2024高考数学 基础知识综合复习 冲A专题2 三角函数与解三角形的综合应用.docx

1、冲A专题二三角函数与解三角形的综合应用1.如图,从半径为定值的圆形纸片O上,以O为圆心截取一个扇形AOB卷成圆锥,若要使所得圆锥体积最大,那么截取扇形的圆心角大小为()A.263B.253C.2D.2.(2023浙江台州)如图,在ABC中,D是BC的中点,E是AC上的点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,ADB=EDC=,则cos =()A.32B.33C.23D.343.(2023浙江浙南名校联盟)有一直角转弯的走廊(两侧与顶部都封闭),已知走廊的宽度与高度都是3米,现有不能弯折的硬管需要通过走廊,设不计硬管粗细可通过的最大极限长度为l米.为了方便搬运,规定允许通过此走廊的硬管的最大实际

2、长度为m=0.9l米,则m的值是()A.8110B.27210C.2725D.624.在ABC中,AB=2,AC=4,AD平分BAC交BC于点D,且AD=43,则BC=()A.27B.23C.743D.27435.(多选)如图,在ABC中,D,E为BC边上异于端点的两点,BD=a,EC=c,且ADE是边长为b的正三角形,则下列不等式一定成立的是()A.a2+ac+c2-b2+bc+c2a+b+cB.a2+ab+b2+b2+bc+c2a+b+cC.a2+ab+b2-b2-bc+c2a+b-cD.b2+bc+c2-a2-ab+b2sin CB.sin2A+sin2Bsin2CC.cos A+cos

3、 Bsin CD.cos2A+cos2Bsin2C7.(2023浙江学考)已知ABC的三个角A,B,C所对的边为a,b,c,若BAC=3,D为边BC上一点,且AD=2,BDDC=4cb,则4b+1c的值为.8.已知x,yR,且x2-2xy+2y2=1,则x+2y的最大值为,x2+y2的取值范围是.9.(2023浙江绍兴)如图,在平面四边形ABCD中,点B与点D分别在直线AC的两侧,BC=CD=2.(1)已知AB=2,且AC=AD,当cosCAD=23时,求ABC的面积;若ABC=2ADC2,求ABC.(2)已知AD=2AB,且BAD=4,求AC的最大值.10.(2023浙江温州知临中学)某市决

4、定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园,如图所示,在直径为20 m的半圆O空地上,设置扇形区域OMB作为大人休息区,规划两个三角形区域做成小喷泉区(OAB区域)和沙坑滑梯区(ABC区域),其中A为直径MN延长线上一点,且OA=20 m,B为半圆周上一动点,以AB为边作等边三角形ABC.(1)若等边三角形ABC的边长为a,AMB=,试写出a关于的函数关系式.(2)问当AMB为多少时,儿童游玩区OACB的面积最大?这个最大面积为多少?11.(2023浙江温州新力量联盟)已知a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,且2bcosA-6=3c.(1)求角B的大小;(2)若b=6,求ABC面积的最大值

5、;(3)若b2=ac,且ABC的外接圆半径为2,圆心为O,P为O上的一动点,试求PAPB的取值范围.12.(2023浙江浙南名校联盟)在ABC中,已知B=2,AC=2,BD为边AC上的高.设y=BD+DC,记y关于A的函数为y=f(A).(1)求y=f(A)的表达式及f(A)的取值范围;(2)若不等式mf(A)+mf2(A)恒成立,求实数m的取值范围.冲A专题二三角函数与解三角形的综合应用1.A解析 设扇形AOB的半径为R,扇形的圆心角为(02),则扇形的弧长为R,设圆锥的底面半径为r,高为h,则2r=R,则r=R2,则h=R2-r2=R2-(R2)2=R1-242,所以该圆锥的体积为V=13

6、r2h=13R22R1-242=R3242(42-2)4=R3122(42-2)2222R3122(42-2+22+223)3=2327R3,当且仅当42-2=22时,即当=263时,等号成立.故选A.2.D解析 由点D是BC的中点,AC=2AB,CD=1,AE=3EC,设CE=x,则BD=1,AE=3x,AB=2x,在ABC中,可得2xsinC=4xsinB,即sinB=2sinC,在ABD中,可得2xsin=ADsinB,在CED中,可得xsin=DEsinC,上面两式相除可得2=ADDEsinCsinB=12ADDE,即AD=4DE.在ABD中,4x2=1+AD2-2ADcos=1+16

7、DE2-8DEcos,在CDE中,x2=1+DE2-2DEcos,即有4+4DE2=1+16DE2,解得DE=12,AD=2,则x2=1+14-212cos=54-cos.在ADE中,9x2=AD2+DE2-2ADDEcos(-2)=4+14+2212cos2=174+2cos2=4cos2+94,可得454-9cos=4cos2+94,化为4cos2+9cos-9=0,解得cos=34(cos=-3舍去).故选D.3.A解析 如图所示,先求出硬管不倾斜,水平方向通过的最大长度AB,设BAQ=02,则ABQ=2-,过点A作AC垂直内侧墙壁于点C,过点B作BD垂直内侧墙壁于点D,则AC=BD=3

8、,CPA=BAQ=,DPB=ABQ=2-,在直角三角形ACP中,sinCPA=sin=ACAP,所以AP=ACsin=3sin,同理BP=BDsin(2-)=3cos,所以AB=AP+BP=3sin+3cos00,可得cos=12,所以=3,BC2=22+42-224cos23=28,所以BC=27.故选A.5.BC解析 由题知ADB=AEC=120,AB=a2+b2-2abcos120=a2+ab+b2,同理AC=b2+bc+c2,根据三角形三边关系AB+ACBC可知,B选项正确;由AB-ACBCa2+ab+b2-b2+bc+c2a+b+c,对上述不等式用-c代替c可得a2+ab+b2-b2

9、-bc+c20,而a-b+c=-1c可得sinA+sinBsinC,故A正确;对于B,因为cosC=a2+b2-c22ab0可得a2+b2c2,由正弦定理可得sin2A+sin2Bsin2C,故B正确;对于C,因为0A2,0B2,所以0sinA1,0sinBcosAsinB+cosBsinA=sin(A+B)=sinC,故C正确;对于D,当A=B=C=3时,cos2A+cos2B=1234=sin2C,故D错误.故选ABC.7.212解析 设BAD=03,则CAD=3-,AD=2,BDDC=4cb,SABDSACD=12ADBDsinADB12ADCDsinADC=BDCD=4cb,即122c

10、sin122bsin(3-)=4cb,化简得2cos=3sin,即tan=233,故sin=277,sin3-=14sin=714,又SABC=SABD+SACD,12bcsin3=122csin+122bsin3-,即4b+1c=212.8.1032-52,32+52解析 由题意可知(x-y)2+y2=1,令x-y=cos,y=sin,即x=cos+sin,y=sin,x+2y=cos+3sin=10sin(+),其中tan=13,x+2y的最大值为10;x2+y2=1+sin2+12(1-cos2)=32+52sin(2-),其中tan=12,x2+y2的取值范围是32-52,32+52.

11、9.解 (1)设AC=2x(0x4,取AC,CD的中点分别为M,N,连接BM,AN,BMAC,ANCD,AD=1cos,AC=2AM=4sin,因为AC=AD,所以1cos=4sin,即sin2=12,解得2=56,即ABC=56.(2)作COBD于O(图略),由余弦定理得AB=BD,ABD=2,设CBO=,则BO=2cos,AB=BD=4cos,在ABC中,利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=16cos2+4-24cos2cos2+=82sin2+4+1212+82,则AC的最大值是22+2.10.解 (1)AMB=,AOB=2.在AOB中,AB=a,OA=20,O

12、B=10,AOB=2,由余弦定理可得a2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB=500-400cos2,所以a=105-4cos2,其中0,2.(2)SAOB=121020sin2=100sin2,SABC=34AB2=253(5-4cos2),所以S四边形OACB=SAOB+SABC=100sin2+253(5-4cos2)=100sin2-1003cos2+1253=200sin2-3+1253.因为02,则-32-323,当2-3=2,即=512时,四边形OACB的面积取最大值(200+1253)m2.11.解 (1)由2bcosA-6=3c及正弦定理可得2sinBcosA-6=3si

13、nC,又A+B+C=,2sinBcosAcos6+sinAsin6=3sin-(A+B),整理可得3cosAsinB+sinAsinB=3sin(A+B),可得3cosAsinB+sinAsinB=3sinAcosB+3cosAsinB,可得sinAsinB=3sinAcosB,sinA0,tanB=3.B(0,),B=3.(2)若b=6,根据余弦定理得a2+c2-2accos3=6,化简a2+c2-ac=6,又a2+c2-ac2ac-ac=ac,ac6,当且仅当a=c时,ac有最大值6.ABC的面积S=12acsinB=34ac346=332,当且仅当a=c时,ABC面积有最大值,最大值为3

14、32.(3)由正弦定理bsinB=2R,则b=23,则ac=b2=12,由a2+c2=b2+ac,可得a2+c2=24,则a=c=23,则三角形ABC为等边三角形,取AB中点M,如图所示,则PAPB=(PM+MA)(PM+MB)=PM2+PM(MA+MB)+MAMB=PM2-MA2=PM2-3,由OP=2,OM=1,则PM1,3,则PAPB-2,6.12.解 (1)由已知可得AB=2cosA,BC=2sinA,BDAC,BD=ABsinA=2cosAsinA,DC=BCsinCBD=BCsinA=2sin2A,f(A)=BD+DC=2cosAsinA+2sin2A=sin2A+1-cos2A=2sin2A-4+1.0A2,-42A-434,sin2A-4-22,1,00,mf2(A)f(A)+1.记u=f(A)+1(1,2+2,则设t=(u-1)2u=u2-2u+1u=u+1u-2,设u1,u2(1,2+2,且u11,u1u2-10.u1u2,u1-u20,t1t2,即t=u+1u-2在(1,2+2上单调递增.当u=2+2,即f(A)+1=2+2,f(A)=1+2,A=38时,t取到最大值为1+22.m1+22,即实数m的取值范围为1+22,+.