2024届浙江省9 1联盟高三3月高考模拟数学试卷 答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年第二学期浙江省 9+1 高中联盟 3 月高考模拟卷数学考生须知：1本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；3答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；4选择题一律使用 2B 铅笔填涂答案，非选择题一律用 0.5 毫米黑色字迹中性笔写在答题纸上相应区域内；一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集()()()1,2

2、,3,4,5,1,2,4,3UUUUMNMNMN=，则 MN=（）A B 4 C 5 D1,2 2若复数 z 的实部大于 0，且()2013iz z+=+，则 z=（）A12i B 12i C 12i+D12i+3已知向量12,e e 是平面上两个不共线的单位向量，且1212122,32,36ABeeBCeeDAee=+=+=，则（）A ABC、三点共线 B ABD、三点共线 C ACD、三点共线 D BCD、三点共线 4已知数列 na满足：1940aa=，且数列nna为等差数列，则100a=（）A10 B40 C100 D103 5如图，已知长方体1111ABCDA B C D的体积为,V

3、E 是棱11C D 的中点，平面1AB E 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）学科网（北京）股份有限公司A 724V B 717V C 7 V15 D 12V 6 已 知 椭 圆2222:1(0)xyEabab+=，直 线22:l yxab=与 E 交 于 AB、两 点，且()()2,0OAOB+=则椭圆 E 的离心率是（）A 12 B22 C63 D32 7某羽毛球俱乐部，安排男女选手各 6 名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加 1 场表演赛，则所有不同的安排方法有（）A2025 种 B4050 种 C8100 种 D16200 种

4、 8设函数()sin3cos1fxxx=+若实数ab、使得()()1afxbfx+=对任意 xR恒成立，则cosab=（）A 1 B0 C1 D 1二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9为了得到函数2cos2yx=的图象，只要把函数2sin 26yx=图象上所有的点（）A向左平移 3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 23 个单位长度 D向右平移 23 个单位长度 10高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有 4 个选项，其中有 2 个

5、或 3 个是正确选项，全部选对者得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是 12，记 X 为小明随机选择 1 个选项的得分，记Y 为小明随机选择 2 个选项的得分则 A()()00P XP Y=B()()22P XP Y=C()()E XE Y D()()D XD Y 11 对 于()0,1,xfx满 足()()()11,23xf xfxf xf+=，且 对 于1201xx 恒 有()()12fxfx则（）学科网（北京）股份有限公司A10011011002iif=B112624ff=C118080f =D 1113216016f

6、三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12已知232345012345(1)(21)axxaa xa xa xa xa x=+若0123450aaaaaa+=，则3a=_ 13应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示其中，一个反射镜1PO Q 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜2MO N 弧所在的曲线为双 曲 线 一 个 分 支 已 知12,F F 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点

7、，其 中2F 同 时 又 是 抛 物 线 的 焦 点，且，211212145,tan,4NF FNF FNF F=的面积为 10，128O F=，则抛物线方程为_ 14函数()333ln1(0)xx exfxxx=的最小值是_ 四、解答题（本大题共 5 小题，共计 77 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分 13 分）如图，已知正三棱柱1111,2,ABCA B C ABAA D E=分别为棱11,A B BC 的中点 （1）求证：1A B 平面1AC D；（2）求二面角1AC DE的正弦值 16（本题满分 15 分）今年的春节联欢晚会上，魔术师刘

8、谦表演的魔术守岁共此时精彩纷呈节目学科网（北京）股份有限公司的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜如果我们将 4 张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列（1）将余下 4 个半张随机扔掉 2 个留下 2 个，然后从桌上 4 个半张随机翻开 2 张，求翻开的两个半张的数字与留下的 2 个半张上的数字恰好有 1 个相同的概率；（2）将余下来的 4 个半张随机放在桌上 4 个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为 X，求 X 的分布列及数

9、学期望 17（本题满分 15 分）如图，由部分椭圆22221(0,0)xyabyab+=和部分双曲线()222210 xyyab=，组成的曲线C 称为“盆开线”曲线C 与 x 轴有()()2,02,0AB、两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为74 （1）设过点()1,0 的直线l 与C 相切于点 M，求点 M 的坐标及直线l 的方程；（2）过 A 的直线m 与C 相交于点 PAQ、三点，求证：PBAQBA=18（本题满分 17 分）已知函数()32fxxaxbxc=+（1）如果 1 和 1 是()fx 的两个极值点，且()fx 的极大值为 3，求()fx 的极小值；（2）当0b=时，讨论()

10、fx 的单调性；（3）当0c=时，且函数()fx 在区间2,2上最大值为 2，最小值为 2 求()3f的值 19（本题满分 17 分）已知实数0q，定义数列 na如下：如果2012222,0,1kkinxxxxx=+，0,1,2,ik=，则2012knkaxx qx qx q=+（1）求7a 和8a（用 q 表示）；（2）令12nnba=，证明：211nniiba=；（3）若12q，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa，代入()2013iz z+=+，得22i62iabab+=解得：1,2ab=3【答案】C【解析】因为()()1212123232242ACABBCeeeee

11、eAD=+=+=+=，所以 ACD、三点共线 4【答案】D【解析】设数列nna的公差为d，则91100131,1099103091aadaad=+=，所以100103a=5【答案】A【解析】设长方体的长、宽、高分别为abc、，易知平面 ABE 与1DD 交于中点111,A DAB EEFF V11 111 11111 11177323 2222424FAB AFA B EDVVba ccaababcV=+=+=6【答案】B【解析】设()()1122,A x yB xy，记22cab=，由题意可知，AB 中点 M 是直线l 与直线12yx=的交点，即21,33Mcc另一方面，联立22221xya

12、byxc+=，得()2222222220abxa cxa ca b+=由韦达定理得：21222243a cxxcab+=+，解得22222abc=，故离心率22cea=7【答案】B【解析】先填考虑两对混双的组合有22662CC种不同的方法，余下 4 名男选手和 4 名女选手各有 3 种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有22662CC3 34050=8【答案】C 学科网（北京）股份有限公司【解析】由条件可知：2 sin2 sin133axbxcab+=对任意的Rx 恒成立，2 sin2 sincos2 cossin10333axbxcbxcab+=()2cossin2 sin

13、cos1033abcxbcxab+=cos0sin010abcbcab+=+=，由 sin0bc=知0b=或sin0c=若0b=时，则由cos0abc+=知0a=，这与10ab+=矛盾！若sin0c=，则cos1c=（舍去），cos1c=，解得()1,212abck=+，所以，cos1bca=二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9【答案】AD【解析】2cos22sin 22sin 2236yxxx=+=+，故答案 A 正确，B 错误；又由322cos22sin

14、2sin 2236yxxx=，故答案 C 错误，正确 10【答案】BC【解析】X 的分布列 X 0 2 P3858由此可得()()22555355152.0284484816E XD X=+=Y 的分布列 Y 0 2 6 P2314112由此可得()()222112112125261,(01)(21)(61)341234123412E YD Y=+=+=+=从而可知，BC 正确 学科网（北京）股份有限公司11【答案】ABD【解析】令0 x=代入()()11fxfx+=及()23xf xf=，得()()()()011,020ffff+=，所以()()00,11ff=，令12x=代 入()()11

15、fxfx+=，得10010010100100iiiiff=10001101121001002iiiff=+=，答案 A 正确；由()1123ff=，得1132f =，进而得，111111111111,6941827854811616224332ffffffff=，所以，BD正确，C 错误 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）12【答案】38【解析】由题设可得()()021213323231,C2C1C2 C11 238aa=+=13【答案】()2163yx=+【解析】不妨设()()()()12000,0,0,0FcFcM xyx由12

16、211tan,454NF FNF F=，所以，0032,55xc yc=，又1 221201225MF FSF F yc=即()21210,5,3,05 ccO=，故 抛 物 线 方 程 为()2323yx=+14【答案】3【解析】()433 323e2e3ln2xxxxxfxx+=，令()433 33e2e3ln2xxg xxxx=+，显然()g x 在()0,+上 单 调 增()433 333ln33ln3e2e3ln23 e2e3ln2xxxxxxg xxxxxx+=+=+，存 在()00,1x，使003ln30 xx+=，且()00000323ln23ln30g xxxxx=+=+=，

17、故当()00,xx时，()0g x，即()0fx，即()0fx，所以()fx 在区间()0,x+单调增，所以()()000333ln30000min0000e3ln1e3ln13ln3xxxxxxxfxfxxxx+=四、解答题（本大题共 5 小题，共计 77 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15【解】取 AB 中点 F，由正三棱柱性质得，111,A B DC EF 互相垂直，以 D 为原点，分别以11,DB DC，学科网（北京）股份有限公司DF 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 不妨设12AA=，则112 2A B=，则()()

18、()()11262,0,0,2,0,2,2,0,2,0,6,0,222AABCE （1）证明：()()()1112 2,0,2,2,0,2,0,6,0A BDADCC=，由()()12 2,0,22,0,24040A B DA=+=，得1A BAD，由()()112 2,0,20,6,00000A B DC=+=，得11A BDC，因为1,AD DC 平面11,AC D ADDCD=，所以1A B 平面1AC D （2）由（1）可知()12 2,0,2A B=为平面1AC D 的一个法向量，设(),nx y z=平面1C DE 的法向量，则()()()26,20,2 2022,0,0,6,00

19、.x y zxzyx y z=+=，令1z=，得面1C DE 的一个法向量为()2 2,0,1n=，设二面角1AC DE的值为，则113cos3A B nA B n=，所以，二面角1AC DE的正弦值为63 16【解】（1）设翻开的两个半张的数字与留下的 2 个半张上的数字恰好有 1 个相同的事件设为 A，则()12442244C C2C C3P A=答：翻开的两个半张的数字与留下的 2 个半张上的数字恰好有 1 个相同的概率为 23（2）X 的分布列 学科网（北京）股份有限公司X 0 1 2 4 P381314124()31110124183424E X=+=17【解】由题设可得2,3ab=

20、，故椭圆方程为：()221043xyy+=，双曲线方程为()221043xyy=（1）由图可知，切点 M 在双曲线()221043xyy=上 设()00,M xy，则切线l 的方程为：00143x xy y=，因为直线l 过点()1,0，所以，04x=，将04x=代入()221043xyy=，得03y=，所以，()4,3M，直线l 的方程为：10 xy=（2）由题意得 PQ 方程为：()2yk x=，联立()()2221043yk xxyy=，整理得：()2222341616120kxk xk+=，解得：2x=，或228643kxk+=，即2228612,43 43kkQkk+联立()()22

21、21043yk xxyy=+=，整理得：()2222341616120kxk xk+=，解得：2x=，或228643kxk=+，即2228612,4343kkPkk+2222221212434308686224343BPBQkkkkkkkkkk+=+=+，学科网（北京）股份有限公司所以，BPBQkk=，所以PBAQBA=18【解】（1）()232fxxaxb=+，因为 1 和 1是()fx 的两个极值点，所以，1 和 1是方程2320 xaxb+=的两根，故0,3ab=，即()33fxxxc=+因为()(),11,x 时，()()0,1,1fxx 时，()0fx，所以()fx 在区间()(),

22、1,1,上单调增，在区间()1,1上单调减，所以()()1133fxfc=+=极大值，得1c=，()()11311fxf=+=极小值（2）当0b=时，()232fxxax=+令()0fx=，得0 x=，或23ax=若0a；当20,3ax时，()0fx，则当()2,0,3ax +时，()0fx；当2,03ax 时，()0fx，()00fb=，所以，()0fx=有两个实数根12,x x，且12202xx，当()12,xx x时，()0fx，故1x 是()fx 的极大值点，2x 是()fx 的极小值点 由题意得：()()3232111122222,2fxxaxbxfxxaxbx=+=+两式同向相加得

23、：()()()2121212124xxxxx xa xxb+，注意到，21212122412,333ababxxx xxx+=，代入得：224122393ab ab，由可知，224122,1393abab，所以224122393ab ab，所以224122393ab ab=，当且仅当0,3ab=时成立 所以()33fxxx=，从而()318f=19【解】（1）因为27122=+，所以271aqq=+；因为382=，所以38aq=（2）由数列 na定义得：112nnnbaq=；所以2111nniibqqq=+而21211222nn=+，所以121211nnniiaqqqb=+=（3）当12q 设 m 是满足mnaa的最小正整数下面证明1mnaa+若1m 是偶数，设2121222,0,1,1,2,kkimxxxxik=+=，则2121222kkmxxx=+，于是212111kmkmax qx qx qa=+=+因为1nmaa，所以111mmnaaa=+学科网（北京）股份有限公司若1m 是奇数，设2221122222llklkmxx+=+，则()()()()1222111 1111llllmmaaqqqqqqqqqqq+=+=+所以111mmnaaa+综上所述，对于任意正整数 n，存在正整数m，使得1nmnaaa+