2024届湖南长沙雅礼中学高三月考七数学试卷+答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司雅礼中学 2024 届高三月考试卷（七）数学命题人：匡铀龄 审题人：卿科 陈朝阳注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考生号考场号座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集2,4,6,8,10,12,4,6,8,8,10UMN=，则集合2,12=（）

2、A.MN B.MN C.()U MN D.()U MN 2.下列命题正确的是（）A.“lnlnmn”是“eemn的否定是：0000,ln1xxx C.5sincos2xx+=D.函数21xyx+=+在()(),11,+上是减函数 3.若复数 z 满足|2i|2i|8zz+=，则复数 z 在复平面内所对应点的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线 C.圆 D.线段 4.已知 D 是 ABC所在平面内一点，3255ADABAC=+，则（）A.32BDBC=B.23BDBC=C.35BDBC=D.25BDBC=5.我们把由 0 和 1 组成的数列称为0 1 数列，0 1 数列在计算机科学和信息技术领域有着广

3、泛应用，把斐波那契数列()12211,nnnnFFFFFF+=+中的奇数换成 0，偶数换成 1 可得到0 1 数列 na，记数列 na的前 n 项和为nS，则100S的值为（）学科网（北京）股份有限公司A.32 B.33 C.34 D.35 6.我国元代瓷器元青花团菊花纹小盏如图所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花为装饰，釉质润泽，底足露胎，胎质致密.碗内口沿饰有一周回纹，内底心书有一文字，碗外壁绘有一周缠枝团菊纹，下笔流畅，纹饰洒脱.该元青花团菊花纹小盏口径 8.4 厘米，底径 2.8 厘米，高 4 厘米，它的形状可近似看作圆台，则其侧面积约为（单位：平方厘米

4、）（）A.34 B.27 C.20 D.18 7.已知椭圆22221(0)xyabab+=与双曲线22221(0,0)xymnmn=有共同的焦点12,F F，且在第一象限内相交于点 P，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e.若123F PF=.则12e e的最小值是（）A.12 B.22 C.32 D.32 8.求值：2cos40cos80sin80+=（）A.3 B.33 C.3 D.33二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.某市 7 天国庆节假期期间的楼房日认购

5、量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这 7 天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（）A.日认购量与日期正相关 B.日成交量的中位数是 26 C.日成交量超过日平均成交量的有 2 天 D.10 月 7 日日认购量的增量大于 10 月 7 日日成交量的增量 学科网（北京）股份有限公司10.抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景丰富的性质产生了无穷的魅力.设,A B 是抛物线2:4C xy=上两个不同的点，以()()1122,A x yB xy为切点的切线交于 P 点.若弦 AB 过点()0,1

6、F，则下列说法正确的有（）A.124x x=B.若12x=，则 A 点处的切线方程为10 xy=C.存在点 P，使得0PA PB D.PAB面积的最小值为 4 10.已知函数()()()1 e1xf xxx=+，则下列说法正确的有 .()f x 有唯一零点 B.()f x 无最大值 C.()f x 在区间()1,+上单调递增 D.0 x=为()f x 的一个极小值点 三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.雅礼中学将 5 名学生志愿者分配到街舞社戏剧社魔术社及动漫社 4 个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到 1 个社团每个社团至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共

7、有_种 13.已知圆221:(2)1Cxy+=与圆222:(2)(1)4Cxy+=相交于,A B 两点，则()1211C CC AC B=+_.14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三的形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角 ABC外接圆的半径为 2，且三条圆弧沿 ABC三边翻折后交于点 P.（1）若3AB=，则sinPAC=_.（2）若:6:5:4AC AB BC=，则 PAPBPC+的值为_.学科网（北京）股份有限公司四解答题：本题共 5

8、 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）人工智能正在改变我们的世界，由 OpenAI 开发的人工智能划时代的标志 ChatGPT 能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透入类社会的方方面面.让人类更高效地生活.现对 130 人的样本人群就“广泛使用 ChatGPT 对服务业芳动力市场的潜在影响”进行调查，其数据的统计结果如下表所示：ChatGPT 应用的广泛性 服务业就业人数的 合计 减少 增加 广泛应用 60 10 70 没广泛应用 40 20 60 合计 100

9、 30 130（1）根据小概率值0.01=的独立性检验，是否有99%的把握认为 ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？（2）现从“服务业就业人数会减少”的 100 人中按分层随机抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3人，记抽取的 3 人中有 X 人认为 ChatGPT 会在服务业中广泛应用，求 X 的分布列和均值.附：()()()()22()n adbcabcdacbd=+，其中nabcd=+.0.1 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 16.（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 PABCD中，PA 平面,2,120ABCD PAABB

10、CADCDABC=.（1）求证：平面 PAC 平面 PBD；（2）若点 M 为 PB 的中点，线段 PC 上是否存在点 N，使得直线 MN 与平面 PAC 所成角的正弦值为22.学科网（北京）股份有限公司若存在，求 PNPC的值；若不存在，请说明理由.17.（本小题满分 15 分）如图，圆C 与 x 轴相切于点()2,0T，与 y 轴正半轴相交于两点,M N（点 M 在点 N 的下方），且3MN=.（1）求圆C 的方程；（2）过点 M 任作一作直线与椭圆22184xy+=相交于,A B 两点，连接,AN BN，求证：ANMBNM=.18.（本小题满分 17 分）已知函数()()2ln3f xx

11、 xaxx a=R.（1）若1x=是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x，其中12xx+恒成立，求实数 k 的取值范围.19.（本小题满分 17 分）对于无穷数列 nc，若对任意*,m nN，且mn，存在*k N，使得mnkccc+=成立，则称 nc为“G数列”.（1）若数列 nb的通项公式为2nbn=，试判断数列 nb是否为“G 数列”，并说明理由；（2）已知数列 na为等差数列，若 na是“G 数列”，*128,aaN=，且21aa，求2a 所有可能的取值；若对任意*nN，存在*kN，使得knaS=成立，求证：数列 na为“G 数列

12、”.学科网（北京）股份有限公司雅礼中学 2024 届高三月考试卷（七）数学参考答案一二选择题题号1234567891011答案CAADBBCABDABDBCD1.C 【解析】()()UU4,6,8,10,8,2,12,2,4,6,10,12MNMNMNMN=，故选 C.2.A 【解析】对于A 中，由函数lnyx=为单调递增函数，因为lnlnmn，可得0mn，又因为函数exy=为单调递增函数，可得eemn，即充分性成立；反之：由eemn，可得mn，当,m n 小于 0 时，此时ln,lnmn 没意义，即必要性不成立，所以“lnlnmn”是“eemn的否定是：0000,ln1xxx，故 B 不正确

13、；对于5C,sinsincos22xxx+=+=，故 C 不正确；对于 D：当2x=时0y=，当0 x=时2y=，但 20，可得02=，可知复数 z 满足椭圆的定义.故选A.4.D 【解析】由3255ADABAC=+，得3255ABBDABAC+=+，得2255BDABAC=+，得25BD=（2)5ABACBC+=，故选 D.学科网（北京）股份有限公司 5.B 【解析】因为12211,nnnFFFFF+=+，所以34567892,3,5,8,13,21,34,FFFFFFF=，所以数列 na的前若干项为：1231567890,1,0,0,1,0,0,1,aaaaaaaaa=，则12345678

14、91aaaaaaaaa+=+=+=，所以10033 1 033S=+=.故选 B.6.B 【解析】设该圆台的上底面下底面的半径分别为,R r，若当29,23Rr=时，则圆台的母线长224(4.5 1.5)5l=+=，所以其侧面积为()4.5 1.5530+=，若当28,22Rr=时，则圆台的母线长224(4 1)5l=+=，所以其侧面积为()4 1525+=，所以其侧面积 S 满足2530S时，令()e1xu xx=，求导得()e10 xux=，函数()u x 在()0,+上递增，当2x 时，()2e31u x，而1yx=+在()0,+上递增，值域为()1,+，因此当2x 时，()1f xx+

15、，所以()f x 无最大值，B 正确；()()2 e22xfxxx=+，令()()2 e22xg xxx=+，求导得()()3 e2xgxx=+，学科网（北京）股份有限公司当0 x 时，令()()3 e2xh xx=+，则()()4 e0 xh xx=+，即()()gxh x=在()0,+上递增，()()010gxg=，则()()fxg x=在()0,+上递增，()()00fxf=，因此()f x 在()0,+上递增，即()f x 在()1,+上单调递增，C 正确；当 10 x 时，()22e2xxxx+=+，求导得()22e(2)xxx=+，显然函数()x在()1,0上递增，而()()111

16、20,00e2=，则存在()01,0 x ，使得()00 x=，当()0,0 xx时，()0 x，函数()x在()0,0 x上单调递增，当()0,0 xx时，()()00 x=，即当()0,0 xx时，22e2xxx+，则()()2 e220 xfxxx=+，又()00f=，因此0 x=为()f x 的一个极小 值点，D 正确，故选 BCD.三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.240 【解析】根据题意，分 2 步进行分析：将 5 名学生志愿者分为 4 组，有25C10=种分组方法，将分好的 4 组安排参加 4 个社团参加志愿活动，有44A24=种情况，则有10 24

17、240=种分配方案.13.2 【解析】由题意可知两圆公共弦 AB 所在的直线方程为()()12210,0,2,2,1xyCC+=，所以点1C 到直线210 xy+=的距离为121,55dC C=，又12C CAB，所以向量1C A在向量12C C方向上的投影为15d=，所以1211515C CC A=，同理可得1211C CC B=，所以()12112C CC AC B+=.14.74；234 【解析】设外接圆半径为 R，则2R=，由正弦定理，可知学科网（北京）股份有限公司324sinsinABRACBACB=，即3sin4ACB=，由于CB是锐角，故7cos4ACB=，又由题意可知 P 为三

18、角形 ABC 的垂心，即 APBC，故2PACACB=，所以7sincos4PACACB=.连接 AP 并延长交 BC 于 D，连接CP 并延长交 AB 于 E，连接 BP 并延长交 AC 于 F，设,CABCBAACB =，则,222PACPBAPAB =，由于:6:5:4AC AB BC=，不妨假设6,5,4ACk ABk BCk=，由余弦定理知222222(6)(5)(4)3(4)(5)(6)1cos,cos2 6542 458kkkkkkkkkk+=，222(4)(6)(5)9cos2 4616kkkkk+=，如图所示，,AD CE BF 为 ABC的三条高，由于,22ECBEBCPC

19、DCPD+=+=，故EBCCPD=，则得APCCPDEBCABC=，所以24sinsinsinsin22PCPAACACRAPCABC=，同理可得24sinsinsin 2PBABABRAPBACB=，所以()319234 coscoscos448164PAPBPC+=+=+=.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）零假设为0H：ChatGPT 应用的广泛性与服务业就业人数的增减无关.根据表中数据得220.01130(60 2040 10)6.6036.63570 60 100 30 x=，依题意知，圆心

20、C 的坐标为()2,r，因为3MN=，所以222325224r=+=，所以52r=，圆C 的方程为22525(2)24xy+=.（2）把0 x=代入方程22525(2)24xy+=，解得1y=或4y=，即点()()0,1,0,4MN.当 ABx轴时，可知0ANMBNM=；当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为1ykx=+.联立方程221,1,84ykxxy=+=消去 y 得()2212460kxkx+=.()221624 120kk=+恒成立.设直线 AB 交椭圆22184xy+=于()()1122,A x yB xy两点，则12122246,1212kxxx xkk+=+，所

21、以()12121212N22211212122344331121201212ANIkx xxxyykxkxkkkkxxxxx xx xkk+=+=+=+=+，所以ANMBNM=.综合知ANMBNM=.18.【解析】（1）()ln1 23ln22fxxaxxax=+=，又1x=是函数()f x 的一个极值点，学科网（北京）股份有限公司()10f=，即 220,1aa=.()ln22fxxx=+，令()()1ln22,20h xxxh xx=+=+，()()fxh x=在()0,+上单调递增，且()10f=，()f x在()0,1 上单调递减，在()1,+上单调递增，1x=是()f x 的极小值点

22、时，实数a 的值为-1.（2）()ln1 23ln22fxxaxxax=+=，由于()()2ln3f xx xaxx a=R 有两个极值点12,x x，所以方程()0fx=在()0,+上有两个不同的根，即方程ln220 xax=有两个不同的正数根，转化为函数()ln2xg xx=与函数2ya=的图象在()0,+上有两个不同交点，令()23lnxgxx=，令()23ln0 xgxx=，解得3xe=，当3ex 时，()()0,gxg x单调递减，当30ex单调递增，且当2ex 时，()()20,e0g xg=，故作出()g x 的图象如下：由图象可得：3120,ea，即310,2ea.由（1）知：

23、12,x x 是ln220 xax=的两个根，故11222ln20,2ln20 xaxxax+=+=，则1212lnln2xxaxx=，不妨设()120,1xtx=，则21txx=，则1222212lnlnln2ln0ln21xxtxxxxxt+=+，故由122ln31axk xk+可得，12122221222lnlnlnlnln31ln31ln311xxtt txk xktxk xkk xkxxtxxt+，学科网（北京）股份有限公司lnln23111t ttkktt+，化简得 ln11 ln11t ttttktt+，由于01t，所以等价于()ln11 ln0t ttk tt+对任意的01t

24、恒成立，令()()ln11 lnF tt ttk tt=+，故()0F t 对任意的01t=单调遥增，故()()()10,FtFF t=，不满足，舍去；（ii）当1k 时，()()()20,tkm tm tF tt=单调递增，故()()10F tF=，故()0F t 恒成立，符合题意；（iii）当01k 时，令()20tkm tt=，则tk=，当1kt 单调递增，当0tk 时，()()()0,m xm tFt=单调递减，又()10F=，故1kt 时，()()10FtF=，因此当1kt，不符合题意，舍去.综上，实数k 的取值范围为)1,+.19.【解析】（1）2nbn=，对任意的()*,2,2,

25、222mnmnm nmn bm bn bbmnmn=+=+=+N，取 kmn=+，则,mnknbbbb+=是“G 数列”.（2）数列 na为等差数列，若 na是“G 数列”，*128,aa=N，且*2121,0,aa daad=N，则()81nand=+，对任意的()()*,81,81mnm nmn amd and=+=+N，()882mnaamnd+=+，由题意存在*k N，使得mnkaaa+=，即()()88281mndkd+=+，显然k mn+，学科网（北京）股份有限公司所以()()()281,18mndkdkmnd+=+=，1kmn+N.所以d 是 8 的正约数，即1,2,4,8d=，1d=时，29,7akmn=+；2d=时2,10,3akmn=+；4d=时2,12,1akmn=+；8d=时2,16,akmn=+.综上，2a 的可能值为9,10,12,16.若对任意*nN，存在*k N，使得knaS=成立，所以存在*122,3ttaaSa t+=N，设数列 na公差为d，则()()11121,2adatd atd+=+=，()()()213natdndtnd=+=+，对任意()()*,3,3mnm nmn amd and=+=+N，()26mnaatmnd+=+，取*3ktmn=+N，则()()326kmnatk dtmndaa=+=+=+，所以数列 na是“G 数列”.