至少答对一个问题的概率为.(2)解：为

12、小强的累计得分，的所有可能取值为： ，.所以随机变量的分布列为：所以随机变量的期望为.18(2021四川成都)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数(单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(2)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究

13、机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望附参考数据：若，则；【答案】(1)74；(2)；(3)分布列见解析；期望为【解析】(1)根据频率分布直方图得：(2)由题意知，(3)由于，和的频率之比为：，故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，随机变量的取值可以为0、1、2、3，的分布列为：012319(2021福建 )甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束)比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2

14、分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为(1)甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；(2)甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率【答案】(1)分布列见解析，；(2)【解析】(1)随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，所以的分布列为0123所以数学期望(2)记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，设第场甲、乙两队积分分别为，则，2，因两队积分相等，所以，即，则，所以(A)20(2021湖南永州 )某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了、三道题，答对、分别得2

15、分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题、的概率分别为、，乙同学答对问题、的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.【答案】(1)；(2)乙同学的得分高【解析】(1)设甲同学三道题都答对的事件为，则，所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.(2)设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，则，所以的概率分布列为： 所以(分) 设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分，所以的概率分布列为： 所以由于，所以乙同学的得分高.21(2021广东顺

16、德 )高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，7的球槽内例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向

17、左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下(1)若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；(2)小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为元其中|205X|求X的分布列：高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？【答案】(1)；(2)分布列见解析；能.【解析】(1)记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，这个小球落入第7层第6个空隙处的概

18、率P(M)(2)由已知得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，P(X1)P(X7)，P(X2)P(X6)，P(X3)P(X5)，P(X4)，X的分布列为：X1234567p|205X|，的可能取值为0，5，10，15，P(0)P(X4)，P(5)P(X3)+P(X5)，P(10)P(X2)+P(X6)，P(15)P(X1)+P(X7)E()8，小明同学能盈利22(2021重庆巴蜀中学 )肺结核是一种慢性传染性疾病，据统计，一个开放性肺结核患者可传染个健康人，我国每年万万健康人感染肺结核.其中检验健康人是否感染肺结核是阻止其传播和流行的重要手段.现在采集了七份样品，已知其中只有一份样品是阳性

19、(即感染了肺结核)，需要通过检验来确定哪一个样品是阳性.下面有两种检验方案：方案：逐个检验，直到能确定阳性样品为止；方案：先把其中五份样品混在一起检验，若检验为阴性，则在另外两份样品中任取一份检验，若五份样品混在一起检验结果为阳性，则把样品中这五份逐个检验，直到能确定阳性样品为止.(1)若采用方案，求恰好检验次的概率；若采用方案，求恰好检验次的概率；(2)记表示采用方案所需检验次数，求的分布列和期望；(3)求采用方案所需检验次数小于或等于采用方案所需检验次数的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)分布列见解析，期望为；(3).【解析】(1)若采用方案，恰好检验次的概率，若采用方案，恰好检验次的概率；(2)方案中，检测次数可能取值为、，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，；(3)方案中，检验次数可能取值为、，方案所需检验的次数不少于方案的概率为.